IV°/ Amusons-nous avec les nombres :

0×9 + 8 = 8

9×9 + 7 = 88

98×9 + 6 = 888

987×9 + 5 = 8888

9876×9 + 4 = 88888

98765×9 + 3 = 888888

987654×9 + 2 = 8888888

9876543×9 + 1 = 88888888

98765432×9 + 0 = 888888888

987654321×9 – 1 = 8888888888

1×9 + 2 = 11

12×9 + 3 = 111

123×9 + 4 = 1111

1234×9 + 5 = 11111

12345×9 + 6 = 111111

123456×9 + 7 = 1111111

1234567×9 + 8 = 11111111

12345678×9 + 9 = 111111111

123456789×9 + 10 = 1111111111

13 + 53 + 33 = 153

33 + 73 + 03 = 370

33 + 73 + 13 = 371

43 + 03 + 73 = 407

888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1 000

49 = 7²

4489 = 67²

444889 = 667²

44448889 = 6667²

4444488889 = 66667²

10 89×9 = 98 01

10 9 89×9 = 98 9 01

10 99 89×9 = 98 99 01

10 999 89×9 = 98 999 01

10 9999 89×9 = 98 9999 01

21 78×4 = 87 12

21 9 78×4 = 87 9 12

21 99 78×4 = 87 99 12

21 999 78×4 = 87 999 12

21 9999 78×4 = 87 9999 12

12² = 144

13² = 169

102² = 10404

103² = 10609

112² = 12544

113² = 12769

122² = 14884

21² = 441

31² = 961

201² = 40401

301² = 90601

211² = 44521

311² = 96721

221² = 48841

3× 37 = 111

6× 37 = 222

9× 37 = 333

12× 37 = 444

15× 37 = 555

18× 37 = 666

21× 37 = 777

24× 37 = 888

27× 37 = 999

1× 91 = 0 9 1

2× 91 = 1 8 2

3× 91 = 2 7 3

4× 91 = 3 6 4

5× 91 = 4 5 5

6× 91 = 5 4 6

7× 91 = 6 3 7

8× 91 = 7 2 8

9× 91 = 8 1 9

37× 91 = 3367

33× 3367 = 111 111

66× 3367 = 222 222

99× 3367 = 333 333

132× 3367 = 444 444

165× 3367 = 555 555

198× 3367 = 666 666

231× 3367 = 777 777

264× 3367 = 888 888

297× 3367 = 999 999

1× 8 + 1 = 9

12× 8 + 2 = 98

123× 8 + 3 = 987

1234× 8 + 4 = 9876

12345× 8 + 5 = 98765

123456× 8 + 6 = 987654

1234567× 8 + 7 = 9876543

12345678× 8 + 8 = 98765432

123456789× 8 + 9 = 987654321

12 345 679× 9 = 111 111 111

12 345 679× 18 = 222 222 222

12 345 679× 27 = 333 333 333

12 345 679× 36 = 444 444 444

12 345 679× 45 = 555 555 555

12 345 679× 54 = 666 666 666

12 345 679× 63 = 777 777 777

12 345 679× 72 = 888 888 888

12 345 679× 81 = 999 999 999

7 × 15 873 = 111 111

7 × 31 746 = 222 222

7 × 47 619 = 333 333

7 × 63 492 = 444 444

7 × 79 365 = 555 555

7 × 95 238 = 666 666

7 × 111 111 = 777 777

7 × 126 984 = 888 888

7 × 142 857 = 999 999

7 × 143 = 1001

7 × 286 = 2002

7 × 429 = 3003

7 × 572 = 4004

7 × 715 = 5005

7 × 858 = 6006

7 × 1001 = 7007

7 × 1144 = 8008

7 × 1287 = 9009

3 × 8 547 × 13 = 333 333

4 × 8 547 × 13 = 444 444

5 × 8 547 × 13 = 555 555

9 × 8 547 × 13 = 999 999

13 × 3 × 7 × 13 × 37 = 131 313

27 × 3 × 7 × 13 × 37 = 272 727

52 × 3 × 7 × 13 × 37 = 525 252

89 × 3 × 7 × 13 × 37 = 898 252

185 × 7 × 11 × 13 = 185 185

259 × 7 × 11 × 13 = 259 259

327 × 7 × 11 × 13 = 327 327

467 × 7 × 11 × 13 = 467 467

6× 9 = 54

66× 99 = 6 534

666× 999 = 665 334

6 666× 9 999 = 66 653 334

66 666× 99 999 = 6 666 533 334

666 666× 999 999 = 666 665 333 334

6 666 666× 9 999 999 = 66 666 653 333 334

66 666 666× 99 999 999 = 6 666 666 533 333 334

666 666 666× 999 999 999 = 666 666 665 333 333 334

3 367 × 00 = 000 000

3 367 × 33 = 111 111

3 367 × 66 = 222 222

3 367 × 99 = 333 333

3 367 × 132 = 444 444

3 367 × 165 = 555 555

3 367 × 198 = 666 666

3 367 × 231 = 777 777

3 367 × 264 = 888 888

3 367 × 297 = 999 999

37× 0 = 000

37× 3 = 111

37× 6 = 222

37× 9 = 333

37× 12 = 444

37× 15 = 555

37× 18 = 666

37× 21 = 777

37× 24 = 888

37× 27 = 999

Après 99 les retenues brisent la régularité de la suite. Voici la parade :

Vous obtenez tous les nombres à trois chiffres de 000 à 999, dans l’ordre, à l’exception de 998.

Si vous prenez un nombre n composé de k chiffres et que vous le divisez par un nombre composé de k chiffres 9, la partie décimale du nombre obtenu est une répétition de n.

1 x 33² = 1089

2 x 33² = 2178

3 x 33² = 3267

4 x 33² = 4356

5 x 33² = 5445

6 x 33² = 6534

7 x 33² = 7623

8 x 33² = 8712

9 x 33² = 9801

111 111 111² = 12 345 678 987 654 321

1/998 001 = 1,002 003 004 005 006

1/7 = 0,142857 142857 142857 

2/7 = 0,2857 142857 142857 

3/7 = 0,42857 142857 142857 

4/7 = 0,57 142857 142857 

5/7 = 0,7 142857 142857 

6/7 = 0,857 142857 142857 

1³ + 5³ +3³ = 153

16³ + 50³ + 33³ = 165033

166³ + 500³ + 333³ = 166500333

1666³ + 5000³ +3333³ = 166650003333

16666³ + 50000³ + 33333³ = 166665000033333

6 × 7 = 42

66 × 67 = 4 422

666 × 667 = 444 222

666 666 × 666 667 = 444 444 222 222

666 666 666× 666 666 667 = 444 444 444 222 222 222

27 × 37 = 999

Mais aussi :

1/27 = 0,37 037 037 037 037…

1/37 = 0,27 027 027 027 027…

\frac{10 100}{970 / 299} = 0,01 04 09 16 25 36 49 64 82 …

Mais oui, les décimales nous montrent les 8 premiers carrés dans l’ordre.

\frac{1}{998} = 0,001 002 004 008 016 032 064 128 256 513 …

Voici les 9 premières puissances de 2 dans les décimales.

\frac{100}{9 / 899} = 0,01 01 02 03 05 08 13 21 34 55 …

\frac{1 000}{998 / 999} = 0,001 001 002 003 005 008 013 021 034 055 …

\frac{10 000}{99 / 989 / 999} = 0,0001 0001 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 0089 0144 0233 …

Voici maintenant la suite de Fibonacci dans les décimales.

1 = 1 × 1 × 1 × 1

2 = 1 × 1 + 1 × 1

3 = 1 × 1 + 1 + 1

4 = 1 + 1 + 1 + 1

0 = 2 – 2 + 2 – 2
1 = 2 – 2 + 2/2
2 = (2/2) + (2/2)
3 = (2 + 2 + 2)/2
4 = (2 + 2 – 2) x 2
5 = (2 x 2) + (2/2)
6 = (2/2 + 2) x 2
7 impossible
8 = (2 x 2) + (2 x 2)
9 impossible

0 = 3 – 3 + 3 – 3
1 = 3 – 3 + 3/3
2 = (3/3) + (3/3)
3 = (3 + 3 + 3)/3
4 = (3 x 3 + 3)/3
5 = (3 + 3)/3 + 3
6 = 3 + 3 + 3 – 3
7 = (3/3) + 3 + 3
8 = (3 x 3) – (3/3)
9 = (3 + 3 – 3) x 3

0 = 4 – 4 + 4 – 4 = 4 + 4 – 4 – 4 = (4 – 4)x(4 + 4)
1 = 4 – 4 + 4/4 = (4 + 4)/(4 + 4) = (4/4)x(4/4)
2 = (4/4) + (4/4) = (4 x 4)/(4 + 4)
3 = (4 + 4 + 4)/4
4 = 4 + ((4 – 4)/4)
5 = (4 x 4 + 4)/4
6 = 4 + ((4 + 4)/4)
7 = 4 + 4 – (4/4)
8 = 4 + 4 + 4 – 4 = (4 x 4) – 4 – 4 = (4 x 4) – (4 + 4)
9 = 4 + 4 + (4/4)

0 = 5 – 5 + 5 – 5
1 = 5 – 5 + 5/5
2 = (5/5) + (5/5)
3 = (5 + 5 + 5)/5
4 = (5 x 5 – 5)/5
5 = 5 + ((5 – 5)/5)
6 = (5 x 5 + 5)/5
7 = (5 + 5)/5 + 5
8 impossible
9 = 5 + 5 – 5/5

0 = 6 – 6 + 6 – 6
1 = 6 – 6 + 6/6
2 = (6/6) + (6/6)
3 = (6 + 6 + 6)/6
4 = 6 – ((6 + 6)/6)
5 = (6 x 6 – 6)/6
6 = 6 + ((6 – 6)/6)
7 = (6 x 6 + 6)/6
8 = (6 + 6)/6 + 6
9 impossible

0 = 7 – 7 + 7 – 7
1 = 7 – 7 + 7/7
2 = (7/7) + (7/7)
3 = (7 + 7 + 7)/7
4 impossible
5 = 7 – ((7 + 7)/7)
6 = (7 x 7 – 7)/7
7 = (7 – 7)/7 + 7
8 = (7 x 7 + 7)/7
9 = 7 + ((7 + 7)/7)

0 = 8 – 8 + 8 – 8
1 = 8 – 8 + 8/8
2 = (8/8) + (8/8)
3 = (8 + 8 + 8)/8
4 = (8/(8 + 8)) x 8
5 impossible
6 = 8 – ((8 + 8)/8)
7 = (8 x 8 – 8)/8
8 = (8 – 8)/8 + 8
9 = (8 x 8 + 8)/8

0 = 9 – 9 + 9 – 9
1 = (9 + 9)/( 9 + 9)
2 = 9/9 + 9/9
3 = (9 + 9 + 9)/9
4 impossible
5 impossible
6 impossible
7 = 9 – ( ( 9 + 9 ) ÷ 9 )
8 = (9 x 9 – 9) / 9
9 = 9 – ( ( 9 – 9 ) × 9 )

Quatre constantes fondamentales dans quatre 4 :

En 2001, une équipe de mathématiciens du Harvey Mudd College a découvert que nous pouvions même obtenir quatre 4 pour approximer quatre constantes notables : le nombre e , π , l’accélération de la gravité g et le nombre d’Avogadro .

La démonstration est plus jolie si on commence avec u₀ = 1

 Avec : Premier terme : u₀ = 1

Dernier terme : u_n = 2n + 1

Nombre de termes : n+1

Exemple. La somme des 4 premiers nombres impairs avec n=3 est le carré de 4, soit 16 : 1 + 3 + 5 + 7 = (3+1)² = 16

142 857 × 2 = 285 714

142 857 × 3 = 428 571

142 857 × 4 = 571 428

142 857 × 5 = 714 285

142 857 × 6 = 857 142

142 857 × 7 = 999 999

L’explication est assez simple : 142 857 est la période de 1/7

Nombre entier positif dont le 1er chiffre indique le nombre de 0 contenus dans ce nombre, le 2e le nombre de 1, le 3e le nombre de 2 et ainsi de suite jusqu’au 10^e qui doit indiquer le nombre de 9 dans ce nombre.

1210 est le plus petit d’entre eux (1 chiffre 0, 2 chiffres 1, 1 chiffre 2 et 0 chiffre 3).

La somme des diviseurs propres de 220 : 2+4+5+11+22+55+44+20+110+10+1 = 284.

La somme des diviseurs propres de 284 : 2+4+71+142+1 = 220

Par exemples : 1264460, 1547860, 1727636, 1305184 (1547860 est la somme de tous les diviseurs propres de 1264460 …)

Une suite de 28 nombres sociables : 14316 → 19116 → 31704 → 47616 → 83328 → 177792 → 295488 → 629072 → 589786 → 294896 → 358336 → 418904 → 366556 → 274924 → 275444 → 243760 → 376736 → 381 028 → 285 778 → 152990 → 122410 → 97946 → 48976 → 45946 → 22976 →
22744 → 19916 → 17716 (→ 14316 )

https://oeis.org/A003416

Un outil pour les calculer.

On commence avec la suite d’entiers démarrant par 1 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Puis on enlève un nombre sur deux, ce qui ne laisse que les entiers impairs : 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Le deuxième terme de la suite est désormais 3. Ensuite, on enlève un nombre sur trois parmi ceux qui restent dans la liste : 1 3 7 9 13 15 19 21 25

Le troisième nombre survivant est 7. On enlève alors un nombre sur sept parmi ceux qui restent dans la liste : 1 3 7 9 13 15 21 25

Le quatrième nombre survivant est 9. Puis on enlève un nombre sur neuf parmi ceux qui restent dans la liste, etc.

Si l’on répète cette procédure indéfiniment, les survivants sont les nombres chanceux : 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, …

19 est un nombre heureux car :

1² + 9² = 82
8² + 2² = 68
6² + 8² = 100
1² + 0² + 0² = 1

14 est un nombre malheureux car :

2022 est divisible par la somme 2+2+0+2 = 6.

2022/6 = 337

Godfrey Harold Hardy, mathématicien britannique de la première moitié du XX^e siècle, rapporte l’anecdote suivante, concernant le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan :« Je me souviens que j’allais le voir une fois, alors qu’il était malade, à Putney. J’avais pris un taxi portant le numéro 1729 et je remarquai que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j’espérais que ce ne fût pas mauvais signe.
— Non, me répondit-il, c’est un nombre très intéressant : c’est le plus petit nombre décomposable en somme de deux cubes de deux manières différentes. »

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_et_supernombre_de_Poulet

Un nombre composé n est donc un nombre de Poulet si n divise 2ⁿ – 2, autrement dit si c’est un nombre faiblement pseudo-premier en base 2.

Un supernombre de Poulet est un nombre composé dont tous les diviseurs composés sont des nombres de Poulet (ces diviseurs sont alors aussi des supernombres de Poulet), ou encore : un nombre composé dont chaque diviseur d divise 2^d – 2.

Vous pouvez ainsi vérifier sur cette page, si votre date de naissance ou votre numéro de téléphone est présent dans les décimales de . En fait on peut tout trouver dans les décimales de , à partir du moment ou on le transforme en suite de nombre. Par exemple une photo est une succession de pixel codés par un nombre représentant sa couleur, vous pouvez donc trouver n’importe quelle photo. Si on remplace les lettres par leur rang dans l’alphabet, on peut trouver n’importe quel texte dans les décimales de pi (Maths sera codé par M = 13, a = 1, t = 20, h = 8, s = 13 et 13120813 ce retrouve au rang 29247731) !!!!

C’est un nombre qui peut s’écrire sous la forme de une ou plusieurs sommes de deux ou plusieurs nombres consécutifs.
Le degré de politesse indique combine de fois un nombre est sommes de nombres consécutifs.

$$\mathrm{Le\; nombre\; 15\; est\; un\; nombre\; 3-polis,\; c’est\; à\; dire\; qu’il\; peut\; se\; décomposer\; en\; somme\; d’entiers\; consécutifs\; 3\; fois.15}=1+2+3+4+5=4+5+6=7+8$$

Un nombre cyclope possède un nombre impair de chiffres et son chiffre du milieu est 0.

$$\mathrm{Par\; exemple,\; 607\; est\; un\; nombre\; cyclope\; premier.}$$

Un entier naturel n est dit puissant si, pour tout diviseur premier p de n, le carré p2 divise également n.

Cela signifie que dans la décomposition en facteurs premiers de n, tous les exposants sont supérieurs ou égaux à 2.

$$\mathrm{Les\; 26\; premiers\; :\; 1,\; 4,\; 8,\; 9,\; 16,\; 25,\; 27,\; 32,\; 36,\; 49,\; 64,\; 72,\; 81,\; 100,\; 108,\; 121,\; 125,\; 128,\; 144,\; 169,\; 196,\; 200,\; 216,\; 225,\; 243,\; 256}$$

$$\mathrm{.6125\; =\; 53\; \times \; 72\; est\; puissant}$$ 6615 = 3³ × 5 × 7² n’est pas puissant car pas divisible par 5²

Un nombre de Dudeney est un entier positif dont la somme de ses chiffres décimaux est égale à la racine cubique du nombre.

Il en existe seulement 7.

Les Nombres Premiers Rugeux (« rough numbers« )

Un entier est dit k-rugueux s’il n’est divisible par aucun nombre premier inférieur à k.

Si on ajoute un nombre entier et sont renversé (le même nombre écrit à l’envers), on obtient un nombre palindrome.
Les nombres de Lychrel ne respectent pas cette propriété, mais on ne sait pas démontrer qu’ils existent.

143 + 341 = 484 nombre palindrome

196 est le plus petit candidats à la liste des nombres de Lychrel.

f(99) = f(f(110)) car 99 ≤ 100
      = f(100)    car 110 > 100
      = f(f(111)) car 100 ≤ 100
      = f(101)    car 111 > 100
      = 91        car 101 > 100

f(87) = f(f(98))
      = f(f(f(109)))
      = f(f(99))
      = f(f(f(110)))
      = f(f(100))
      = f(f(f(111)))
      = f(f(101))
      = f(91)
      = f(f(102))
      = f(92)
      = f(f(103))
      = f(93)
      ... 
      = f(99)
      ...
      = 91

Pour rappel un nombre triangulaire de rang n noté t_n, est la somme de tous les nombres de 1 jusqu’à n. On peut les représenter sous la forme d’un triangle de base n, d’où leur nom.

Exemple : t₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
             t4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Mais en modélisant le problème par un schémas, la solution est tout de suite plus évidente et même très simple.

Commençons par représenter un carré comme 25 = 5², puis découpons le par une diagonale comme sur la figure ci-contre. Le triangle supérieur est un nombre triangulaire d’ordre 5 et le triangle inférieur d’ordre n-1.

Ainsi : n² = t_n + t_n-1

Quel est le point commun entre un ananas, des lapins et la tour de Pise ? Le nombre d’or et la suite de Fibonacci.

Peut-on trouver 2 segments alignés a et b tel que le rapport du plus grand sur le plus petit soit égal au rapport de la somme sur le plus grand ? 

Géométriquement, si on prend un segment de longueur a, qu’on le multiplie par \varphi puis encore par \varphi , le grand segment est la somme des 2 petits.

C’est cette propriété qui rend les longueurs harmonieuses.

Autrement dit, 2 segments seront dans la proportion du nombre d’or si le rapport du grand sur le moyen est égal au rapport du moyen sur le petit.

Une autre façon de faire :

\varphi =\frac{BC}{AB}=\frac{AB+BC}{BC}=\frac{AB}{BC}+\frac{BC}{BC}=\frac{1}{\varphi }+1 \\ \varphi =\frac{1}{\varphi }+1 \\ Donc : \Phi = \frac{1}{\varphi } = \varphi -1 \simeq 1,618033989... - 1 = 0,618033989...

L’inverse de   \varphi est noté   \phi et il représente la partie décimale de   \varphi .

Construction d’un rectangle d’or :

• Tracer un triangle ABC rectangle en A dont les côtés de l’angle droit mesurent 1 et 1/2
• Puis on reporte la longueur de l’hypoténuse sur la demi droite [AC) tel que BC = CD
• Grâce au théorème de Pythagore : BC = \frac{\sqrt{5}}{2}
• AD = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} =\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

A partir d’un rectangle d’or on peut construire la spirale d’or qui ressemble à la spirale de Fibonacci.

La spirale d’or croissante :

Soit LN = 1 et JL = \varphi tel que : \frac{JL}{LN} =\frac{\varphi }{1} = \varphi
En rajoutant le carré GNOI de côté \varphi on obtient encore un rectangle d’or GLJI de largeur JL = \varphi et de longueur GL = \varphi + 1 = \varphi ²  tel que : \frac{GL}{JL} =\frac{\varphi^{2} }{\varphi } = \varphi et ainsi de suite.

La spirale d’or croissante :

En partant d’un rectangle d’or de longueur a+b et de largeur a, on construit un grand carré de côté la largeur a du rectangle.

On réitère l’opération dans le rectangle restant qui est un rectangle d’or … et ainsi de suite, … Puis, on construit des quarts de cercle dans les carrés. 

En partant du carré :

1°/ Tracer un carré ABCD de 8 cm de côté.
2°/ Construire le milieu M de [AB].
3°/ Construire le cercle (C1) de centre M et de rayon MC. Il coupe la demi-droite [MB) en E.
4°/ Tracer le carré BEFG. Le point G appartenant au segment [BC] et le point E n’appartenant pas à [AB].
5°/ Tracer le carré FHKL tel que HF = CG. Le point L appartenant au segment [GF] et le point H n’appartenant pas à [FE].
6°/ Tracer le carré CKJI tel que CK = GL. Le point I appartenant au segment [CG] et le point K n’appartenant pas à [DC].
7°/ Tracer le carré IONG tel que GN = IG. Le point N appartenant au segment [GL].
8°/ Tracer en rouge et en gras les arcs de cercles, à l’intérieur des carrés, qui vont de D à B, puis de B à F, puis de F à K, de K à I et enfin de I à N.

Vous venez de dessiner la spirale de Fibonacci.

Le nombre plastique, une belle analogie avec le nombre d’or. On remplace les rectangles dans la spirale de Fibonacci par des triangles équilatéraux.

Dans le triangle ACH rectangle en H
Si : \frac{AB}{AC}=\varphi \ alors \ cos\widehat{A} = \frac{AH}{AC}=\frac{AB}{2AC}=\frac{\varphi }{2} \\ \widehat{A} = Acrcos\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right ) = 36^{\circ}\\ Si : \frac{AC}{AB}=\varphi \ alors \ cos\widehat{A}=\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{2AC}=\frac{1}{2\varphi} \\ \widehat{A} = Acrcos\left ( \frac{1}{1+\sqrt{5}} \right )= 72^{\circ}

Il faut prendre 2 triangles d’or AEC et BCD d’angles de bases 36° et un triangles d’or ABD d’angles de bases 72°. On obtient un pentagone d’or :

En fait, tous les pentagones respectent cette propriété est ce sont donc tous des pentagones d’or.

Le nombre d’or et les racines continues : \varphi ^{2}= 1+ \varphi \\donc \ \varphi = \sqrt{1 + \varphi} = \sqrt{1+\sqrt{1 + \varphi}} = \sqrt{1+ \sqrt{1+\sqrt{1 + \varphi}}}

Le nombre d’or et les fractions continues :

En partant d’un carré de côté 1, on juxtapose un autre carré de côté 2, ce qui crée un rectangle de longueur 1+2 = 3 et de largeur 1+1 = 2. Puis on juxtapose un autre carré de côté 3, ce qui crée un rectangle de longueur 2+5 = 5 et de largeur 1+2 = 3. Et ainsi de suite.

Chaque carré présente des côtés qui suivent la suite de Fibonacci.

Le lien avec le nombre d’or passe d’abord par la ressemblance avec le rectangle d’or, puis par le fait que le rapport de 2 nombres consécutifs de la suite se rapproche de plus en plus de \varphi . 

Mais on peut aussi retrouver cette suite en assemblant des triangles d’or et d’argent :
En partant d’un triangle d’or, on lui adjoint un triangle d’argent. On obtient un nouveau triangle d’argent. Puis un ajoute un triangle d’or et on obtient un nouveau triangle d’or. Et ainsi de suite.
Si compte le nombre de triangle, qui sont la somme des précédents, on trouve la suite de Fibonacci.

Et bien sur, si on divise le nombre de triangle d’or par le nombre de triangle d’argent de chaque triangle on se rapproche de de plus en plus de \varphi . 

La formule de Binet permet de déterminer le nième terme U_n de la suite de Fibonacci :

\Huge{ U_{n}=\frac{\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{n}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{n} }{\sqrt{5}}}

Ce qui est extraordinaire avec cette formule, c’est l’on obtient des nombres de Fibonacci, qui sont des nombres entiers, en utilisant le nombre d’or, qui a un développement infini.

Le nombre d’or, (1 + √5)/2, est approximativement égal à 1,618033… Le nombre √5 vaut, quant à lui, environ 2,236068… Et pourtant, en faisant le calcul, la virgule disparaît : toutes leurs décimales « s’emboîtent » impeccablement pour donner un nombre entier.

Par exemple, si l’on cherche le dixième nombre de Fibonacci, on peut le calculer ainsi :

Le Corbusier (1887-1965) : architecte qui à développé toute une théorie autour de l’harmonie du nombre d’or. Il invente en 1945 le Modulor qui sera son modèle étalon pour la construction des habitations et qui remplace le mètre.  Plus adapté que le système métrique, car il est directement lié à la morphologie humaine.
« Modulor » est composé sur « module » et « nombre d’or » car les proportions fixées par le modulor sont directement liées au nombre d’or. Par exemple, le rapport entre la taille (1,83 m) et la hauteur moyenne du nombril (1,13 m) est égal à 1,619, soit le nombre d’or à un millième près. La taille humaine standard d’1,83 mètre est fondée sur l’observation de l’architecture traditionnelle européenne et de l’utilisation des proportions de cette unité pour élaborer l’harmonie d’une architecture.

La phyllotaxie : pour ne pas ce faire de l’ombre les feuilles d’une branche se décalle d’un angle de 137,5°. En effet : 137,5° + 137,5° \varphi = 360°.
80% des plantes respectent cet agencement.

Pyramide du Louvre : construite sur l’esplanade du Louvre à Paris, par l’architecte Ieoh Ming Pei, elle respecte la proportion du nombre d’or si on mesure sa largeur, sa hauteur et ses arêtes. Si pour la pyramide de Kéops on peut avoir des doutes quand à savoir si les constructeurs on sciemment utilisés le nombre d’or, ce n’est pas le cas ici.

Les proportions humaines : la taille d’un homme divisée par la distance du sol au nombril est égal au nombre d’or. La largeur de la bouche divisée par la largeur du nez aussi.

La pyramide de Kéops : en triturant toutes les mesures de la pyramide, on peut retrouver le nombre d’or dans de nombreux rapport. De là à affirmer que c’était voulu par les bâtisseurs …

Astronomie : si l’on divise le nombre de jours (terrestres) que la Terre met pour faire sa révolution (sidérale) autour du soleil, par le nombre de jours (terrestres) que Vénus met pour faire sa révolution (sidérale), on obtient comme résultat : le nombre d’or φ (à 99.53%).
C’est bien sur une coïncidence et il ne faut pas chercher une intervention divine.

La voie lactée a une forme en spirale, peut être celle de Fibonacci.

La bible : la recherche est un peu tirée par les cheveux. Dans l’Apocalypse selon Saint Jean.
Chapitre 13 verset 18 : C’est ici la sagesse ! Que celui qui a de l’intelligence compte le nombre de la bête ; car c’est un nombre l’homme et ce nombre est six cent soixante-six.

Chapitre 21 verset 17 : Il en mesura aussi la muraille, de cent quarante-quatre coudées, mesure d’homme, qui est aussi mesure d’ange.

Sin(666°) = cos(144°) = \frac{-\varphi }{2}    666 étant le nombre de la bête

Rem : 666 = 234 + 432 = 13 x 18 + 3 x 144    234 et 432 sont des nombres miroir, Chapitre 13 verset 18 et 144 la longueur de la muraille.

Le drapeau de l’indépendance du Chili vis-à-vis de l’Espagne signée en 1818. Il est conservé au Musée d’Histoire Nationale de Santiago..

Le drapeau a toujours été conservé dans des musées, sauf pendant une vingtaine d’années. En effet, au début des années 80, il a été « kidnappé » par un commando en signe de protestation contre la dictature d’Augusto Pinochet.

C’est ainsi qu’en 1912 on a choisi de simplifier le modèle. À titre de comparaison, vous pouvez voir en bas le design du drapeau de 1818 (à gauche) et celui du drapeau actuel (à droite). Dans ce dernier, la région bleue n’est qu’un carré sur lequel est centrée une étoile dont le diamètre du cercle circonscrit est la moitié du côté du carré. On aboutit de cette façon à un modèle de rapport longueur / largeur égal à 3:2 (comme celui du drapeau français).

On peut réaliser de très beaux dessins avec le nombre d’or.

Le nombre d’or est mis en œuvre en cercles, servant de rapport mathématique pour générer des designs esthétiquement agréables. Compte tenu de sa prévalence dans la nature, l’apparence naturelle des résultats n’est pas surprenante.

Le Diamant d’Or présente une dissection monomorphe asymptotique du triangle équilatéral. Chaque carreau suit des proportions alignées sur le nombre d’or par rapport au triangle extérieur. Spirale dorée créée à l’aide de triangles équilatéraux.

La spirale de Padovan suit une séquence récursive semblable à la séquence de Fibonacci.

La philosophie du Yin Yang est représentée par le « symbole taichi » ( taijitu ). En fait, le Yin Yang est un concept de dualisme , décrivant comment des forces apparemment opposées ou contraires peuvent en réalité être complémentaires,

Curieusement, dans le symbole du taichi sont cachés le nombre d’or et son inverse.

Démonstration visuelle : si on ajoute le tiers de chaque partie on obtiendra la moitié du rectangle de départ.

Cela signifie que ce triangle est presque un triangle rectangle.