On désigne sous le nom de crible d’Ératosthène une méthode de recherche des nombres premiers plus petits qu’un entier naturel n donné.
Pour ceci, on écrit la liste de tous les nombres jusqu’à n. – On élimine 1. – On souligne 2 et on élimine tous les multiples de 2. – Puis on fait de même avec 3. – On choisit alors le plus petit nombre non souligné et non éliminé ici 5, et on élimine tous ses multiples. – On réitère le procédé jusqu’à la partie entière de la racine de n.
Les nombres non éliminés sont les nombres premiers jusqu’à n.
Les nombres premiers plus petits que 100 sont donc :
Les nombres premiers sont connus depuis l’Antiquité mais en dépit de la fascination qu’ils exercent il n’a pas encore été possible de percer leur mystère, c’est-à-dire de savoir s’il existe ou non, une loi de leur formation.
Euclide démontrait très simplement dans les Eléments (livre IX, 20) que la suite des nombres premiers était illimitée, et donc leur nombre infini.
En 1971, Tuckermann calcula un nombre premier avec 6 002 chiffres : 219937 – 1.
Le plus long nombre premier, comptant plus de 7 millions de chiffres, a été découvert grâce au programme du GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) qui utilise des ordinateurs en réseau pour effectuer les monstrueux calculs nécessaires à la découverte de tels objets mathématiques
B°/ Crible géométrique :
Ci-dessous une parabole et son axe de symétrie horizontal.
Le produit de deux nombres entiers notés sur chaque branche de la courbe, se lit directement à l’intersection du segment vert et de l’axe de la parabole (la ligne droite médiane qui est l’axe de symétrie de la parabole).
En plaçant des points de coordonnées entières sur chaque branche de la parabole et en les reliant systématiquement par des segments coupant l’axe de symétrie, on obtient les produits de ces deux entiers.
Les points (à abscisse entière) de l’axe par lesquels les segments ne passent pas sont donc des nombres premiers (2).
Ainsi nous obtenons un crible géométrique très simple pour trouver les nombres premiers.
Cette idée simple et géniale nous vient des mathématiciens russes Yuri Matiiassevitch et Boris Stechkin.
Cliquez sur crible géométrique.fig pour voie l’animation :
C°/ Les nombres premiers particuliers :
1/ Un nombre premier particulier : 2357223335555577777772357
Il est composé de 2357 puis de deux 2, puis de trois 3, puis de cinq 5, puis de sept 7 et enfin il finit de nouveau par 2357.
2/ Nombres premiers jumeaux : ils sont séparés par 2 unités. Les trois plus petits couples de nombres premiers jumeaux sont (3, 5), (5, 7) et (11, 13).
Le plus grand connu est 2 996 863 034 895 × 221 290 000 ± 1. Les deux nombres possèdent 388 342 chiffres (septembre 2016).
On soupçonne qu’il existe une infinité de ces couples, mais personne n’a pu le prouver à ce jour.
5/ Nombres premiers de Pythagore : Les nombres premiers de la forme 4n + 1, où n est un entier naturel. Par exemple, le nombre premier 5 est de Pythagore.
6/ Nombres premiers de Mersenne: Les nombres premiers de la forme Mp = 2p – 1 où p est alors nécessairement aussi premier.
7/ Nombres premiers de Fermat : Les nombres premiers de la forme Fn = 22n où n est un entier naturel. Petit soucis de définition, seuls les 5 premiers nombres de Fermat sont premiers ….
6/ Nombres premiers de Sophie Germain : Un nombre premier G est un nombre premier de Sophie Germain si 2G + 1 est aussi un nombre premier, appelé nombre premier sûr. Les dix premiers nombres premiers de Sophie Germain sont 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89.
Jusqu’à présent, on ne connait que 5 repunits premiers : 11, (1)19, (1)23, (1)317 (Williams – 1978) et (1)1031. (Williams et Dubner – 1985). Pour tous les autres n inférieurs à 30 000, il n’y a pas de repunits premiers. Après, les calculs deviennent un brin compliqués…
Les repunits probablement premiers sont (1)49 081 (Dubner – 1999), (1)86 453 (Baxter – 2000), (1)109 297 (Dubner – 2007) et (1)270 343 (Voznyy – 2007). Et on s’arrête là, c’est déjà pas mal !
En considérant que 1 est un nombre premier : Nombre à 2 seul chiffres : il n’y a que 11, les autres seront des multiples de 11. Nombre à 3 seul chiffres : 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929. Nombre à 4 seul chiffres : il n’y a pas un seul nombre premier palindrome ! Nombre à 5 seul chiffres : il y en a 93. En fait, on peut facilement voir que tout nombre palindrome de longueur paire est divisible par 11, car il vérifie le critère de divisibilité par 11 !
Pour les curiosités des nombres premiers palindromes, on a : * 1 023 456 987 896 543 201, le plus petit palindrome premier qui contient tous les chiffres de 0 à 9 * 1(0)749997426247(0)749991, ((0)74999, c’est une suite de 74999 zéros) est le plus grand palindrome premier prouvé comme tel ! (Joblin – 2005 – 150 007 décimales) * 1(0)56514661664(0)56511 est un nombre premier triplement palindrome : il est premier, il est palindrome, et son nombre de chiffres, 11311, est également palindrome et premier !
10/ Les nombres premiers raccourcissables : Le nombre 35 768 631 264 6216 567 629 137 est le plus long nombre premier connu qui reste premier si on lui enlève son premier chiffre. Un nombre premier de ce type est appelé « raccourcissable à gauche ». 73939133 et 1979339333 sont « raccourcissable à droite et 11311, 71317, 93739, 1335331, 3315133 et 9375739 sont « raccourcissable à gauche » et à droite !!!
11/ Méchant Premier :
Le nombre premier P contient 6400 chiffres composés de 9 à l’exception d’un seul 8 caché dans le paquet de chiffres :
Découvert le 12 octobre 2024, c’est le plus grand nombre premier connu. Ce nombre a 41 024 320 chiffres… C’est (comme toujours) un nombre premier de Mersenne. Il a fallu près de 6 ans au logiciel GIMPS pour le trouver après le précédent record.
D°/ Visualisation des nombres premiers :
Chaque nombre est décomposé en ses multiples, par exemple :
12 = 3 x 4 boules.
Les nombres premiers sont eux représentés sous forme de cercle.
Mais on peut trouver d’autre façon de ranger les nombres premiers.
L’anecdote raconte qu’en 1963, le mathématicien Stanislaw Marcin Ulam fut contraint d’écouter un exposé très long et très ennuyeux. Il commença alors à écrire les entiers sous forme d’une spirale. Il entoura ensuite les nombres premiers…
Au premier abord, il n’y a rien à voir, mais si on pousse le dessin plus loin, on trouve cette spirale d’Ulam (ou « horloge d’Ulam ») (200×200)
Et si, au lieu de prendre une spirale carrée, on prend une vraie spirale ? Une spirale d’Archimède, par exemple. En s’arrangeant pour que tous les carrés parfait soient alignés, et en mettant le 0 au milieu, on trouve la spirale de Sacks (1994)
Les courbes suivantes sont crées avec Maple et peuvent aussi être obtenues avec une simple calculatrice graphique ou un grapheur en ligne comme Desmos.
x(s) = sin(2s) – 6sin(5s) y(s) = ( cos(4s) )^5 – 1.1cos(s) 0< s<2*Pi – 14 < x < 14 et – 2 < y < 2,5
Papillon
x(s) = (sin(5s))*(cos(s)) y(s) = (sin(5s))*(sin(4s)) 0< s <2*Pi – 2 < x < 2 et – 1,5 < y < 1,5
Cœur : Cardoïde
x(s) = 4(2cos(s)+cos(2s)+1) y(s) = 4(2sin(s)+sin(2s)+1) 0< s <2*Pi – 3 < x < 20 et – 10 < y < 20
Le joli Cœur
Équation de l’œuf x² + y² = 2y
B°/ Équation de Batman :
C°/ Des courbes sinusoïdales :
D°/ Fractales et ensemble de Mandelbrot :
Une figure fractale est un objet mathématique, telle une courbe ou une surface, dont la structure est invariante par changement d’échelle. C’est à dire qu’elle possède la même forme quelque soit le niveau de zoom, et qui se répète à l’infini.
L’ensemble de Mandelbrot est une fractale définie dans le plan complexe.
Zoom : Placer le pointeur sur le coin origine, cliquer puis glisser la souris. On trace en rouge une marquise de sélection. Le relâchement du bouton de la souris lance le tracé de la partie de l’ensemble ainsi sélectionnée. (Il n’est pas possible de faire des zooms successifs). RaZ : Pour revenir aux dimensions initiales avant de pouvoir faire un nouveau zoom. Il est intéressant de zoomer sur de très petites zones au voisinage de la frontière de l’ensemble. On peut ainsi mettre en évidence l’homothétie interne de cet ensemble fractal.En cliquant sur la touche [Ctrl] puis sur un point du graphe, on affiche les coordonnées du pointeur dans le plan complexe.
Cliquer sur l’image pour accéder à une application interactive qui permet de contrôler divers paramètres.
Cliquer sur l’image pour accéder à une application interactive qui permet de contrôler divers paramètres.
E°/ Anarchie :
F°/ Trochoïdes :
Une trochoïde est une courbe obtenue en traçant le mouvement décrit par un point lié à un disque roulant (sans glisser) sur une droite.
Les paramètres : « Diviseur » modifie l’angle de rotation et le paramètre. « Répétition » donne le nombre d’itérations.
Polygones : Polygones réguliers emboîtés A chaque itération, le polygone tourne et voit sa taille diminuer. On pourra comparer avec les courbes de poursuites.Triangles :Triangles isocèles juxtaposés A chaque itération, il tourne et voit sa taille diminuer. Le sens de rotation est inversé quand on passe d’un triangle de base au suivant.Incréments : A chaque pas, on trace un trait de longueur L qui a tourné d’un angle A par rapport au trait précédent. On peut, à chaque itération incrémenter longueur et angle de dL et de dA.Rosaces : Ce sont des courbes dont l’équation en coordonnées polaires est R = cos[(n.\theta) + K] (avec n et K quelconques). En coordonnées rectangulaires on a donc : x=R.[cos(n.\theta) + K].cos\theta \ et \ y = R.[cos(n.\theta) + K].sin\theta Si n n’est pas entier le paramètre « Fermeture » permet de fermer la courbe. Dans « Rinases », on remplace dans la projection de R sur l’axe Ox le cosinus par le sinus correspondant soit : x=R.[sin(n.\theta) + K].cos\theta \ et \ y = R.[cos(n.\theta) + K].sin\theta Trochoïdes : Ce sont des courbes d’équations x = (R_{1}+R_{2})cos\theta - kR_{2}cos(\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{2}}\theta )\\ y = (R_{1}+R_{2})sin\theta - kR_{2}sin(\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{2}}\theta ) Pour R2 positif, on obtient des épitrochoïdes et pour R2 négatif, on obtient des hypotrochoïdes. Pour K = 1 les courbes sont des épicycloïdes et des hypocycloïdes. (Courbes obtenues par la rotation sans glissement d’un cercle sur un autre). En tapant « O » ou « o » dans la case « Cercle ? », on trace le cercle directeur de rayon R1. L’aspect des courbes dépend du rapport R1/R2. Si ce rapport n’est pas rationnel, la courbe n’est pas fermée.Cordes : On considère un cercle de rayon R et on fait varier un angle au centre a de 0 à 360° avec un pas P. On examine l’enveloppe des cordes qui joignent les points d’angle au centre a aux points d’angle au centre N.\alpha (N entier > 1). Pour comprendre le principe, prendre par exemple N = 2 et un pas P de 20°. La suite des a est 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160 …. La suite des cordes est 0, 20-40, 40-80, 80-160, 100-200, 120-240,140-280, 160-320 … Une grand nombre de formes différentes apparaît avec ce système simple.Polygones 2 : On considère la suite des polygones réguliers construits de la manière suivante : Le polygone de degré n + 1 a pour cercle inscrit le cercle exinscrit du polynôme de degré n. Il est facile de voir que les rayons sont liés par la relation Rn+1 = Rn / cos[\pi / (n+1)]. On a fait le choix de placer un sommet de chaque polygone sur un axe horizontal.
G°/ Les épicycloïdes :
Les épicycloïdes sont les courbes créée par un point d’un cercle (C) roulant, sans glisser, sur un cercle de base (C0). il peut y avoir une mutlitude de cercles roulant les uns sur les autres pour fabriquer de très jolies figures.
Fabriquez vous-même une épicycloïdes en dessinant une figure à la sourie sur zone de gauche (la figure doit se refermer sur elle-même) et en observant le résultat sur celle de droite. Il faut prendre conscience que la figure tracée dépend seulement d’équations de cercles.
Voici un autre site qui permet de fabriquer soi-même une épicycloïdes : TRY – épicycloïdes
Les commandes : « nbcercle » permet de déterminer le nombre de cercles (plus il y en a et plus la figure est précise), « scale » détermine la taille des cercles et « speed » la vitesse de rotation et donc la rapidité d’exécution du dessin.
Une rosace de Maurer est une courbe polygonale dont les nœuds sont situés sur une rosace.
Si n est un entier positif, la courbe d’équation r = sin(nθ) en coordonnées polaires est une rosace qui a n pétales si n est pair et 2n pétales si n est impair. Sur la rosace, on définit 361 points [sin(nk), k] avec k = 0, d, 2d, …, 360d (d entier positif). Deux points consécutifs sont reliés par une droite. On obtient en principe 360 traits reliant les 361 points. En fait le nombre de traits est p = 360 / PGCD(360,d) si n est pair ou p = 180 / PGCD(360, d) pour n impair.
Sur un cercle de rayon R un point A se déplace avec une vitesse angulaire constante égale à 1 Les coordonnées de A sont : XA = R.cos(t) et YA = R.sin(t). Sur un cercle concentrique de rayon r < R, un point B se déplace avec une vitesse angulaire constante ω. Les coordonnées de B sont : XB = r.cos(ω.t) et YB = r.sin(ω.t). On fait croître le temps t par pas égaux à Δt et à chaque pas, on trace la droite AB. Si ω est un nombre fractionnaire simple au bout d’un certain temps, on retombe sur une droite déjà tracée. On obtient alors des figures symétriques
I°/ Les Cardoïdes :
Cliquez sur les images pour accéder aux équations sur Desmos.
Lorsque vous regardez à l’intérieur d’une tasse sous la lumière du soleil, vous voyez une cardioïde projetée sur le fond.En effet, la forme créée lorsque des lignes parallèles sont réfléchies à l’intérieur d’un cercle est une cardioïde.
Cardioïde formé à partir de lignes reliant des points sur un cercle dont les positions sont multipliées par 2 et en réduisant modulo 2t.
Non non, on ne va pas dessiner des monstres qui font peur, mais ces courbes ont tout de même de quoi impressionner.
Elles sont apparues au XIXe siècle : Poincaré les a qualifiées de « monstres » et Hermite de « plaies lamentables ». On les appelle plus affectueusement « pathologiques »… Mettons-les pour une fois à l’honneur !
Ce sont des courbes continues que l’on peut tracer sans lever le crayon et qui remplissent l’espace. Elles naissent à partir d’un motif simple que reproduit à l’infinie.
L’une des plus belle et spectaculaire est la courbe de Moore.
Étape n°1 : Prenons un carré que l’on partage en 4 carrés. Relions les centres des 4 petits carrés.
Découpons les 4 petits carrés en 4 plus petits carrés.
Étape n°2 : Relions les centres des 16 tout petits petits carrés.
Étape n°3 : Et ainsi de suite.
Étape n°4 : Elle est pas jolie ma courbe !!!
Étape n°5 :
Étape n°6 : Il devient difficile de distinguer l’intérieur de l’extérieur de la courbe.
Étape n°∞ : A l’étape infinie, la courbe remplie totalement l’espace. Est-ce une courbe en 1 dimension ou une surface en 2 ?
Voici des animations Géogébra interactives.
N°/ e^{i\pi } + 1 = 0 : l’identité de Euler
Leonhard Euler est l’inventeur de la plus belle formule mathématique de tout les temps. Elle regroupe l’arithmétique, la géométrie, l’algèbre et l’analyse, dans une formule très courte et très élégante. Le Graal des Mathématiciens.
Une formule qui regroupe toutes les Mathématiques.
Voici une démonstration de cette formule. Bon courage !!
O°/ Le théorème de Bézout :
Avez-vous déjà cherché l’intersection de plusieurs courbes algébriques ? Parce que Étienne Bézout, lui, il l’a déjà fait, et ce qu’il a découvert est troublant.
Voici une magnifique vidéo d’El JJ qui présente tout ce qui fait le sel de la recherche en mathématiques, le passage d’un énoncé simple, intuitif mais faux à quelque chose de plus rigoureux, forcément plus complexe, mais plus profond.
P°/ Hamid Naderi Yeganeh :
Hamid Naderi Yeganeh est un artiste mathématicien. Il réalise des images à partir de formules mathématiques.
Et voilà une très riche vidéo de Science Etonnante :
Et enfin El JJ qui tente de nous donner le plus grand nombre imaginable :
I°/ Paradoxe de Galilée :
Est-ce que la quantité des nombres entiers est plus grande que celle des nombres pairs ? Il est évident que les nombres entiers sont soit pairs soit impairs, et on en déduit que les nombres entiers sont deux fois plus nombreux que les nombres pairs. Et pourtant, à chaque nombre on peut associer son double, donc on peut conclure que leur quantités A et C sont égales !!!
Conclusion : à l’infini, la notion de « plus grand, plus petit ou égal » n’est pas applicable. La partie d’un ensemble peut être aussi grande que l’ensemble qui le contient.
Un mathématicien Allemand Georg Cantor, définit la notion de bijection des ensembles. Il y a bijection entre deux ensembles quand on peut associer chaque élément d’un ensemble à chaque élément de l’autre. A cet condition, les cardinaux, cad leur quantités, des deux ensembles sont égaux.
Si on compare l’ensemble des nombres pairs avec celui des nombres impairs, il y a bijection entre les deux ensembles. Leurs cardinaux sont bien égaux et c’est logique.
Si on compare l’ensemble des nombres entiers avec celui des nombres pairs, il y a bijection entre les deux ensembles puisqu’il suffit de multiplier par 2 chaque entiers pour trouver un nombre pairs. Leurs cardinaux sont bien égaux et ce qui est moins logique.
Comparons à présent la quantité de nombre réel qu’il y a entre le nombre entier 0 et 1.
Chacun de ces nombres s’écrira avec un zéro et une virgule suivie d’une infinité de décimale ou pas. Disposons-les dans un tableau infini, dont le nombre de ligne représente l’ensemble infini des nombres entiers, et relevons la première décimale du premier nombre, puis la deuxième décimale du deuxième nombre etc., et formons un nombre. Ici 0,430 417 … .
Ajoutons 1 à chaque chiffre du nombre ainsi créé. Ce nouveau nombre sera obligatoirement différent de n’importe quel nombre précédent, car il aura au moins une décimale de différence.
Et on peut ajouter une infinité de nombre et ainsi créer une infinité de nombre différent. Il n’y a pas bijection entre l’ensemble des nombres réels comprit entre 0 et 1.
Autrement dit, l’infinité de nombres réels comprit entre 0 et 1 est plus grand que l’infinité des nombres entiers eux-même.
Il y a plusieurs infinis :
– L’infini dénombrable (que l’on peut compter ou numéroter à l’aide des entiers naturels) qui n’a pas de bornes. Il est noté ( aleph, qui est la 1ére lettre de l’alphabet Hébreu ).
Par exemple, les ensembles des nombres entiers, relatifs ou rationnels, possèdent un nombre infini d’éléments d’ordre o.
– L’infini continu qui a des bornes. Il est noté
Exemple : L’ensemble [ 0 ; 1 ] des nombres compris entre la borne 0 et la borne 1. L’ensemble des Réels est un infini continu.
II°/ Les symboles :
La lemniscate ∞ représente un huit couché ou huit paresseux. Il est à rapprocher du ruban de Möbius et de son parcours infini. Ce symbole était utilisé par les Romains pour représenter 1000, puis un grand nombre. En 1665, John Wallis, professeur à Oxford, il utilisa ce symbole pour désigner l’infini pour la première fois dans » Arithmetica Infinitorum « . Mais, il ne fut généralisé qu’en 1713 grâce à son adoption par Bernoulli.
Autre symbole plus courant : les trois points … . Par exemple, pour définir l’ensemble des nombres entiers : = {0, 1, 2, 3 …}.
La cardinalité (taille) de l’infini est symbolisée par la première lettre de l’alphabet hébreux : Aleph (). C’est Cantor d’origine juive qui a donné ce nom.
1 : permet de voir le solide en transparence. 2 : zoom 3 : M = donne les caractéristiques mathématiques du solide. 4 : F = montre un face du solide. Active 5 et 6. 5 : sélectionne un type de face (lorsqu’il y a plusieurs type de face). 6 : sélectionne une face.
La géométrie Euclidienne est basée sur les axiomes et postulats posés par Euclide dans les Éléments. Un axiome est une proposition non démontrée considérée comme évidente et qui sert de fondement à un raisonnement.
Dans la géométrie non euclidienne on écarte le postulat des parallèles. Ce postulat des parallèles dit que si deux lignes droites sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d’un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté (autrement dit : par un point extérieur à une droite donnée, ne passe qu’une unique droite qui lui est parallèle).
Cela produit des raisonnements et des conclusions assez perturbantes. Voir certains paradoxes ici.
Géométrie Euclidienne
Géométrie non Euclidienne
Si 2 droites sont parallèles elles ne se croiseront jamais.
2 droites parallèles peuvent se croiser. Par exemple les longitudes de la terre.
Dans un triangle la somme des 3 angles fait 180°.
Dans un triangle la somme des 3 angles peut faire plus de 180°.
Prenez un ballon de baudruche ou de foot, et tracer un triangle à sa surface : la somme de ses 3 angles sera supérieure à 180°. Et si la courbure du volume est négative, alors cette somme sera inférieure à 180°.
Il existe deux grandes géométries non Euclidienne :
1°/ La Géométrie hyperbolique :
2°/ La Géométrie elliptique :
Lobatchevski, Klein et Poincaré ont créé des modèles de géométrie dans lesquelles on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point. Il est remarquable que seul le cinquième postulat d’Euclide ait été levé ; les géométries non euclidiennes respectent par ailleurs toutes les autres définitions d’Euclide. En particulier, une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface. Il existe plusieurs modèles de géométrie hyperbolique à deux dimensions : le disque de Poincaré, le demi-plan de Poincaré…
Riemann a introduit un autre modèle de géométrie non euclidienne, la géométrie sphérique (parfois appelée géométrie elliptique sphérique). Dans ce cas, par un point extérieur à une droite, on ne peut mener aucune parallèle (autrement dit, toutes les droites passant par un point extérieur à une droite donnée sont sécantes à cette droite, ou encore toutes les droites de l’espace sont sécantes entre elles).
Le modèle est très simple : les points sont les paires de points antipodes d’une sphère ; les droites sont les grands cercles (c’est-à-dire les cercles ayant le même centre que la sphère). Cette géométrie donne une courbure positive de l’espace (la somme des angles d’un triangle est supérieure à deux droits, ou la somme de deux angles successifs d’un quadrilatère est supérieure à deux droits, ou encore il existe un triangle dont tous les angles sont droits).
Selon le référentiel dans lequel ou se trouve, les droites ne se comportent pas de la même façon :
Sur un plan 2 droites parallèles ne se croisent pas.
Sur une sphère 2 droites parallèles se rejoignent aux pôles.
Sur une hyperbole 2 droites parallèles s’éloignent.
III°/ La cartographie :
1°/ Les cartes de la terre au fil des âges :
Voici quelques cartes caractéristiques. Cliquez sur certaines carte pour l’agrandir.
Anaximandre :
Le philosophe grec Anaximandre (mort vers -546) aurait été le premier à proposer une carte du monde. Elle ne nous est pas parvenue, mais peut être reconstituée grâce à des descriptions ultérieures.
Anaximandre considère le monde comme circulaire, avec la mer Égée pour centre. Il est divisé en trois continents : l’Europe, la Libye (l’Afrique) et l’Asie. L’Europe est séparée de la Libye par la mer Méditerranée et de l’Asie par le Pont-Euxin et le Phase. Le Nil sépare l’Asie de la Libye. Les continents sont entourés par un océan extérieur.
Hécatée de Milet :
Hécatée de Milet (mort vers -480) se serait inspiré d’Anaximandre pour proposer sa propre carte du monde, qui accompagne sa Périégèse (uniquement connue à travers des citations).
Ératosthène :
La carte d’Ératosthène (mort vers -194) incorpore des découvertes faites lors des conquêtes d’Alexandre le Grand et ses successeurs.
Cliquez sur la carte pour l’agrandir.
Pomponius Mela :
Pomponius Mela est le plus ancien géographe romain connu.
Cliquez sur la carte pour l’agrandir.
Ptolémée :
Basée sur la description du monde contenue dans l’ouvrage de Ptolémée Geographia, écrit vers 150 de notre ère.
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Mappa Mundi de Beatus (vers 1050) :
Beatus de Liébana (v. 730 – 798) était moine au monastère Saint-Martin de Liébana, en Espagne. Dans cette mappemonde, on trouve la carte en T, qui sera progressivement abandonnée à partir du XIIe siècle.
Carte d’Al Idrissi (vers 1154) :
Le géographe arabe Al Idrissi a inclus, avec les informations héritées de l’Antiquité classique, les connaissances sur l’Afrique et l’océan Indien que les marchands arabes et les explorateurs avaient glanées depuis. Il réalisa ainsi les cartes les plus précises et les plus complètes de son temps.
Dans cette carte, le nord est en bas, et le sud en haut.
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Mappa Mundi d’Ebstorf (vers 1300) :
Elle mesure 3,6 sur 3 mètres, et contient plus de 2300 données sous forme de textes ou d’images, ce qui en fait la plus grande et la plus complexe des cartes médiévales connues. Elle était composée de 30 feuilles de parchemin cousues ensemble.
Cliquez sur la carte pour l’agrandir.
Mappa Mundi d’Hereford (vers 1300) :
C’est une carte T dans l’O, présentant une manière de perfectionnement du genre. Elle est signée par un certain « Richard de Haldingham ou de Lafford ».
Atlas catalan (1375) :
attribuée à Abraham Cresques, cartographe de l’école majorquine.
L’« atlas » se compose de six feuilles de vélin. Elle s’appuie sur les récits de Marco Polo pour sa partie orientale.
Cliquez sur la carte pour l’agrandir.
La carte Kangnido (1402) :
Réalisée en Corée en 1402, à partir de sources chinoises, par Gim Sa-hyeong Li Mu et Li Hoi . Elle décrit la totalité du monde connu à l’époque par les Coréens : la Corée et le Japon à l’est; la Chine surdimensionnée au centre.
Planisphère de Virga (1411-1415) :
Carte réalisée par Albertin de Virga. Ce planisphère est circulaire.
Carte a été dessiné par Fra Mauro et son assistant Andrea Bianco. La carte représente de manière étonnante l’océan Indien et surtout la partie australe de l’Afrique, à une époque où aucun Européen ne s’y était encore aventuré. Il est plausible que ces renseignements soient parvenus de Chine en Italie par l’intermédiaire de marchands.
Cliquez sur la carte pour l’agrandir.
Carte des mers connues par les Européens vers 1490 :
Seule carte attribuée à Christophe Colomb. Cette carte nous fournit un état des lieux des connaissances géographiques juste avant la découverte des Amériques.
Cliquez sur la carte pour l’agrandir.
Carte nautique des îles nouvellement trouvées dans la région de l’Inde :
Donnée par Alberto Cantino à S. duc Hercule ») appelée le planisphère de Cantino, datée de 1502.
Il est imprimé sur douze planches, le tout faisant 2,32 mètres de long. Le nom « America » se trouve en bas à gauche ; la projection du planisphère est cordiforme (en forme de cœur) ; au-dessus, de part et d’autre d’une mappemonde (représentation des deux hémisphères) se trouvent les portraits de Ptolémée et de Vespucci.
Les parallèles et méridiens dessinent un quadrillage orthogonal. Cette projection cartographique préserve les angles (essentiels pour la navigation) en déformant les surfaces et les distances au fur-et-à-mesure qu’on s’éloigne de l’équateur. L’impression sur papier permit une large diffusion de ces cartes, d’où la monochromie.
Un méridien est une ligne verticale imaginaire, qui relie les deux pôles. La longitude d’un méridien représente la valeur angulaire (de 0° à 180°) d’un point du globe par rapport au méridien de Greenwich, qui est la longitude de référence sur Terre.
Un parallèle est une ligne horizontale imaginaire, qui est parallèle à l’équateur. La latitude d’un parallèle représente la valeur angulaire (de 0° à 90°) d’un point du globe par rapport à l’équateur.
La croix rouge ci-contre a comme coordonnées : 20° Nord et 30° Est.
Cliquer sur la carte pour accéder à un GPS.
Comment mesurer sa latitude sur terre ?
De sa position P il faut viser l’horizon H avec un sextant ainsi que l’étoile polaire E. Cette étoile étant très loin, on peut considérer que (EP) // (HO).
Ainsi : \widehat{EPH} = \widehat{POA} qui nous donne notre latitude.
3°/ Représentations des cartes modernes :
Pour représenter la terre, qui est une boule en 3D, sur une surface plane en 2D, il faut effectuer une projection. Cependant, quand on veut représenter un objet sphérique tridimensionnel sur une surface plane en 2D, on ne peut pas éviter les déformations de certaines régions, qui sont étirées ou aplaties.
Cliquer sur la carte pour accéder à une animation des cartes de la terre les plus célèbres.
En 1859, Nicolas Auguste Tissot, un géographe français, inventa une méthode qui permet de visualiser les déformations des cartes suivant leur modèle. Avec l’outil ci-dessous, déplacez la souris sur la carte. Plus on s’écarte de l’équateur et plus le cercle s’étire ainsi que les pays.
Encore plus fort, avec ce site vous choisissez votre pays et vous pouvez alors comparer sa taille avec le reste du monde.
Voici différentes projections, qui ont toutes des avantages et des inconvénients :
Projections équidistantes : si les distances sont conservées.
Projections équivalentes : si elles préservent les surfaces.
Projections Conforme : si elles conservent les angles donc les formes.
La carte la plus réaliste date de 1999 et elle est l’œuvre de Hajime Narukawa, un architecte japonais. Il a remporté plusieurs prix et sa carte est en passe d’être considérée comme la plus fidèle. Ce n’est évidemment pas parfait mais c’est ce qui s’en approche le plus pour le moment. En fait, il a repris la projection de Fuller (de 1946).
Carte de Hajime Narukawa.
Projection de Fuller.
Certaines sont très originales :
Une carte de Hao Xiaoguang, centrée sur la chine. Remarquez la place des USA et surtout sa taille.
La carte de Spilhaus :C’est la carte de la terre vue par un poisson où les océans sont mis en avant.
En 1942, l’océanographe et géophysicien Athelstan Frederick Spilhausd’origine sud-africaine, réalise une carte fascinante. Les régions marines sont représentées au centre du monde. Une immense mer intérieure (un peu plus de 70% de la surface de la Terre) apparait sous nos yeux. Rappelons tout de même que l’Océan mondial génère plus de 60% des services écosystémiques qui nous permettent de vivre, à commencer par la production de la majeure partie de l’oxygène que nous respirons.
Cette carte est ainsi toute symbolique de l’importance des mers. Afin de réaliser celle-ci l’auteur utilise les principes des deux projections suivantes. La projection de Ernst Hammer et celle d’August Heinrich Petermann (co-auteur avec Hermann Berghaus et Carl Vogel de l’Atlas Stieler). Le résultat est une projection interrompue dans laquelle les océans forment une unité. C’est à la fois génial et totalement déroutant. La déformation est telle que le continent américain et asiatique sont complétement écartelés. L’Europe, l’Afrique et l’Asie du Sud-Est conservent en revanche une forme cohérente. Cette projection est rarement utilisée et c’est bien dommage !
La France redessiné par le TGV :
Regardons la France autrement. A quoi ressemblerait-elle si on la dessinait non plus en respectant les distances kilométriques, mais en tenant compte du temps qu’il faut en TGV pour relier Paris aux métropoles régionales?
Le résultat, vous l’avez sous les yeux. Le nord du pays se trouve ramassé, tandis que le sud, plus « lent », s’étale sur une large surface.
C’est le principe des cartes, dites « isochrone ».
– Les projections interrompues :Il faut bien décider où découper le globe pour fabriquer la carte plane. Ces interruptions se produisent souvent dans des zones de moindre intérêt, par ex.océans pour une carte terrestre. Plus classiquement le long d’un méridien.
– Cartes papillons :La manière la plus courante de disposer un octaèdre de huitièmes triangles équilatéraux est connue sous le nom de «carte papillon».
– Projections rétroazimutales :Une projection rétroazimutale montre le véritable azimut du centre à partir de tous les autres points. Les cartes sont interactives.
La question est originale, car tout le monde sait que L’Everest culmine à 8 849 m et que c’est le plus haut sommet sur la terre.
Oui, mais en prenant comme référence le niveau de la mer, ce qui est tout à fait commun. Cependant, en prenant le centre de la terre comme référentiel, L’Everest est détrôné par le Chimborazo qui est un volcan d’Équateur. En effet la Terre n’est pas tout à fait ronde. Elle est légèrement aplatie aux pôles et gonflée au niveau de l’équateur.
Par rapport au niveau de la mer
Par rapport au centre de la terre
Everest
8 849 m
6 382,6 m
Chimborazo
6 236 m
6 384,4 m
Le fleuve Mississippi, aux États-Unis, possède une étrange propriété. Sa source, située dans le Parc Itasca du Minnesota, est plus proche de 5 km du centre de notre planète que son embouchure dans le golfe du Mexique. Le fleuve américain semble couler vers le haut ! Mais ce n’est qu’une illusion et si on se réfère au niveau de la mer, les choses reviennent dans l’ordre : le Mississippi prend sa source à 450 mètres d’altitude pour la terminer à 0 mètre. L’eau du fleuve coule bien vers le bas, mais en se dirigeant vers le sud, elle se rapproche de l’équateur gonflé et s’éloigne donc du centre.
Voici un extrait du petit prince de Saint-Exupéry (1951).
Les hommes occupent très peu de place sur la terre. Si les deux milliards d’habitants qui peuplent la terre se tenaient debout et un peu serrés, comme pour un meeting, ils logeraient aisément sur une place publique de vingt milles de long sur vingt milles de large. On pourrait entasser l’humanité sur le moindre petit îlot du pacifique.
Les grandes personnes, bien sûr, ne vous croiront pas. Elles s’imaginent tenir beaucoup de place. Elles se voient importantes comme des baobabs. Vous leur conseillerez que donc de faire le calcul. Elles adorent les chiffres : ça leur plaira. Mais ne perdez pas de temps à ce pensum. C’est inutile. Vous avez confiance en moi.
Les mathématiciens aiment bien Saint-Exupéry, mais le résultat d’un calcul n’est pas une question de confiance, tout le monde peut se tromper. Vérifions le calcul de Saint-Exupéry, sachant que le mille romain vaut 1 482 m ( le mille Anglo-Saxons valant 1 609,3 m) :
Considérons que l’on peut faire tenir quatre hommes sur un mètre carré.
Largeur
du carré L
1 m
10 m
1 mille
=1 482 m
20 milles = 29 640 m
22 360.67 m
= 15 milles
43,9 km
Surface
1 m²
100 m²
1 mille² =
2 196 324 m²
400 milles² = 878 529 600 m² = 878,5296 km²
=5 × 108 m²
\frac{7,7\times 10^{9}}{4}
= 1,925 x 109 m²= 1 925 km²
Personnes P
4 hommes
400 hommes
8 785 296 hommes
3 514 118 400 hommes
2 milliards hommes
7,7 milliards hommes en 2021
A titre de comparaison, le Territoire de Belfort a une superficie de 609 km², les PO de 4 116 km², les Pyrénées-Atlantiques de 7712 km² et la Corse de 8722 km².
Si on préfère 1 personne par m², cela fera 7,7 x 109 m² = 7 700 km²
Formule générale pour avoir la largeur du carré : L =
Reprenons la question précédente, mais en parlant de volume cette fois.
Considérons qu’un individu peut se glisser dans un parallélépipède rectangle de volume :
1,70 m × 0,40 m × 0,15 m soit 0,102 m3,
Donc dans un mètre cube on peut caser 10,2 hommes, c’est à dire pratiquement dix hommes (ou dix femmes).
Dans un cube de un kilomètre de côté, on pourrait donc caser, serrés comme des sardines en boîte, 10 milliards d’êtres humains.
1 km × 1km × 1km = 1 km3 = 1000 m × 1000 m × 1000 m = 109 m3
B°/ La multiplication des baisers :
Un baiser abrège la vie humaine de 3 minutes, affirme le Département de Psychologie du Western State College, Gunnison (Colorado). En effet, le baiser provoque de telles palpitations, que le cœur travaille en 4 secondes plus qu’en 3 minutes. Les statistiques prouvent que 480 baisers raccourcissent la vie d’un jour, que 3 360 baisers vous privent d’une semaine et que 175 320 baisers, c’est tout simplement une année de perdue.
Poème de Paul Morand ( USA 1927 )
24 h = 24 × 60 min = 1 440 min → 1440 / 3 = 480 baisers
Il était une fois en Inde, un roi nommé Belkib (ou Bathait) qui s’ennuiait à la cour. Il demande qu’on lui invente un jeu pour le distraire. Le sage Sissa invente alors le Chaturanga, l’ancêtre du jeu d’échecs, ce qui ravit le roi. Pour le récompenser il lui demande :
« Comment veux-tu être récompensé ? » « Donne-moi un grain de riz pour la première case de mon échiquier, répondit Sissa, deux grains pour la deuxième case, quatre grains pour la troisième case, huit pour la quatrième case, le double encore pour la cinquième, et ainsi de suite : double ma récompense pour chaque case, jusqu’à la 64ème. Ma récompense sera le nombre de grains de la 64ème case. » « Accordé ! », dit Charma.
Imprudente promesse ! Le savant mathématicien attaché à la Cour eut tôt fait de démontrer à l’empereur que jamais la terre ne pourrait produire assez de riz pour qu’il tienne son engagement.
Le calcul du nombre de grains de riz sur la dernière case de l’échiquier est assez facile à obtenir en utilisant les puissances.
Il y a donc environ 263 = 9 × 1018 grains de riz sur la dernière case de l’échiquier, soit un nombre écrit avec un 9 suivis de 18 zéros : C’est-à-dire 9 milliards de milliards de grains de riz.
En 1997 la production mondiale de riz était de 573,2 millions de tonnes.
Sachant qu’un grain de riz pèse à peu près 10 mg ( cad 10-5 kg), les 9 milliards de milliards de grains de riz représentent : 9,2 × 1018 × 10-5 = 9,2 × 1013 kg = 9,2 × 1010 tonnes cad 92 milliards de tonnes, ce qui représente 160 fois la production de 1997 !!!
D°/ La propagation des rumeurs :
Dans un petit village du sud de la France, le premier jour de l’année, trois personnes découvrent un terrible secret. Ne pouvant garder ce secret pour eux seul, le lendemain chacune des trois personnes le dévoilent à trois autres. Le lendemain les 9 personnes qui connaissent maintenant ce terrible secret, l’annoncent elles aussi à trois autres personnes, et ainsi de suite les jours suivants.
La question est de savoir au bout de combien de temps les 500 personnes du village seront au courant ou alors de savoir combien de personnes connaîtront le secret au bout d’un mois de 31 jours.
Le nombre de personne P connaissant le secret, en fonction du nombre de jour J, est donné par la formule :
P = 3J→ Ln P = J × Ln 3 → J =
P = 500 personnes → J = = 5,657 jours
J = 31 jours → P = 331 = 6,18 × 1014 personnes = 617 673 milliards de personnes
Pour que les 6 milliards d’êtres humains de la terre entière soient prévenus, il faudra :
P = 6 × 109 personnes →
E°/ Calcul d’intérêts :
Le calcul des intérêts peut donner le vertige suivant la méthode utilisée pour gérer ses intérêts. Deux solutions s’offrent à nous, soit l’on récupère chaque année les intérêts produits par le capital placé, soit on les laisse et les intérêts qui s’ajoutent donc au capital de départ et génèrent eux aussi leurs propres intérêts.
Soit P le placement de départ, à un intérêt I % par an, et durant une période A années. Soit S la somme finale obtenue ( capital et intérêts ).
1 kg d’or vaut 10 000 € et la terre a une masse de 5,96 × 1024 kg
Notons que si la mise de départ avait été de 10 euro, toutes les sommes finales seraient multipliées par 10, et pour un intérêt I de 3,5% sur 2002 ans, on arriverait à une masse d’or égale à 136,5 fois la Terre.
Voici un Géogébra qui permet de faire différent calculs :
F°/ Les très grands nombres :
Dans les années 40, Edward Kasner (USA) publie un livre « Mathematics and the Imagination » dans lequel apparaît le mot Googol (Gogol en Français). Ce mot ne serait pas inventé par Kasner mais il l’aurait repris de son neveu âgé à l’époque de 9 ans.
Il serait impossible, dans le système décimal, d’écrire ce nombre sur du papier car il contient plus de chiffres qu’il y a d’atomes dans l’univers visible que l’on évalue à 1082.
L’inverse du gogolplex, nombre positif extrêmement petit, est appelé gogolminex. C’est ce nombre Googol qui est à l’origine du nom du moteur de recherche Google.
Le Gogol est un 1 suivi de 100 zéros. Mais existe aussi le Gogolplex qui est un 1 suivi de Gogol zéros.
Gogol = 10100
Gogolplex = = = .
Mais bien sur ce n’est pas suffisant. En 1976, un mathématicien américain, Donald Knuth, a inventé une autre forme de calcul pour pouvoir écrire de plus grand nombre : la notation des puissances itérées de Knuth.
Les 50 facteurs de 100! sont supérieurs ou égaux à 100, donc :
100! > Gogol
Il existe des nombres particuliers : le nombre de Shannon (10120), c’est à dire, le nombre théorique possible de parties d’échec ou l’asaṃkhyeya (10140).
Bien entendu, on peut se demander ce que l’on pourrait bien compter avec de si grand nombre dans la vie de tous les jours ? Et bien, pourquoi pas de l’argent. Allez voir cette page très instructive.
G°/ Des puissances bien ordonnées :
Voici un classement un peu particulier des puissances de 2. Leurs valeurs décimales sont classées en fonction des premiers chiffres du nombre.
Les premiers chiffres sont 1, puis tous les 10, puis tous les 11 puis tous les 12 …. Cela donne un classement très visuel où les puissances sont rangées par 10 sous la forme d’un sapin de noël.
Rang
Puissance de 2
Valeur
0
2^0
1
1
2^10
1 024
2
2^20
1 048 576
3
2^30
1 073 741 824
4
2^40
1 099 511 627 776
5
2^50
1 125 899 906 842 620
6
2^60
1 152 921 504 606 850 000
7
2^70
1 180 591 620 717 410 000 000
8
2^80
1 208 925 819 614 630 000 000 000
9
2^90
1 237 940 039 285 380 000 000 000 000
10
2^7
128
11
2^17
131 072
12
2^27
134 217 728
13
2^37
137 438 953 472
14
2^47
140 737 488 355 328
15
2^57
144 115 188 075 856 000
16
2^67
147 573 952 589 676 000 000
17
2^77
151 115 727 451 829 000 000 000
18
2^87
154 742 504 910 673 000 000 000 000
19
2^97
158 456 325 028 529 000 000 000 000 000
20
2^4
16
21
2^14
16 384
22
2^24
16 777 216
23
2^34
17 179 869 184
24
2^44
17 592 186 044 416
25
2^54
18 014 398 509 482 000
26
2^64
18 446 744 073 709 600 000
27
2^74
18 889 465 931 478 600 000 000
28
2^84
19 342 813 113 834 100 000 000 000
29
2^94
19 807 040 628 566 100 000 000 000 000
30
2^1
2
31
2^11
2 048
32
2^21
2 097 152
33
2^31
2 147 483 648
34
2^41
2 199 023 255 552
35
2^51
2 251 799 813 685 250
36
2^61
2 305 843 009 213 690 000
37
2^71
2 361 183 241 434 820 000 000
38
2^81
2 417 851 639 229 260 000 000 000
39
2^91
2 475 880 078 570 760 000 000 000 000
40
2^8
256
41
2^18
262 144
42
2^28
268 435 456
43
2^38
274 877 906 944
44
2^48
281 474 976 710 656
45
2^58
288 230 376 151 712 000
46
2^68
295 147 905 179 353 000 000
47
2^78
302 231 454 903 657 000 000 000
48
2^88
309 485 009 821 345 000 000 000 000
49
2^98
316 912 650 057 057 000 000 000 000 000
50
2^5
32
51
2^15
32 768
52
2^25
33 554 432
53
2^35
34 359 738 368
54
2^45
35 184 372 088 832
55
2^55
36 028 797 018 964 000
56
2^65
36 893 488 147 419 100 000
57
2^75
37 778 931 862 957 200 000 000
58
2^85
38 685 626 227 668 100 000 000 000
59
2^95
39 614 081 257 132 200 000 000 000 000
60
2^2
4
61
2^12
4 096
62
2^22
4 194 304
63
2^32
4 294 967 296
64
2^42
4 398 046 511 104
65
2^52
4 503 599 627 370 500
66
2^62
4 611 686 018 427 390 000
67
2^72
4 722 366 482 869 650 000 000
68
2^82
4 835 703 278 458 520 000 000 000
69
2^92
4 951 760 157 141 520 000 000 000 000
70
2^9
512
71
2^19
524 288
72
2^29
536 870 912
73
2^39
549 755 813 888
74
2^49
562 949 953 421 312
75
2^59
576 460 752 303 423 000
76
2^69
590 295 810 358 706 000 000
77
2^79
604 462 909 807 315 000 000 000
78
2^89
618 970 019 642 690 000 000 000 000
79
2^99
633 825 300 114 115 000 000 000 000 000
80
2^6
64
81
2^16
65 536
82
2^26
67 108 864
83
2^36
68 719 476 736
84
2^46
70 368 744 177 664
85
2^56
72 057 594 037 927 900
86
2^66
73 786 976 294 838 200 000
87
2^76
75 557 863 725 914 300 000 000
88
2^86
77 371 252 455 336 300 000 000 000
89
2^96
79 228 162 514 264 300 000 000 000 000
90
2^3
8
91
2^13
8 192
92
2^23
8 388 608
93
2^33
8 589 934 592
94
2^43
8 796 093 022 208
95
2^53
9 007 199 254 740 990
96
2^63
9 223 372 036 854 780 000
97
2^73
9 444 732 965 739 290 000 000
98
2^83
9 671 406 556 917 030 000 000 000
99
2^93
9 903 520 314 283 040 000 000 000 000
H°/ 1k + 2k + 3k+ … +nk et les nombres de Bernoulli mais aussi le tout premier programme informatique :
En 1843, Ada Lovelace fabrique ce qui est considéré comme le tout premier programme informatique au temps où les ordinateurs n’existaient pas, sur la machine analytique de Charles Babbage de 1834 qui étaient une machine à calculer.
Pour cela son programme calcule les nombres de Bernoulli que l’on trouve dans les sommes des n premiers entiers à la puissance k.
Voici les formules des sommes des n premiers entiers à la puissance k.
Donc la suite des n premiers entiers = S_{1} = \frac{n\times (n + 1))}{2}= \frac{1}{2}(n^{2}+n)
2°/ La somme des carrés : 12 + 22 + 33+ 42 + 52 = 55
Pour cela positionnons les nombres au carré dans un triangle comme ci-dessous. En effet il y a un 1 sur la 1ière ligne, puis deux 2 sur la 2ième, trois 3 sur la 3ième et ainsi de suite.
La somme de chaque case du triangle = 1×1 + 2×2 + 3×3 + 4×4 + 5×5 = 12 + 22 + 33+ 42 + 52
L’astuce pour déterminer une formule générale et d’additionner 3 de ces triangles.
En effet la somme de chaque case située à la même position dans chaque triangle donnera 11 car, comme l’indique les flèches bleues, quand on passe d’une case à celle en-dessous : – dans le 1ier triangle, on ajoute 1. – dans le 1ier triangle, on ne change rien. – dans le 1ier triangle, on soustrait 1.
La somme de chaque case située à la même position est donc toujours la même. Dans le cas général elle sera égale à : 1 + n + n = 2n + 1
Ainsi : S_{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}= \frac{1}{4}(n^{4}+2n^{3}+n^{2}+0n^{1})
4°/ Et dans le cas général ?
Avoir une formule pour déterminer chaque somme sans avoir a calculer ses membres est déjà superbe, mais n’avoir qu’une seule formule pour les calculer toutes serait digne du seigneur des anneaux !!
1\\{\color{Red} \textbf{1}}\hspace{2mm}1\\ {\color{Red} \textbf{1}}\hspace{2mm}{\color{Blue} \textbf{2}}\hspace{3mm}1\\ {\color{Red} \textbf{1}}\hspace{2mm}{\color{Blue} \textbf{3}}\hspace{3mm}{\color{Magenta} \textbf{3}}\hspace{4mm}1\\ {\color{Red} \textbf{1}}\hspace{2mm}{\color{Blue} \textbf{4}}\hspace{3mm}{\color{Magenta} \textbf{6}}\hspace{4mm}{\color{Green} \textbf{4}}\hspace{3mm}1\\ {\color{Red} \textbf{1}}\hspace{2mm}{\color{Blue} \textbf{5}}\hspace{2mm}{\color{Magenta} \textbf{10}}\hspace{2mm}{\color{Green} \textbf{10}}\hspace{2mm}{\color{Teal} \textbf{5}}\hspace{4mm}1\\ {\color{Red} \textbf{1}}\hspace{2mm}{\color{Blue} \textbf{6}}\hspace{2mm}{\color{Magenta} \textbf{15}}\hspace{2mm}{\color{Green} \textbf{20}}\hspace{2mm}{\color{Teal} \textbf{15}}\hspace{2mm}{\color{Yellow} \textbf{6}}\hspace{4mm}1\\{\color{Red} \textbf{1}}\hspace{2mm}{\color{Blue} \textbf{7}}\hspace{2mm}{\color{Magenta} \textbf{21}}\hspace{2mm}{\color{Green} \textbf{35}}\hspace{2mm}{\color{Teal} \textbf{35}}\hspace{2mm}{\color{Yellow} \textbf{21}}\hspace{2mm}{\color{Blue} \textbf{7}}\hspace{2mm}1\\ Le triangle de Pascal où un nombre est la somme des 2 qui sont au-dessus.
Les formules des sommes des puissances des nombres entiers consécutifs combinent à la fois les nombres du triangle de Pascal et les nombres de Bernoulli.
Par cette méthode , si on connait un nombre de Bernoulli on peut déterminer le suivant. Calculons le 6ième B6.
La somme des carrés : S_{2}=1^{2}+...+n^{2}= \frac{1}{3}(n^{3}+\frac{3}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n) = \frac{1}{3}(1B_{0}\times n^{3}+3B_{1}\times n^{2}+3B_{2}\times n)
On en déduit l’écriture des puissances de 6 : S_{6}=1^{6}+...+n^{6}= \frac{1}{7}(1B_{0}\times n^{7}+7B_{1}\times n^{6}+21B_{2}\times n^{5}+35B_{3}\times n^{4}+35B_{4}\times n^{3}+21B_{5}\times n^{2}+7B_{6}\times n^{1})
Ces formules rappellent étrangement les coefficients binomiaux des égalités remarques.
1
(a + b) 0 = 1
11
(a + b) 1 = 1a + 1b
121
(a + b) 2 = 1a² +2ab + 1b²
13 3 1
(a + b) 3 = 1a3 + 3a²b + 3ab² + 1b3 = 1a3b0 + 3a²b + 3ab² + 1a0b3
1464 1
(a + b) 4 = 1a4 + 4a3b + 6a²b² + 4ab3 + 1b4
1 510 1051
(a + b) 5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b² + 10a²b3 + 5ab4 + 1b5
161520 15 61
(a + b) 6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b² + 20a3b3 + 15a²b4 + 6ab5 + 1b6
Donc par exemple : (a + b) 3 = 1a3b0 + 3a²b + 3ab² + 1a0b3
Si on remplace a par un nombre de Bernoulli B et b par un nombre n : (n + B) 3 = 1n3B0 + 3n²B1 + 3nB2 + 1n0 = n3B0 + 3n²B1 + 3nB2 + B3
On arrive ici dans la rubrique bidouille, ou les régles d’algèbre classique sont un peu misent à mal : – bidouille n°1 : Imaginons que B² soit égal au nombre de Bernoulli B2. Alors, des mathématiciens se sont penchés sur ce problème et de là est sortie le Calcul Ombral. . (n + B) 3 = n3B0 + 3n²B1 + 3nB2 + B3 – bidouille n°2 : Dans le triangle de Pascal on n’utilise pas les 1 à la fin de chaque ligne, donc il faut faire passer le dernier membre B3 de l’autre coté de l’équation. . (n + B) 3 – B3 = n3B0 + 3n²B1 + 3nB2 – bidouille n°3 : Il y a toujours devant les formules une fraction \frac{1}{n+1} pour les puissances de n. Rappel : S_{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}= \frac{1}{3}(n^{3}+\frac{3}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n)=\frac{1}{3}(B_{0}n^{3}+3B_{1}\times n^{2}+3B_{2}\times n)\\ Donc : n^{3}B_{0}+3n^{2}B_{1}+3nB_{2} = 3S_{2}= (n + B)^{3}-B_{3}\\ Ainsi : S_{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}= \frac{(n + B)^{3}-B_{3}}{3}
Plus généralement : S_{k-1}=1^{k-1}+2^{k-1}+3^{k-1}+...+n^{k-1}= \frac{(n + B)^{k}-B_{k}}{k}
Où BK sera le nombre de Bernoulli Bk.
Vérification : 12 + 22 + 33+ 42 + 52 = 55 où : k = 3 et n = 5
Bien entendue cette sublime formule ne prend tous sont sens que si n est trés grand car effectuer 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+150^{2} revient à calculer 150 carrés, alors qu’avec la formule : 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+150^{2}= \frac{(150 + B)^{3}-B_{3}}{3}=\frac{(3375000+3\times 22500B+3\times 150B^{2}+B^{3})-B^{3}}{3}\\ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+150^{2}= \frac{(3375000+67500\times \frac{1}{2}+450\times \frac{1}{6}+0)-0}{3}=\frac{3408825}{3}=1136275
En 1843, sur la machine à calculer de Charles Babbage, Ada Lovelace fabrique ce qui est considéré comme le tout premier programme informatique au temps où les ordinateurs n’existaient pas. En utilisant des fiches perforées à la manière d’un orgue de barbarie, cette machine était capable d’effectuer des calculs élémentaires mais aussi et surtout des boucles de calcul à l’instar de nos ordinateurs. Ada Lovelace pu ainsi calculer les nombres de Bernoulli à partir du nombre B3.
I°/ Les Cent mille milliards de poèmes :
En 1961, Raymond Queneau a écrit un ouvrage contenant 1014 de poèmes ….
A raison d’une minute par poème, il faudrait : \frac{10^{14} \ poemes \times 1 \ min}{365 \ jours \times 24 \ heures \times 60 \ min}=190 \ 258 \ 751 années.
Comment alors écrire un tel livre ?
Raymond Queneau a tout simplement écrit un sonnet de 14 vers de 2 quatrains et de 2 tercets (2×4 + 2×3 = 14 vers). Cependant il a fabriqué un livre comportant 10 versions de chaque vers. Ainsi en combinant chacune des 10 versions de ses 14 vers il a obtenue 10^{14} poèmes.
Voici un outil permettant de créer des poèmes à partir du recueil de Raymond Queneau. Il suffit de passer la souris sur les vers pour les modifier.
J°/ Ordre de grandeur :
3,1 x 10-11 = atome d’hydrogéne 1025 < taille en métre de l’univers connu. 1080 < nombre d’atomes de l’univers connu.
Il y a 43 252 003 274 489 856 000 positions possibles au Rubik’s cube.
Voici une animation qui permet de visualiser des objets de 10-35 à 1027 : Scale of Universe.
Et une autre vidéo impréssionnante qui zoome de l’infinimant petit vers l’infinimant grand.
Tentez d’évaluer les ordres de grandeurs suivantes dans ce petit programme Scatch :
Déformation du latin decem et du grec ancien δέκα, signifiant tous deux « dix » (pour symboliser 1/100010).
Certaines puissances ont droit à leur petit nom : le carré pour x2 ou le cube pour x3. Mais le plus amusant est le zenzizenzizenzic qui est la puissance huitième d’un nombre. Ce terme est tombé en désuétude.
En utilisant des notations mathématiques, il est également possible d’écrire ce nombre 10606 − 1.
L°/ Les épidémies :
La dernière épidémie de COVID nous a rappelé l’importance des Mathématiques pour modéliser les maladies.
Le R0 (prononcez « R zéro ») est le nombre de reproduction de base. Il indique le nombre moyen de nouveaux cas d’une maladie, qu’une seule personne infectée et contagieuse va générer en moyenne dans une population sans aucune immunité que l’on appelle personnes susceptibles. R0 = 2 signifie que une personne infectée va infecter en moyenne 2 nouvelles personnes, qui elles-mêmes vont infecter 2 autres personnes. La contamination est donc exponentielle, et on doit réduire ce R0 par du confimenement ou des vaccins.
Le R0 dépend principalement de trois facteurs :
la durée de la contagiosité après infection ;
la probabilité d’une infection après un contact entre une personne infectée et une personne susceptible ;
la fréquence des contacts humains.
Plus ces trois facteurs sont élevés, plus le R0 sera important. Si celui-ci reste inférieur à 1, l’agent pathogène infectera moins d’une personne en moyenne par cas, et finira par disparaître. En revanche, si le R0 est supérieur à 1, cela signifie que le pathogène réussira à infecter davantage d’hôtes, provoquant une épidémie.
Pour les puissances de 10.
M°/ Notation ancienne :
Il s’agit d’un ensemble de symboles développés pour les puissances premières par le mathématicien italien Francesco Ghaligai en 1521 . Ceux-ci ont été utilisés là où nous utiliserions aujourd’hui une variable nommée et une puissance.
Définition d’un nombre rationnel : Nombre qui peut s’exprimer sous la forme du quotient de deux nombres entiers a et b où b est non nul. Il peut avoir un nombre infini de décimales, mais il comporte toujours un motif périodique qui se répète à l’infini et que l’on signale avec une barre au-dessus..
exemples : 1/3 = {a= 0,333 \overline{3} \ ...}
Définition d’un nombre décimal : Quotient de deux nombres entiers dont l’écriture, en notation décimale, comporte une suite finie de chiffres à la droite de la virgule. C’est un rationnel ayant un nombre fini de décimales.
exemples : 66/25 = 2,64
Définition d’un nombre irrationnel : Nombre qui ne peut pas s’exprimer sous la forme du quotient de deux nombres entiers a et b où b est non nul.
exemples : π ou √2.
Lorsque l’on a un nombre rationnel il peut être compliqué de trouver sa forme fractionnaire.
Soit : {a= 0,42 \ \overline{42} \ ...} Alors : 100 × a = 42,4242424242… = 42 + a ↔ 99a = 42 { \Leftrightarrow a = \frac{42}{99} = 0,42424242424242…}
Soit : {b = 0,335 \ \overline{335} \ ...} Alors : 1 000 × b = 335,335335335335335…= 335 + b ↔ 999 × b = 335 {\color{Red} \Leftrightarrow b = \frac{335}{999} = 0,335335335335..}
Soit : {d = 0, 1764705882352941\ \overline{1764705882352941} \ ...}{\color{Red} \Leftrightarrow d = \frac{3}{17} = 0,1764705882352941 ...} le motif périodique est de 16 chiffres.
Soit : {e = 0,120 \ 456 \ \overline{456} \ ...}{\color{Red} \Leftrightarrow e = \frac{5 014}{41 625} = 0,120 456 456 456 ...} le motif périodique apparait après 3 chiffres.
De façon générale : si {x = k,abc \ \overline{abc} \ ...} alors {\color{Red} \Leftrightarrow x = \frac{999k + abc}{999}}
Il y a des cas surpenants :
Soit : {f = 0,9999 \ \overline{9} \ ...} Alors : 100 × f = 0,999999999999… = 99 + f ↔ 99f = 99 ↔ f = 99/ 99 = 1
Mais est-ce que 0,999999999999… = 1 ? et bien oui !!! Même si on aimerais dire que la limite de 0,999999999999… tend vers 1 mais pas plus.
En effet :
– 1ière démonstration : 0,999999999999… = 3 x 0,333333… = 3 x 1/3 = 1
– 2ième : démonstration : 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1 or 1/3 + 2/3 = 0,333333… + 0,666666… = 0,9999999…
– 3ième : démonstration : soit x = 0,9999… ↔ 10x = 9,9999… ↔ 10x − x = 9,9999… − x ↔ 9x = 9,9999… − 0,9999 donc : x = 9 et donc x = 1.
– 4ième : démonstration : soi 0,9999… = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ⋯ = \displaystyle \lim_{n \to +\infty }\sum_{i=1}^{n}\frac{9}{10^{i}}= \displaystyle \lim_{n \to +\infty }0,9\times \frac{1-(\frac{1}{10})^{n}}{1-\frac{1}{10}}=0,9\times\frac{1}{0,9}=1
Attention cependant, cette méthode est loin d’être correcte et elle ne fonctionne que pour certain cas.
Soit : {g = 0,1789\ \overline{1789} \ ...} Alors : 1 000 × g = 1 789,1789178917891789…= 1 789 + g ↔ 999 × d = 1 789 ↔ g = 1789 / 999 = 1.790790…….
Les critères de divisibilités permettent de savoir si un nombre est divisible par un autre.
Pour la compréhension de la suite nous rappellerons que tout nombre A peut s’écrire : A = 10d + u (avec : d = nombre de dizaines et u = chiffre des unités)
Attention : Ne pas confondre chiffre et nombre !!!!
Exemple : 1587 = 158 × 10 + 7 Dans 1587 il y a 158 dizaines et le chiffre des unité est 7. Donc d = 158 et u = 7.
Divisibilité par
Critères pour A = 10d + u avec : d = nombre de dizaines et u = chiffre des unités
2
A pair, c’est à dire : u = 0, 2, 4, 6 ou 8
3
La somme des chiffre de A est un multiple de 3.
4
Le nombre composé par les 2 derniers chiffres du nombre est multiple de 4.
5
u = 0 ou 5
7
d – 2u est divisible par 7
8
Le nombre formé par les 3 derniers chiffres de A est aussi un multiple de 8.
9
La somme des chiffre de A est un multiple de 9.
10
u = 0
11
1/ d – u est divisible par 11
2/ La différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11.
13
d + 4u est divisible par 13
17
d – 5u est divisible par 17
19
d + 2u est divisible par 19 (2 est le nombre de dizaine de 19 plus 1)
21
d – 2u est divisible par 21 (2 est le nombre de dizaine de 21)
23
d + 7u est divisible par 23
29
d + 3u est divisible par 29 (3 est le nombre de dizaine de 29 plus 1)
31
d – 3u est divisible par 31 (3 est le nombre de dizaine de 31)
59
d + 6u est divisible par 59 (6 est le nombre de dizaine de 59 plus 1)
Les critères sont rangés par utilité pratique et non par ordre croissant.
Un nombre est pair, c’est-à-dire divisible par 2, si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Démonstration : soit A = 10d+ u
10d est toujours multiple de 2 puisque 10 est lui même un multiple de 2. A est multiple de 2 si et seulement si u est multiple de 2, c’est dire que le chiffre des unités u est pair.
A = 10d + U = 10d + 2k = 2(5d + k)
B°/ Divisibilité par 5 :
Un nombre est divisible par 5, si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Démonstration : soit A = 10d + u
10d est toujours multiple de 5 puisque 10 est lui même un multiple de 5. A est multiple de 5 si et seulement si u est multiple de 5, c’est dire que le chiffre des unités u est multiple de 5.
A = 10d + U = 10d + 5k = 5(2d + k)
C°/ Divisibilité par 3 :
Un nombre est divisible par 3, si et seulement si la somme des chiffres du nombre est multiple de 3.
Démonstration : En Si A = 10d + u est un multiple de 3 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 3 × 3k = 9k avec k un nombre entier.
Calculons : A – 9d = 9k – 9d = 9( k – d ) Donc A – 9d sera aussi un multiple de 3
De plus : A – 9d = 10d + u – 9d = d + u
Donc : A – 9d = d + u = 9( k – d ) Donc A est un multiple de 3, si et seulement si d + u est aussi un multiple de 3.
Exemple : 4275 → 427 + 5 = 432 → 43 + 2 = 45 → 4 + 5 = 9 → 4275 et 9 sont multiples de 3
Plus simplement : A = u + 10b + 100c + 1000m …
Si A est un multiple de 3 alors A – 9b – 99c – 999m – … = u + b + c + m + … l’est aussi.
4275 → 4 + 2 + 7 + 5 = 18
D°/ Divisibilité par 10 :
Un nombre est divisible par 5, si et seulement si son chiffre des unités est 0.
Démonstration : soit A = 10d + u
10d est toujours multiple 10. A est multiple de 10 si et seulement si u est multiple de 10, c’est dire que le chiffre des unités u est multiple de 10.
A = 10d + U = 10d + 10k = 10(d + k)
E°/ Divisibilité par 4 :
Un nombre est divisible par 4, si et seulement si le nombre composé par les 2 derniers chiffres du nombre est multiple de 4.
Démonstration : soit A = 100c + 10d + u
Avec: c = Nombre de centaine
d = Chiffre des dizaines
u = Chiffre des unités
100c est toujours multiple de 4 puisqu’il se termine par 2 zéros.
A est multiple de 4 si et seulement si (10d +u) est multiple de 4, c’est dire que le nombre composé par les 2 derniers chiffres du nombre est multiple de 4.
Exemple : 112 557 484 = 112 557 400 + 84 = 4 × 28 139 350 + 4 × 21 = 4(28 139 350 + 21) donc 112 557 484 est bien divisible par 4, et 84 = 4 ×21.
F°/ Divisibilité par 9 :
Il faut que la somme des chiffres du nombre soit multiple de 9.
Démonstration : Même démonstration que pour 3.
En Si A = 10d + u est un multiple de 9 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 9k avec k un nombre entier.
Calculons : A – 9d = 9k – 9d = 9( k – d ) Donc A – 9d sera aussi un multiple de 9
De plus : A – 9d = 10d + u – 9d = d + u
Donc : A – 9d = d + u = 9( k – d ) Donc A est un multiple de , si et seulement si d + u est aussi un multiple de 9.
Exemple : 4275 → 427 + 5 = 432 → 43 + 2 = 45 → 4 + 5 = 9 → 4275 et 9 sont multiples de 3
Plus simplement : A = u + 10b + 100c + 1000m …
Si A est un multiple de 3 alors A – 9b – 99c – 999m – … = u + b + c + m + … l’est aussi.
4275 → 4 + 2 + 7 + 5 = 18
G°/ Divisibilité par 7 :
A est multiple de 7 si et seulement si le nombre constitué par le nombre de départ auquel on a enlevé le dernier chiffre moins 2 fois l’unité, est multiple de 7.
Oui ce n’est pas simple. Traduisons en langage Mathématiques. Soit A = 10d + u il est divisible par 7 si et seulement si d – 2u est multiple de 7.
Démonstration : Si A = 100c + 10d + u est un multiple de 7 alors il peut s’écrire : A = 100c + 10d + u = 7k avec k un nombre entier.
Calculons : A = 100c + 10d + u = 100c + 10d – 20u + 21u = 10(10c + d – 2u) + 21u
21u est toujours multiple de 7 puisque 21 est lui même un multiple de 7.
A est multiple de 7 si et seulement si (10c + d – 2u) est multiple de 7 car 10 ne peut pas l’être, c’est dire que le nombre constitué par le nombre de départ auquel on a enlevé le dernier chiffre moins 2 fois l’unité, est multiple de 7.
Exemple : 3192 → 319 – 2 × 2 = 315 → 31 – 5 × 2 = 21 → 2 – 1 × 2 = 0 → 0 et 3192 sont multiples de 7
H°/ Divisibilité par 8 :
Un nombre A est un multiple de 8, si et seulement si le nombre formé par les 3 derniers chiffres de A est aussi un multiple de 8.
Démonstration : Même démonstration que pour 4.
I°/ Divisibilité par 11 :
1/ Un nombre A est un multiple de 11, si et seulement si d – u est aussi un multiple de 11.
Démonstration : Si A = 10d + u est un multiple de 11 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 11k avec k un nombre entier.
Donc 11d – A sera aussi un multiple de 11 car : 11d – A = 11d – 11k = 11( d – k )
De plus : 11d – A = 11d – (10d + u ) = 11d – 10d – u = d – u
Donc A est un multiple de 11, si et seulement si d – u est aussi un multiple de 11.
Un nombre A est un multiple de 13, si et seulement si d – 9u est aussi un multiple de 13 ou que d + 4u est aussi un multiple de 13.
Pour voir si un nombre est divisible par 13, il suffit de répéter cette transformation jusqu’à obtenir un résultat strictement inférieur à 52 (= 4 × 13). Le nombre de départ est divisible par 13 si et seulement si le résultat final est 13, 26 ou 39.
Exemples :
312 est divisible par 13 car 31 + 4 × 2 = 39.
1 664 est divisible par 13 car 166 + 4 × 4 = 182 et 18 + 4 × 2 = 26.
Démonstration :
1ére méthode :
Si A = 10d + u est un multiple de 13 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 13k avec k un nombre entier.
Donc 7d × 13 – 9A sera aussi un multiple de 7 car : 7d × 13 – 9A = 7d × 13 – 9 × 13k = 13( 7d – 9k )
De plus : 7d × 13 – 9A = 7d × 13 – 9(10d + u) = 91d – 90d – 9u = d – 9u
Donc A est un multiple de 13, si et seulement si d – 9u est aussi un multiple de 13.
Exemple : 1313 → 131 – 9 × 3 = 104 → 10 – 9 × 4 = – 26 → 26 et 1313 sont multiples de 13
2éme méthode :
Si A = 10d + u est un multiple de 13 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 13k avec k un nombre entier.
Donc 4A – 13d × 3 sera aussi un multiple de 7 car : 4A – 13d × 3 = 4 × 13k – 13d × 3 = 13( 4k – 3d )
De plus : 4A – 13d × 3 = 4(10d + u) – 13d × 3 = 40d + 4u – 39d = d + 4u
Donc A est un multiple de 13, si et seulement si d + 4u est aussi un multiple de 13.
Exemple : 1313 →131 + 4 × 3 = 143 → 14 + 4 × 3 = 26 → 26 et 1313 sont multiples de 13
K°/ Divisibilité par 19 et tous les nombres de la forme 10k + 9 :
Un nombre A est un multiple de 19, si et seulement si d + 2u est aussi un multiple de 19.
Démonstration : Si A = 10d + u est un multiple de 19 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 19k avec k un nombre entier.
Donc 2A – 19d sera aussi un multiple de 19 car : 2A – 19d = 2× 19k – 19d = 19( 2k – d )
De plus : 2A – 19d = 2(10d + u) – 19d = 20d + 2u – 19d = d + 2u
Donc A est un multiple de 19, si et seulement si d + 2u est aussi un multiple de 19.
Plus généralement, pour les nombres de la forme 10k + 9 il existe une formule générique :
Soit un nombre N = 10k + 9 avec k \in \mathbb{N}
Soit A \in \mathbb{N} et u son chiffre des unités
A est divisible par N \Leftrightarrow \frac{A-u}{10}+(k+1)u = 19n avec n\in \mathbb{N}
Démonstration:
Comme N = 10k + 9 et 10 sont premiers entre eux, si A est divisible par N alors 10A l’est aussi.
Si 10A est divisible par N \Leftrightarrow A – u + 10(k+1)u est divisible par N
. \Leftrightarrow A – u + 10ku + 10u est divisible par N
. \Leftrightarrow A + 10ku + 9u est divisible par N
. \Leftrightarrow A + (10k + 9)u est divisible par N
. \Leftrightarrow A + Nu est divisible par N
Or Nu est divisible par N, donc A le sera aussi.
L°/ Cas général : Divisibilité par des nombres premiers dont le chiffre des unités est 1, 3, 7 ou 9
1°/ La fonction modulo :
Tout d’abord un petit rappel sur la fonction modulo.
Dans l’ensemble \mathbb{Z} des nombres entiers, la fonction Modulo est la fonction mathématique donnant le reste r de la division d’une variable A par un nombre donné N.
On dit que « A est congru à r modulo N ».
On note : A ≡ r (mod. N) ≡ r[N] et on pourra écrire que : A = kN + r (k étant un nombre entier quelconque)
Par exemple : 67 ≡ 7 (mod. 60) car 67/60 donne 1 et il reste 7 (67 = 60×1 + 7)
Si on veut vérifier que A est divisible par N il faudra que le reste de la division Euclidienne soit zéro. On notera : A ≡ 0 (mod. N)
2°/ Critère de divisibilité par des nombres premiers se terminant 7 :
Soit A = 10d + u
Remarquons que : 50 = 7×7 + 1 donc : 50 ≡ 1[7] et que donc en multipliant par d : 50d ≡ d[7] cad 50d = 7k + d
50d est congru à 1 modulo 7
Supposons que : 10d + u ≡ 0[7] donc que (10d + u) est congru à 0 modulo 7, c’est à dire que A est divisible par 7.
Multiplions par 5 : 50d + 5u ≡ 0[7] si on multiplie par 5 c’est parce que 10×5 = 50 = 7×7 + 1 il nous faut ce +1.
Remplaçons 50d : 7k + d + 5u ≡ 0[7]
Éliminons 7k qui est multiple de 7 : d + 5u ≡ 0[7]
Donc, le nombre A = 10d + u est divisible par 7 si et seulement si d + 5u ≡ 0[7], c’est à dire que d + 5u est divisible par 7.
Il existe une autre formule : A = 10d + u est divisible par 7 si et seulement si d – 2u ≡ 0[7], c’est à dire que d – 2u est divisible par 7.
Exemple :
Avec d + 5u ≡ 0[7] : A = 3682 → 368 + 5×2 = 378 → 37 + 5×8 = 77 = 7×11 donc 77 et 3682 sont multiples de 7.
Avec d – 2u ≡ 0[7] : A = 3682 → 368 – 2×2 = 364 → 36 – 2×4 = 28 = 7×4 donc 28 et 3682 sont multiples de 7.
3°/ Critère de divisibilité par des nombres premiers se terminant par 1, 3, 7 ou 9 :
Cas général : A = 10d + u soit divisible par N c’est à dire : A = 10d + u ≡ 0[N]
Multiplions par x : 10dx + ux ≡ 0[N] Ce que l’on veut c’est que : 10dx ≡ d[N] cad 10x ≡ 1[N] ou encore 10x = kN + 1
Remplaçons : (kN + 1) d + ux ≡ 0[N]
kNd + d + ux ≡ 0[N]
Éliminons kNd qui est multiple de N : d + ux ≡ 0[N]
Le but final est donc de résoudre l’équation : 10x ≡ 1[N] avec : Critère de divisibilité par N
. Ou encore : 10x = kN + 1 k = un entier relatif quelconque
. x = le nombre à trouver
Exemple :
Le but final est donc de trouver par quel nombre k il faudra multiplier le diviseur N pour obtenir, soit un entier positif dont l’unité sera un 9, soit un entier négatif dont l’unité sera un 1. En additionnant 1 on obtiendra un multiple de 10 qui pourra être négatif.
Divisibilité par N
Multiple de 10 ± 1
10 = kN + 1
k
x
Formule d + ux
7
49
50 = 49 + 1
10x5 = 7x7 + 1
7
5
d + 5u
7
-21
-20 = -21 + 1
10x(-2) = -3x7 + 1
-3
-2
d – 2u
11
-11
-10 = -11 + 1
10x(-1) = -1x11 + 1
-1
-1
d – 1u
13
39
40 = 39 + 1
10x4= 3x13 + 1
3
4
d + 4u
17
-51
-50 = -51 + 1
10x(-5) = -3x17 + 1
-3
-5
d – 5u
19
19
20 = 19 + 1
10x2 = 1x19 + 1
1
2
d + 2u
21
-21
-20 = -21 + 1
10x(-2)= -1x21 + 1
-1
-2
d – 2u
23
69
70 = 69 + 1
10x7= 3x23 + 1
3
7
d + 7u
27
-81
-80 = -81 + 1
10x(-8) = -3x27 + 1
-3
-8
d – 8u
29
29
30 = 29 + 1
10x3 = 1x29 + 1
1
3
d + 3u
Retrouvez les formules en utilisant l’application ci-dessous. Vous devez entrer le nombre N qui sera le critère de divisibilité et trouver le multiple de 10 ± 1 proche de N. Ce dernier peu être négatif.
Comme amuse-gueule, voici une vidéo très originale qui nous présente toutes sorte de nombre et de concept mathématique : pour avoir des explications Animation vs. Math
A°/ Nombres particuliers :
Vous pensez bien connaître les mathématiques… Alors, le saviez-vous :
Si vous prenez un nombre n composé de k chiffres et que vous le divisez par un nombre composé de k chiffres 9, la partie décimale du nombre obtenu est une répétition de n.
Voici maintenant la suite de Fibonacci dans les décimales.
B°/ Un peu de calcul mental : Utilisons 4 fois le même chiffre
En utilisant 4 fois le même chiffre, des parenthèses et les 4 opérations, comment écrire les nombres proposés (les nombres non proposés sont impossibles).
C°/ 666 un nombre maléfique et le nombre de Belphégor :
Les numérologues considèrent que le nombre 666 est maléfique, aussi le remplacent-ils par de jolies combinaisons.
Ainsi : 666 = 6 + 6 + 6 + 633+ 633 + 633.
C’est aussi la somme des sept premiers nombres premiers au carré : 666 = 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17².
C’est un nombre triangulaire : 666 = 1 + 2 + 3 + … + 36
C’est par ailleurs un nombre palindromique c’est à dire qu’il peut se lire de droite à gauche ou de gauche à droite.
Mais le 13 est aussi un nombre maléfique, notamment pour la religion chrétienne. Alors les mathématiciens ce sont amusés à créer le nombre de Belphégor qui est constitué du nombre 666 précédé de 13 zéros et suivit de 13 zéros, avec un 1 au début et à la fin : 1 000 000 000 000 066 600 000 000 000 001. Ce nombre est un palindrome et aussi un nombre premier, sa notation est le nombre \pi écrit à l’envers.
Si l’on translittère la forme grecque Καίσαρ Νέρων du nom de l’empereur Caesar-Neron en hébreu קסר נרון suivant la guématria, la valeur numérique de l’addition de l’ensemble des lettres donne 666 dans un nombre qui, par opposition au chiffre 7 qui symbolise la perfection, symbolise l’imperfection suprême; si on translittère la forme latine « Caesar-Nero » en l’hébreu קסר נרו cela donne 616.
Les ennemis du pape ce sont aussi prêtés à ce petit jeux des nombres. Le pape est le vicaire de dieu ce qui donne en latin : VICarIVs fILII DeI en ne prenant que les lettre traduisibles en nombre = 5 + 1 + 100 + 1 + 5 + 1 + 50 + 1 + 1 + 500 + 1 = 666
Hitler aussi peut donner 666 si on considère que le A = 100; B = 101; C = 103. En effet : H = 107 + I = 108 + T = 119 + L = 111 + E = 104 + R = 117 = 666
Dans la bible : bien entendu le nombre de la bête est présent dans la bible car la bête représente le diable. Dans les Évangiles selon St Jean : les disciples pêchent et sortent 153 poissons. Plaçons les chiffres 1, 5 et 3 dans un triangle équilatéral noir dans le sens des aiguilles d’une montre, et dans un autre triangle équilatéral bleu dans le sens inverse. On obtient l’étoile de David. Si on additionne les nombres composés par 3 chiffres dans un sens et dans l’autre, on trouve 666 à chaque fois !!!
Petite remarque assez troublante : si on prend les 3 chiffres du haut de l’étoile, c’est à dire 355, et que l’on divise par ceux du bas, c’est à dire 113, et bien on obtient une approximation du nombre \pi à 6 décimales près … \frac{355}{113} = 3,14159292 \approx \pi
Puis je vis monter de la terre une autre bête, qui avait deux cornes semblables à celles d’un agneau, et qui parlait comme un dragon. […] Que celui qui a de l’intelligence calcule le nombre de la bête. Car c’est un nombre d’homme, et son nombre est six cent soixante-six.
D°/ Somme des n premiers nombres entiers impairs = n² :
De façon générale la somme des n premiers nombres impairs est n². En effet la suite arithmétique des n premier nombre impair donne :
Exemple. La somme des 4 premiers nombres impairs avec n=3 est le carré de 4, soit 16 : 1 + 3 + 5 + 7 = (3+1)² = 16
E°/ Somme des n premiers carrés = n (n+1) (2n+1) / 6 :
Commençons par les 4 premiers carrés : 12 + 22 + 32 + 42 = ( 4 x 5 x 9 ) / 6 = 30
Pour cela constituons un pyramidal en empilant quatre étages de forme carrés. Nous avons un carré de 1 case, puis un carré de 2² = 4 cases, puis de 3² = 9 cases et enfin de 4² = 16 cases.
Maintenant, comme dans un puzzle 3D, agençons six pyramidaux pour reconstituer un parallélépipède rectangle de dimensions 4, 5 et (2 x 4 + 1 =) 9. Nous obtenons alors : 12 + 22 + 32 + 42 = ( 4 x 5 x 9 ) / 6 = 30 cubes.
De même agençons six pyramidaux constitués de carrés de 1 à 5² cases. Nous obtenons un parallélépipède de dimensions 5, 6 et (2 x 5 + 1 =) 11.
Somme des carrés des 5 premiers entiers Somme des carrés des 6 premiers entiers
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = ( 5 x 6 x 11 ) / 6 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62= ( 6 x 7 x 13 ) / 6
Le procédé se généralise avec un pyramidal obtenu en empilant des carrés de 1 à n² cases. Six pyramidaux réunis permettent de construire un parallélépipède de dimensions n, n+1 et 2n+1.
Le grand cube dont les côtés mesurent (a + b) a un volume de (a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)³ Il est composé : .du cubed’arête a et de volume a³, .des 3 parallélépipèdesrectangles de côtés a, a et b de volumes ba² chacun, .des 3 parallélépipèdes rectangles de côtés a, b et b de volumes ab² chacun, .du cubed’arête b et de volume b³.Donc (a+b)³= a³ + 3ba²+ 3ab² + b³Par le calcul, nous avons bien : (a+b)3 = (a + b)2 (a + b) (a+b)3 =(a2 + 2ab + b2 )(a + b) (a+b)3 = a3 + 2a2b + b2a + a2b + 2ab2 + b3 (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
G°/ Théorème de Nicomaque : la somme des n premiers cubes = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + n )2
En effet, si l’on décompose correctement le cube de chaque entier, nous pouvons retrouver facilement la somme des cubes de différents entiers.
Découvrons d’emblée les résultats sur l’animation ci-dessous : le volume de chaque cube est égal à l’aire d’une zone colorée dans le même ton.
Voyons maintenant pourquoi l’aire de chaque zone colorée correspond bien au volume d’un cube. Nous connaissons la somme des entiers naturels de 1 à n avec la formule :
Nous en déduisons que pour chaque valeur de l’entier n :
Au final, on obtient un carré de côté (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + n ) et donc de surface (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + n )².
H°/ Les nombres Phénix :
Le bestiaire des nombres recèlent de bien curieux phénomènes…
Très curieux sont en effet les nombres phénix, qui comme leur nom l’indique peuvent renaître de leurs cendres!! Comment ?
En voici un exemple : le nombre 052 631 578 947 368 421 (à vos souhaits) est un de ces nombres si étranges.
Vous pouvez essayer de le multiplier par tout nombre entier compris entre 2 et 18, vous ne retrouverez bien sûr pas notre nombre de départ, mais les chiffres du résultat se suivent exactement dans le même ordre, à un décalage près !!!
exemple : si on le multiplie par deux, on obtient 1 052 631 578 947 368 42. le dernier 1 du nombre de départ s’est retrouvé en tête du nombre d’arrivée !! Pour le moins étonnant !!
Mais celui-ci vous réserve une autre surprise: multipliez-le donc par 19 pour comprendre à quel point ce nombre est « magique »…… :
Les Mathématiciens adorent jouer avec les nombres et adorent encore plus les classer. Voici quelques nombres au titre poétique ou amusant comme nombres amicaux, parfaits ou de poulet.
Nombre entier positif dont le 1er chiffre indique le nombre de 0 contenus dans ce nombre, le 2e le nombre de 1, le 3e le nombre de 2 et ainsi de suite jusqu’au 10e qui doit indiquer le nombre de 9 dans ce nombre.
1210 est le plus petit d’entre eux (1 chiffre 0, 2 chiffres 1, 1 chiffre 2 et 0 chiffre 3).
Entier naturel tel que si on calcule la somme des carrés de ses chiffres puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1.
Entier naturel tel que si on calcule la somme des carrés de ses chiffres puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, il boucle sur le cycle long
Nombre qui peut être exprimé comme la somme de deux cubes, de plusieurs façons différentes (en l’occurrence, 2).
Godfrey Harold Hardy, mathématicien britannique de la première moitié du XXe siècle, rapporte l’anecdote suivante, concernant le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan :« Je me souviens que j’allais le voir une fois, alors qu’il était malade, à Putney. J’avais pris un taxi portant le numéro 1729 et je remarquai que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j’espérais que ce ne fût pas mauvais signe. — Non, me répondit-il, c’est un nombre très intéressant : c’est le plus petit nombre décomposable en somme de deux cubes de deux manières différentes. »
En arithmétique, un test de primalité courant pour un nombre impair n consiste à tester si n divise 2n – 2 : dans le cas contraire, en vertu de la contraposée du petit théorème de Fermat, on conclut que n n’est pas premier. Cependant il existe des nombres composés qui passent ce test avec succès : on les appelle nombres de Poulet, en l’honneur de Paul Poulet qui en a listé en 1926, ou nombres de Sarrus, car F. Sarrus découvrit certains de ces nombres (comme 341) en 18191.
Un nombre composé n est donc un nombre de Poulet si n divise 2n – 2, autrement dit si c’est un nombre faiblement pseudo-premier en base 2.
Un supernombre de Poulet est un nombre composé dont tous les diviseurs composés sont des nombres de Poulet (ces diviseurs sont alors aussi des supernombres de Poulet), ou encore : un nombre composé dont chaque diviseur d divise 2d – 2.
Nombre réel dans les décimales duquel on peut trouver n’importe quelle succession de chiffres de longueur finie.
Vous pouvez ainsi vérifier sur cette page, si votre date de naissance ou votre numéro de téléphone est présent dans les décimales de . En fait on peut tout trouver dans les décimales de , à partir du moment ou on le transforme en suite de nombre. Par exemple une photo est une succession de pixel codés par un nombre représentant sa couleur, vous pouvez donc trouver n’importe quelle photo. Si on remplace les lettres par leur rang dans l’alphabet, on peut trouver n’importe quel texte dans les décimales de pi (Maths sera codé par M = 13, a = 1, t = 20, h = 8, s = 13 et 13120813 ce retrouve au rang 29247731) !!!!
Même si ce n’est pas encore démontré, le nombre est considéré comme un nombre univers.
C’est un nombre qui peut s’écrire sous la forme de une ou plusieurs sommes de deux ou plusieurs nombres consécutifs. Le degré de politesse indique combine de fois un nombre est sommes de nombres consécutifs.
Le nombre 15 est un nombre 3-polis, c’est à dire qu’il peut se décomposer en somme d’entiers consécutifs 3 fois. 15 = 1+2+3+4+5 = 4+5+6 = 7+8
Un entier est dit k-rugueux s’il n’est divisible par aucun nombre premier inférieur à k.
14 n’est pas 5-rugueux, car il est divisible par 2, un nombre premier inférieur à 5. 49 est 5-rugueux, car il n’est divisible ni par 2 ni par 3 (les nombres premiers inférieurs à 5).
Si on ajoute un nombre entier et sont renversé (le même nombre écrit à l’envers), on obtient un nombre palindrome. Les nombres de Lychrel ne respectent pas cette propriété, mais on ne sait pas démontrer qu’ils existent.
143 + 341 = 484 nombre palindrome
196 est le plus petit candidats à la liste des nombres de Lychrel.
Les nombres auto-biographiques ou auto-descriptifs
C’est un entier naturel dont le premier chiffre indique le nombre de 0 qu’il contient, le deuxième chiffre le nombre de 1, etc., en respectant l’ordre numérique.
En 1970 le mathématicien John McCarthy, a proposée une fonction de calcul très simple mais avec un résultat assez surprenant.
Prenez un nombre entier inférieur ou égal à 101. Si ce nombre est plus grand à 100, enlever-lui 10, sinon ajouter 11. Puis recommencer jusqu’à indéfiniment. Vous tomberez obligatoirement sur le nombre 91 ….
En langage Mathématique cela donne :
f(n) = \left\{\begin{matrix}n-10 & si \ n > 100 \\ f(f(n+11)) & sinon\end{matrix}\right.
98 x 99 – (609 + 6969 + 111) = (111 + 6969 + 609) – 66 x 86 : on obtient 2013.
– Une autre bizarrerie : prenez n’importe quel nombre, inversez ses chiffres et ajoutez-le au nombre d’origine. Répétez ce processus et vous finirez par obtenir un palindrome.
196 est le plus petit nombre pour lequel un palindrome n’a pas été trouvé par ce processus itératif.
13 + 31 = 44
127 + 721 = 848
486 + 684 = 1170 puis 1170 + 0711 = 1881
196 + 691 = 887 puis 887 + 788 = 1975 puis 1675 + 5761 = 7436 ….
L°/ Une jolie démonstration :
Tout nombre au carré peut s’écrire sous la forme de l’addition de deux nombres triangulaires.
Pour rappel un nombre triangulaire de rang n noté tn, est la somme de tous les nombres de 1 jusqu’à n. On peut les représenter sous la forme d’un triangle de base n, d’où leur nom.
La démonstration est plutôt ardus, bien que tout à fait correcte.
Mais en modélisant le problème par un schémas, la solution est tout de suite plus évidente et même très simple.
Commençons par représenter un carré comme 25 = 5², puis découpons le par une diagonale comme sur la figure ci-contre. Le triangle supérieur est un nombre triangulaire d’ordre 5 et le triangle inférieur d’ordre n-1.
Ainsi : n² = tn + tn-1
M°/ Le nombre d’or :
Un nombre mystérieux et magique dont on parle depuis la plus haute antiquité dans de nombreux domaines tels que la géométrie, l’architecture, la peinture, la nature, … Il caractérise l’harmonie et l’esthétique dans les arts, bien que certains lui reproche son caractère ésotérique.
On le désigne par la lettre grecque \varphi ( phi ) en hommage au sculpteur grec Phidias (490 – 430 avant J.C) qui décora le Parthénon à Athènes.
Le prince Matila Ghyka en 1932, diplomate et ingénieur, est le premier à parler de « nombre d’or ».
2°/ Sa définition : le nombre d’or est la solution positive de l’équation : x² – x – 1 = 0 et sa valeur est : \varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618033... . Concrètement cela veut dire que si on le multiplie par lui-même on le retrouve additionné de 1 : \varphi ^{2}= \varphi+1
Peut-on trouver 2 segments alignés a et b tel que le rapport du plus grand sur le plus petit soit égal au rapport de la somme sur le plus grand ?
Géométriquement, si on prend un segment de longueur a, qu’on le multiplie par \varphi puis encore par \varphi , le grand segment est la somme des 2 petits.
C’est cette propriété qui rend les longueurs harmonieuses.
Autrement dit, 2 segments seront dans la proportion du nombre d’or si le rapport du grand sur le moyen est égal au rapport du moyen sur le petit.
\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow \frac{1+\varphi }{\varphi}=\frac{\varphi }{1}\Rightarrow 1+\varphi =\varphi ^{2}\Rightarrow \varphi ^{2}-\varphi -1 = 0 \\
\Delta = b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\times 1\times (-1) = 5 \\
\varphi_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0 \ impossible \ c'est \ une \ longueur \\
\varphi_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>0 \ c'est \ la \ valaur \ de \ \varphi
L’inverse de \varphi est noté \phi et il représente la partie décimale de \varphi .
3°/ Le rectangle d’or : de largeur une unité et de longueur \varphi . Ces proportions sont esthétiquement parfaites et on le retrouve dans de nombreux bâtiments.
Construction d’un rectangle d’or :
Tracer un triangle ABC rectangle en A dont les côtés de l’angle droit mesurent 1 et 1/2
Puis on reporte la longueur de l’hypoténuse sur la demi droite [AC) tel que BC = CD
Grâce au théorème de Pythagore : BC = \frac{\sqrt{5}}{2}
AD = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} =\frac{1+\sqrt{5}}{2}.
De façon générale, un rectangle est d’or si le rapport de sa longueur sur sa largeur est égal à \varphi .
4°/ La spirale d’or :
A partir d’un rectangle d’or on peut construire la spirale d’or qui ressemble à la spirale de Fibonacci.
La spirale d’or croissante :
Soit LN = 1 et JL = \varphi tel que : \frac{JL}{LN} =\frac{\varphi }{1} = \varphi En rajoutant le carré GNOI de côté \varphi on obtient encore un rectangle d’or GLJI de largeur JL = \varphi et de longueur GL = \varphi + 1 = \varphi ² tel que : \frac{GL}{JL} =\frac{\varphi^{2} }{\varphi } = \varphi et ainsi de suite.
La spirale d’or croissante :
En partant d’un rectangle d’or de longueur a+b et de largeur a, on construit un grand carré de côté la largeur a du rectangle.
On réitère l’opération dans le rectangle restant qui est un rectangle d’or … et ainsi de suite, … Puis, on construit des quarts de cercle dans les carrés.
En partant du carré :
1°/ Tracer un carré ABCD de 8 cm de côté. 2°/ Construire le milieu M de [AB]. 3°/ Construire le cercle (C1) de centre M et de rayon MC. Il coupe la demi-droite [MB) en E. 4°/ Tracer le carré BEFG. Le point G appartenant au segment [BC] et le point E n’appartenant pas à [AB]. 5°/ Tracer le carré FHKL tel que HF = CG. Le point L appartenant au segment [GF] et le point H n’appartenant pas à [FE]. 6°/ Tracer le carré CKJI tel que CK = GL. Le point I appartenant au segment [CG] et le point K n’appartenant pas à [DC]. 7°/ Tracer le carré IONG tel que GN = IG. Le point N appartenant au segment [GL]. 8°/ Tracer en rouge et en gras les arcs de cercles, à l’intérieur des carrés, qui vont de D à B, puis de B à F, puis de F à K, de K à I et enfin de I à N.
Vous venez de dessiner la spirale de Fibonacci.
Le nombre plastique, une belle analogie avec le nombre d’or. On remplace les rectangles dans la spirale de Fibonacci par des triangles équilatéraux.
5°/ Le triangle d’or : on appelle triangle d’or un triangle isocèle dont les côtés sont dans le rapport du nombre d’or. De ce fait, les deux triangles d’or possible ont des angles à la base de 36° ou 72°. Celui d’angle de base à 36° est plutôt applé triangle d’argent.
Dans le triangle ACH rectangle en H Si : \frac{AB}{AC}=\varphi \ alors \ cos\widehat{A} = \frac{AH}{AC}=\frac{AB}{2AC}=\frac{\varphi }{2} \\
\widehat{A} = Acrcos\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right ) = 36^{\circ}\\
Si : \frac{AC}{AB}=\varphi \ alors \ cos\widehat{A}=\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{2AC}=\frac{1}{2\varphi} \\
\widehat{A} = Acrcos\left ( \frac{1}{1+\sqrt{5}} \right )= 72^{\circ}
6°/ Le pentagone d’or :
Il faut prendre 2 triangles d’or AEC et BCD d’angles de bases 36° et un triangles d’or ABD d’angles de bases 72°. On obtient un pentagone d’or :
Si : \frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{AE}=\varphi
En fait, tous les pentagones respectent cette propriété est ce sont donc tous des pentagones d’or.
cos \frac{\pi \ rad}{5}= cos \ 36^{\circ} = \frac{1+\sqrt{5}}{4}=\frac{\varphi }{2}
La trigonométrie d’or.
8°/ Suite de Fibonacci :
En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite d’entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent, en partant de 0 et de 1 :
Cette suite célèbre est constituée en partant de 0 puis 1. On obtient les nombres suivants en additionnant les deux nombres précédents.
En partant d’un carré de côté 1, on juxtapose un autre carré de côté 2, ce qui crée un rectangle de longueur 1+2 = 3 et de largeur 1+1 = 2. Puis on juxtapose un autre carré de côté 3, ce qui crée un rectangle de longueur 2+5 = 5 et de largeur 1+2 = 3. Et ainsi de suite.
Chaque carré présente des côtés qui suivent la suite de Fibonacci.
Le lien avec le nombre d’or passe d’abord par la ressemblance avec le rectangle d’or, puis par le fait que le rapport de 2 nombres consécutifs de la suite se rapproche de plus en plus de \varphi .
Fractions
\frac{13}{8} = 1,625...
\frac{21}{13} = 1,615...
\frac{34}{21} = 1,619...
\frac{55}{34} = 1,617...
Erreur par rapport à \varphi
0,4%
-0,2%
0,06%
-0,02%
Mais on peut aussi retrouver cette suite en assemblant des triangles d’or et d’argent : En partant d’un triangle d’or, on lui adjoint un triangle d’argent. On obtient un nouveau triangle d’argent. Puis un ajoute un triangle d’or et on obtient un nouveau triangle d’or. Et ainsi de suite. Si compte le nombre de triangle, qui sont la somme des précédents, on trouve la suite de Fibonacci.
Et bien sur, si on divise le nombre de triangle d’or par le nombre de triangle d’argent de chaque triangle on se rapproche de de plus en plus de \varphi .
Étape
5
6
7
…
11
12
Triangles totaux
5
8
13
89
144
Triangles d’or
3
5
8
55
89
Triangles d’argent
2
3
5
34
55
Rapport
\frac{3}{2} = 1,5
\frac{5}{3} \approx 1,66...
\frac{8}{5} = 1,6
\frac{55}{34} \approx 1,617...
\frac{89}{55} \approx 1,618...
Mais comment trouver le nième terme de la suite de Fibonacci sans avoir à calculer les précédents ?
La formule de Binet permet de déterminer le nième terme Un de la suite de Fibonacci :
Ce qui est extraordinaire avec cette formule, c’est l’on obtient des nombres de Fibonacci, qui sont des nombres entiers, en utilisant le nombre d’or, qui a un développement infini.
Le nombre d’or, (1 + √5)/2, est approximativement égal à 1,618033… Le nombre √5 vaut, quant à lui, environ 2,236068… Et pourtant, en faisant le calcul, la virgule disparaît : toutes leurs décimales « s’emboîtent » impeccablement pour donner un nombre entier.
Par exemple, si l’on cherche le dixième nombre de Fibonacci, on peut le calculer ainsi :
9°/ Les suites :
Le nombre d’or est certainement le seul nombre pour lequel on peut faire coïncider une progression géométrique (on passe d’un nombre à son suivant en multipliant par un même nombre, ici \varphi ) et une somme, en l’occurrence la somme des 2 termes précédents. Rappel : \varphi ^{2} = 1+\varphi
On peut retrouver le nombre d’or un peu partout, soit du fait d’une intention humaine, soit pour des raisons logiques :
Le Corbusier (1887-1965) : architecte qui à développé toute une théorie autour de l’harmonie du nombre d’or. Il invente en 1945 le Modulor qui sera son modèle étalon pour la construction des habitations et qui remplace le mètre. Plus adapté que le système métrique, car il est directement lié à la morphologie humaine. « Modulor » est composé sur « module » et « nombre d’or » car les proportions fixées par le modulor sont directement liées au nombre d’or. Par exemple, le rapport entre la taille (1,83 m) et la hauteur moyenne du nombril (1,13 m) est égal à 1,619, soit le nombre d’or à un millième près. La taille humaine standard d’1,83 mètre est fondée sur l’observation de l’architecture traditionnelle européenne et de l’utilisation des proportions de cette unité pour élaborer l’harmonie d’une architecture.
La phyllotaxie : pour ne pas ce faire de l’ombre les feuilles d’une branche se décalle d’un angle de 137,5°. En effet : 137,5° + 137,5° \varphi = 360°. 80% des plantes respectent cet agencement.
Les pétales de fleurs : Rares sont les fleurs qui ne comptent pas 5, 8 ou 21 pétales. Il s’agit des nombres de la suite de Fibonacci intimement liée au nombre d’or.
Des constructions humaines : les rapports longueur sur largeur de la carte de crédit (taille standard CR80 : 85,6 cm sur 54 cm), longueur d’un violon sur son corps ou encore hauteur d’un vélo sur hauteur de sa roue.
Pyramide du Louvre : construite sur l’esplanade du Louvre à Paris, par l’architecte Ieoh Ming Pei, elle respecte la proportion du nombre d’or si on mesure sa largeur, sa hauteur et ses arêtes. Si pour la pyramide de Kéops on peut avoir des doutes quand à savoir si les constructeurs on sciemment utilisés le nombre d’or, ce n’est pas le cas ici.
Les logos : les entreprises ont bien comprit le côté subjectif du nombre d’or et elles le font apparaître partout dans leurs logos.
L’art : les peintres recherche l’harmonie et les belles proportions. C’est donc tout naturellement que l’on retrouve la divine proportion dans leurs œuvres.
Il y a des cas contestables, car ce n’est pas parce que le rapport de 2 nombres donne 1,618 que le nombre d’or y est pour quelque chose. Par exemple je mesure 1,89 m pour 55 kg (oui je ne suis pas bien épais …), et bien \frac{89}{55} =1,61818.... \approx \varphi .
Les proportions humaines : la taille d’un homme divisée par la distance du sol au nombril est égal au nombre d’or. La largeur de la bouche divisée par la largeur du nez aussi.
La coudée royale : mesure de référence des architectes égyptiens qui est la longueur du bout du majeur du Pharaon jusqu’à son coude c’est à dire 52,36 cm. Hasard ou coïncidence, si on prend un cercle de 1 unité de diamètre alors son périmètre fera \pi . La coudée royale sera le sixième de ce périmètre : \frac{\pi }{6} \approx 0,523598... \ unités Il reste \frac{5\pi }{6} \approx 2,61799...\approx \varphi ^{2} \ unités
Le Parthénon : Temple, dédié à la déesse Athéna en 447 av JC, situé sur l’Acropole d’Athènes en Grèce. On peut repérer une multitude de rectangle d’or. Est-ce voulu, ou est-ce simplement parce que la dimension de ce rectangle est très agréable à l’œil ?
La pyramide de Kéops : en triturant toutes les mesures de la pyramide, on peut retrouver le nombre d’or dans de nombreux rapport. De là à affirmer que c’était voulu par les bâtisseurs …
Astronomie : si l’on divise le nombre de jours (terrestres) que la Terre met pour faire sa révolution (sidérale) autour du soleil, par le nombre de jours (terrestres) que Vénus met pour faire sa révolution (sidérale), on obtient comme résultat : le nombre d’or φ (à 99.53%). C’est bien sur une coïncidence et il ne faut pas chercher une intervention divine.
La voie lactée a une forme en spirale, peut être celle de Fibonacci.
L’ADN : C’est le Dr ingénieur en mathématique et informatique Jean-Claude Perez qui a découvert la présences du ratio doré sous forme de la suite de fibonacci dans la répartition des bases de notre ADN ! Le rapport de la longueur d’une hélice sur sa largeur est égale au nombre d’or. Vue de dessus, il y a 10 barreaux par pas de l’hélice d’ADN : si qui donne un triangle d’or d’angle 36°.
La nature : en cherchant bien on peut trouver la divine proportion un peu partout dans la nature. Cela semble normal, puisque nous sommes sensible à cette proportion c’est quelle est soit très présente, soit quelle est utile voire parfaite.
La bible : la recherche est un peu tirée par les cheveux. Dans l’Apocalypse selon Saint Jean. Chapitre 13 verset 18: C’est ici la sagesse ! Que celui qui a de l’intelligence compte le nombre de la bête ; car c’est un nombre l’homme et ce nombre est six cent soixante-six.
Chapitre 21 verset 17 : Il en mesura aussi la muraille, de cent quarante-quatre coudées, mesure d’homme, qui est aussi mesure d’ange.
Sin(666°) = cos(144°) = \frac{-\varphi }{2} 666étant le nombre de la bête
Rem : 666= 234 + 432 = 13 x 18+ 3 x 144 234 et 432 sont des nombres miroir, Chapitre 13 verset 18 et 144 la longueur de la muraille.
Le drapeau de l’indépendance du Chili vis-à-vis de l’Espagne signée en 1818. Il est conservé au Musée d’Histoire Nationale de Santiago..
Le drapeau a toujours été conservé dans des musées, sauf pendant une vingtaine d’années. En effet, au début des années 80, il a été « kidnappé » par un commando en signe de protestation contre la dictature d’Augusto Pinochet.
C’est ainsi qu’en 1912 on a choisi de simplifier le modèle. À titre de comparaison, vous pouvez voir en bas le design du drapeau de 1818 (à gauche) et celui du drapeau actuel (à droite). Dans ce dernier, la région bleue n’est qu’un carré sur lequel est centrée une étoile dont le diamètre du cercle circonscrit est la moitié du côté du carré. On aboutit de cette façon à un modèle de rapport longueur / largeur égal à 3:2 (comme celui du drapeau français).
On peut réaliser de très beaux dessins avec le nombre d’or.
Le nombre d’or est mis en œuvre en cercles, servant de rapport mathématique pour générer des designs esthétiquement agréables.Compte tenu de sa prévalence dans la nature, l’apparence naturelle des résultats n’est pas surprenante.
Le Diamant d’Or présente une dissection monomorphe asymptotique du triangle équilatéral.Chaque carreau suit des proportions alignées sur le nombre d’or par rapport au triangle extérieur.Spirale dorée créée à l’aide de triangles équilatéraux.
La spirale de Padovan suit une séquence récursive semblable à la séquence de Fibonacci.
La philosophie du Yin Yang est représentée par le « symbole taichi » ( taijitu ). En fait, le Yin Yang est un concept de dualisme , décrivant comment des forces apparemment opposées ou contraires peuvent en réalité être complémentaires,
Curieusement, dans le symbole du taichi sont cachés le nombre d’or et son inverse.
11°/ Rapports métalliques :
Le nombre d’or fait partie d’une vaste famille appelée « rapports métalliques » ou « Ratio métalliques ». Ces rapports décrivent une relation récursive entre les côtés d’un rectangle.
Étant donné un rectangle de côtés de longueurs A et B ( avec B > A ), les rapports métalliques satisfont l’équation :
Démonstration visuelle : si on ajoute le tiers de chaque partie on obtiendra la moitié du rectangle de départ.
O°/ Le nombre un : Pourquoi faire simple quand on peu faire compliqué.
Voici plusieurs façon d’écrire le nombre un.
(sin x)² + (cos x)² = 1
La fameuse équation de trigonométrie.
Vous pouvez écrire le nombre 1 comme une somme de 48 fractions différentes, où chaque numérateur est 1 et chaque dénominateur est un produit d’exactement deux nombres premiers.
\Huge \frac{\pi^{4}+\pi^{5}}{e^{6}}\approx 1
Cela signifie que ce triangle est presque un triangle rectangle.
P°/ Le nombre e :
Le nombre e est la base des logarithmes naturels, c’est-à-dire le nombre défini par ln ( e ) = 1 {\displaystyle \ln(\mathrm {e} )=1}. Cette constante mathématique, également appelée nombre d’Euler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier[b], vaut environ 2,71828.
La décomposition de cette fonction en série entière mène à la définition de e par Euler comme somme de la série : Ce nombre apparaît aussi comme limite de la suite numérique de terme général ( 1 + 1 n ) n et dans de nombreuses formules en analyse telles que l’identité d’Euler e i π = − 1 ou la formule de Stirling qui donne un équivalent de la factorielle. Il intervient aussi en théorie des probabilités ou en combinatoire.
Euler démontre en 1737 que e est irrationnel, donc que son développement décimal n’est pas périodique, et en donne une première approximation avec 23 décimales. Il explicite pour cela son développement en fraction continue. En 1873, Charles Hermite montre que le nombre e est même transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est racine d’aucun polynôme non nul à coefficients entiers.
Mais le plus improbable, c’est que l’on retrouve cette constante e dans la croissance continue. Si le prix d’un tonneau de blé à 100 euros augmente de 50 %, il se retrouve à 150 euros ; et s’il augmente à nouveau de 50 %, le voilà à 225 euros. La deuxième augmentation (+ 75 euros) est plus élevée que la première (+ 50 euros) car elle s’applique au prix ayant déjà été augmenté. Bref, deux augmentations de 50 % font une augmentation de 125 %. Autrement dit, le prix final n’a pas été multiplié par 2, mais par 2,25.
Continuons d’affiner notre processus : Imaginez maintenant que le prix du tonneau de blé augmente de 10 % tous les dixièmes de mois, c’est-à-dire en gros tous les trois jours. Cela signifie qu’à la fin du mois il aura subi dix augmentations d’un dixième, c’est-à-dire dix multiplications successives par 1,1. Au total, il aura donc été multiplié par 1,110 qui est approximativement égal à 2,59. Si maintenant cette quantité avait subi 100 augmentations d’un centième, elle serait multipliée par 1,01100 qui vaut environ 2,705 à la fin du mois. Et si nous précisons encore, 1 000 augmentations d’un millième auraient produit une multiplication par 2,717. Ces informations sont condensées dans le tableau suivant.
Nombre d’étapes
Prix final
Facteur d’augmentation
2
100 x 1,5 x 1,5 = 225 = 100 x 2,5
2,5
10
100 x 1,1010 = 259,374246
2,59374246
100
100 x 1,01100 = 270,4813829
2,704813829
1 000
100 x 1,0011 000 = 271,6923932
2,716923932
10 000
100 x 1,000110 000 = 271,8145927
2,718145927
n
100\times\left(\frac{100+n}{100}\right)^{n}
\approx 2,71828 = e
Autrement dit, lorsqu’une somme augmente n fois de n%, cela revient a multiplier cette somme par la constante e.
Lorsqu’elle présenta son introduction en Bourse, la société Google, folie des grandeurs oblige, décida symboliquement de lever 2 718 281 828 dollars, soit e milliards de dollars, arrondi à l’unité.
Pour effectuer de très grosses multiplications vous utilisez une machine à calculer, mais elle va très vite être limitée. Voici une calculatrice qui ne vous laissera pas en plan !!
A°/ Les très grosses multiplications : La multiplication Grecque ou Italienne
A l’aide d’une machine à calculer, si l’on effectue la multiplication de 987 654 × 745 321, la machine à calculer nous donnera le résultat suivant : 7,361 192 669 × 1011, c’est-à-dire approximativement 736 119 000 000. En effet son écran est limité à certain nombre de caractères, en général 17 chiffres, et elle préfère donner la réponse sous forme scientifique.
Comment trouver les six derniers chiffres exactement ?
Bien sûr, si on utilise la calculatrice de Windows, on obtiendra la valeur exacte car elle n’est ps limiter par le nombre de caractères : 987 654 × 745 321 = 736 119 266 934
Pour comprendre comment utiliser une calculatrice, qui ne sait multiplier que des nombres de trois chiffres (par exemple), pour faire des multiplications de nombres composés de nombreux chiffres, il suffit de se rappeler comment on fait soi-même des multiplications de plusieurs chiffres alors qu’on ne sait que la table des produits de un chiffre. Ainsi, pour effectuer la multiplication de 57 × 46, on utilise la technique écrite suivante :
Cette merveilleuse technique nommée aussi italienne ou grecque qui nous vient d’Orient est utilisée au XVème siècle par le mathématicien arabe Al kasi, . Mais on la trouve beaucoup plus tôt chez les arabes aux alentours du XIIIe siècle (multiplication par le quadrillage ou par le tableau). Elle serait aussi dans un ouvrage de Fibonacci de 1202.
A la fin du Moyen-Age la technique fut surnommée « per gelosia ».
Ce nom fait allusion à la pièce en bois qui équipait certaines « fenêtres à jalousie » en Italie chez les maris jaloux. Ils voulaient bien que leur femme regarde ce qui se passe dans la rue, sans que les hommes qui s’y trouvaient puissent les voir.
Cette technique a fini par donner notre algorithme de multiplication.
Il faut écrire le multiplicande en haut et horizontalement, et le multiplicateur à droite et verticalement.
Pour les petites multiplications, on multiplie les chiffres des unités que l’on note dans la case supérieure à droite, la dizaine dans la partie supérieure de cette case, les unités dans la partie inférieure (la case est divisée en 2 par la diagonale). Et ainsi de suite.
Pour les grosses multiplications, le principe est le même, mais on multiplie par classe de 3 chiffres. Voir le tableau Excel ci-contre.
Pour le résultat final, on ajoute en DIAGONALE en tenant compte des retenues additives, les résultats obtenus dans les cases et ceci de droite à gauche.
C°/ La méthode mentale du rectangle :calcul mental
Voici une méthode qui va nous permettre de simplifier la plupart des multiplications de 2 nombres.
Soit la multiplication de A par B. Le but du jeu est de trouver un nombre R, proche de A et B, et qui de plus soit simple a multiplier comme un multiple de 10 par exemple.
Ainsi : A × B = ( R + a ) × ( R + b ) = R² + Rb + aR + ab = R × ( R + a + b ) + ab
L’astuce est de placer les 4 nombres sur un rectangle. Le produit de A par B devient donc la somme du produit de R ( qui est simple à multiplier ), par R + a + b ( qui l’est un peu moins s’est vrai ) et de ab.
On peut fabriquer un tour de magie assez impressionnant en améliorant cette méthode. Affirmer que vous êtes capable de multiplier très rapidement 2 nombres de 2 chiffres.
Demandez à quelqu’un de choisir un nombre à deux chiffres et proposez le deuxième. L’astuce consiste à choisir un nombre de la même dizaine et dont l’unité est le complément à 10.
Par exemple 52 et 58 car 8 = 10 – 2.
Le produit de 2 nombres sera un nombre de 4 chiffres dont les 2 premiers seront le produit du chiffre des dizaines fois son suivant, et les 2 derniers chiffres seront le produit des unités des 2 chiffres : (10d + u) x (10d + (10-u)) = d(d + 1)100 + u(10 – u).
52 x 58 = 3016 en effet : 5×6 = 30 et 2×8 = 16
La démonstration de ce prodige est assez simple : Soit (10d + u) le premier nombre alors le second sera 10d + (10-u)
(10d + u) x (10d + (10-u)) = 100d² + 100d – 10du + 10ud + 10u – u² = 100d² + 100d + 10u – u² = 100(d² + d) + u(10 – u) = d(d + 1)100 + u(10 – u) Avec : d = chifre des dizaines d+1 = chiffre des dizaines suivantes u = chiffre des unités 10 – u = complément à 10 du chiffre des unités
Exemples :
34 x 36 = 1224
3×4 = 12
4×6 = 24
73 x 77 = 5621
7×8 = 56
3×7 = 21
29 x 21 = 609
2×3 = 06
9×1 = 09
92 x 98 = 9016
9×10 = 90
2×8 = 16
Cependant votre interlocuteur peut se rendre compte de votre manipulation, alors voici une variante : il faudra prendre le second nombre pour qu’il soit le complément du premier par rapport à la dizaine la plus proche. Par exemple 52 et 48 : 52 est à 2 unités de 50 ainsi que 48 mais dans l’autre sens.
Le produit de 2 nombres dont Rest la dizaine la plus proche et k les unités d’écart, sera le R² – k².
La démonstration : Soit A le premier nombre qui est au-dessus du nombre R de k unités, alors le second sera B qui est au-dessous du nombre R de k unités. On aura :
A = R + k ainsi : A x B = (R + k) x (R – k) = R² – k² B = R – k
Exemples :
Produit
Dizaine la plus proche R
k les unités d’écart
Détail
34×26 = 884
30
4
30² – 4² = 900 – 16
92×88 = 8096
90
2
90² – 2² = 8100 – 4
56×64 = 3584
60
4
60² – 4² = 3600 – 16
D°/ Trouver le dernier chiffre d’un quotient :
Si le diviseur d’une division se termine par 1, 3, 7 ou 9, on peut trouver facilement le dernier chiffre du quotient.
Le diviseur se termine par
Le quotient se termine par
Exemple
1
L’unité du dividende.
1054/31 =34
3
Un multiple de 3 qui se termine par l’unité du dividende.
782/23 = 34
le seul multiple de 3 se terminant par 2 est 12 = 3 × 4
7
Un multiple de 7 qui se termine par l’unité du dividende.
901/17 = 53
le seul multiple de 7 se terminant par 1 est 21 = 7 × 3
9
Le nombre 10 ôté de l’unité du dividende.
986/29 = 34
10 – 6 = 4
E°/ Méthode manuelle pour effectuer les multiplications :
Il existe un truc infaillible pour trouver les produits de nombres strictement plus grands que 5, quand on connaît ses tables jusqu’à 5.
Il suffit de jouer avec ses doigts.
Les doigts sont numérotés de 6 à 10 à partir du pouce sur chaque main. On fait se toucher les deux doigts correspondant aux nombres désirés. Le nombre de doigts qui se touchent ajouté à ceux qui sont en-dessous donne des dizaines. Le nombre de doigts du dessus à gauche multiplié par le nombre de doigts du dessus à droite, donne des unités.On ajoute alors toutes les unités obtenues.
Compliqué ? Non, regardons bien ci-dessous.
F°/ Différentes méthodes de multiplication :
F-1°/ Multiplication babylonienne (Somme de carrés en Mésopotamie):
Près de l’Euphrate, sur le site de Nippour, proche de l’ancienne Babylone on a trouvé un grand nombre de temples datant d’environ 3000 ans avant notre ère. Sur des tablettes d’environ 1000 ans avant notre ère, on a observé une curieuse procédure pour effectuer des multiplications.
Cette technique de multiplication des entiers nécessitait uniquement de savoir faire des additions et peut-être des soustractions.
Le scribe calculateur devait aussi disposer d’une table de carrés. La multiplication se ramenait à une addition de carrés.
Pas très rapide ni très pratique… ce procédé repose sur le fait que tout nombre entier peut se décomposer en somme de carrés.
Par exemple :
25 x 20 = (20 + 5) x 20 = 20 x 20 + 5 x 20 = 20² + 5 x 5 x 4 = 20² + 4 x 5² = 400 + 4 x 25 = 500 36 x 28 = (28 + 8) x 28 = 28² + 8 x (3 x 8 + 4) = 28² + 3 x 8² + 2 x 4² = 844 + 3 x 64 + 2 x 16 = 1 008
F-2°/ Multiplication égyptienne :
Bien sûr cette multiplication des commerçants du Nil marche toujours ! Elle a l’énorme avantage de n’utiliser que la table de deux.
Pour faire 458 × 25, on effectue toutes les multiplications du multiplicande M = 458 par tous les multiples m de 2, de 20 à 2n. Il suffit de doubler les résultats à partir de la multiplication par 1, ce qui est simple.
Ensuite on cherche une somme qui donne le multiplicateur m = 25 en additionnant les multiplicateurs p de 458. En lisant Mod(M/2) en partant d’en bas, on obtient l’écriture binaire de m (25 s’écrit 11001 en binaire).
C’est long mais il ne faut maitriser que la table de 2 et l’addition. L’explication tient dans la possibilité de décomposer un nombre en somme de puissances de 2.
Cette multiplication a l’énorme avantage de n’utiliser que la table de deux. Elle très semblable à la Multiplication égyptienne.
Pour passer d’une ligne à la suivante on double le multiplicande M et divise le multiplicateur m par 2 en arrondissant à l’entier inférieur jusqu’à 1.
Tout irait parfaitement bien si les nombres étaient tous pairs… On ajoute donc les produits de M qui sont multipliés par un m impair pour rattraper les pertes dues aux multiplications par des nombres impairs.
Plaçons 1 en face des lignes correspondant à une multiplication par un nombre impair et 0 devant les autres. Si maintenant nous relisons de bas en haut les chiffres 1 et 0, nous obtenons l’écriture binaire du nombre 25 par lequel nous avons multiplié 458. En effet 25 s’écrit 111 en binaire.
C’est long mais il ne faut maitriser que la table de 2 et l’addition. L’explication tient dans la possibilité de décomposer un nombre en somme de puissances de 2.
F-4°/ La multiplication per Gelosia Grecque ou Italienne :
Cette merveilleuse technique nommée aussi italienne ou grecque qui nous vient d’Orient est utilisée au XVème siècle par le mathématicien arabe Al kasi, . Mais on la trouve beaucoup plus tôt chez les arabes aux alentours du XIIIe siècle (multiplication par le quadrillage ou par le tableau). Elle serait aussi dans un ouvrage de Fibonacci de 1202.
A la fin du Moyen-Age la technique fut surnommée « per gelosia ».
Ce nom fait allusion à la pièce en bois qui équipait certaines « fenêtres à jalousie » en Italie chez les maris jaloux. Ils voulaient bien que leur femme regarde ce qui se passe dans la rue, sans que les hommes qui s’y trouvaient puissent les voir.
Cette technique a fini par donner notre algorithme de multiplication.
Il faut écrire le multiplicande en haut et horizontalement, et le multiplicateur à droite et verticalement.
Pour les petites multiplications, on multiplie les chiffres des unités que l’on note dans la case supérieure à droite, la dizaine dans la partie supérieure de cette case, les unités dans la partie inférieure (la case est divisée en 2 par la diagonale). Et ainsi de suite. Voir l’animation « Multiplication Grecque ».
Pour les grosses multiplications, le principe est le même, mais on multiplie par classe de 3 chiffres. Voir le tableau excel ci-dessous.
Pour le résultat final, on ajoute en DIAGONALE en tenant compte des retenues additives, les résultats obtenus dans les cases et ceci de droite à gauche.
F-5°/ Méthode des lignes : multiplication Japonaise
Cette technique amusante ne fait apparemment intervenir aucune table de multiplication.
On trace horizontalement et verticalement le nombre de lignes ou de colonnes correspondant au chiffre indiqué en haut ou à droite. Ensuite comme pour la technique à la grecque, il suffit de compter les points en diagonale. Les retenues éventuelles sont reportées sur la diagonale de gauche. En comptant le nombre de croix d’un rectangle de n lignes sur m colonnes, on redéfinit tout simplement la multiplication n x m.
F-6°/ Méthode des cercles :
Même méthode que celle avec les traits, mais avec des cercles !!
F-7°/ Méthode des bâtons de Neper dit aussi de Napier :
John Napier, parfois francisé en Jean Neper, né le et mort le , est un théologien, physicien, astronome et mathématicienécossais. Il a inventé les bâtons de Napier, ou réglettes de Neper est un abaque facilitant le calcul des produits, quotients, puissances et racines.
Pour la multiplication, la règle est simple :
Les réglettes de Napier sont constituées d’une série de barres verticales numérotées qui représente chacune une table de multiplication; ainsi nous avons 9 réglettes déclinant les tables de 1 jusqu’à la table de 9. Ces résultats sont affichés sur des cases séparées par des diagonales, et de part et d’autre de ces diagonales, sont représentés les chiffres des dizaines et des unités.
Ces réglettes mobiles, permettent de poser des opérations de multiplication en alignant une successions de réglettes pour composer le nombre souhaité : en alignant les réglettes 1, 2 et 3, nous considérons le nombre 123. Nous pouvons ainsi librement aligner les réglettes de notre choix pour former un nombre dans les dizaines, centaines, milliers etc…
Pour lire le résultats, il faut additionner, sur la ligne souhaitée, les chiffres en diagonale, en tenant compte des retenues , ce qui revient à des additions de chiffres simples pour obtenir le résultat..
Pour le produit 123 x 4, nous regardons la ligne 4 :
nous avons ainsi (centaines = 4+0 = 4), (dizaines 8+1 = 9), (unités = 2), résultat 492
Voici deux petites animations qui vous permettront de vous entrainer :
G°/ Multiplication de 2 nombres proches de 100 :
Explications :
1ier nombre = 100 – a
2ième nombre = 100 – b
(100 – a) × (100 – b) = 10 000 – 100b – 100a + ab
= 10 000 – 100(a + b) + ab
= 100[100 – (a + b)] +ab
Vérification :
97 × 96 = 9 312
(100 – 3) × (100 – 4) = 100[100 – (3+4)] + 3 × 4
= 100 × 93 + 12
= 9 312
H°/ Tables de multiplication façon modulo :
Je vais vous expliquer les tables de multiplication d’une façon tout à fait différente. Il s’agit de visualiser les tables à l’aide de segments dans un cercle.
L’idée de base de l’arithmétique modulaire est de travailler non sur les nombres eux-mêmes, mais sur les restes de leur division par un nombre. Par exemple, s’il est 16h52 et que j’attends 15 minutes, il sera 17h07, autrement dit 52+15=7 dans l’arithmétique à base 60 des minutes.
Ce que nous en écrivons, en mathématiques : 52 + 15 ≡ 7 (mod. 60) autrement dit dans 67/60 il reste 7. En effet : 67/60 = 1 et il reste bien 7.
et que nous lisons : « 52 plus 15 est congru à 7 modulo 60 ».
Pourquoi congru ? En latin, congruens signifie « qui s’accorde ». Pourquoi modulo ? Il s’agit de l’ablatif du nom latin modulus, qui signifie « mesure ».
On peut visualiser les tables de multiplication en utilisant le modulo des nombres.
Voici une explication détaillée : Cliquez sur l’image pour lancer la vidéo ou le programme.
Superbe vidéo de Mickaël Launay de sa chaine Youtube.
Programme Scratch qui explique tout.
I°/ Des simplifications bizarres :
Pour simplifier des fractions la règle est simple. Il faut diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
Pourvu que mes élèves ne tombent pas sur cet article, ce sera la révolution dans la classe !!!
J°/ Décomposition en facteur premiers :
Voici une très belle animation qui montre visuellement la décomposition des nombres en facteurs premier.
K°/ La notation Polonaise :
Nous sommes parfois si habitués à certaines conventions humaines que nous finissons par en oublier que nous aurions pu faire autrement. Ainsi, notre façon d’écrire un calcul aussi simple que 1 + 1 n’a rien d’obligatoire.
L’une des plus fameuses alternatives se nomme « la notation polonaise » et fut inventée en 1924 par le mathématicien (polonais) Jan Łukasiewicz. Dans ce système, l’addition précédente se note « + 1 1 ». Autrement dit, le symbole d’opération ne vient pas se placer entre les deux nombres, mais avant eux. De la même façon, le calcul que nous notons « 2 × (3 + 4) » se notera « × 2 + 3 4 » en notation polonaise.
L’intérêt principal de cette méthode est lever toute ambiguïté sur l’ordre dans lequel effectuer les opérations et de rendre obsolète l’usage des parenthèses.
Mais avec l’apparition des ordinateurs, une variante de la notation Polonaise a vu le jour : la notation Polonaise inversée ou NPI. Les opérations seront à présent écrites après les nombres. Pour ne pas confondre 3 + 4 avec 34 il faudra laisser un espace entre les deux chiffres ou faire « Enter » sur une machine à calculer (symboliser par ↑ ).
Nombres automorphes : nombre qui apparaît à la fin de son carré.
exemple:
5² = 25
6² = 36
25² = 625
76² = 5776
Il n’existe que 2 nombres automorphes à 3 chiffres.
Quels sont-ils ?
Solution de l’énigme : 376² = 141376 et 625²=390625
Carrés miroirs : si on inverses les chiffres d’un carré ou retrouve un autre carré. 10² = 100 <-> 001 = 01² 11² = 121 <-> 121 = 11² 12² = 144 <-> 441 = 21² 13² = 169 <-> 961 = 31²
C°/ Des carrés bizarres :
. 1 / Une somme bizarre :
Il existe des nombres qui ont la particularité suivante:
Le nombre additionné du même nombre écrit dans l’ordre inverse donne un carré parfait.
Exemple : 440 + 044 = 22²
Il en existe 3 autres de 3 chiffres. Quels sont-ils ?
De Même il en existe 2 de 5 chiffres. Quels sont-ils ?
Solution de l’énigme:
990 + 099 = 33²
198 + 891 = 33²
396 + 693 = 33²
65340 + 04356 = 264²
53361 + 16335 = 264²
. 2 / Une division infaisable :
Voici une fraction proposée par S. Ratchinski, professeur de sciences naturelles, qui avait renoncé à sa chaire à l’Université de Moscou en 1895, pour de venir un simple maître d’école.
Que vaut :
Cette fraction est vraiment difficile à faire de tête, mais les nombres 10, 11, 12, 13 et 14, ont une propriété intéressante :
Les nombres 1 à 32 sont placés le long d’un cercle sans répéter aucun nombre et pourtant la somme de deux nombres adjacents dans ce cercle est un carré parfait !
D°/ Trouver de tête des carrés et des racines carrées :
. 1 / Trouver un carré connaissant le précédent : la méthode de Zorro
Pour connaître le carré d’un nombre (n + 1), il suffit de connaître le carré du nombre n précédent. Pour cela, il suffit d’additionner le carré n² au nombre n et à son suivant ( n + 1) : ( n + 1 )² = n² + 2n + 1 = n² + n + ( n + 1)En effet :3² = 2 + 2² + (2+1) = 2 + 4 + 3 = 910² = 9 + 9² + (9+1) = 9 + 81 + 10 = 100Sur le tableau des carrés on remarque que cette addition forme le Z de Zorro !!!
. 2 / Trouver le carré d’un nombre dont le chiffre des unités est 5 :
Pour trouver le carré d’un nombre n dont le chiffre des unités est 5, il suffit de multiplier le nombre de dizaines de n par le nombre suivant et d’ajouter 25.
Exemple :
n
45
85
205
Produit
4 x 5 = 20
8 x 9 = 72
20 x 21 = 420
n²
2 025
7 225
42 025
Si on a : n = 10d + 5 alors : (10d + 5)² = (10d)² + 2x10dx5 + 5² = 100d² + 100d + 25 = 100d(d+1) + 25
Le résultat a pour nombre de centaines le produit d(d+1) c‘est à dire le nombre de dizaines de n par le nombre suivant, et on écrit 25 à droite du produit d(d+1).
. 3 / Trouver un carré par la méthode du rectangle :
Connaissant le carré n² d’un nombre n ( si n2< 1 000 000 ), on peut retrouver le nombre n, c’est-à-dire la racine carrée de n².
– Après avoir enlever les 2 derniers chiffres de n², chercher le carré parfait juste inférieur au nombre obtenu. La racine carrée de ce carré donne le chiffre des dizaines de n.
– Le dernier chiffre de n² ne peut correspondre qu’à deux chiffres maximums donnant le dernier chiffre de n :
9² étant trop grand, le chiffre des dizaines de n est 8.
Le dernier chiffre de n² étant 1, le dernier chiffre de n ne peut être que 1 ou 9. Or 85² = 7 225 (Allez voir ici : chapitre c/ ), donc trop grand pour n², ainsi que 89².
Ainsi n est égal à 81.
. 5 / L’extraction d’une racine carrée à la main : A la manière de nos grand parents.
La présentation ressemble à celle de la division : le nombre dont on recherche la racine est écrit à la place du dividende, la racine elle-même sera à la place du diviseur.
1. On partage le nombre dont on recherche la racine par paquets de 2 chiffres en partant de la droite (le dernier paquet possède donc 1 ou 2 chiffres)
2. On cherche le plus grand carré inférieur à la première tranche (celle de gauche) et on inscrit sa racine à la place du ‘diviseur’.
Ici 1² < 2 et 2² > 4 donc on inscrit 1 au diviseur.
3. On retranche ce carré de la première tranche et on abaisse la tranche suivante.
On obtient alors ici 132
4. On double la racine obtenue et on l’inscrit à la place du quotient.
5. Il faut maintenant écrire à la droite de ce nombre (ici c’est 1) le plus grand chiffre x de sorte que le produit par x ne dépasse pas le nombre obtenu au dividende.
On cherche donc un nombre pour que 2 • × • ≤ 132. On a 25 × 5 = 125 et 26 ´ 6 = 156. Le chiffre x cherché est donc 5.( x = • )
6. On inscrit x à gauche du diviseur et on soustrait le produit obtenu dans la partie dividende.
7. On recommence ensuite en abaissant la tranche suivante et en continuant à l’étape 4.
La dernière étape (avec un chiffre après la virgule) est :
(On peut bien sûr continuer tant que le reste est non nul…)
. 6 / L’extraction d’une racine carrée à la main par soustractions : La méthode du compte-goutte
Pour avoir la racine carrée d’un nombre qui est un carré parfait, on soustrait la suite des nombres impairs à partir de 1, jusqu’à l’obtention d’un résultat nul. En effet, pour passer d’un carré au suivant il suffit d’ajouter un impair :
1² = 1 = 0 + 1
2² = 4 = 1 + 3
3² = 9 = 4 + 5
4² = 16 = 9 + 7
On compte alors le nombre d’entiers enlevés. Le résultat donne la racine carrée.
16 – 1 = 15
15 – 3 = 12 Il y a 4 soustractions
12 – 5 = 7 Donc la racine carrée de 16 est 4.
7 – 7 = 0
Pour avoir la racine carrée d’un nombre quelconque, on procède de même jusqu’à ce qu’on ne puisse plus obtenir un nombre positif. On compte le nombre d’entiers enlevés et l’on a une valeur approchée à une unité près par défaut, du résultat.
106 – 1 = 105
105 – 3 = 102
102 – 5 = 97
97 – 7 = 90 Il y a 10 soustractions
90 – 9 = 81 Donc la racine carrée de 106 est 10 à 1 près par défaut.
81 – 11 = 70
70 – 13 = 57
57 – 15 = 42
Évidemment nos calculettes sont plus rapides et efficaces, mais ce procédé très ancien reste très simple.
42 – 17 = 25
25 – 19 = 6
Une variante : La méthode du compte-goutte :
Cherchons la racine carrée de 2 137
1. On partage le nombre dont on recherche la racine par paquets de 2 chiffres en partant de la droite (le dernier paquet possède donc 1 ou 2 chiffres) en partant de la virgule : 21 37, 00 00
2. Du premier groupe 21, on ôte les premiers nombres impairs. Nous avons effectués quatre soustractions, le premier chiffre de la racine est donc un 4.
21 – 1 – 3 – 5 – 7 = 5
3. On prend le dernier résultat 5 et on lui « colle » la suite 37 du nombre de départ.
5 × 100 + 37 = 537
4. On multiplie le dernier impair 7 de la soustraction précédente par 10 et on ajoute 11.
7 × 10 + 11 = 81
5. On soustrait à 537 les impairs à partir de 81. Nous avons effectués 6 soustractions, le deuxième chiffre de la racine est donc 6. 46 à l’unité prés.
537 – 81 – 83 – 85 – 87 – 89 – 91 = 21
6. On peut continuer. On multiplie le dernier impair 91 de la soustraction précédente par 10 et on ajoute 11.
91 × 10 + 11 = 921
7. On prend le dernier résultat 21 et on lui « colle » la suite 00 du nombre de départ. On soustrait les impairs à partir de 921. Nous avons effectués 2 soustractions, la 1ière décimale de la racine est donc 2. 46,2 au dixième prés.
2100 – 921 – 923 = 256
8. On continue. Nous avons effectués 2 soustractions, la 2ième décimale de la racine est donc 2. 46,22 au centième prés.
. 7 / L’extraction d’une racine carrée : Algorithme de Héron d’Alexandrie
L’algorithme de héron d’Alexandrie est un algorithme très ancien (premier siècle) qui permet de calculer avec une très grande précision (convergente quadratique) une racine carrée.
. 8/ L’extraction d’une racine carrée à la règle et au compas :
Cette méthode très simple est attribuée à Descartes. Elle nécessite seulement une règle et un compas.
Si on cherche la racine carrée d’un nombre n, il suffit :
– de tracer un demi-cercle de diamètre 1+n, donc de rayon (1+n)/2
– tracer un diamètre [FH] de ce cercle
– marquer sur le diamètre le point G tel que GF = 1
– tracer la perpendiculaire en G au diamètre [FH].
Cette perpendiculaire coupe le cercle en I. IG a pour mesure la racine carrée de n.
Dans le triangle IFG rectangle en G. D’après le théorème de Pythagore. IF² = IG² + FG²Dans le triangle IGH rectangle en G. D’après le théorème de Pythagore.I H² = IG² + GH²Dans le triangle IFH rectangle en I. D’après le théorème de Pythagore. FH² = IF² + IH²Donc : 2IG² = IF² – FG² + IH² – GH² = FH² – FG² – GH² = (FG + GH)² – FG² – GH² . 2IG² = FG² + 2FG × GH + GH² – FG² – GH² . 2IG² = 2FG × GH . FG x GH = IG²Avec : FG = 1, nous obtenons GH = IG² Le nombre IG a pour carré GH. Donc IG est la racine carrée de GH.
. 9/ L’escargot de Pythagore :
On part d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont de longueur 1. Par application du théorème de Pythagore, son hypoténuse a pour longueur \sqrt{2}.
On trace un nouveau triangle rectangle à partir de cette hypoténuse de longueur \sqrt{2}, l’autre côté de l’angle droit est à nouveau de longueur 1. La nouvelle hypoténuse mesure \sqrt{3}.
On peut alors réitérer la construction, en construisant à chaque fois un nouveau triangle rectangle dont un des côtés de l’angle droit est l’hypoténuse du triangle rectangle précédent, l’autre côté de l’angle droit ayant pour longueur 1. Les longueurs des hypoténuses des triangles rectangles ainsi obtenus sont les racines carrées des entiers consécutifs.
En généralisant ce principe, un triangle avec les côtés adjacents à l’angle droit de longueur \sqrt{n} et 1 a une hypoténuse de longueur \sqrt{n+1}.
. 10/ Les dents de requin :
Dans un repère orthonormé on trace les droites y = 0 et y = 1, puis :
le cercle de centre (0;0) et de rayon 1 : on obtient le point (\sqrt{1}=1 ; 0)
le cercle de centre (0;1) et passant par (\sqrt{1}=1 ; 0) : on obtient (\sqrt{2} ; 1)
le cercle de centre (0;0) et passant par (\sqrt{2} ; 1) : on obtient (\sqrt{3} ; 0)
le cercle de centre (0;1) et passant par (\sqrt{3} ; 0) : on obtient (\sqrt{4}=2 ; 1)
le cercle de centre (0;0) et passant par (\sqrt{4}=2 ; 1) : on obtient (\sqrt{5} ; 0)
E°/ Trouver de tête des cubes et des racines cubiques :
. 1 / Trouver mentalement une racine cubique :
Connaissant le cube n3 d’un nombre n ( si n3< 1 000 000 ), on peut retrouver le nombre n, c’est-à-dire la racine cubique de n3.
– Après avoir enlevé les 3 derniers chiffres de n3, chercher le cube parfait juste inférieur au nombre obtenu. La racine cubique de ce cube donne le chiffre des dizaines de n. Il faut bien sur connaître les cubes de 0 à 9.
– Le dernier chiffre de n3 ne peut correspondre qu’à un seul chiffre inférieur à 10, donnant le dernier chiffre de n. Pour 0, 1, 4, 5, 6 et 9 le dernier chiffre de n3 est le même que pour n. Pour 2, 3, 7 et 8 il faut faire la soustraction de 10 et de ce chiffre :
Le dernier chiffre de n3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Le dernier chiffre de n
0
03=0
1
13=1
8
83=512
7
73=343
4
43=64
5
53=125
6
63=216
3
33=27
2
23=8
9
93=729
a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a3
03=0
13=1
23=8
33=27
43=64
53=125
63=216
73=343
83=512
93=729
Exemple : n3 = 636 056 → 512 > 636 > 729
. → 83 > 636 > 93
93 étant trop grand, le chiffre des dizaines de n est 8.
Le dernier chiffre de n3 étant 6, le dernier chiffre de n ne peut être que 6.
Ainsi n est égal à 86.
. 2/ L’extraction d’une racine cubique : A la manière de nos grand pères.
Le principe ressemble à celui de l’extraction de la racine carrée.
Exemple : Extrayons la racine cubique de 97 652 328
On découpe le nombre de 3 en 3 en partant de la droite 97 652 328. Puis on cherche le nombre dont le cube est le plus proche par défaut de 97. C’est 4 dont le cube est 64. On soustrait 64.
On cherche alors le plus grand nombre a tel que ( 30 x 4a x 4 + a2 ) x a <= 33 652 Rem : 4a est le nombre constitué de 4 dizaines et de a unités.
On cherche alors le plus grand nombre a tel que
( 30 x 46a x 46 + a2 ) x a <= 33 652
Rem : 46a est le nombre constitué de 46 dizaines et de a unités.
Finalement la racine cubique de 97 652 328 est 460 à 1 unité près par défaut. On peut vérifier le résultat en l’élevant à la puissance 3 ou sur calculette en calculant 97 652 328 à la puissance (1/3)
. 3/ L’extraction d’une racine cubique avec 2 équerres :
Le principe repose sur les propriétés de la hauteur du triangle rectangle.
Dans le triangle rectangle AB’A’ :
OB’² = OA × OA’ (1)
Dans le triangle rectangle BA’B’ :
OA’² = OB × OB’
et comme OB=1, on a :
OA’² = OB’
Donc : OA’ 4 = OB’² (2)
En utilisant (1) et (2) on obtient :
OA’ 4 = OB’² = OA × OA’
Donc : OA’ 3 = OA
Et OA’ est bien la racine cubique de OA.
Pour construire un tel appareil :
– AA’ doit être gradué. – Points fixes : OB = 1cm et les équerres – Points mobiles : A et A’- Points reliés et alignés mais articulés : C, B’, A’ et G. – Une baguette fixe (H) sur (OB)
Si OB = 1cm est trop petit, prendre : OB = 8cm et les graduations sur OA 4 fois plus petites que sur OA’.
. 4/ L’extraction d’une racine cubique par une abaque :
L’abaque suivant permet de calculer facilement les cubes des nombres entiers par des additions. Les flèches sont des additions.
F°/ Trouver une racine cinquième :
Connaissant la puissance cinquième n5 d’un nombre n de deux chiffres, il est possible de retrouver la racine cinquième de ce nombre n5 sans machines à calculer.
– La puissance cinquième n5 et n ont exactement le même chiffre des unités.
– Pour trouver le chiffre des dizaines de n, il suffit de connaître par cœur le tableau ci-dessous : supprimer les cinq derniers chiffres de la puissance cinquième n5, et regarder où se place le nombre alors obtenu dans le tableau (on peut apprendre par cœur l’ordre de grandeur). La borne inférieure de a donne alors le chiffre des dizaines de n.
a
a5
Ordre de grandeur de a5
1
1
1
Exemple : n5 = 6 436 343 →
32 > 64 > 243 → 32 nous donne 2 comme chiffre des dizaines
Les nombres p-adiques sont des nombres qui, contrairement aux nombres usuels, possèdent une infinité de chiffres avant la virgule et éventuellement un nombre fini après.
Prenons le nombre 5 et élevons-le au carré. Puis recommençons à l’élever au carré un nombre infini de fois. Et bien nous obtenons un nombre p-adique qui a la particularité de ce terminer par les mêmes chiffres.
50
5
52
25
54
625
58
390625
516
152587890625
532
23283064365386962890625
564
542101086242752217003726400434970855712890625
52n
…890625
De même, si on prend 2 comme nombre de départ et qu’on l’élève à la puissance 5 de façon successive, on observe le même phénomène.
La première évocation de la \sqrt{2} remonte aux Babyloniens (entre 1900 et 1600 avant notre ère). On en trouve la trace sur une tablette d’argile qui répond au doux nom de YBC_7289 (Yale Babylonian Collection aux USA) et qui fut trouvée en 1612 lors de fouille à Babylone en Irak.
Il s’agirait d’un exercice permettant de calculer la diagonale d’un carré de côté 30 unités.
YBC_7289
la longueur du côté du carré vaut c’est à dire 30.
Un autre nombre apparait et il vaut c’est à dire \sqrt{2}
\sqrt{2} correspond à la longueur d’une diagonale d’un carré de côté 1 unité.
La diagonale horizontale vaut c’est à dire , c’est à dire 30 fois \sqrt{2}. 42 + 25/60 + 35/602 ≈ 42,426389 (correct à 3 décimales)
Rien n’indique que les scribes Babyloniens avaient une idée du caractère irrationnel de ce nombre. Cette tablette reste remarquable quand on pense qu’il faudra attendre encore plus de 12 siècles avant de voir réapparaître \sqrt{2} chez les Grecs.
Pour rappel les Babyloniens compter en base 60, donc :
= 42;25;35 cad 42 + 25/60 + 35/602 ≈ 42,426389
Démontrons à présent que \sqrt{2} est irrationnel.
a/ 1ière méthode :
Si \sqrt{2} était rationnel il s’écrirait sous la forme d’une fraction irréductible de 2 nombres entiers :
\sqrt{2}=\frac{a}{b} et donc : 2=\frac{a^{2}}{b^{2}}
\Rightarrow 2b^{2} =a^{2} donc a² est pair ainsi que a qui pourrait s’écrire a = 2n.
\Rightarrow 2b^{2} =(2n)^{2}=4n^{2}
\Rightarrow b^{2} =2n^{2} donc b² est lui aussi pair ainsi que b
Cependant si a et b sont pairs on peut les simplifier, ce qui contredit la proposition initiale qui stipulait que \frac{a}{b} était une fraction irréductible.
b/ 2ième méthode :
Si \sqrt{2} était rationnel il s’écrirait sous la forme d’une fraction irréductible de 2 nombres entiers :
\sqrt{2}=\frac{a}{b} et comme \sqrt{2}\approx 1,41... on sait que : 1 < \sqrt{2}<2 \frac{a}{b} > 1 donc a > b et \frac{a}{b} < 2 donc a < 2b en faisant passer b de l’autre côté de l’inéquation.
Donc : b < a < 2b
Posons : c = 2b – a c’est-à-dire les écarts de a avec b et 2b
69 est le seul nombre naturel dont le carré 69² = 4 761 et le cube 693 = 328 509 utilisent chaque chiffre décimal de 0 à 9 exactement une fois.
L°/ Cercle « carré » parfait :
Les nombres 1 à 32 sont placés le long de la circonférence d’un cercle sans répéter aucun nombre et pourtant la somme de deux nombres adjacents dans ce cercle est un carré parfait !
Équation de l’œuf
( aleph, qui est la 1ére lettre de l’alphabet Hébreu ).
o.
Anaximandre :
.jpg)
Carte de Hajime Narukawa.
Projection de Fuller.
=
= 
.
c’est à dire 30.
c’est à dire 
, c’est à dire 30 fois