Géogébra

Découper une lunule en 3 parties égales n’est pas une mince affaire. Voici une solution :

1/ Construction de la lunule :

• Tracer un cercle C2 de centre A et de rayon AB = 8 cm
• Sur [AB] placer le point C tel que : AC = 5 cm
• Tracer un cercle C1 de centre C et de rayon CA = 5 cm

La partie de C1 n’appartenant pas à C2 est la lunule.

2/ Découpons cette lunule en 3 parties égales :

• C1 et C2 se coupent en D et en E. Placer D au-dessus de [AB]
• Placer les points F, P et G sur [DE] tel que : DF = FG = GE et DP = PE
• Tracer (FI) et (GK) perpendiculaires à (DE). (FI) coupe la lunule et C1 en I et (GK) les coupent en K.
• Tracer [AI] et [AK] pour découper la lunule en 3 parties égales.

3/ Calcul de l’aire de la lunule :

• Calcul de l’aire du cercle C1 : Aire_{C1}=\pi CD^{2}
• Calcul de l’aire du secteur circulaire (C,D,A) :

360° \Rightarrow  Aire_{C1}=\pi CD^{2}
\widehat{ACD} \Rightarrow Aire_{SC(CDA)}=\frac{\widehat{ACD}\times \pi \times CD^{2}}{360°}

• Calcul de l’aire du triangle ACD : Aire_{ACD}=\frac{AC\times DP}{2}
• Calcul de l’aire du secteur circulaire SC1 de C1 au-dessus de (AD) :

Aire_{SC1}=Aire_{SC(CDA)}-Aire_{ACD}
Aire_{SC1}=\frac{\widehat{ACD}\times \pi \times CD^{2}}{360°}-\frac{AC\times DP}{2}

• Calcul de l’aire du secteur circulaire (A,D,E) :

360° \Rightarrow Aire_{C2}=\pi AD^{2}=64\pi \ u^{2}
\widehat{DAE} \Rightarrow Aire_{SC(ADE)}=\frac{\widehat{DAE}\times \pi \times AD^{2}}{360°}

• Calcul de l’aire de la lunule :

Aire_{lunule}=Aire_{C1}-Aire_{SC(ADE)}-2\times Aire_{SC(CDA)}

Aire_{lunule}=\pi CD^{2}-\frac{\widehat{DAE}\times \pi \times AD^{2}}{360°}-2\times (\frac{\widehat{ACD}\times \pi \times CD^{2}}{360°}-\frac{AC\times DP}{2})

Aire_{lunule}=\pi CD^{2}+AC\times DP-\frac{\widehat{DAE}\times \pi \times AD^{2}-\widehat{ACD}\times \pi \times CD^{2}}{360°}

On a : AB = AD = AE = 8cm

CA = CD = 5 cm

On donne : DP = 4,8 cm : \widehat{ACD}=106,26° et \widehat{DAE}=73,74°