L’histoire du boulier remonte à 2500 ou 3000 ans. Les savants chinois effectuaient les 4 opérations arithmétiques grâce à un abaque nommé Chou suan, ancêtre de l’actuel boulier nommé Suan pan. Ce fut sans doute l’un des premiers systèmes de calcul inventé. Le Chouan suan représentait les nombres grâce à la numération de position qui nous est si familière aujourd’hui.
Il existe actuellement trois types de bouliers, le boulier chinois, le boulier japonais et le boulier russe.
Une vidéo qui explique bien le fonctionnement des bouliers : ICI
Une autre sur les machines à calculer du siècle dernier, tout à fait prodigieuses et qui fonctionnaient sans piles : ICI
Le boulier chinois :
Le boulier chinois est formé de tiges séparées en deux par une barre transversale : la partie inférieure compte 5 boules d’une unité, la partie supérieure 2 boules de 5 unités. Chaque tige correspond, de droite à gauche, respectivement aux unités, dizaines, centaines, milliers etc.. Lorsque ce boulier est passé au Japon, les Japonais ont réalisé que la 5ème boule du bas et la 2ème boule du haut étaient inutiles. Ils l’ont donc simplifié vers 1945.
Le boulier japonais :
Le boulier japonais (Soroban) ne compte qu’une rangée de boules à section hexagonale en haut et 4 en bas. Il tend à se répandre partout dans le monde, même en Chine. La partie inférieure compte 4 boules d’une unité, la partie supérieure 1 boule de 5 unités.
Le boulier russe :
Le boulier russe comporte 10 boules enfilées sur des tiges.
Le boulier de 10 boules a été employé dans les écoles communales françaises au XIXe siècle pour apprendre à calculer. Pour les opérations sur le boulier, il suffit de connaître par cœur les tables d’addition et des multiplication des nombres de 1 à 9 . La numération de position permet d’écrire de façon simple de grands nombres avec peu de symboles. Elle est très efficace. Avec la numération de position, on a convenu d’écrire les nombres en commençant par le chiffre de rang le plus élevé. Mais pour lire un nombre on doit donc noter ce rang immédiatement. Il faut donc repérer, plus à droite, la position du chiffre des unités ! C’est pour cela que nous faisons des paquets de trois chiffres à partir des unités. Cet inconvénient disparaît sur le boulier. Le boulier s’utilise à plat sur un plan horizontal. On ne prend en compte que les boules qui sont près de la barre centrale. Le nombre de chiffres d’un nombre correspond au nombre de tiges : de droite à gauche on a les unités puis les dizaines, puis les centaines etc.. Si l’on doit calculer avec une virgule, on repousse la rangée des unités aussi loin que l’inscription des chiffres après la virgule le nécessite.
Les boules du haut valent 5 unités et celles du bas 1 unité (comme pour le chinois). Seules les boules près de la barre centrale sont prises en compte. Les nombres se lisent de gauche à droite. Pour additionner, on procèdera de gauche à droite.
Choisir l’écriture d’un nombre ou l’addition pas à pas de deux nombres. L’inscription ou l’opération se fera, pas à pas, en cliquant sur le bouton fléché.
Exercez-vous à écrire avec le boulier. Un nombre est proposé il faut le composer sur le boulier en cliquant les boules adéquates. On peut les monter ou les descendre une par une ou bien plusieurs à la fois. Quand c’est fait cliquer sur OK. Quand l’aide est activée, le nombre construit sur le boulier s’affiche au fur et à mesure des clics sur les boules.
Voici une d’autres animations pour utiliser des bouliers :
Sur le plan pratique on ne travaille qu’avec 3 doigts.
L’addition et la soustraction s’effectuent de gauche à droite. Ainsi pour ajouter 56 à 140, on ajoutera d’abord les dizaines (5 dizaines) puis les 6 unités. L’addition est un problème de positionnement et de gymnastique mentale.
On peut faire un nombre de différente façon. Par exemple, pour ajouter 4 :
– on le fait directement si les boules sont disponibles.
– on abaisse une du haut (+5) et on abaisse une du bas (-1) : 5 – 1 = 4
– on soulève en même temps une du haut (-5) et une boule de la tige suivante (+10) et on abaisse une boule du bas (-1) d’où 10 – 5 – 1 = 10 – 6 = 4
La soustraction : Opération inverse de l’addition, la soustraction à l’aide du boulier consiste à poser le premier membre de la soustraction et à retirer les boules correspondant au second membre de l’opération. La soustraction s’effectue en partant de la gauche du boulier, sur le plus grand des deux nombres.
La multiplication : La multiplication est l’opération qui consiste à additionner le multiplicande autant de fois que l’indique le multiplicateur afin d’obtenir le résultat appelé produit. Pour faire une multiplication avec un boulier, on écrit le multiplicateur à gauche et le multiplicande à droite laissant autant de colonnes libres que le multiplicateur comprend de chiffres.
exemple : 123 X 4
1) 4 X 3 = 12
2) 4 X 20 = 80 que l’on ajoute à 12
3) 4 X 100 = 400 que l’on ajoute à 92
La division : La division est l’opération inverse de la multiplication, qui consiste à soustraire le diviseur du dividende autant de fois qu’on le pourra. Le résultat de l’opération ou quotient représente le nombre de fois que l’on a le diviseur dans le dividende. C’est un exercice très délicat sur le boulier, qui demande une parfaite maîtrise des trois autres opérations.
D’abord on place le diviseur à gauche et le dividende à droite et l’opération terminée, le quotient prend la place du dividende et le reste la dernière colonne à droite.
Prenons la division, 186 / 6 = 31
1) 1 / 6 => 10 / 6 = 1 reste 4 à ajouter au chiffre suivant 8
2) 12 / 6 = 2 que l’on ajoute à la colonne précédente
3) 6 / 6 = 1 que l’on ajoute à la colonne précédente
II°/ L’Algorithmique :
L’algorithmique c’est l’art de découper un problème complexe en tâches élémentaires.
En effet, pour faire accomplir quelque chose d’à peu près utile au tas de ferraille que vous appelez un robot sophistiqué, il est inutile de compter sur son esprit d’initiative. Au contraire, il faut tout lui expliquer correctement. Et en détail. Patiemment. Car, malgré les apparences, l’ordinateur le plus sophistiqué n’a pas beaucoup plus d’intelligence qu’une ancienne machine à coudre. Et à pédales encore !
Le mot « algorithme » vient du nom du mathématicien Al-Khwârizmî (latinisé au Moyen Âge en Algoritmi), qui, au IXe siècle écrivit le premier ouvrage systématique donnant des solutions aux équations linéaires et quadratiques.
Voici 2 vidéos très instructives :
Un jeune chasseur du néolithique apprend avec son père à fabriquer une hache à partir de bois, de silex et d’os. Tout doit être exécuté à la perfection, dans un ordre précis. Mais aujourd’hui, nous utilisons des machines qui travaillent à notre place en obéissant à un programme spécifique. Cet épisode revient sur les étapes qui ont permis à l’être humain de découvrir et maîtriser les algorithmes.
En 1843, sur la machine à calculer de Charles Babbage, Ada Lovelace fabrique ce qui est considéré comme le tout premier programme informatique au temps où les ordinateurs n’existaient pas. En utilisant des fiches perforées à la manière d’un orgue de barbarie, cette machine était capable d’effectuer des calculs élémentaires mais aussi et surtout des boucles de calcul à l’instar de nos ordinateurs. Ada Lovelace pu ainsi calculer les nombres de Bernoulli à partir du nombre B3.
III°/ L’informatique :
L’homme a toujours chercher à automatiser les tâches du quotidien, quelles soient physiques ou intellectuelles.
Il a inventé la parole puis l’écriture, le calcul puis les algorithmiques, les machines à calculer puis les ordinateurs. Voici une chronologie de ces inventions.
S’inspire du métier à tisser de Jacquard, pour élaborer une machine qui, à l’aide de cartes perforées, évalue les différentes fonctions (addition, soustraction, multiplication, et division).
Principe : Les cartes perforée Stockage : Les cartes perforées
Fille du célèbre Lord Byron, un des plus grands poètes anglais de son temps, elle développe les principes de base de la programmation en travaillant avec Charles Babbage sur sa machine.
Principe : Les cartes perforée Stockage : Les cartes perforées
Il publie en 1936 un article “On Computable Numbers” définissant les bases théoriques de la programmation sur des machines capables d’effectuer des calculs. Il parvient en 1940 à “cracker” la machine de cryptage nazi appelée Enigma.
Principe : Engrenage et tube à vide Stockage : Aucun
Premier ordinateur programmable qui utilise le binaire : le Z1. C’est le premier calculateur programmable fonctionnel. Le Z3 achevé en 1941 est plus fiable que les précédentes versions.
Principe : Les cartes perforée Stockage : Les cartes perforées
Créé en collaboration avec IBM c’est le premier calculateur électromécanique ASCC (Automatic Sequence Controlled Calculator). Installé à d’Harvard, il pèse 5 tonnes et 17 m de long pour 2,5 m de hauteur. Il calcule 5 fois plus vite que l’Homme de façon entièrement automatisée.
Premier ordinateur ne comportant plus aucune pièce mécanique. Il est composé de 18 000 tubes à vide, s’étend sur plus 160 m2 et opère en décimal. Il est surtout utilisé pour effectuer des calculs balistiques.
L’EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer) est une évolution de l’ENIAC. Il permet la mémorisation de 5,5 kilo octets et opère en binaire. Il est composé de 6 000 tubes à vide, 12 000 diodes et s’étend sur plus 45 m2.
Principe : Tubes à vide et diodes Stockage : Programme
Il révolutionne l’informatique, permettant ainsi de fabriquer des ordinateurs moins encombrants en consommant moins d’électricité. Il s’agit d’une sorte d’interrupteur électronique automatique qui remplace les tubes à vide.
Après avoir travaillé sur le Mark 1, elle développe le premier compilateur sur une évolution de l’EDVAC : l’UNIVAC. Un compilateur est un système qui traduit automatiquement le langage des informaticiens en langage machine.
Bien qu’étymologiquement le mot « informatik » fût créé par l’ingénieur allemand Karl Steinbuch en 1957, il est le premier à utiliser sa traduction française « informatique » dès 1962, par la fondation de la Société d’informatique appliquée (SIA). Le mot informatique désigne alors la contraction des mots information et automatique.
Mise au point au Stanford Research Institute. Elle est équipée de deux roues fixées sur deux capteurs et d’un bouton poussoir. La souris est améliorée par Jean-Daniel Nicoud dès 1979 avec une boule et deux capteurs internes ainsi que deux boutons poussoirs.
1965
Programma 101, premier ordinateur personnel d’Olivetti
IBM lance le PC (Personal Computer). Son succès repose sur sa compatibilité logicielle. Quelle que soit la marque de l’ordinateur, les logiciels pour PC sont compatibles. La société Microsoft de Bill Gates, fondée en 1975 distribue rapidement des logiciels d’application (traitement de texte, gestion de base de données, etc.)
les systèmes Macintosh d’Apple Computer sont les premiers à être dotés d’une interface graphique : Lisa OS. Au lieu d’avoir à taper des lignes de commandes au clavier, l’utilisateur peut maintenant se servir d’une souris et cliquer sur des icones. Le contenu est présenté sous la forme WYSIWYG “What You See Is What You Get”.
IXe siècle av. J.-C. en Chine : Le système binaire du Yi Jing , un texte dédié à la divination, est basé sur la dualité du yin et du yang.
Environ Ve – IIe siècles av. J.-C. : Le savant indien Pingala a développé un système binaire pour décrire la prosodie dans son Chandashutram.
Les tambours à fente avec sons binaires étaient utilisés pour coder les messages en Afrique et en Asie
avant 1450 : Les habitants de l’île de Mangareva en Polynésie française utilisaient un système hybride décimal-binaire.
1605 : Francis Bacon discuta d’un système selon lequel les lettres de l’alphabet pourraient être réduites à des séquences de chiffres binaires.
1847, George Boole publia un article intitulé « L’analyse mathématique de la logique » qui décrit un système algébrique de la logique, désormais appelé algèbre de Boole. Le système de Boole était basé sur une approche binaire, un oui-non, on-off qui comprenait les trois opérations les plus élémentaires: ET, OU et NON. Ce système ne fut pas utilisé et fut oublié.
1689 : Le système de numération binaire moderne, base du code binaire, a été inventé par Gottfried Leibniz en 1689 et apparaît dans son article Explication de l’Arithmétique Binaire en 1703.
1937 : Claude Shannon se rend compte que l’algèbre booléenne qu’il avait apprise était semblable à un circuit électrique. La thèse de Shannon devint un point de départ pour l’utilisation du code binaire dans des applications pratiques telles que les ordinateurs, les circuits électriques, etc.
2°/ Utilisation du binaire : 2 chiffres suffisent à coder
Système
Système
Non
Oui
Binaire
Le bit
0
1
Métier à tisser
Une carte perforée
Trou
Plein
Informatique
Transistor
Le courant ne passe pas
Le courant passe
Le bit porte ce nom car il signifie en anglais « binary digit », ce que l’on pourrait traduire par unité binaire. Autrement dit, un chiffre ou un symbole qui représente un des deux états du code binaire. Un bit = 2 possibilités (0 ou 1). Deux bits = 4 états ou possibilités (00 / 11 / 01 / 10). Et ainsi de suite.
Plus les séries de bits (octets) sont longues, plus le nombre de combinaisons possibles augmente : [1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1](2) = 1×210 + 1×29 + 1×28 + 1×27 + 1×26 + 0×25 + 0×24 + 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1 ×20 = 11111001001
3°/ Les unités :
Unités
Valeurs
Unités
Valeurs
bit
0 ou 1
Mega-octet (Mo)
106 octets
byte
de 6 à 9 bit
Giga-octet (Go)
109 octets
Octet (o)
8 bits = 28 nombres = 256
Tera-octet (To)
1012 octets
Kilo-octet (ko)
1000 octets
4°/ Tables de code :
Les 128 premiers caractères (de 0 à 127) représentent le code ASCII sur 7 bits = 27 = 128, les 128 autres le code ASCII étendu sur 8 bits = 28 = 256.
code ASCII :
Déc
Oct
Héx
Binaire
Carac
Signification
0
0
00
00000000
NUL
Caractère Null
1
1
01
00000001
SOH
Début d’en-tête (Start of header)
2
2
02
00000010
STX
Début du texte (Start of Text)
3
3
03
00000011
ETX
Fin du texte (End of Text)
4
4
04
00000100
EOT
Fin de transmission (End of Transmission)
5
5
05
00000101
ENQ
Demande, fin de ligne (Enquiry, End of Line)
6
6
06
00000110
ACK
Accusé de réception (Acknowledge)
7
7
07
00000111
BEL
Caractère d’appel (Bell)
8
10
08
00001000
BS
Espacement arrière (Backspace)
9
11
09
00001001
HT
Tabulation horizontale (Horizontal Tab)
10
12
0A
00001010
LF
Saut de ligne (Line Feed)
11
13
0B
00001011
VT
Tabulation verticale (Vertical Tab)
12
14
0C
00001100
FF
Saut de page (Form Feed)
13
15
0D
00001101
CR
Retour chariot (Carriage Return)
14
16
0E
00001110
SO
Fin d’extension (Shift Out)
15
17
0F
00001111
SI
Démarrage d’extension (Shift In)
16
20
10
00010000
DLE
Échappement de lien de donnée (Data Link Escape)
17
21
11
00010001
DC1
Contrôle de périphérique de 1 à 4 (Device Control)
18
22
12
00010010
DC2
19
23
13
00010011
DC3
20
24
14
00010100
DC4
21
25
15
00010101
NAK
Accusé de réception négatif (Negative Acknowledge)
22
26
16
00010110
SYN
Attente synchronisée(Synchronous Idle)
23
27
17
00010111
ETB
Fin du bloc de transmission (End of Transmission Block)
Posséder des caractères c’est bien pour créer un vocabulaire mais c’est insuffisant pour effectuer des opérations et des commandes logiques. Il faut bien se rappeler que l’on n’a que 2 actions possibles. George Boole développe une nouvelle forme de logique, à la fois symbolique et mathématique. Le but : traduire des idées et des concepts en équations, leur appliquer certaines lois et retraduire le résultat en termes logiques. Pour cela, il crée une algèbre binaire, dite booléenne, n’acceptant que deux valeurs numériques : 0 et 1. Cette algèbre est définie par la donnée d’un ensemble E (non vide) muni de deux lois de composition interne (le ET et le OU) satisfaisant à un certain nombre de propriétés (commutativité, distributivité…).
Voici comment traduire une commande ET entre 2 action A et B.
Voici comment traduire une commande OU entre 2 action A et B.
Passer la souris sur les images ci-dessous pour observer les détails.
Antiquité et moyen-âge :
Époque moderne :
Époque contemporaine :
2°/ La frise de fr.mathigon.org : Une autre superbe frise chronologique interactive. La plupart des références sont en Français, mais aussi en Anglais (cliquer sur l’image) :
II°/ Histoire et origine des symboles mathématiques :
Les symboles que l’on utilise actuellement de manière naturelle n’ont pas toujours existé. Ils sont apparus en général entre le XVème et le XVIIIème siècle.
Cette page traite principalement des symboles utilisés au collège.
=
« Rien n’est plus égal que deux segments de mêmes longueurs » d’après Recorde.
Robert Recorde (Anglais, 1510-1558) en 1557 dans son livre The Whetstone of Witte.
<et>
Ressemble au signe =.
Thomas Harriot (Anglais 1560-1321) en 1621 dans son livre Artis analyticae praxis.
Vient de l’esperluette qui est le symbole &. Au début ce symbole était écrit ainsi Widmann a simplement utilisé la ligature entre le « E » et le « t ».
Johannes Widmann (Allemand, vers 1460) dans son livre Behende vnd hubsche Rechenung.
– (soustraction) à la place de m
C’est l’initiale de minus (du latin moins), le m étant écrit plus rapidement par une barre.
Johannes Widmann (Allemand, vers 1460) dans son livre Behende vnd hubsche Rechenung.
Les quaternions englobent les nombres réels et complexes dans un système de nombres où la multiplication n’est plus une loi commutative. Les quaternions furent introduits par le William Rowan Hamilton (Irlandais ) en 1843.
Les octonions ou octaves sont une extension non associative des quaternions. Ils forment une algèbre à huit dimensions sur le corps ℝ des nombres réels. John T. Graves en 1843.
John Wallis (Anglais 1616-1703) en 1655. Symbole venant soit d’une ligature de la lettre m, initiale de mille, soit de la dernière lettre de l’alphabet grec w (omega), soit de la forme de la lemniscate.
René Descartes (Français 1596-1650) ou Carl Friedrich Gauss (Allemand 1777-1855).
Exemple : \frac{ \pi }{2}= \frac{2}{1}\times\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{5}... = \prod_{k=1}^{+ \infty }\frac{(2k)^{2}}{(2k+1)(2k-1)))}
a ^ b (produit vectoriel)
BURALI-FORTI (Italien 1861-1931) / Roberto MARCOLONGO (Italien 1862-1943). Aux USA la croix (x) instituée par Willard GIBBS (1839-1903, USA) ou les crochets [u,v] sont plutôt utilisés.
\overrightarrow{AB} (Vecteur AB)
Simon Stevin (Flandre 1548-1620). Popularisé en France dans les années 1930.
\left \| AB \right \| (norme du vecteur \overrightarrow{AB} cad sa longueur)
Gottlob Frege (Allemand 1848-1925) ou peut-être Giuseppe Peano (Italien 1858-1932). C’est un E retourné, initiale du mot allemand existieren
\forall (quel que soit …, pour tout …)
David Hilbert (Allemand, 1862-1943) ou Gerhard Gentzen (Allemand 1909-1945) en 1933. C’est un A retourné, initiale du mot allemand Alles, tout.
\in (Appartient)
Giuseppe Peano (Italien 1858-1932)(en 1890). C’est la lettre grecque e (epsilonn), initiale de esti (esti), il est.
Ensemble
Georg Cantor (Allemand, en 1883), en allemand Menge, foule
Groupe
Evariste Galois (Français, en 1830)
Anneau
Richard Dedekind (Allemand, en 1871, dans « Lehrbuch des Algebra »), de Ring, anneau, cercle (au sens de cercle d’amis, cercle d’officiers, de bridge, des poètes disparus, …)
Corps
Richard Dedekind (Allemand, en 1871, dans « Lehrbuch des Algebra »), de Körper, corps (au sens de corps de métier, corps enseignant, esprit de corps, …). D’où la notation K souvent utilisée pour un corps.
En anglais, corps se traduit par field, champs, et un corps y est souvent noté F.
Dans les ateliers du XIXéme siècle, les ouvriers typographes avertissaient leurs collègues de l’arrivée du chef en criant « 22 ».
Il s’agissait d’un code numérique assez naturel pour ceux qui devaient prendre les lettres une à une dans des cases pour en faire des mots et des phrases : chaque lettre était codée par son rang dans l’alphabet. C H E F ↓ ↓ ↓ ↓
3 8 5 6 → 3 + 8 + 5 + 6 = 22
A
Abscisse
Ce mot est emprunté au latin moderne abscissa (linea) qui signifie « ligne coupée » du latin abscissus, participe passé de abscidere (i.e. « couper »), de ab (à) et de caedere (ciseau). Il semblerait que ce soit Leibniz qui, le premier, en 1692, introduisit ce mot (ainsi que les 2 autres mais sur ce point, les avis divergent puisque certains dictionnaires étymologiques attribuent la première utilisation de « ordonnée » à B. Pascal.). Newton utilise abscisse en 1686.
Acutangle
Du latin acutus (pointu ou aigu) et angulus (angle).
Adjacent
Provient du latin ad– et jacere (être couché auprès de).
Affine
Du latin ad finis (vers la limite). En 1748, dans un texte intitulé « de la similitude et de l’affinité des courbes » (tiré de « introductio in analysin infinitorum, Lausanne, 1748, traduction française de J.B. Labey »), Euler écrit que lorsqu’on change x en ax et y en by, les courbes sont semblables si a = b, qu’elles ne le sont plus si a est différent de b, mais « qu’elles ont entre elles de l’affinité ». Le nom est passé à l’adjectif. Cependant, le masculin devrait être affin, mais il semblerait que ce soit un passage par l’anglais qui soit à l’origine d’affine .
De l’arabe Al Jabr (remplir ou réduire une fracture). En arabe, al Jabr signifie la remise en place des membres, le reboutage. En espagnol, un algebrista est un « rebouteux »… Ce mot fut introduit et utilisé en mathématiques par le mathématicien persan Al Khwarizmi (Voir algorithme) pour désigner une méthode exposée dans son traité d’algèbre « Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wa al-Muqàbala » pour résoudre une équation.
• Al Jabr (la remise en place) est la méthode qui consiste à éliminer une quantité négative dans chaque membre de l’équation. Exemple : passer de x2– 10x + 95 = x2 + 5 à x2 + 95 = x2 + 5 + 10x .
• Al Muqabala (la mise en face l’un de l’autre, la confrontation, puis par dérive, la simplification) est la méthode qui consiste à soustraire une même quantité à chaque membre de l’équation. Exemple : passer de x² + 95 = x² + 5 + 10x à 90 = 10x.
• Al-Hatt est la méthode qui consiste à diviser les deux membres par un même nombre. Exemple : passer de 4x² – 10 = 6x à 2x² – 5 = 3x (division par 2).
Algorithme
Du surnom latin Algorismi du mathématicien arabe Al Khwarizmi. Al Khwarizmi (780-850), de son vrai nom Abu Ja’far Mohammed Ben Mussa Al-Khwarismi, natif de la région de Khwarezm (aujourd’hui Khiva), au sud de la Mer d’Aral (Ouzbékistan), mort à Bagdad. On connaît en Occident son manuscrit d’algèbre « Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr w’al-Muqàbala » , traitant de la résolution des équations, dont Gherardo di Cremona (1114-1187) a donné une traduction latine sous le titre « Dixit Algorismi ». L’autre ouvrage connu d’Al Khwarizmi s’appelle : « Kitab al Jami wa al Tafriq bi Hisab al Hind » (livre de l’addition et de la soustraction d’après le calcul des indiens). C’est le premier livre arabe connu où la numération décimale de position et les méthodes de calcul d’origine indienne font l’objet d’explications détaillées. L’introduction des oeuvres d’Al-Khwarizmi en Occident au XIIème siècle a eu un rôle essentiel dans l’apparition de la numération de position en Europe. (Voir zéro)
Ambligone
Du grec amblus (faible) et gonia (angle). Se disait (jusqu’au Moyen-Age et à la Renaissance) d’un triangle qui possédait un angle obtus. On dit aujourd’hui triangle obtus ou triangle obtusangle.
Amiables (nombres amiables)
Se dit de deux nombres dont la somme des diviseurs propres de l’un est égale à l’autre. Ce qualificatif fut donné par Pythagore. (220 ; 284) est le couple de nombres amiables le plus connus. Il était connu des Pythagoriciens. ( 220 = 22 x 5 x 11 a pour diviseurs propres 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110 dont la somme vaut 284 et 284 = 22 x 71 a pour diviseurs propres 1, 2, 4, 71, et 142 dont la somme vaut 220 ). Al-Farisi découvrit le couple ( 17 296 ; 18 416), qui s’appelle actuellement « couple de Fermat » . Al-Yazdi trouva vers 1500 le couple ( 9 363 584 ; 9 437 056), qui s’appelle actuellement « couple de Descartes ». Par ordinateur, il a été trouvé 42 coulples de nombres amiables inférieurs à 10 000 000. On ne connaît pas de couples de nombres amiables dont l’un est pair et l’autre impair.
Angle
Du latin angulus (angle), du grec agkulos (recourbé à lire « ankulos »), de agkon (coude, même racine que ankylose) ou du grec agkulosis (courbure.
Arithmétique
Du grec arithmos (nombre).
Arrondi
Du latin rotundus (rond) et de rota (roue). Arrondir, c’est rendre rond.
Axiome
Du grec axioma (j’estime, je crois vrai).
B
Barycentre
Du grec barus (lourd) et kentron (aiguillon, pointe). Le barycentre est le centre de masse, aussi appelé centre de gravité.
C
\mathbb{C}, ensemble des nombres complexes
Notation introduite par Gauss en 1831. Descartes appelait ces nombres les nombres imaginaires.
Calcul
Du latin calculus (caillou). A l’origine, les bergers avaient un pot à l’entrée de la bergerie où ils jetaient autant de cailloux que de moutons qui sortaient afin de vérifier leur nombre au moment de les rentrer. On parle aussi de calculs rénaux (qui correspond à des petits cailloux dans les reins).
Carré
Du latin quadratus et de quadrare (rendre carré, équarrir). Les Grecs utilisaient le mot tétragone (Euclide dans Les Eléments, par exemple, dans le théorème de Pythagore, livre I proposition 47).
Cavalière (perspective cavalière)
De l’italien cavalliere (qui va à cheval), de cavallo (cheval). L’origine est militaire, et on a dit aussi « perspective militaire ». Il s’agit d’une perspective utilisée dans le dessin d’architecture militaire pour représenter des fortifications. Un cavalier est, en matière de fortification, une construction de terre, élevée, située en arrière d’autres constructions et plus haute qu’elles, de manière à dominer ces autres constructions et même la campagne environnante par où viendront les assaillants. La vue d’un observateur situé sur le haut du cavalier sur ces éléments plus bas, est dite « vue cavalière ». La perspective cavalière est le procédé utilisé par le dessinateur de fortifications pour rendre la vue cavalière.
Centième
Du latin centesimus (centième).
Centre
Du latin centrum, du grec kentron (aiguillon, pointe).
Cercle
Du latin circulus, diminutif de circus (cirque). Le mot grec désignant un cercle et kuklos, qui a donné le mot cycle en français.
Chiffre
De l’arabe sifr (zéro, vide), en passant par l’italien cifra (prononcer tchi-) et l’ancien français cifre (XIIIème siècle). (Voir zéro)
Circonscrit
Du latin circum (autour) et scribere (écrire).
Compas
Provient du latin cum (avec) et passare (le pas), mesurer avec le pas.
Cosinus
Du latin cum (avec) et du mot sinus.
Cylindre
Du grec kulindros (rouleau, cylindre), de kulindein (rouler), de kuklos (cercle).
D
\mathbb{D}, ensemble des nombres décimaux
Du français décimal, notation franco-française de la pédagogie des années 1970…
Déca-
Du grec deka (dix). Préfixe qui signifie 10 ou « multiplié par 10 ».
Décagone
Du grec deka (dix) et gonia (angle).
Déci-
Du latin decimus (dixième). Préfixe qui signifie « divisé par 10 », « dixième ».
Décimal
Du latin decimus (dixième). En latin, decem signifie dix.
Dénominateur
Du latin denominare (nommer). C’est le dénominateur qui donne son suffixe à la fraction : 1/2, 1/5, 5/7 sont dénommées un demi, un cinquième , cinq septièmes.
Développer
De l’ancien français voloper du latin faluppa (balle de blé).
Diamètre
Du grec dia (à travers) et metron (mesure).
Dodécagone
Du grec dodeka (douze) et gonia (angle).
Droite
Du latin directus (direct).
Définition, extraite des commentaires du Programme de quatrième de décembre 1971 : version Maths moderne.
Une droite affine D est un ensemble \mathbb{R} muni d’une famille B de bijections de \mathbb{E} sur \mathbb{R} telles que, pour tout f élément de B et pour tout élément (a,b) de \mathbb{R}* ×\mathbb{R}, l’application définie par g(M) = a f(M) + b appartient aussi à B, et réciproquement. L’ensemble E est appelé « le support de la droite affine D », un élément M de E est appelé « un point de la droite affine D ».
E
Ennéagone
Du grec ennea (neuf) et gônia (angle). (Figure plane à neuf angles et neuf côtés). On dit parfois nonagone, ce qui est incorrect puisque nona est une racine latine.
Equation
Du latin aequatio (égalité). Ce mot n’est apparut qu’en 1740.
Equerre
Du latin exquadrare (équarrir) (rendre carré)
Equilatéral
Du latin aequus (égal) et latus (côté).Les grecs utilisaient le mot isopleure.
F
Facteur
Du latin factor (celui qui fait). Les facteurs d’un produit font (fabriquent) le produit. En grec (dans les Eléments d’Euclide), le mot désignant un facteur d’un produit est pleura, qui signifie côté, car , géométriquement, le produit est considéré comme l’aire d’un rectangle et les longueurs des côtés sont les facteurs du produit. Le mot facteur est utilisé en 1202 par Fibonacci : « factus ex multiplicatione ».
Fonction
Du latin functio (accomplissement), de fungi (s’acquitter de, exécution). Utilisé en 1637 par le mathématicien et philosophe français René Descartes, pour désigner une puissance xn d’une variable x. Le terme fonction apparait dans un manuscrit en latin, « Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus », du mathématicien et philosophe allemand Wilhelm Gottfried Leibniz (1646-1716) en 1673 . Il l’appliquait à différentes caractéristiques d’une courbe, comme par exemple sa pente. La définition la plus utilisée actuellement a été énoncée en 1829.
Fraction
De l’italien fractiones (du latin frangere, casser), traduction de l’arabe kasr (rompu, fracturé). C’est le traducteur Adélard de Bath au 12ème siècle qui utilise le mot fractiones dans sa traduction d’Al-Kwarizmi. Les fractions sont des « nombres rompus ».
G
Géographie
Provient du grec gê (la Terre) et graphein (décrire). On décrit la Terre.
Géométrie
Du grec gê (la terre) et metron (mesure).
Gramme
Du grec grammê (ligne ou signe écrit) provient d’une déformation du mot latin scrupulum (« scrupule » unité de poids égale au vingt-quatrième de l’once) avec scripulum qui est un dérivé de scribere. (écrire)
H
Hauteur
Du latin altus (haut).Les auteurs latins utilisaient le mot altitude ou le mot grec cathète. Les grecs utilisaient le mot cathète ou hupsos. Les arabes parlaient de colonne.
Hazard
Vient de l’Arabe « az-zahr » qui signifie « dé à jouer ».
Hecto-
Du grec hekaton (cent). Préfixe qui signifie 100 ou « multiplié par 100 ».
Hendécagone
Du grec hendeka (onze) et gonia (angle).(Figure plane à onze angles et onze côtés)
Heptagone
Du grec hepta (sept) et gonia (angle).
Hexagone
Du grec hex (six) et gonia (angle).
Hypoténuse
Du grec upoteinousès (tendu sous). Le mot hypoténuse apparaît dans la propriété 47 du livre I des éléments d’Euclide , appelé aujourd’hui théorème de Pythagore, en grec dans le texte : » thV thn orqhn gwnian upoteinoushV pleuraV » qui se lit « tès tèn orthèn gônian upoteinousès pleuras » et qui signifie « le côté tendu sous l’angle droit ». Les agrimenseurs latins (arpenteurs romains) utilisaient le mot podismus. Le mot hypoténuse vient donc du verbe tendre. Voilà pourquoi il ne prend pas de h après le t.
Hypothèse
Du grec hypo (sous) et theinai (poser dans le sens « action de poser »).
I
Inscrit
Du latin in (dans) et scribere (écrire).
Intervalle
Provient du latin intervallum, de inter (entre) et vallus (l’espace entre deux palissades).
Isocèle
Du grec isos (égal) et skelos (jambe).
Isopleure
Du grec isos (égal) et pleura (côtés). Ce mot n’est plus utilisé et a été remplacé par équilatéral.
J
K
Kilo-
Du grec kiloi (mille). Préfixe qui signifie 1000 ou multiplié par 1000.
L
Latère, latéral
Du latin latus (côté). Au IIème siècle, la lettre L désignait la racine carré d’un nombre. Par exemple, L7 désignait le côté d’un carré dont l’aire vaut 7.
Losange
De l’ancien français losange (louange). Les armoiries destinées à rappeler les hauts faits des seigneurs féodaux et à faire leur louange étaient jadis encadrées dans un rhombe (figure que l’on nomme aujourd’hui losange).
M
Mathématiques
Vient du Grec μάθημα (máthēma) qui est dérivé du verbe μανθάνω (manthánô) qui veut dire « qui aime apprendre ». Il faut donc noter que pour les Grecs, on appelait Mathématiques le fait d’apprendre n’importe quelle matière. En France, ce mot est utilisé au pluriel : Les Mathématiques.
Médiatrice, médiane
Du latin medianus (qui est au milieu).
Mètre
Provient du grec metron (mesure). Le terme de cette unité date de la révolution française.
Milieu
De mi et lieu !
Million
Du mot italien millione obtenu en ajoutant le suffixe au mot mille. En 1484, N. Chuquet invente les mots billion, trillion, etc… qui apparaissent ensuite en 1520 dans un livre de Emile de la Roche. Selon la règle actuelle, le Nième zillion est 106N ( mais 103N + 3 aux Etats-Unis !).
Moyen (moyenne)
Du latin medianus (qui est au milieu).
Multiplication
Provient du latin multum (beaucoup) et plier. Pour multiplier deux nombres, on se servait d’une corde que l’on pliait. Par exemple 2*3, On pliait la corde suivant un écart de 2 unités 3 fois. En dépliant, on obtenait la longueur résultante du produit.
N
\mathbb{N}, ensemble des entiers naturels
De l’italien naturale par Peano (1858-1932).
Naturel (nombres entiers naturels)
Vient évidemment de nature. Cette dénomination vient de Nicolas Chuquet qui parlait de « progression naturelle » pour la suite des entiers positifs 1, 2, 3, 4, … . Le mot naturel pour désigner ces nombres fut introduit par William Emerson par la suite (en 1763). L’ensemble des entiers naturels est noté N, du mot italien naturale, naturel (notation introduite par Peano 1858-1932).
Négatif
Du latin negare (nier).
Normal
Du latin norma (règle), équerre en prenant le sens d’équerre.En toute logique, le mot orthonormal est donc un pléonasme (et incorrect puisqu’un mélange d’une racine grecque et d’une racine latine). Il vaut mieux parler d’un repère orthonormé.
Norme
Du latin norma, règle, équerre au sens de règle, loi, modèle.
Numérateur
Du latin numerus (nombre). Le numérateur donne le nombre de parties imposées par le dénominateur. Dans 7/16, le nombre de seizièmes est 7.
O
Obtus
Du latin obtusus (émoussé).
Octogone
Du grec okto (huit) et gonia (angle).
Ordonnée
Est attesté en 1639 pour désigner la coordonnée verticale servant à définir la position d’un point. Peut-être parce que la droite était déjà perçue comme un ensemble ordonné. Ordonnée semblerait être issue d’un texte de Descartes qui parlait de droites « menées d’une manière ordonnée » ainsi que de « lignes droites appliquées par ordre » (ordinatim applicatae) depuis la « ligne coupée » (linea abscissa, c’est-à-dire l’axe des abscisses). Le mot ordonnée est utilisé par Pascal en 1658.
Orthogonal
Provient du grec ortho (droit) et gonia (angle). Même racine que Orthographe cad « graphier droit » (dans le sens écrire bien)
Orthogone
Du grec ortho (droit) et gonia (angle). Ce mot n’est plus utilisé que sous forme de l’adjectif orthogonal et signifiait (jusqu’au Moyen-Age et à la Renaissance) rectangle (adjectif et nom).
Oxigone
Du grec oxus (piquant, acide (même racine que oxyde, oxygène, …)) et gonia (angle). Se disait (jusqu’au Moyen-Age et à la Renaissance) d’un triangle qui a tous ses angles aigus. On dit utilise aujourd’hui le mot d’origine latine triangle acutangle.
P
Parallèle
Du grec para (auprès) et allêlôn (l’un l’autre).
Parallélépipède
Du grec para (auprès) et allêlôn (l’un l’autre), epipedon, surface unie
Parallélogramme
Du grec para (auprès) et allêlôn (l’un l’autre) et de grammê (ligne).Euclide disait rhomboïde. En anglais, de nos jours, parallélogramme se traduit par rhomboid.
Pentagone
Du grec pente (cinq) et gonia (angle).
Périmètre
Du grec peri (autour) et metron (mesure).
Perpendiculaire
Du latin perpendiculum (fil à plomb).
Point
Du latin punctus, piqûre, du verbe pungere, poindre.
Polyèdre
Du grec polus (nombreux) et edra (face).
Polygone
Du grec polus (nombreux) et gonia (angle).
Pont aux ânes (pons asinorum)
Démonstration mathématique que tout le monde devrait connaître. Nom donné au XVIIIème siècle par les étudiants au théorème du carré de l’hypoténuse (théorème de Pythagore).
Positif
Du latin positivus (qui repose sur quelque chose), d’où établi, conventionnel. Par opposition aux nombres négatifs, qui furent niés par les mathématiciens pendant longtemps.
Postulat
Du latin postulare (demander).
Prisme
Du grec prisma (sciure), de prizein (scier). Chez Euclide, un prisme est un « polyèdre à pans coupés ».
Produit
Du latin producere (faire avancer, puis amener, causer) et du verbe ducere (conduire). Le produit est la conséquence, le résultat, des facteurs.
Pyramide
Il y a deux possibilités. Du grec puramis (gâteau conique offert aux morts), ou de l’égyptien pir-em-us, qui désignait la hauteur abaissée du sommet de la pyramide sur la base.
Q
\mathbb{Q}, ensemble des nombres rationnels
De l’italien quotiente par Peano.
Quadrilatère
Du latin quatuor (quatre) et latus (lateris), côté. Le mot équivalent d’origine grecque est tétrapleure (quatre côtés) ou tétragone (quatre angles). Pour les Grecs, un quadrilatère avec un angle rentrant s’appelait un koïlogone, de koïlos, creux et certains appelaient trapèze un quadrilatère dont tous les côtés sont inégaux.
R
\mathbb{R}, ensemble des nombres réels
De l’allemand real par Dedekind (1831-1916)
Racine
Du latin radix (racine). Au IIème siècle, la lettre L désignait la racine darré d’un nombre, initiale du mot latin latus, côté. Par exemple, L7 désignait le côté d’un carré dont l’aire vaut 7.
Radian
Du latin radius (rayon). Un radian est un angle qui intercepte un arc de cercle dont la longueur est le rayon du cercle. Mot introduit par Thomson en 1873.
Rationnel
Du latin ratio (raison, rapport, quotient). L’ensemble des nombres rationnels est noté Q, du mot italien quotiente, quotient (notation introduite par Peano 1858-1932). Il semblerait que ce soit l’écrivain latin Cassiodore (498-575) qui ait utilisé ce mot pour la première fois.
Rayon
Du latin radius (rayon (de lumière, de roue)).
Rectangle
Du latin rectus (droit) et angulus (angle). Les grecs utilisaient le mot orthogone, ou aussi hétéromèque.
Réel
Du latin médiéval realis, du latin res (chose). La désignation de nombre réels est dûe au Français René Descartes (1596-1650) en 1637. L’ensemble des nombres réels est noté R, du mot allemand real, réel (notation introduite par Georg Cantor 1845-1918).
Résoudre
Du latin resolvere (délier).
S
Scalène
Du grec skalenos (oblique, boîteux). Se dit d’un triangle qui n’a pas deux côtés de même longueur.
Sécante
Du latin secare (couper).
Section
Du latin sectio (action de couper), de secare (couper).
Segment
Du latin segmentum (morceau coupé), de secare (couper).
Sinus
Du sanscrit jiva (jya) (corde d’arc), utilisé par le mathématicien indien Aryabhata (476-550)dans son ouvrage Aryabhatiya achevé en 499. Passé à l’arabe jîba (mot qui n’a pas de signification en arabe) par le mathématicien arabe Al-Fazzari (VIIème s.) puis par erreur à jaîb, poche, repli de vêtement lors de sa traduction en latin par Gérard de Crémone (1114-1187) qu’il traduit alors en latin par sinus, pli, courbure (qui a également donné le mot « sein »). C’est REGIOMONTANUS (Allemand, 1436-1476) qui utilisa au 15ème siècle le mot sinus au sens où on l’entend maintenant .
Solution
Du latin solutio (action de délier, de dissoudre).
Somme
Du latin summa (partie la plus haute).
Sommet
Du latin summa (partie la plus haute).
Soustraction
Du latin subtrahere de sub (en-dessous) et trahere (tirer). Saviez-vous que le verbe soustraire ne peut se conjuguer au passé simple ?
Symétrie
Du grec summetria (juste proportion), de syn (avec) et de metron (mesure).
T
Tangente
Du latin tangere (toucher). Dans le sens, où la droite « touche » le cercle en un point.
Terme
Du latin terminus (borne, mot).
Tétraèdre
Du grec tessara (quatre) et edra (face).
Tétragone
Du grec tessara (quatre) et gonia (angle). Ce mot n’est plus employé et on lui préfère quadrilatère. Tétragone est employé par Euclide dans Les Eléments pour désigner le carré (Par exemple, dans le théorème de Pythagore, livre I proposition 47).
Théorème
Emprunté au latin théorêma (que l’on peut contempler), objet d’étude ou spectacle, du grec theorein (contempler, observer, examiner). Le mot théorie a la même origine.
Trapèze
Du grec trapeza, table (à quatre pieds). Les auteurs latins utilisaient le mot mensa ou mensula, table. Aujourd’hui, en Grèce, le mot trapeza signifie banque (vestige du temps où le banquier était assis à une petite table pour compter l’argent).
Triangle
Du latin tres (trois) et angulus (angle). Les grecs utilisaient le mot trigone (trois angles) ou le mot tripleure (trois côtés).
Trigonométrie
Du grec treis, tria (trois), gonia (angle) et metron (mesure) ( mesure des trois angles).En grec , le mot trigone, désigne un triangle (dans les éléments d’Euclide, par exemple. Voir ‘le théorème de Pythagore en grec’). C’est le grec Hipparque (IIème s. av JC) qui est l’ancêtre de la trigonométrie et qui introduisit la division du cercle en 360°.
Troncature
Du verbe tronquer, du latin truncare (amputer, mutiler). Même racine que tronc et tranche.
U
V
Vecteur
Du latin vector, de vehere (conduire).
Volume
Du latin volumen (rouleau), puis manuscrit (roulé), de volvere (tourner, rouler).
W X Y
Z
\mathbb{Z}, ensemble des entiers relatifs
De l’allemand Zahl (nombre) et zahlen (compter) par Dedekind (1831-1916)
Zéro
Contraction de l’italien zefiro, de l’arabe sifr (zéro, vide), du sanscrit sunya (vide). L’ouvrage d’Al Khwarizmi « Kitab al Jami wa al Tafriq bi Hisab al Hind » (livre de l’addition et de la soustraction d’après le calcul des indiens) est le premier livre arabe connu où la numération décimale de position et les méthodes de calcul d’origine indienne font l’objet d’explications détaillées. C’est Léonard de Pise (1170-1250), connu également sous le nom de Fibonacci qui ramena le zéro d’Algérie dans son livre « Liber Abaci ». Il traduisit sifr par zefirum. L’introduction de la numération de position à base 10 vient du traité de l’indien Brahmagupta (v.598- v.665), « Brahmasphutasiddhanta » en 628, un traité d’astronomie avec des tables, qui fut traduit en arabe sous le titre « Sindhind ». On y voit pour la première fois les 10 symboles et leurs noms en sanskrit :
Liverpool, Berceau des Beatles, Connaît Naturellement des Olibrius Fanatiques et Nerveux
Napoléon Mangea Allégrement Six Poulets Sans Claquer ses Articulations
Kroutchev Caressa Scandaleusement Titov. Vania Cria Magnanimement Fais-pas-l’ Con
Nikita, la Cuisine en Zinc de la Gare de Genève A Ses Briques Creuses.
V°/ Les nombres et la superstition :
Tout le monde connait le nombre 13 et la superstition qui l’entoure, mais il n’y a pas que ce nombre dans le monde.
Vendredi 13 :
En France, les avis concernant le vendredi 13, porte bonheur ou porte malheur, sont divisés. L’origine la plus connue du vendredi 13 est liée à la religion.
La Bible indique en effet que Jésus a été crucifié un vendredi. Le Christ a réuni 12 apôtres durant son dernier repas, la Cène. Ils sont alors 13 à table, la 13e personne n’est autre que Judas, le traître.
La superstition a un nom précis, la triscaidecaphobie c’est-à-dire la peur du 13 (de triscaideca et phobie) et la paraskevidékatriaphobie si vous avez peur du vendredi 13.
Il y a des endroits, comme le Tibet, où le nombre est considéré comme favorable. Dans Italie cependant, l’attitude est ambiguë : dans certains cas, comme à table, le 13 est considéré comme « dangereux », mais dans d’autres occasions il a une signification favorable : « faire treize » c’est synonyme d’avoir un grand coup de chance, car dans les paris de football, c’est le score le plus élevé possible et garantit d’énormes prix en espèces (il faut savoir que jusqu’aux années 1990, les paris de football étaient beaucoup plus populaires qu’aujourd’hui).
Mardi 13 pour l’Espagne :
Le chiffre 13 est également de mauvais augure pour les Espagnols, mais pour eux, il s’agit plutôt du mardi 13. Il faudrait donc éviter de se marier, de prendre l’avion ou tout simplement de sortir de chez soi un mardi 13. Cette superstition viendrait des origines étymologiques du mot « martes », issu du nom du dieu de la guerre, « Mars », mais aussi à l’épisode biblique de la tour de Babel. Le châtiment divin provoquant la confusion des langues serait tombé un mardi 13.
Le nombre 17 : maudit en Italie
Les raisons ? Tout d’abord, parce que le 1 ressemble à un pendu et le 7 à une potence. Ensuite, parce qu’en chiffres romains, 17 s’écrit XVII, soit l’anagramme de VIXI qui signifie « j’ai vécu », en latin. Autrement dit, « je suis mort ». Que du bonheur, surtout si le 17 tombe un vendredi !
La superstition a un nom précis, heptacaïdécaphobie c’est-à-dire la peur du 17 (de heptacaideca et phobie).
Il paraît que le 17 était déjà abhorré par Pythagore et par ses disciples au 6ème siècle avant JC. C., car il se trouve au milieu de deux nombres « parfaits », 16 et 18, qui représentent deux quadrilatères (4×4 et 6×3).
Air Italia n’a pas de rangée 17, on ne trouve pas de 17ième étage dans les immeubles et la Renault R17 s’appelle R117.
La crainte du chiffre 4 en Chine :
Le chiffre 4 n’est pas du tout apprécié en Asie, notamment en Chine, au Japon, en Corée mais aussi à Taïwan, puisqu’il se prononce « si », de la même façon que le mot « mort ».
Le chiffre 4 est devenu le synonyme de malchance. Donc, il est déconseillé de signer un contrat un jour se terminant par 4 pour éviter que cela ne porte malheur. Certains immeubles ne comportent pas de 4e étage, mais plutôt un 3bis. Pas de numéro 4 dans les rues ou encore à l’éviter soigneusement dans leurs numéros de téléphone.
En conséquence, les peuples orientaux croient que 4 et ses composés (14, 24, 40, 41, etc.) portent malheur. Dans bien des cas, dans la numérotation des étages des immeubles on passe directement du troisième au cinquième étage et à Hong Kong il y a même des gratte-ciel qui sautent, en plus du 4, tous les chiffres du 40 au 49 : après le 39 étage, il y a le 50.
Il vous est certainement déjà arrivé de vivre l’expérience suivante. Vous êtes confortablement installé dans un train en attendant le départ. En regardant par la fenêtre, vous voyez le train stationné à côté avancer. Mais une fois que les trains se séparent, vous vous rendez compte que c’est le vôtre qui avançait et non celui d’à côté !! D’ailleurs aucuns des passagers de chaque train ne peut véritablement savoir qui se déplace, car si on regarde vers l’intérieur de notre compartiment, rien ne bouge. Tout ce qui est dans le compartiment est fixe, on en conclue que l’on ne se déplace pas.
En physique on parle de référentiel pour désigner le lieu de départ d’un mouvement. Pour chaque passager, le référentiel c’est sa propre place et donc ce sera toujours l’autre train que se déplacera.
Dans le cas des trains, les distances sont absolues c’est-à-dire qu’elle ne dépendent pas du référentiel choisit. Que je choisisse un train ou un autre, les distances parcourues seront les mêmes dans des directions opposées.
Mais notre cher Einstein a démontré que le temps était relatif, c’est-à-dire dépendant d’un référentiel . Si les 2 trains se déplacent à une vitesse proche de la lumière, des événements vraiment particuliers se produisent.
C’est le paradoxe des jumeaux de Langevin présenté par Paul Langevin au congrès de Bologne en 1911 : pendant qu’un des jumeaux reste sur terre, l’autre monte dans une fusée et fait l’aller-retour vers Proxima du centaure par exemple, qui est situé à quatre années-lumière, notée AL. Si la vitesse de la fusée représente les deux tiers de la vitesse de la lumière (vitesse inaccessible pour le moment), alors le voyage dans le référentiel terre sera de 12 ans alors qu’il sera de 9 ans pour le référentiel fusée. Le jumeau de la fusée sera 3 ans plus jeune que son frère !!! Bon il faut passer pas mal de temps dans une fusée tout de même.
A noter que si la vitesse de la fusée était de 99 % de la vitesse de la lumière, le voyage aurait duré 8 ans sur terre et seulement 1 an dans la fusée.
Graphique du temps de parcourt en fonction de la distance en année-lumière. La courbe ainsi fabriquée s’appelle la ligne d’univers.
Courbe rouge : à la vitesse de la lumière, une année-lumière est parcourue en une année. C’est la ligne d’univers maximum.
Courbe verte : ligne d’univers du jumeau resté sur terre, qui ne se déplace pas puisque on choisit le référentiel terrestre.
Courbe bleue : ligne d’univers du jumeau de la fusée. La première partie dure 4,5 ans pour lui mais 6 ans pour son frère, car ils ne sont pas dans le même référentiel et que le temps est relatif. Arrivée à Proxima du centaure, il revient sur terre, en mettant de nouveau 4,5 ans pour lui et 6 ans pour son frère.
Bilan de l’aller-retour : 12 ans pour le jumeau resté sur terre et 9 ans pour celui de la fusée.
On peut effectuer le calcul :
c : vitesse de la lumière = 300 000 km/s
Rv : Rapport des vitesses = V/c (si par exemple Rv = 0,8 cela veut dire que la fusée va à 0,8c cad aux 4/5ième de la vitesse la lumière).
V : Vitesse de la fusée
Rd : Rapport des durées = T/t ( ici Rd = 1,342 cela veut dire que le temps passe 1,342 fois plus vite sur terre que dans la fusée).
T : Temps relatif sur terre en années
t : temps dans la fusée
On a la formule suivante qui lie Rd et Rv :
Rv = V/c
Temps relatif sur terre en années
Temps dans la fusée
V
en fraction
en %
Rd
T
t = T/Rd
T – t
0,5c
1/2
50
1,155
25
21,65 ans
3,35 ans
0,66666666c = 2/3 de c
2/3
66,666666
1,342
6
4,47 ans
1,53 ans
0,8c
4/5
80
1,667
6
3,6 ans
2,4 ans
0,86c
6/7
86
1,960
6
3,06 ans
2,94 ans
0,995c
1
99,5
10,013
6
218,87 J
5 ans 146 J
0,997c
1
99,7
12,920
6
169,62 J
5 ans 195 J
0,999c
1
99,9
22,366
6
97,98 J
5 ans 268 J
0,9999c
1
99,99
70,712
6
30,99 J
5 ans 334 J
0,99999999c
1
99,999999
7071,068
6
7,44 h
5 ans 364,9 J
0,999999999c
1
99,9999999
22360,680
6
2,35 h
5 ans 365,15 J
Plus on s’approche de la vitesse de la lumière et plus la différence entre les temps est considérable.
Par exemple à 0,999 999 999 fois la vitesse de la lumière, 1 seconde dans la fusée représente 6,22 jours sur terre !!
A 66,66% ou les 2/3 de la vitesse de la lumière 4,5 ans dans la fusée représentent 6 ans sur terre.
V
en fraction
en %
Rd
T terre = t x Rd
t fusée en seconde
0,5c
1/2
50
1,155
1,16 s
1
0,66666666c
2/3
66,666666
1,342
1,35 s
1
0,8c
4/5
80
1,667
1,67 s
1
0,86c
6/7
86
1,960
1,96 s
1
0,995c
1
99,5
10,013
10,02 s
1
0,997c
1
99,7
12,920
12,92 s
1
0,999c
1
99,9
22,366
22,37 s
1
0,9999c
1
99,99
70,712
1,18 min
1
0,99999999c
1
99,999999
7071,068
1,97 J
1
0,999999999c
1
99,9999999
22360,680
6,22 J
1
3°/ Une calculatrice : pour tester différentes configurations
Quelques exemples :
Véhicule
temps propre
Vitesse en km/h
Différence T-t
Concorde
0,5 h
2 000 km/h
3,1 nanoseconde
ISS (Station Spatiale Internationale)
1,32 h (le tour de la terre)
28 000 km/h
1,6 millionième de secondes
Train à la moitié de la vitesse lumière
21,65 ans
540 000 000 km/h ( C/2 )
3,35 ans
4°/ Démonstration de la formule :
Intéressons-nous à la durée de parcours d’un éclair lumineux envoyé sur un miroir et revenant à son point de départ.
Nous admettrons, comme principe de base, que la lumière se déplace dans le vide à la vitesse de 300 000 km/sec. Cette vitesse notée C, est une constante de l’univers, établit grâce à la théorie de la relativité.
Quelle sera la durée de l’aller-retour ?
Si le miroir et l’observateur sont immobiles l’un par rapport à l’autre, les deux événements, émission et retour de l’éclair, ont lieu au même endroit, et sont repérés par une même horloge. La durée t du temps écoulé entre les deux événements est :
D = Distance miroir-observateur
t = temps mis par la lumière pour faire l’aller-retour
d’où :
Si en revanche, l’observateur se déplace avec une vitesse v par rapport à l’espace dans lequel se situe le miroir et l’horloge qui sont immobiles, le trajet suivi par la lumière tiendra compte de ce déplacement. Notons 2D’ sa longueur. La durée du parcours sera donc T :
D = Distance miroir-observateur fixe initial
D’ = Distance miroir-observateur en mouvement
d = distance parcourue par l’observateur entre l’envoi de la lumière et sa réception
T = temps mis par la lumière entre l’envoi de la lumière et sa réception
v = vitesse de déplacement de l’observateurD’après le Théorème de Pythagore :
On sait que :
Donc le temps T mis par la lumière entre l’envoi de la lumière et sa réception est égal à :
Remarque : Quand v est très petit devant C, tend vers 0, et T = t
Cette formule est célèbre, mais l’important est d’en comprendre la signification.
Un même événement a une durée différente selon que celui qui la mesure est au repos ou en mouvement par rapport à lui.
Dans le premier cas, la durée correspond à ce que l’on appelle le temps propre t, dans le second un temps impropre T qui sera toujours plus grand.
Par exemple, si je vais de Lille à Marseille en avion, les horloges des deux aéroports sont en mouvement par rapport à l’avion, elles mesurent le temps impropre, alors que ma montre est fixe dans le référentiel qu’est l’avion, elle mesurera donc le temps propre. La différence est pourtant bien faible.
Même avec le concorde volant à 2000 km/h sur les 1000 km de parcours, on obtient t = 30 min et T = 30,000 000 000 06 min. On comprendra qu’une telle différence est insignifiante et invisible dans la vie courante. Cependant, pour des objets se déplaçant à des vitesses proches de la lumière, comme des objets célestes, seule la conception du temps proposé par Einstein permet de rendre compte de la réalité.
5°/ L’expérience grandeur nature :
Bien entendu tous ceci est théorique et il serait difficile de le prouver par une expérience car il s’agirait d’aller au moins à la moitié de la vitesse de la lumière.
Cependant en 1971, deux physiciens Américains, Hafele et Keating effectuent l’expérience suivante. Ils projettent de faire le tour du monde dans le sens inverse de la rotation de la terre, vers l’ouest donc, en emportant 4 horloges atomiques capables de mesurer un dixième de nanoseconde. Leurs calculs théoriques prévoyaient un décalage de 275 nanosecondes par rapport aux même horloges atomiques restées sur terre. Ils obtinrent 273 nanosecondes. Pour être très rigoureux, ils firent la même expérience dans le sens de la rotation terrestre. Ils prévoyaient un retard de 40 nanosecondes, ils obtinrent – 59 nanosecondes.
De plus, la gravité joue aussi un rôle dans la déformation de l’espace-temps. Ainsi le temps s’écoule moins vite à proximité d’une masse importante comme un trou noir. On peut observer ce phénomène sur terre : une horloge atomique placée à 2056 m d’altitude (éloignée du centre de gravité terrestre donc le temps passe plus vite) pendant 24 heures aura 20,485 nano seconde d’avance par rapport à une horloge atomique restée à 0 m. En 2010 des physiciens ont même été capable de mesurer une différence de temps entre deux horloges séparées par 33 cm d’altitude.
La puissance des Mathématiques est prodigieuse. La preuve réside dans son utilisation durant l’Antiquité, car nos ancêtres ont réalisé des travaux exceptionnels à l’aide de moyens dérisoires et de raisonnements Mathématiques vraiment très simples.
Bien avant Jésus Christ, les Mathématiciens de l’Antiquité étaient capables de bien des performances :
≈ 580 Avt JC : Thalès généralise le théorème qui porte maintenant son nom. On peut mesurer des distances inaccessibles comme la hauteur d’une pyramide, d’une muraille protégée par des ennemis ou la largeur d’une rivière en crue.
≈ 550 Avt JC : Pythagore généralise le théorème qui porte maintenant son nom. Les angles droits sont désormais réalisables et les bâtiments prennent de la hauteur.
≈ 350 Avt JC : Aristote affirme que la Terre est ronde. Il faudra attendre le XVIIIème siècle et Galilée pour en être sûr et ne pas risquer le bucher de l’inquisition.
≈ 270 Avt JC : Aristarque mesure la taille de la Lune, du Soleil, les distances Terre-Lune et Terre–Soleil et cela en restant sur notre bonne terre et sans instruments modernes.
≈ 220 Avt JC : Ératosthène mesure la circonférence de la Terre et valide la rotondité de la terre.
≈ 150 Avt JC : Hipparque pose les premières bases de la trigonométrie et calcule avec précision la distance Terre – Lune. Les angles ne sont plus un problème.
Avec l’Almageste de Ptolémée, la théorie Géocentrique s’impose comme une évidence et est reprise ensuite par les religions. Nous avons donc une modélisation de référence, fausse, maistotalement ancrée. Le modèle étant faux, plus aucune avancée ne pouvait être faite car nous étions dans uneimpasse. S’en suivi près de 1500 ans où aucune découverte ne fut faite (ou du moins publiée)… Quel gâchis !
De nos jour il existe encore des platistes qui croient que notre bonne vielle terre est plate. Cependant, avec les satellites, le doute n’est plus permis. Mais dans l’antiquité, comment connaître la forme exacte de notre planète ? Et bien avec de l’observation et un minimum de réflexion, ce qui manque toujours aux platistes à l’encéphalogramme … plat. Une série de vidéos Youtube qui analyse les théories platistes.
1°/ Un bateau apparaît petit à petit à l’horizon :
Lorsqu’un navire navigue vers l’horizon, il ne devient pas de plus en plus petit jusqu’à devenir invisible comme il le ferait si la Terre était plate. Sa coque semble d’abord disparaître puis son mât. Ceci est due à la courbure de la terre qui laisse apparaitre le mât plus longtemps que la coque. Il faut bien entendu se munir de jumelle pour observer ce phénomène car l’œil humain ne peut pas voir trop loin.
Sur le bord d’un lac on dispose un laser qui pointe sur la cible d’un bateau qui navigue sur le grand lac. Si la terre est plate, alors le rayon laser restera parallèle à la surface du lac, sinon on observera un écart. Or c’est bien ce que l’on voie : à 5 km du laser l’écart est de 1,80 m et il est de 7,3 m à 10 km.
2°/ Notre ombre sur la Lune :
Lors d’une éclipse lunaire, la Terre se trouve exactement entre le Soleil et notre satellite naturel. On peut alors apercevoir l’ombre de la planète bleue, qui est toujours un cercle, ou une partie de cercle selon le moment de l’éclipse. Or, on ne voit jamais une ligne qui serait l’ombre d’une planète plate vue par la tranche. Si la Terre était plate, pour expliquer l’ombre circulaire, il faudrait que le Soleil soit toujours à « minuit » lors d’une éclipse lunaire pour créer un cercle parfait, ce qui n’est pas le cas, car l’heure d’une éclipse varie selon notre localisation sur la planète.
3°/ La voûte céleste diffère selon l’endroit :
C’est à Aristote (384 à 322 avant notre ère) que l’on doit la première observation de la différence de position des constellations selon l’endroit où l’on se trouve (faite lors d’un périple en Égypte). Son observation est vraiment très simple : si deux personnes observe la voûte céleste dans deux endroits différents et bien ils n’observeront pas la même chose car ils ne regardent pas dans la même direction.
4°/ L’existence des saisons :
Le changement de saison – l’hiver en Australie et l’été au Canada en même temps, par exemple – s’explique par l’angle des rayons solaires sur la Terre. Si cette dernière était plate, nous aurions exactement les mêmes saisons en même temps, car l’angle serait toujours le même, peu importe où l’on se trouve. Ce qui n’est manifestement pas le cas. Dans l’antiquité on pouvait déjà voyager sur de longue distance pour observer ce changement de saison.
5°/ Les levers et couchers de soleil :
En observant un levé de soleil depuis le sommet d’une montagne, on peut aisément voir la course du soleil qui suit une trajectoire circulaire. Si la terre était plate, le jour apparaitrait de la même façon partout sur terre. Lorsque le soleil se couche, le bas d’une montagne rentre dans la pénombre avant le sommet.
6°/ On voit plus loin de plus haut :
Plus vous êtes haut, plus vous voyez loin. Faites le test. Au sol, sans rien qui vous bloque la vue, regardez au loin à travers des longues-vues. Ensuite, grimpez dans un arbre, ou montez au sommet d’un édifice, et refaites l’expérience. Plus vous serez haut, plus vous verrez loin. Ce phénomène facilement observable est dû à la courbure terrestre. À titre d’exemple, si vous faites 1,80 m de haut, votre horizon sera situé à cinq kilomètres de vous. Si vous gravissez l’Everest, il sera à… 370 kilomètres.
Un platiste marseillais pourrait vous faire remarquer que l’on peut voir le sommet du Canigou depuis Marseille, alors que la courbure de la terre devrait l’interdire. Ce phénomène optique existe bel et bien, et il est du à la réfraction atmosphérique. Il nécessite des conditions de pression, de température et d’humidité de l’atmosphère, bien particulières.
Cliquer sur l’image pour plus d’explications.
7°/ La ligne s’enfonce sous l’horizon :
Un exemple analogue à l’expérience avec les bateaux est à chercher du côté des infrastructures humaines longues installées sur de grandes surfaces d’eau. Un exemple très parlant est la ligne à haute tension située sur le lac Pontchatrain, près de la Nouvelle-Orléans. En se mettant dans son axe, on peut la voir clairement plonger sous l’horizon en suivant une courbure. Or, les pylônes sont tous à la même hauteur, plantés de façon rectiligne et de niveau. Dans le cas d’une terre plate, les plus lointains devraient sembler plus petits mais être visibles en entier. Or, seule leur partie supérieure est visible, le bas étant sous l’horizon. De même, la ligne qu’ils forment vers l’horizon devrait être droite et non incurvée. Cette courbure, c’est celle de notre planète ! Il serait compliqué de trouver de telle construction dans l’antiquité, mais le raisonnement est simple.
II°/ Astronomie : c’est la terre ou le soleil qui est au centre de l’univers ?
L’astronomie, qui est l’observation du ciel, est considérée comme la plus ancienne des sciences.
a°/ La préhistoire : avant 4800 av. J.-C.
Lever et coucher du Soleil, aspect du ciel différent en été et en hiver, position changeante du lever de Soleil par rapport aux étoiles… À sa naissance, l’astronomie sert principalement à mesurer le temps, définit les journées et marque les saisons.
Ci-contre : Représentation d’un aurochs, ancêtre bovin, avec six étoiles des Pléiades au-dessus de lui dans la grotte de Lascaux (entre 17500 et 13000 av. J.-C.).
b°/ Le Néolithique : entre 4800 av. J.-C. et 2100 av. J.-C.
Les mégalithes du Néolithique sont constitués d’une ou plusieurs pierres de grande taille érigées sans mortier ni ciment. Ils auraient un rôle multiple : social et culturel, mais aussi astronomique.
Par exemple, sur le site de Nabta Playa en Égypte (4500 à 4000 av. J.-C.), on trouve un cercle de pierres de deux mètres de hauteur. Quatre couples de rocs plus grands forment comme des “portes” sur ce cercle. Deux d’entre elles sont alignées avec l’axe nord-sud, tandis que les deux autres forment une ligne à 70° avec l’est-nord-est…
Cette dernière direction est alignée avec la position du lever du Soleil au solstice d’été il y a 6 000 ans, un événement qui marquait le début de la saison des pluies dans le désert. D’après les archéoastronomes, Nabta Playa serait donc, comme d’autres mégalithes du Néolithique, un “observatoire ancien”.
Le monument préhistorique de Stonehenge a longtemps été étudié pour ses liens éventuels avec l’astronomie ancienne. Des archéoastronomes ont prétendu que Stonehenge représentait un « ancien observatoire », bien que son utilisation à cette fin soit contestée. Beaucoup pensent également que le site peut avoir eu une valeur astrologique ou spirituelle.
Ci-contre : Mégalithe de Stonehenge (3500 à 3000 av. J.-C.), “observatoire ancien” en Angleterre.
c°/ Mésopotamie : entre 5300 av. J.-C. et 539 av. J.-C.
Les Sumériens, les Babyloniens (au sud) puis les Assyriens (au nord) ont peuplé la Mésopotamie (Irak actuel). Ils se distinguent par un développement très poussé des mathématiques.
Ils sont à l’origine des premiers modèles mathématiques de description et de prédiction des phénomènes célestes. Les astronomes connaissent notamment bien les mouvements des planètes visibles à l’œil nu : Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne.
Par ailleurs, les savants mésopotamiens inventent les constellations les plus anciennes comme le Lion, le Taureau, le Scorpion et le Capricorne. Ils divisent également la voûte céleste entre douze signes du Zodiaque. Ces premières constellations seront ensuite complétées par les Grecs, qui introduiront des références à leur propre mythologie.
Ci-contre : Tablette relatant des observations de Vénus, Ninive (ville d’Assyrie), VIIe siècle av. J.-C.
d°/ Égypte : vers 2500 av. J.-C.
Les Égyptiens sont eux à l’origine du calendrier solaire. Ils remarquent que l’apparition de l’étoile Sirius au-dessus de l’horizon terrestre à l’aube, après une période où elle était cachée, se produit approximativement tous les 365 jours, et divisent donc l’année de cette manière. Le cycle de la Lune durant environ 30 jours et nuits, ils divisent l’année en douze mois de 30 jours. Les Égyptiens sont aussi à l’origine du découpage de la journée en 24 heures.
Leurs pyramides sont orientés suivant les quatre points cardinaux, parfois avec une précision impressionnante comme les pyramides de Gizeh.
Ci-contre : Une horloge stellaire égyptienne.
e°/ Grèce : VIIe siècle av. J.-C.
Les connaissances babyloniennes et égyptiennes sont transmises aux savants grecs. Et c’est en Grèce que tout change. Alors que les civilisations mésopotamienne et égyptienne se limitent à la description des phénomènes célestes, les Grecs s’intéressent au “pourquoi”. Ils vont plus loin dans l’analyse en cherchant à déterminer les lois physiques à l’origine du mouvement des astres et à trouver une explication rationnelle à la création du monde.
Deux visions de notre galaxie s’affrontent alors au cours des âges. Le géocentrisme qui place la terre au centre de l’univers et l’héliocentrisme pour qui c’est le soleil.
Aristote : Géocentriste. Philosophe grec né en 384 avant JC et mort en 322 avant JC. Il avait une vision géocentrique de l’Univers. Il considérait que la Terre est fixe au centre de l’univers et que tous les astres tournent autour d’elle selon des trajectoires circulaires.
Cette idée permettait d’expliquer grossièrement les mouvements apparents de la Lune et du Soleil, qui sont à peu près réguliers, mais elle ne pouvait pas justifier la complexité du mouvement des planètes qui parcourent la voûte céleste en effectuant des boucles. Par exemple, voici la trajectoire de Mars (la courbe blanche). On observe que Mars semble revenir en arrière et forme une boucle. Cette hypothèse n’expliquait pas non plus les grandes variations de l’éclat lumineux des planètes.
Position et phases changeantes de la Lune au-dessus des sommets du Groupe de Cridola, dans les Alpes italiennes, au cours d’un mois lunaire, appelé mois synodique.
Il est à noter que la forme des galaxie varie au cours du temps.
Ptolémée :Géocentriste. Claude Ptolémée, communément appelé Ptolémée, était un astronome (et astrologue), probablement d’origine grecque, qui vivait à Alexandrie en Égypte au 2ième siècle.
Pour rendre compte de ces aspects, Ptolémée a proposé une modification au modèle d’Aristote.
Il a conservé la position centrale et fixe de la Terre mais chaque planète tournait cette fois autour d’un point qui suit la trajectoire circulaire d’Aristote. Ainsi chaque planète effectuait un petit cercle nommé épicycle dont le centre se déplaçait sur le déférent.
Cette disposition décrivait mieux les trajets des planètes et elle expliquait aussi les variations d’éclats par des variations de distances.
f°/ Europe : XVIe siècle.
C’est le système de Ptolémée qui restera en vigueur jusqu’au XVIe siècle.
Copernic :Héliocentriste. Nicolas Copernic était un chanoine, médecin et astronome polonais né à Thorn en 1473 et mort à Frauenburg en 1543.
Copernic était conscient des insuffisances du système de Ptolémée et il l’a reconsidéré en mettant le Soleil au centre de l’Univers.
Il n’était certainement pas le premier à y avoir pensé mais, à cette époque on craignait la censure (et la répression) des autorités religieuses. Or l’idée de chasser la Terre (et l’homme) du centre de l’Univers était mal perçue par la communauté religieuse.
Copernic a exposé son système planétaire dans son ouvrage « De Revolutionibus Orbium Coelestium » qui a été imprimé juste avant sa mort en 1543.
Cependant, son système il n’explique pas mieux les irrégularités de la marche des planètes dans le ciel, et lui aussi fait appel à des épicycles et des excentriques.
Tycho Brahé :Géocentriste. Astronome Danois né à Knudstrup en 1546 et mort à Prague en 1601.
Il était opposé aux thèses héliocentriques de Copernic et préférait considérer la Terre fixe au centre de l’Univers. En fait, il croyait que les planètes tournaient autour du Soleil et que celui-ci tournait autour de nous avec tout ce cortège. C’était une sorte de compromis entre le système d’Aristote et celui de Copernic.
Cependant, Tycho Brahé était un observateur et il avait besoin d’un mathématicien pour exploiter ses mesures. Ceci le conduisit à rechercher la participation de Kepler. C’est en 1600, que l’astronome et mathématicien Kepler rencontra Brahé et devint son collaborateur. Quelques mois plus tard, la mort emporta Tycho Brahé et Kepler récupéra une partie de ses observations.
Kepler :Héliocentriste. Johannes Kepler (1571 – 1630) a alors étudié les mesures de Tycho Brahé dans le but de comprendre les mouvements des planètes.
C’est de l’étude des positions de la planète Mars que la solution a commencé à germer dans l’esprit de Kepler.
En 1609, Kepler publia un livre intitulé « Astronomia nova » (Astronomie nouvelle) dans lequel il exposait les deux premières lois que l’histoire des sciences a attachées à son nom.
Neuf années plus tard, en 1618, il énonça sa troisième loi.
Newton :Isaac Newton ( – ) est un mathématicien, physicien, philosophe, alchimiste, astronome et théologien anglais. Figure emblématique des sciences, il est surtout reconnu pour avoir fondé la mécanique classique (Philosophiae naturalis principia mathematica), pour sa théorie de la gravitation universelle et la création du calcul infinitésimal.
Les lois de Kepler étaient déduites des observations, celles Newton sont des hypothèses sur la réalité physique des relations entre matière, forces et mouvements.
Premier principe de Newton :Tout corps persiste dans son état de repos, ou de mouvement uniforme en ligne droite, à moins que des forces exercées sur lui ne l’obligent à changer cet état.
III°/ Circonférence de la terre et distance terre – lune – soleil :
Comment mesurer des distances inaccessibles, qui plus est sans avoir une idée précise de notre galaxie ? Et bien les savant Grecs de l’antiquité l’on fait …
La chronologie :
Date
Savant
Distances calculées
Distances réelles
Erreurs
-280 ans av. J.C.
Aristarque de Samos
Terre-lune = 495 338 km
Terre-lune = 384 400 km
+ 28,86 %
-200 ans av. J.C.
Ératosthène
Terre-soleil = 7 344 854 km
Terre-soleil = 149 597 870 km
– 49 %
-200 ans av. J.C.
Ératosthène
Rayon terre = 6 484 km
Rayon terre = 6 371 km
+ 1,74 %
-167 ans av J.C.
Hipparque de Nicée
Terre-lune = 424 309 km
Terre-lune = 384 400 km
+ 10,4 %
1751
Le Monnier
Terre-lune = 382 542 km
Terre-lune = 384 400 km
– 0,48 %
1969
Saturne 5
Terre-lune = 384 400 km
Terre-lune = 384 400 km
0 %
a°/ Ératosthène et la circonférence de la terre :
Nous connaissons la circonférence de la terre, qui est de 40 075 Km grâce aux satellites qui gravitent autour de nous.
Mais le plus extraordinaire, est que 3 siècles avant J.C. Ératosthène, sans satellite ni aucun instruments modernes, a été capable d’en donner une valeur incroyablement précise. Ses calculs lui on permis de donner une circonférence 39 438,20 km soit une erreur de moins de 2%.
3 siècles avant J.C., Ératosthène se promenait à la fin du mois de juin à Syène au sud de l’Égypte, sous le tropique du Cancer. Le jour du solstice d’été, à midi (les rayons du soleil sont alors parallèles à l’équateur), il regarde au fond d’un puits. Il constate qu’il n’y a pas d’ombre à l’intérieur, et note ce phénomène. L’année suivante, à la même date et à la même heure, il est à Alexandrie au nord de l’Égypte qui se trouve à 780 km (les distance étaient mesurer en stade à l’époque). Il regarde dans un puits et constate, avec surprise, qu’il y a de l’ombre. Les rayons du soleil ne serait-il pas parallèles au nord et au sud ? Cette hypothèse est peu probable, compte tenu de la distance terre-soleil. Faisons plutôt, pense-t-il, l’hypothèse que ce sont les puits qui ne sont pas parallèles. Donc, si les puits sont bien fait et qu’ils sont perpendiculaires au sol, c’est la terre qui est ronde et l’axe des puits forment entre eux un angle a° de 7,12°.
Ératosthène était un astronome et mathématicien grec qui a vécu environ 200 ans avant Jésus Christ. Il a réussi à calculer le périmètre de la terre, avec une belle précision, ce qui est une sacrée performance pour l’époque.
Il constata qu’au solstice d’été à midi (les rayons du soleil sont alors parallèles à l’équateur), le soleil éclairait le fond d’un puits de la ville de SYENE (S) au sud de l’Égypte, sous le tropique du Cancer. En même temps à ALEXANDRIE (A), située à 800 km plus au nord de SYENE et sur le même méridien, un obélisque projetait une ombre qui faisait un angle de 7,12°.
Les rayons du soleil ne serait-il pas parallèles au nord et au sud ? Cette hypothèse est peu probable, compte tenu de la distance terre-soleil. Faisons plutôt, pense-t-il, l’hypothèse que ce sont les puits qui ne sont pas parallèles.
Distance ALEXANDRIE-SYENE AS = 780 km et a° = 7,12° :
360° ? Circonférence de la terre Ct
a° ? AS
Donc :
Ct = (360 x AS)/ a
Ct = (360 x 780) / 7,12
Ct = 39 438,20 km
La circonférence réelle de la terre est de 40 075 km. Ératosthène a donc commis une erreur de 1,6%, ce qui est une immense performance.
b°/ Calcul de la distance terre-lune : Par Aristarque de samos (-310 -230 avt. JC)
La distance terre-lune est de 384 400 km. Nous avons des outils moderne et précis pour effectuer cette mesure, mais les Grecs, deux siècles avant Jésus Christ ont été capables d’obtenir de très belles approximations.
Lors d’une éclipse de Lune (passage de la Lune dans l’ombre de la Terre), Aristarque de samos (-310 -230 avt. JC) remarqua que l’éclipse avait durée 4 heures et que l’on pouvait mettre 3 lunes dans l’ombre de la terre.
Le rayon réel de la lune étant de 1737,4 km l’erreur est seulement de 24%.
Aristarque a considéré que le soleil était à l’infini et que l’ombre faite par la terre était un cylindre, alors que c’est un cône. Malgré tout, il a été capable de mesurer des distances inatteignables.
Il détermine que \widehat{L_{1}OL_{2}} mesure un demi degrés. Sachant que le rayon terre d’après Ératosthène fait 6 484 km.
tan \widehat{LOL_{2}}=\frac{opp \widehat{LOL_{2}}}{adj \widehat{LOL_{2}}}=\frac{LL_{2}}{OL} \ donc \ OL = \frac{LL_{2}}{tan \widehat{LOL_{2}} } = \frac{T_{1}T_{2}}{6 \times tan 0,25} \\ OL = 38,2 \times T_{1}T_{2}= 495 378 \ km
La distance réelle terre-lune étant de 384 400 km, l’erreur est de 28,87 %, ce qui est très correct car la mesure de 0,5° durant l’antiquité s’avère difficile (certain ont suggéré que Aristarque aurait plutôt mesuré 2°. L’erreur serait alors de 84% !!!). En considérant maintenant la durée de l’éclipse de 4 heures et sachant que la durée du mois lunaire est de 30 jours (la lune fait le tour de la terre en 30 jours), recalculons la distance terre-lune. La lune passe dans l’ombre de la terre en 4h et parcoure donc le diamètre de la terre qui est de 2 x 6 484 = 12 968 km.
temps en heure
Périmètre Révolution lune en km
Eclipse
4 h
12 968 km
Moi lunaire
30 jours = 30 x 24 = 720 h
\frac{720 \times 12 968}{4}= 2 \ 334\ 240\ km
Périmètre Révolution lune = 2 \pi R donc : Distanceterre-lune = \frac{2 \ 334\ 240}{2\pi }= 371 \ 505,8\ km
Soit une erreur de seulement 3,35 %, ce qui est très superbe comme précision. Bien que les Grecs utilisaient le cadran solaire ou la clepsydre, leur mesure du temps était tout à fait correcte.
Il suffit de viser l’objet inatteignable avec une pièce de monnaie par exemple dont on connait le diamètre. L’angle de visée est alors facilement mesurable. Bien entendu l’erreur de mesure n’est pas négligeable.
c°/ Calcul de la distance terre-soleil :
Aristarque c’est aussi essayé au calcul de la distance terre-soleil. Mais sa mesure d’angle c’est révélé bien trop inexacte.
Lorsque la lune se présente sous différents aspects car elle réfléchit la lumière du soleil.
Au premier et au dernier quart, la lune présente une ombre qui la coupe exactement en deux. Soleil, terre et lune s’inscrivent alors dans un triangle rectangle.
Aristarque avait mesurer un angle \widehat{DST} de 3°. La mesure du temps était moins facile et précise que maintenant.
Dans le triangle DST rectangle en D
sin \widehat{DST}=\frac{opp \widehat{DST}}{hypo} = \frac{DT}{ST} \ donc \ : \ ST = \frac{DT}{sin \widehat{DST}}= \frac{371 \ 505,8}{sin \ 3} = 7 \ 098\ 481,17 \ km
La distance terre-soleil est de 149 597 870,7 km, l’erreur est donc considérable mais le raisonnement est correct.
En fait l’angle est de 0,15° : ST = \frac{DT}{sin \widehat{DST}}= \frac{371 \ 505,8}{sin \ 0.15} = 141 \ 904\ 619 \ km
IV°/ Le tunnel de Samos :
550 ans avant Jésus Christ, sur l’île grecque de Samos (là où serait né Pythagore), Polycrate (un tyran de l’île) décida de faire creuser un tunnel qui aurait pour but de ravitailler sa ville en eau sans que cet approvisionnement ne puisse être facilement coupé en cas de siège. Ce tunnel se présenterait alors sous la forme d’un aqueduc souterrain et devrait traverser un petit mont (le Mont Kastro) sous l’Acropole de Samos sur une longueur d’environ 1km. L’aqueduc puiserait sa source de l’autre côté de la montagne. De plus, il devrait être quasi-horizontal afin de permettre l’écoulement naturel des eaux jusqu’à la ville.
C’est Eupalinos de Mégare (fils de Naustrophus et élève de Pythagore) qui fut désigné comme architecte-ingénieur de l’ouvrage. Celui-ci, afin de gagner du temps, demanda à deux équipes de creuser simultanément des deux côtés de la montagne. Il ne lui fallut tout de même pas moins de 10 ans pour parvenir à ses fins.
Visiter le tunnel
Visiter le tunnel
Aujourd’hui, même si on ne sait toujours pas exactement comment Eupalinos réalisa ses plans et que bon nombre d’hypothèses circulent, on peut être sûr qu’il fut confronté à 3 problèmes :
1/ Garder l’aqueduc horizontal, avec une légère pente entre l’entrée et la sortie pour permettre l’écoulement de l’eau.
C’est le problème le plus important. Déterminer l’entrée A et la sortie B du tunnel. Pour cela il suffit de choisir l’endroit de la sortie B pour qu’elle surplombe la ville et de contourner la montagne par l’ouest en suivant la même courbe de niveau, en passant par le point C et rejoindre l’entrée A.
Des preuves archéologiques nous montrent que les Samiens disposaient d’instruments pour déterminer l’horizontale : des sortes de gouttières en terre cuite, posées sur des pieux, dans lesquelles on versait de l’eau. L’horizontale était obtenue quand celle-ci ne s’écoulait pas. Cependant, si les gouttières mesuraient 2 m de long, il en aurait fallu environ 1100, car la distance séparant l’entrée A de la sortie B, en passant par l’ouest, est de 2200 mètres.
Les Samiens utilisèrent alors une petite astuce, leur permettant de réduire considérablement le nombre de pieux à planter. En effet, ils commencèrent par planter deux pieux A et B distants l’un de l’autre d’environ 10 mètres, dont les sommets étaient à même niveau en utilisant la méthode des gouttières. Ils alignaient ensuite un pieu C à environ 100 mètres, en utilisant des visées oculaires et grâce aux deux autres pieux préalablement mis en place.
2/ Les 2 équipes ne doivent pas se rater, car partant de chaque côté, le risque de ne pas se rencontrer était grand. Il faut bien déterminer l’orientation dans laquelle le tunnel doit être percé.
Deux méthodes furent imaginées, car nous n’avons aucun indice sur la façon exacte qui fut utilisée.
La première méthode : celle des pieux
Comme l’entrée A est invisible de la sortie B du tunnel à cause de la montagne, il suffirait de construire une tour au sommet S, visible de A et de B. En disposant des pieux intermédiaires entre les extrémités A et B et le sommet S, il est possible de réaliser un alignement de pieux entre A et B. On vérifie cet alignement comme précédemment, de proche en proche.
Une autre méthode a été proposée, celle de Héron d’Alexandrie.
Elle consiste à rester sur le même niveau et à relier l’entrée A et la sortie B du tunnel à l’aide de planche que l’on dispose toujours en ligne droite ou à angle droit. Ainsi il suffit de compter le nombre de planches disposées vers l’ouest (de B vers 6, de 5 vers 4 …) et vers le nord (de 6 vers 5, de 4 vers 3 …). On détermine ainsi un triangle ABC rectangle en C dont on connait AC (la longueur des planches dirigées vers le nord) et BC (la longueur des planches dirigées vers le l’ouest entre B et C). On peut ainsi calculer la longueur AB du tunnel, mais surtout fabriquer deux autres triangles rectangles AFG et BED, semblables à ABC.
Pour cela il suffit de faire en sorte que (BD) soit perpendiculaire à (BC) ainsi que (AG) et (FG), et que les longueurs des triangles AFG et BED soient des réductions de ABC, d’un rapport que l’on pourra choisir à notre convenance. L’axe (EB) sera ainsi orienté de la même façon que l’axe (AF) et surtout que l’axe (AB) du tunnel.
Les deux équipes connaissent à présent l’endroit où commencer à creuser et la direction à suivre.
3/ La longueur du tunnel. Estimer la longueur du tunnel. Peut important sauf pour prévoir le temps et le coût financier du chantier.
La longueur de l’hypoténuse AB du triangle rectangle ABC précédent.
Pour conclure, il est intéressant de noter que le tracé réel du tunnel n’est pas parfaitement rectiligne. Il présente quelques zigzags au milieu du parcours. Il faut tenir compte des erreurs de précision des mesures, du manque d’outils et des erreurs humaines.
Carte de Ernst Fabricius (1884)
Victor Guerin, archéologue français à la recherche de la « grande source » d’Hérodote, fut le premier à découvrir les 400 premiers mètres de l’aqueduc, à partir de la source des Agiades, en 1853. Cependant, ce fut le moine Kyrillos Moninas, en 1882, du monastère voisin d’Agia Triada, qui a réussi à découvrir les entrées sud et nord du tunnel principal. En 1884, E. Fabricius, archéologue de l’Institut archéologique allemand d’Athènes (DAI), visita l’île et inspecta le tunnel jusqu’au point qui pouvait être visité à l’époque. En 1971, U. Jantzen, directeur du DAI, réussit après de longs préparatifs, à dégager complètement le tunnel (1971-1973).
V°/ Poids des planètes :
a°/ La constante gravitationnelle G : Newton et l’expérience de Henry Cavendish au XVIIIième siècle
En physique, la constante gravitationnelle, aussi connue comme la constante universelle de gravitation, notée G, est la constante de proportionnalité de la loi universelle de la gravitation d’Isaac Newton. Cette constante physique fondamentale apparaît dans des lois de l’astronomie classique qui en découlent (gravité à la surface d’un corps céleste, troisième loi de Kepler, etc.), ainsi que dans la théorie de la relativité générale d’Albert Einstein.
Newton a établit une loi qui explique que 2 corps s’attirent mutuellement, proportionnellement au produit des deux masses m1 et m2, et inversement proportionnellement au carré de la distance d qui les sépare. F_{1\to 2}=F_{2\to 1}= G \times \frac{m_{1}m_{2}}{d^{2}}.
Loi universelle de la gravitation selon Newton.
Expérience de Cavendish. On connait les masse mB des boules bleues et mR des boules rouges, la distance d entre les boules et la force de traction F_{R\to B} des boules rouges sur les bleues. On peut donc calculer la constante G.
Kepler (les trois relations mathématiques, aujourd’hui dites lois de Kepler, qui régissent les mouvements des planètes sur leur orbite.
Les 3 lois de Kepler :
1ière loi : Loi des orbites
Les planètes tournent autour du Soleil en décrivant des ellipses dont le soleil occupe un des foyers. On appellera a le demi grand axe de cette ellipse et T la période orbitale de cette planète autour du soleil. Les planètes de notre système solaire ont une trajectoire presque circulaire car leur excentricité (distance centre – 2ième foyer) est très faible.
2ième loi : La loi des aires
Durant un temps donné, la surface balayée par la planète et la même. Donc, plus une planète est proche du soleil plus sa vitesse augmente.
Entre t1 et t2 la surface bleue de l’ellipse et la même que entre t3 et t4.
3ième loi : Loi des périodes
Les carrés des périodes de révolution des planètes sont proportionnels aux cubes des grands axes de leurs orbites.
\huge \frac{a^{3}}{T^{2}} = k
Démonstration de la 3ième loi de Kepler :
Si un objet de masse m tourne autour d’un autre de masse M infiniment plus grand (les planètes autour du soleil, la lune autour de la terre ou un satellite autour d’un planète) alors il subit deux forces opposées qui se compensent :
– Une force d’attraction : Forcedegravitationuniverselle \huge F_{1} = \frac{GmM}{a^{2}}
– Force centrifuge due à la rotation de la terre autour du soleil \huge F_{2} = \frac{mV^{2}}{a}
G = constante gravitationnelle = 6,674×10-11 Nm2kg-2
M = masse de l’objet massif = Constante
m = masse de l’objet en mouvement autour de M
a = longueur du demi-grand axe de la trajectoire elliptique de l’objet m autour de M
G = constante gravitationnelle = 6,674×10-11 Nm2kg-2
m = masse de la terre
M= masse du soleil
a = distance terre soleil = 150×106 km
V = vitesse de la rotation de la terre autour du soleil. V= \frac{2\pi a}{T} = \frac{2\pi \times 1,5 \times10^{11}}{365\times24\times3600} =29 886 \ m/s \simeq 3 \times10^{4} \ m/s
Puisque les forces F1 t F2 sont égales : \huge F_{1} = F_{2} \\\frac{GmM}{a^{2}} = \frac{mV^{2}}{a} \\M =\frac{aV^{2}}{G} \\M =\frac{1,5 \times 10^{11}\times (3\times10^{4})^{2}}{6,674\times10^{-11}} = 2,02\times 10^{30} kg
G = constante gravitationnelle = 6,674×10-11 Nm2kg-2
m = masse de la terre
M= masse du soleil
a = distance terre soleil = 150×106 km
V = vitesse de la rotation de la terre autour du soleil.
V= \frac{2\pi a}{T} = \frac{2\pi \times 1,5 \times10^{11}}{365\times24\times3600} =29 886 \ m/s \simeq 3 \times10^{4} \ m/s
d°/ Cas des autres planètes :
On peut procéder de la même manière avec les satellites des planètes Jupiter, Mars et Saturne.
VI°/ Vitesse de la lumière :
La vitesse de la lumière est la vitesse maximale que l’on peut atteindre (enfin, jusqu’à preuve du contraire). Elle est de 299 792 458 m/s. Mais très tôt on a su la calculer avec des moyens dérisoires.
Réfraction de la lumière dans l’eau : Lorsque l’on plante un bâton dans l’eau on a l’impression qu’il est brisé. Alhazen comprend que cela est due à la vitesse de la lumière qui est différente dans l’air et dans l’eau.
Non concluant
La lumière a une vitesse mais elle est incalculable pour le moment.
Lanternes masquées : deux hommes munis d’une lanterne et placés à une distance de 1800 m, font l’expérience suivante : le premier découvre sa lanterne en déclenchant une clepsydre (horloge), le second découvre la sienne dès qu’il aperçoit le signal lumineux et le premier arrête son horloge dès qu’il voit le signal lumineux. Le temps d’aller et retour du signal lumineux peut être ainsi en théorie apprécié.
Non concluant
La lumière paraît être instantanée car la distance est trop courte et il lui faut quelques millionièmes de seconde pour faire les 3,6 kilomètres. Galilée en déduit que la vitesse de la lumière est trop élevée pour être mesurée
Observation des lunes de Jupiter : En 1676, Ole Rømer étudie les éclipses d’Io. Ce satellite de Jupiter n’est plus visible lorsqu’il traverse la zone d’ombre de Jupiter. Ces éclipses sont bien connues mais ne respectent bizarrement pas toujours les horaires prévus par les calculs établis par les tables de Cassini. Römer prouve que ces variations ne peuvent correspondre qu’au temps supplémentaire que met la lumière d’Io pour nous parvenir quand Jupiter et elle sont plus éloignées de la Terre : la lumière a donc une très grande vitesse. Il observe qu’il y a 22 min pour pour traverser l’équivalent du diamètre de l’orbite terrestre.
227 272
-24,2 %
La distance terre-soleil et le mouvement des astres n’étaient pas très précis à l’époque, mais le raisonnement était exact.
Aberration de la lumière : L’aberration est le fait qu’en raison du mouvement de la Terre autour du Soleil toutes les étoiles effectuent un mouvement annuel apparent, selon une ellipse plus ou moins aplatie selon leur position, dont le demi grand axe est de 20,4 secondes de degré. Si on l’exprime en radians, la moitié de cette amplitude est le rapport entre la vitesse de la Terre sur son orbite et la vitesse de la lumière. Bradley a ainsi estimé que la lumière allait 10 210 fois plus vite que la Terre.
C’était bien mieux que Cassini, mais il restait à estimer avec précision la distance Terre-Soleil pour obtenir une bonne valeur de la vitesse de la lumière.
Roue dentée : En 1849, il fabrique un ingénieux système comportant une roue dentée et deux miroirs , dont un semi-réfléchissant.
Sur la figure ci-contre on devine le principe : la roue est mise en rotation , une source de lumière est réfléchie par le premier miroir , franchit une échancrure de la roue , se réfléchit sur le second miroir et parvient à l’observateur après un parcours correspondant à (2d) à la vitesse (c) qui est l’inconnue.
Fizeau fait son expérience entre Montmartre et le Mont Valérien à Suresnes distants de 8633 m.
La roue dentée comporte 720 dents et 720 échancrures. Fizeau détermine alors la vitesse de rotation de la roue qui permet à la lumière de traverser le bord d’un « creux » et de revenir au bord du même creux. Le faisceau est donc juste occulté et ne parvient plus à l’observateur. Cette vitesse de rotation est de 12,67 tours par seconde.
315 000
5,07 %
Temps tAR de la lumière à la vitesse de la lumière CAR durant l’aller-retour Montmartre-Suresnes : t_{AR}=\frac{D}{C_{AR}}=\frac{2 \times 8633}{C_{AR}}
Vitesse angulaire V de la roue crantée : V = 12,67 tours/s = 12,67 \times 2 \pi \ rad/s
La roue est composée de 720 dents et 720 échancrures, dont un secteur angulaire \alpha = \frac{2\pi }{2 \times 720}
Temps tα mit par la roue pour tourner d’un angle α :
Miroir en rotation : C’est aussi en 1850 que Léon Foucault détermine la vitesse de la lumière, au moyen d’un miroir tournant fabriqué par Louis Breguet. Le faisceau lumineux est réfléchi par un miroir tournant à 400 tours/s, qui l’envoie sur une suite de miroirs, dont le dernier renvoie la lumière sur le trajet inverse jusqu’à une fenêtre semi-réfléchissante et un microscope qui permet de mesurer une variation d’angle de 0,0195° pour un parcours de la lumière de 40,4 m.
298 000
-0,60 %
Vitesse du miroir tournant : 400 tours/s = 400 x 360° = 144 000° par seconde
Donc pour un angle de 0,0195° :
\frac{0,0195 \times 1}{144 \ 000}=1,354 \times 10^{-7} \ seconde
Vitesse de la lumière :
C = \frac{D}{T} = \frac{40,4}{1,354 \times 10^{-7}}= 298\ 375 \ 184 \ m/s
Avant 1960, le mètre était la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre passant par Paris. Une barre de platine mesurant 1 m se trouvée au Bureau international des poids et mesures à Sévre, et servait de référence. Cependant la précision n’était pas parfaite, puisque sujette aux condition de mesure.
En 1983 la définition du mètre évolue. Ce sera la distance parcourue par la lumière en 1/299 792 458 seconde.
Ce n’est plus la lumière que l’on mesure à partir d’une distance, mais le mètre que l’on définie à partir de la vitesse de la lumière.
VIII°/ L’équation d’Al-Khwarizmi : 780-850 après JC
Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (en arabe : محمد بن موسى الخوارزمي), généralement appelé Al-Khwârizmî (latinisé en Algoritmi ou Algorizmi), né dans les années 780, probablement à Khiva dans la région du Khwarezm (d’où il prend son nom), dans l’actuel Ouzbékistan, mort vers 850 à Bagdad, est un mathématicien, géographe, astrologue et astronome persan. Ses écrits, rédigés en langue arabe, puis traduits en latin à partir du XIIe siècle, ont permis l’introduction de l’algèbre en Europe. Sa vie s’est déroulée en totalité à l’époque de la dynastie abbasside.
Son nom latinisé est à l’origine du mot algorithme et le titre de l’un de ses ouvrages Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison) est à l’origine du mot algèbre (al-jabr), discipline mathématique connue depuis l’antiquité.
Voici sans doute l’exercice fondateur de l’algèbre et de la résolution des équations : Le carré d’un nombre et 10 fois ce nombre valent 39.
Si on pose x le nombre inconnu, il faut résoudre l’équation suivante en langage moderne : x² + 10x = 39
Al-Khwarizmi a utilisé une représentation géométrique pour visualiser le problème :
39 = x² + 5x + 5x = x² + 10x
Si on rajoute un carré de 5×5 = 25 on fabrique ainsi un nouveau carré de côté x+5. On a alors :
(x+5)² = 39 + 25 = 64
Il faut trouver un nombre dont le carré est égal à 64. Ce sera 8, car le nombre négatif -8 n’a pas encore beaucoup de signification à l’époque.
1°/ Le paradoxe de Condorcet : Phénomène non transitif.
Un phénomène transitif respecte l’ordre. Donc : si A < B et B < C alors A < C.
Cependant il existe des phénomènes non transitifs. Ainsi : si A < B et B < C alors A > C.
Chaque résultat l’emporte sur un autre. C’est comme dans le jeu du Chifumi (Pierre-papier-ciseaux), chaque action l’emporte sur une autre.
1°/ L’élection :
Soient trois candidats ou trois options, A, B et C que nous voulons départager par le vote. Si une majorité d’électeurs préfère A à B, nous noterons A>B.
On peut imaginer que si A>B et B>C alors A>C. Et bien cela est faux en général comme le prouve l’exemple suivant.
Lors de l’élection du délégué de classe de 3°2, trois candidats se sont présentés : Véronique, Jules et Olivier.
Dans cette classe de 25 élèves, j’ai donc demandé à chacun de donner ses préférences.
5 élèves préfèrent Jules à Véronique, elle-même préférée à Olivier : J > V > O : 5 voix
Voici les résultats :
J > V > O : 5 voix
J > O > V : 6 voix
O > J > V : 3 voix
O > V > J : 3 voix
V > O > J : 7 voix
V > J > O : 1 voix
Total : 5 + 6 + 3 + 3 + 7 + 1 = 25 élèves
Donc on remarque que :
5 + 6 + 3 = 14 préfère J> V contre 3 + 7 + 1 = 11 pour V > J
5 + 7 + 1 = 13 préfère V>O contre 6 + 3 + 3 = 12 pour O > V
3 + 3 + 7 = 13 préfère O>J contre 5 + 6 + 1 = 12 pour J > O
On a donc J > V, V > O et pourtant O > J alors qu’on s’attendrait à J > O !
Autrement dit aucun classement tel que J > V > O ne peut être considéré comme le classement préféré de la classe, car celui-ci impliquerait que J > O. Dans ce cas, les classements individuels ne peuvent conduire à un classement collectif.
Voici 3 types d’élections :
1/ L’élection précédente s’appelle Vote plurinominal, à un tour, avec échelle de préférences. C’est le vote le plus démocratique par excellence. Avec trois candidats, l’électeur a le choix entre 6 combinaisons possibles. Malheureusement, ce mode de scrutin, qui permet à l’électeur d’exprimer un ordre de préférence sur l’ensemble des candidats, est difficilement applicable dans la pratique. Il butte sur le paradoxe de Condorcet et il y a impossibilité de désigner un vainqueur.
2/ Vote uninominal, à la majorité simple, à un tour. C’est le système anglo-saxon : First past the post. Celui qui remporte le plus de voix au premier tour est élu. Ici se serait Jules car il a 14 voix contre 13 pour Olivier et Véronique.
3/ Vote uninominal, à la majorité absolue, à deux tours. C’est le système français. Il faut avoir plus de la moitié des voix pour être élu au premier tour, sinon on réalise un deuxième tour. Dans ce cas de figure, si Olivier se désiste au profit de Véronique (ou le contraire), Jules est battu au deuxième tour par 26 voix contre 14 (si le report est total).
2°/ Les magasins :
Les enseignes de distribution de vantent souvent d’être moins chère que leurs concurrents. Mais est-ce 3 magasins peuvent être plus économiques à la fois les uns avec les autres ?
Voici 3 magasins qui vendent 3 produits identiques.
Comparons les magasins 1 et 2. C’est 2 qui est plus économique.
Comparons les magasins 2 et 3. C’est 3 qui est plus économique.
Comparons les magasins 1 et 3. C’est 1 qui est plus économique.
Donc : Magasin 3 < Magasin 2 puis Magasin 2 < Magasin 1 mais Magasin 1 < Magasin 3 ???? Il n’y a pas de magasins plus économiques que les autres, cela va dépendre du produit.
Les publicitaires ont encore de beaux jours devant eux pour nous vendre leurs salades.
3°/ Les dés :
Voici 3 dés un peu particulier. Lequel a le plus de chance de nous faire gagner ?
Représentons les issues possibles et leurs résultats sont forme de tableau :
Le dé vert est meilleur que le dé rouge qui est lui-même meilleur que le dé bleu, il semble logique de supposer que le dé vert sera meilleur que le dé bleu. Est bien contrairement à ce que l’on pouvez imaginer, le bleu l’emporte sur le vert !!
Mais on peut encore aller plus loin : voici 3 nouveaux dés et leurs résultats.
Le 1ier dé vert est meilleur que le 2ième dé rouge qui est lui-même meilleur que le 3ième dé bleu, mais c’est bien le bleu qui est meilleur que le vert.
Mais si maintenant on lance deux fois chaque dé, il est peut probable que cela change le classement précédent. Et bien les 2 dés rouges deviennent meilleurs que les verts alors que seul, c’est le vert qui gagne !!!
En fait tous les classements s’inversent à présent. Ils sont fous ces dés.
4°/ Le plus rapide :
Christophe, Sébastien et François font tous les jours la course pour se rendre de leur même immeuble jusqu’au collège. Il y a 201 jours de classe dans l’année. Christophe est arrivé au moins 134 fois avant Sébastien et se considère donc comme plus rapide que lui. Sébastien est arrivé au moins 134 fois avant François et se considère donc comme plus rapide que lui. Il est donc impossible que François soit arrivé au moins 134 fois avant Christophe, n’est-ce pas ?
Et bien si !!! Il n’est pas impossible que François se considère comme plus rapide que Christophe. Pour nous en persuader, nous pouvons imaginer les ordres d’arrivée suivants :
67 fois : Christophe, puis Sébastien puis François; 67 fois : Sébastien, puis François, puis Christophe ; 67 fois : François puis Christophe, puis Sébastien.
134 fois : Christophe avant Sébastien 134 fois : Sébastien avant François 134 fois : François avant Christophe
C’est le paradoxe de Condorcet
2°/ Conjecture de FERMAT Puissance niéme :
Quel que soit a un nombre entier, il n’existe pas 2 autres entiers b et c tels que : an = bn + cn avec n >2
Fermat établira tout de même une preuve pour n = 4. Plus tard, le suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783) propose une démonstration pour n = 3. En 1828, l’allemand Peter Lejeune-Dirichlet (1805 ; 1859) la démontre pour n = 5, puis en 1840, Gabriel Lamé (1795 ; 1870) et Joseph Liouville (1809 ; 1882) pour n = 7. La course folle après la conjecture de Fermat est lancée. Les plus grands mathématiciens et savants s’affrontent pour être le premier à venir à bout de cette étonnante conjecture à l’énoncé si simple mais dont la démonstration semble inaccessible. Il faut dire que des récompenses très appréciables sont promises. L’Académie des sciences de Paris promet une médaille d’or et une somme de 300 000 francs or. La Société royale de Göttingen offre 50 000$ (actuel) correspondant au prix Wolfskehl crée en 1908.
C’est en 1993 que la conjecture défraie la chronique. Les médias de toutes parts annoncent la fin de ce grand mythe des mathématiques, qui résistait depuis plus de 350 ans à toutes les démonstrations. Le héros s’appelle Andrew Wiles, un anglais né à Cambridge en 1953. Sa mère, professeur de mathématiques l’initie très jeune au maniement des nombres. C’est à l’âge de 10 ans qu’il tombe dans le piège de Fermat en empruntant à la bibliothèque un manuel d’histoire des mathématiques traitant de la conjecture de Fermat.
« Cela avait l’air si simple, et pourtant aucun des grands mathématiciens de l’histoire n’avait pu le résoudre. »Wiles
Pas si simple ! Wiles doit travailler dans le plus grand secret, le risque est trop grand, pense-t-il de se faire voler sa démonstration. Seuls ses plus proches collègues sont au courant de ses travaux. Il faudra à Wiles sept années d’isolement et de labeur pour arriver à bout, croyait-il, le 23 juin 1993 de la conjecture de Fermat. A l’Institut Isaac Newton de Cambridge, Il expose sa démonstration devant une assemblée de savants. L’idée de Wiles est remarquable, en passant par les courbes elliptiques, il unifie différentes branches des mathématiques pour prouver la conjecture de Fermat… … Mais après plusieurs semaines, on s’aperçoit que sa preuve comporte une faille.
Andrew Wiles
Même si Wiles tente corriger son erreur, après ce revers, c’est le doute puis le désarroi qui l’emportent. Quand le matin du lundi 19 septembre 1994, assis à son bureau, Wiles a de façon tout à fait inattendue une incroyable révélation. Il réalise ce qui empêche sa démonstration de fonctionner et se remet alors au travail. En mai 1995, il publie la correction de sa démonstration qui est ensuite officiellement reconnue dans le monde scientifique. Celle-ci fait tout de même plus de 1000 pages. Fermat avait raison de dire qu’elle ne pouvait tenir dans sa marge !!!
Il reçoit alors un prix spécial par le congrès international des mathématiciens qui attribue habituellement la médaille Field (l’équivalent du prix Nobel en mathématiques), les 300 000 francs or de l’Académie des sciences, le prix Wolfskehl et surtout la fierté de voir la conjecture de Fermat changer de statut et de nom pour devenir le Théorème de Fermat-Wiles.
Cela marche avec n = 2. Il s’agit des triplets Pythagoriciens ( 3² + 4² = 5² par exemple).
Petit bonus : ce n’est pas la seule conjecture que Fermat a découvert. En voici une autre un peu plus simple car démontrée en 2006 par Gougam et Bagglio. 26 est le seul entier qui suit un carré 25 = 25² et précède un cube 27 = 33.
3°/ Duplicité du cube :
Soit un cube d’arête a. Il est impossible de trouver un autre cube d’arête b dont l’aire ou le volume soit le double du premier. En effet :
Arête
Surface
Volume
a
a²
a3
b
b²
b3
Un carré de côté b peut-il avoir une aire qui soit le double d’un carré de côté a ?
Un cube de côté b peut-il avoir un volume qui soit le double d’un cube de côté a ?
2 x a² = b² 2 = b²/a² \sqrt{2} = b/a
2 x a3 = b3 2 = b3/a3 \sqrt[3]{2}= b/a
Or ni ni ne sont des rationnels, donc ils ne peuvent s‘écrire comme tel c’est à dire sous la forme d’un rapport de 2 nombres entiers b/a.
4°/ Trisection d’un angle :
A l’aide d ‘une règle et d’un compas, il est impossible de partager un angle b donné, en 3 angles a égaux.
5°/ Le problème de Syracuse :
L’origine du problème n’est pas claire. Il semble que le mathématicien Lothar Collatz soit le premier à avoir, au début des années 1930, rencontré ce que l’on appelle, depuis, l’algorithme de Collatz ou le problème 3 N + 1. Vers 1950, Helmut Hasse, un ami de Collatz, introduisit le problème à l’Université de Syracuse (aux États-Unis et non en Sicile). C’est pour cette raison que le problème est maintenant connu sous le nom de conjoncture de Syracuse.
Recommencez de même avec le résultat… Vous arriverez fatalement à 1 au bout d’un nombre h (la hauteur du nombre initial) d’opérations. Mais quelle peut être la hauteur maximale ?
À l’heure actuelle, la conjoncture de Syracuse a été vérifiée pour tout nombre inférieur à mille milliards, mais on ne sait toujours pas prouver qu’elle est vraie pour tous les entiers !
En 1742, Christian Goldbach proposa à Leonhard Euler la conjecture suivante : « Tout nombre entier supérieur à 3 est somme de deux nombres premiers » (rem : à cette époque le nombre 1 est considéré comme premier).
Énoncé modernisé en : Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers.
Cette conjecture a fait l’objet de recherches par plusieurs théoriciens des nombres et a été vérifiée par ordinateur pour tous les nombres pairs jusqu’à 2.1018 à la date de novembre 2010. Voici un site qui propose de décomposer les nombres.
Mais aujourd’hui encore personne n’a pu prouver qu’elle était valable pour TOUS les entiers !!
Le site WIMS de l’université de Nice propose de calculer simplement la décomposition en sommes de 2 nombres premiers, pour un nombre de votre choix.
7°/Le Problème de Catalan :
En 1844, Catalan proposa l’énoncé suivant: les seuls puissances parfaites consécutives sont 8 et 9. Autrement dit l’équation xp – yq = 1, avec x, y, p et q entiers n’admet comme solution que le couple (8,9). On sait depuis 20 ans qu’il n’y a en tout cas qu’un nombre fini de solutions, on connait également la borne supérieure de ces solutions, mais elle est si élevée que même à l’aide des ordinateurs les plus puissants, on n’a jamais pu trouver d’autres solutions à l’équation. Apparemment la conjecture de Catalan a de beaux jours devant elle…
8°/ Elkies contredit Euler :
Mais même les plus grands mathématiciens peuvent se tromper dans leurs conjectures: ainsi Leonhard Euler (1707/1783) qui avait prévu que la somme de trois bicarrés ne pouvait être un bicarré, c’est-à-dire que l’équation a4 + b4 + c4 =d4 n’admet aucune solution avec a,b,c,d entiers naturels. Or il se trompait !! Car l’américain N. Elkies a trouvé une solution à cette équation en 1988 !! Et on sait de plus qu’il n’y a qu’une solution avec d inférieur à 1 million.
Cette solution est a = 95800 b = 217519 c = 414560 et d = 422481.
9°/ Le paradoxe de Zénon d’Elée : La flèche
Zénon se tient à huit mètres d’un arbre, et tire une flèche sur cet arbre. Avant que le flèche puisse atteindre l’arbre, elle doit traverser la première moitié des huit mètres. Il faut un certain temps, non nul, à cette flèche pour se déplacer sur cette distance. Ensuite, il lui reste encore quatre mètres à parcourir, dont elle accomplit d’abord la moitié, deux mètres, ce qui lui prend un certain temps. Puis la pierre avance d’un mètre de plus, progresse après d’un demi-mètre et encore d’un quart, et ainsi de suite ad infinitum et à chaque fois avec un temps non nul.
Zénon en conclut que la flèche ne pourra pas frapper l’arbre, puisqu’il faudrait pour cela que soit franchie effectivement une série infinie d’étapes, ce qui est impossible. Le paradoxe se résout en soutenant que le mouvement est continu ; le fait qu’il soit divisible à l’infini ne le rend pas impossible pour autant. De plus, en analyse moderne, le paradoxe est résolu en utilisant fondamentalement le fait qu’une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.
Ce paradoxe dit de « la dichotomie » c’est à dire division par deux veut montrer l’impossibilité du mouvement. Il tend à mettre en doute la vérité par un raisonnement logique. Par ce paradoxe on peut en déduire que le mouvement ne peut être découpé en une infinité de morceaux. Cependant et les mathématiques nous le confirment si on fait la somme (infinie) de toutes les distances du problème on trouve 1 : 1/2+1/4+1/8+…
La limite de cette suite vaut 1. Donc on atteindra bien ce point. Mais une limite est ce vers quoi on tend sans jamais l’atteindre…
Le sophiste Protagoras avait convenu avec un de ses élèves Euathlus, un étudiant pauvre, qu’il lui enseignerait le droit à la condition qu’Euathlus lui payât cet enseignement dès qu’il aurait gagné son premier procès. Le jeune homme suivit ses leçons, puis finalement devient avocat. Il attendit alors ses premiers clients qui ne virent pas. Protagoras s’impatienta et décida alors de réclamer à son ancien élève la somme qu’il lui devait. Il l’assigna donc devant les tribunaux. – Ainsi raisonna Protagoras: « Ou je gagne le procès, ou tu le gagnes. Si je gagne, tu me paies en exécution du jugement du tribunal. Si tu gagnes, tu me paies d’après notre convention. Dans les deux cas je serai payé ». – « Pas du tout », répliqua Euathlus. « Si je gagne, je n’ai pas à te payer, d’après le jugement du tribunal. Si tu gagnes je n’ai pas à te payer d’après notre convention. Dans les deux cas je n’ai pas à te payer. »
Alors que va choisir le tribunal?
Les 2 personnages raisonnent correctement. Voici comment le tribunal pourrait agir pour dissiper ce paradoxe:
D’abord, le juge décide de faire gagner Euathlus. Il aura ainsi remporté son premier procès. Ensuite, Protagoras pourra intenter un nouveau procès et pourra se faire rembourser son dû sans créer un nouveau paradoxe.
11°/ Le segment qui se voulait aussi grand qu’une droite… :
A chaque point N de [AB], correspond un point unique M de [CD]. Et à chaque point M de [CD] correspond un point unique N de [AB]. Chaque point de chaque segment a son correspondant sur l’autre.
Les deux segments [AB] et [CD] ont donc le même nombre de points mais pas la même longueur…
12/ \sqrt{2} = 2 :
Soit un triangle rectangle et isocèle de côté 1 et d’hypoténuse \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}
La somme des longueurs des 2 côtés de l’angle droit est 1 + 1 = 2.
Si nous construisons une ligne brisée avec des gradins en angle droit comme sur la figure ci-dessous, il est facile de conclure que sa longueur est toujours égale à 2 (les segments verticaux mis bout à bout ont une longueur de 1 et les horizontaux mis bout à bout ont aussi une longueur de 1).
En réitérant le procédé, nous avons toujours une ligne brisée de longueur 2. Continuons indéfiniment à augmenter le nombre de gradins, nous obtenons une suite de lignes brisées qui se rapprochent de plus en plus de l’hypoténuse du triangle rectangle. On a bien envie de penser que la ligne brisée se confondra à la fin avec l’hypoténuse et donc que sa longueur sera celle de l’hypoténuse donc =2 !!
Explication :
La ligne brisée ne sera pas confondue avec l’hypoténuse du triangle. Elle n’a pas tous ses points sur l’hypoténuse. L’ensemble des points communs à la ligne brisée et l’hypoténuse est un ensemble dénombrable de points et il existe des points intermédiaires non communs à la ligne brisée et l’hypoténuse. La ligne brisée a une longueur constante 2 et l’hypoténuse a une longueur de .
13°/ Factorielles et carrés :
Existe-t-il un couple d’entiers p > 7 et q tels que la factorielle de p, plus un soit égale à q ?
p! + 1 = q² ?
Il est connu que 4! +1 = 25 = 5²
5! + 1 = 121 = 11²
7! + 1 = 5041 = 71²
On ne connaît pas d’autre solution.
14°/ Fractions égyptiennes :
Un entier n > 1 étant donné, existe-t-il des entiers x, y et z tels que 4/n = 1/x + 1/y + 1/z ?
Les fractions 1/x, 1/y et 1/z dont le numérateur est égal à 1 et le dénominateur est un entier naturel positif, sont appelées fractions égyptiennes.
4/n doit donc être la somme de trois fractions égyptiennes.
On connaît des solutions chaque fois que n est différent de 24k+1
Par exemple, pour n=7, on a : 4/7 = 1/3 + 1/6 + 1/14.
Mais on ne sait pas montrer que le problème est possible pour tout n.
15°/ Équations Diophantiennes :
Il existe 4 nombres a, b, c et d qui vérifient les équations diophantiennes suivantes :
Mais on ne connaît pas de relation similaire pour a5 + b5 = c5 + d5
16°/ Côtés et segments remarquables du triangle :
On sait résoudre un joli problème dans lequel 17 longueurs dans un triangle ABC sont toutes des nombres entiers : les trois côtés, les trois hauteurs (hA, hB ,hC), les trois bissectrices intérieures (AA’, BB’, CC’) et les trois bissectrices extérieures (AA’’, BB’’, CC’’) , le rayon R du cercle circonscrit et le rayon r du cercle inscrit et les trois rayons des cercles exinscrits (rA, rB ,rC) (cité par Jean Moreau de Saint Martin).
AB = 148622918043600 BC = 160847313900000 AC = 185939494868400
hA = 154413421344000 hB = 142678001321856 hC = 123423876576000
rA = 115810066008000 rB = 132109260483200 rC = 185778647554500
Un autre problème d’énoncé plus simple n’a toujours pas de solution à ce jour : existe-t-il un triangle dont les côtés, les médianes et l’aire s’expriment avec des nombres entiers ?
17°/ Les distances d’un point aux sommets d’un carré :
On considère dans le plan un carré de côté unité. Existe-t-il un point du plan dont les distances aux quatre sommets du carré s’expriment sous la forme de nombres rationnels ?
En d’autres termes existe-t-il un carré de côté n entier tel qu’il existe un point du plan situé à des distances entières des quatre sommets du carré ? Aucune solution n’existe à ce jour.
On peut rapprocher cet énoncé d’un problème analogue sur la sphère, non résolu à notre connaissance : peut-on tracer quatre cercles de rayons rationnels sur une sphère de rayon unité tels qu’ils soient tangents deux à deux ?
18°/ La brique parfaite d’Euler :
La brique parfaite d’Euler est un parallélépipède rectangle dont les côtés a, b et c, les diagonales des faces , et et la diagonale principale qui joint deux sommets opposés sont tous des nombres entiers. Aucun exemple de cette brique parfaite n’existe à ce jour.
19°/ Le paradoxe d’Epiménide le Crétois :
Un paradoxe dû à Epiménide le Crétois (Vie siècle av. J.C.). C’est un syllogisme , basé sur le raisonnement logique.
Voici l’énoncé :
« Tous les Crétois sont des menteurs.
Si tous les Crétois sont des menteurs, alors Epiménide le Crétois est un menteur.
Si Epiménide est un menteur, ce qu’il dit est faux, donc il ne ment pas et ce qu’il dit est vrai. »
Donc comme Epiménide dit vrai, tous les Crétois sont des menteurs. Mais comme Epiménide est un Crétois, c’est un menteur.
Et on retombe sur un cercle vicieux.
20°/ Quelques sophismes :
» Un cheval bon marché est rare. Or ce qui est rare est cher Donc un cheval bon marché est cher. «
Cette conclusion est contradictoire, pourtant chacune des phrases du raisonnement paraît correcte. Pourquoi parvient-on à un tel résultat ?
On peut ajouter une dose d’humour et le formuler autrement :
» Plus il y a de gruyère, plus il y a de trous. Or plus il y a de trous, moins il y a de gruyère Donc plus il y a de gruyère, moins il y a de gruyère .. »
Il existe tout plein de belles phrases qui se contredisent de façon très élégante :
Il est interdit d’interdire. Toutes les règles ont des exceptions. Lu sur un badge : Interdisons les badges. Un graffiti disait : A bas les graffitis.
21°/ Le barbier barbant :
Sur l’enseigne d’un barbier est inscrit : » Je rase tous les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. » Alors d’après vous qui rase le barbier?
On voit bien le paradoxe. En effet, si le barbier se rase lui-même, alors d’après ce qu’il dit, il ne peut pas se raser. Au contraire s’il ne se rase pas, il doit alors se raser pour respecter son enseigne.
Et là, il y a paradoxe. Donc la condition que définit le barbier crée une contradiction. On ne peut que conclure qu’un barbier qui prétend cet axiome ne peut exister.
22°/ Le paradoxe de Zénon d’Elée : Achille et la tortue
Pour une raison maintenant oubliée dans les brumes du temps, une course avait été organisée entre le héros Achille et une tortue. Le premier se déplaçant 10 fois plus vite que la seconde, celle-ci démarra avec 100 m d’avance pour équilibrer les chances des deux concurrents.
La première chose à faire pour Achille fût de combler son retard en se rendant à l’endroit de départ de la tortue qui, pendant ce laps de temps, s’était déplacée. Achille dut donc combler ce nouvel handicap alors que la tortue, bien que d’une lenteur désespérante, continuait inexorablement sa route, créant ainsi un handicap supplémentaire… Battu et furieux, Achille exigea une revanche mais rien n’y fit, ni la longueur de la course, ni la vitesse de déplacement d’Achille.
En effet, aussi petits que soient les handicaps successifs créés par la tortue, Achille mettait toujours un certain temps pour combler chacun d’entre eux et, malgré tous ses efforts, il ne put jamais rattraper la tortue!
Vitesse d’Achille : 10m.s-1 dA = Distance parcourue par Achille TA = temps de corse d’Achille Vitesse de la tortue : 1m.s-1 dt = Distance parcourue par la tortue Tt = temps de corse de la tortue
dA
TA = dA/10 = Tt
dt = Tt
100m
10s
10m
10m
1s
1m
1m
1/10s
1/10m
1/10m
1/100s
1/100m
On le voit bien, dA diminue d’un facteur 10 mais n’est jamais égal à zéro, tout comme TA et Tt.
Par conséquent, le nombre de secondes qui s’écoulent avant qu’Achille ne rattrape la tortue est :
On obtient une somme comportant une infinité de termes. Ce que Zénon d’Elée n’avait pas prévu, c’est que cette somme infinie possède une valeur finie. Les règles sur les séries géométriques montrent en effet sans peine que la somme précédente fait 11s et 1/9.
La manipulation des sommes infinies (on parle de séries) a très longtemps posé des problèmes conceptuels et philosophiques aux mathématiciens. Le cours de Cauchy à l’Ecole Polytechnique en 1820, pourtant un modèle pour l’époque, comporte encore des erreurs à ce sujet. Il faudra attendre la fin du XIXè s., et les travaux de Karl Weierstrass, le législateur de l’analyse, pour que les règles soient clairement établies.
23°/ Paradoxe de Socrate et Platon :
Socrate et Platon sont des philosophes grec du V? siècle av. J.-C.
Voici un joli paradoxe :
Socrate : Ce que dit Platon est faux.
Platon : Ce que dit Socrate est vrai.
Si Socrate dit vrai, alors ce que dit Platon est faux. Il faut prendre le contraire de ce que dit Platon, en l’occurrence que Socrate ment, ce qui est le contraire de l’affirmation de départ.
Si par contre, ce que dit Platon est vrai, alors Socrate dit la vérité, c’est-à-dire que Platon ment, ce qui est aussi contraire à l’affirmation de départ.
Voyons les 2 autres cas :
Si Socrate ment, alors ce que dit Platon est vrai, c’est-à-dire que Socrate dit la vérité, ce qui est encore le contraire de l’affirmation de départ.
Si par contre, c’est Platon qui ment, alors Socrate ment aussi, c’est-à-dire que Platon dit la vérité, ce qui est toujours contraire à l’affirmation de départ.
Finalement les deux phrases ne peuvent être correctes en même temps. Cela s’appelle un paradoxe.
Théorème de Ramsey (fini) : Pour tout entier c et toute suite d’entiers (n1, n2, … , nc), il existe un entier N tel que pour toute coloration en c couleurs du graphe complet KN d’ordre N, il existe une couleur i et un sous-graphe complet de KN d’ordre ni qui soit monochromatique de couleur i.
En clair, si on prend un nombre de points N et qu’on les relies par un trait de couleur qui est soit rouge ou soit bleu, peut-on trouver un groupe de points qui est relié par la même couleur.
Par exemple :
Pour ces 5 points il y a 3 points qui sont reliés en bleu.
Ici il n’y a aucun points qui sont reliés de la même couleur.
r représente le nombre de sommet du polygone bleu et s représente le nombre de sommet du polygone rouge.
R(4,3) = 9 indique qu’il faut 9 points pour faire des quadrilatères bleus (4 points) et des triangles rouges (3 points) ou vide et versa.
Le tableau ci-dessous montre que l’on est pas capable de déterminer des valeurs exactes pour la plupart des problèmes : 43 points < R(5,5) < 49 points, nous n’avons que des encadrements et pas de valeur exactes.
Un nombre palindrome est un nombre qui peut se lire de droite à gauche, comme 272 = 272.
Il est surprenant de remarquer que si on ajoute n’importe quel nombre et sont renversé (le même nombre écrit à l’envers), on obtient un nombre palindrome.
par exemple : 143 + 341 = 484
On peut le faire en plusieurs étapes : 153 + 351 = 504 puis 504 + 405 = 909
Mais existe t’il des nombres qui ne respectent pas cette propriété ? On les appelle des nombre de Lychrels et on ne sait pas s’il en existe. On a des soupçons sur le nombre 196 mais sans être capable de le prouver.
La liste des nombres de Lychrel soupçonnés sur OEIS.
Nous arrivons à un nombre composé d’un seul chiffre en cela en 3 étapes. La persistance multiplicative de 53 est donc de 3.
Quel est le nombre qui a la plus grande persistance multiplicative ?
Pour le moment on a trouver les nombres 277 777 788 888 899 et 27 777 789 999 999 999 donc la persistance multiplicative est de 11. Mais on ne sait pas si on peut dépasser 11.
Combien faut-il de personnes pour que l’on ait 50 % de chance de trouver deux personnes qui ont la même date d’anniversaire ? La logique voudrait qu’il en faille beaucoup, mais … Avec 23 personnes on aura 50,73 % de chance, ce qui n’est vraiment pas beaucoup convenons-en. A partir de 60 personnes on aura 99,81 %
La preuve :
Avec 23 personnes, le premier a 22 possibilités d’avoir un anniversaire commun avec quelqu’un.
Le 2ième a 21 possibilités d’avoir un anniversaire commun avec quelqu’un. Le 3ième a 20 possibilités d’avoir un anniversaire commun avec quelqu’un. ………….. Le 22ième a 1 possibilité d’avoir un anniversaire commun avec quelqu’un.
Le nombre d’anniversaires commun = 22 + 21 + 20 + … + 2 + 1 = 23 x 11 = n(n+1)/2 = (23 + 22)/2 = 253 fois la même question a posée : as-tu le même anniversaire que moi.
La démonstration sera plus simple si on compte la probabilité que les 23 personnes n’aient pas le même anniversaire.
S’il y a 2 personnes elles auront 1 chance sur 365 d’avoir le même anniversaire et donc 364/365 de ne pas avoir le même anniversaire. S’il y a 3 personnes, une personne aura 364/365 chance de ne pas avoir le même anniversaire avec la deuxième et 363/365 avec la troisième, c’est à dire \frac{364}{365}\times \frac{363}{365} Et ainsi de suite. Le tableur Excel suivant donne tous les résultats (Fichier à télécharger ou cliquez sur la flèche en haut à droite de la page Excel ci-dessous pour l’ouvrir dans Microsoft Office Online).
On se rend bien compte que c’est à partir de 23 personnes que l’on a 50% de chance qu’il y ait 2 personnes ayant le même anniversaire. Il est interressant de remarquer que Excel atteint ses limites à partir de 83 personnes car il affiche 100% de chance, ce qui est impossible !!!
Rubik’s cube : même jeu avec le Rubik’s cube
Il y a 43×1018 de combinaisons possibles au Rubik’s cube (exactement 43 252 003 274 489 856 000), en le tenant de la même façon, c’est-à-dire la face rouge vers le haut par exemple. Combien faut-il de personnes qui mélange un Rubik’s cube, pour qui l’on ait la même combinaison ? Sur 365 jours il faut 23 personnes pour qu’il y ait 50 % de chance que 2 personnes aient le même anniversaire. Sur 43×1018 combinaisons possibles au Rubik’s cube il faut 7 743 000 000 personnes pour qu’il y ait 50 % de chance que 2 personnes aient la même combinaison. C’est-à-dire à peu près la taille de la population de la terre.
Petite remarque : le nombre de dieu du Rubik’s cube est 20. C’est le nombre de mouvement minimum qu’il faut faire pour résoudre n’importe quel Rubik’s cube.
29°/ Le plus court chemin est-il la ligne droite ?
Peut-on aller de l’Espagne jusqu’en Nouvelle Zélande en bateau et en ligne droite ?
En fait ce trajet est parfaitement rectiligne du fait de la courbure de la terre. La preuve toujours avec Google map mais en mode planète.
De la même manière on peut aller de l’Inde aux États Unis en allant tout droit :
Pour jouer, voici un petit exercice. Depuis Calais, dans le nord de la France, et en partant vers le nord sur la mer, quelle est la première terre que l’on rencontrera ?
Et bien ce sera l’Antarctique, c’est-à-dire le pôle sud !!! On passera par le pôle nord et on fera le tour de la terre.
Encore plus fou : Voici les distances entre les villes de Paris, New York, Le Cap en Afrique du Sud et Buenos Aires (Voici un site pour obtenir ces distances : https://fr.distance.to/).
Paris
New York
Le Cap
Buenos Aires
Paris
5790 km
9345 km
11054 km
New York
5790 km
12568 km
8530 km
Le Cap
9345 km
12568 km
6870 km
Buenos Aires
11054 km
8530 km
6870 km
Plaçons-les à l’aide d’un compas sur une carte. Commençons par placer Paris, New York, Le Cap.
Et bien il est impossible de placer cette 4ième ville sur un plan, toujours à cause de la courbure de la terre. Notre construction avec des cercles utilise la géométrie Euclidienne qui est bien entendue inutilisable dans la géométrie sphérique que l’on doit utiliser pour se déplacer sur la terre.
30°/ \pi = 4 ou même 2 :
Partons d’un carré de 1 unité de côté. Replions ensuite un chaque coin vers l’intérieur. Ainsi de suite un nombre de fois infinie pour arriver à un cercle. On peut conclure que la limite de l’aire de la dernière figure est égale au périmètre du cercle de diamètre 1 unité.
On remarque que chaque coin en pointillé a la même longueur que le coin intérieur, et que donc le périmètre ne change pas.
Si le raisonnement est correct : Perimetre_{cercle}=2\pi R = \pi D = \pi = Perimetre_{carre}=4 \times 1 = 4 \ unites
Donc : \pi = 4
Mais on peut aussi prouver que \pi = 2
Traçons un demi-cercle de rayon 1 unité.
Perimetre_{1/2 cercle \ bleu}=\pi R = \pi \times 1 = \pi unite
Perimetre_{1/2 cercle \ vert}=\pi \times 0,5 = \frac{\pi }{2} unites donc : 2 \ Perimetres_{1/2 cercle \ vert}=\pi \ unite
Perimetre_{1/2 cercle \ jaune}=\pi \times 0,25 = \frac{\pi }{4} unites donc : 4 \ Perimetres_{1/2 cercle \ jaune}=\pi \ unite
En répettant ainsi, la somme de tous les 1/2 cercles sera donc toujours égale à \pi . Or la limite de la somme des 1/2 cercles est égale au diamètre de 2 unités. Nous venons de démontrer que \pi = 2.
Bien évidemment \pi n’est égal ni à 4 ni à 2. Cette grossière erreur vient du fait que on déduit de chacune des deux expériences précédentes, que la limite des découpages successifs, qui est est égale à \pi dans chaque cas, est égale à la longueur de la limite des figures de départ, c’est à dire 4 ou 2.
Or ces découpages sont caractérisés par une fonction discontinue où la notion de limite n’a aucun sens.
31°/ Les bœufs d’Helios :
Voici un problème proposé par Archimède de Syracuse (Italie) à ses confrères d’Égypte :
« Le soleil (c’était alors un dieu) possédait un troupeau de taureaux et de vaches, dont une partie était blanche, une partie noire, une partie rose, et la quatrième partie jaune. Parmi les taureaux, le nombre de ceux qui étaient blancs dépassait le nombre des jaunes de la moitié plus un tiers du nombre des taureaux noirs. Le nombre des taureaux noirs dépassait le nombre des taureaux jaunes d’un quart plus un cinquième du nombre des taureaux roses. Enfin le nombre des taureaux roses dépassait celui des jaunes d’un sixième plus un septième du nombre des taureaux blancs. Parmi les vaches, le nombre des blanches était égal au tiers augmenté du quart du nombre total des bovins noirs. Le nombre des vaches noires, au quart augmenté du cinquième du nombre total des bovins roses. Le nombre des vaches roses, au cinquième augmenté du sixième du nombre total des bovins jaunes. Enfin le nombre des vaches brunes était égal à un sixième plus un septième du nombre total des bovins. »
Il s’agit de dénombrer ce troupeau.
C’est un problème d’analyse diophantienne qui fut découvert en 1773 par Gotthold Lessing dans un manuscrit grec et attribué à Archimède. Ce problème ne fut résolu qu’en 1880 par A. Amthor qui en donna une solution exacte sous forme de produit d’irrationnels. La solution fait intervenir de très grands nombres, que des ordinateurs peuvent aujourd’hui écrire et fait intervenir l’équation de Pell-Fermat .
Voici un résumé des 7 équations à 8 inconnues. Il manque une équation pour obtenir une solution unique, et si elle existe, alors il y en aura une infinité.
En effet, la solution la plus simple donne un troupeau de 7,76 x 10206544 animaux !!!
Il est plus que probable qu’Archimède n’a pas résolu ce problème. On se demande même si, taquin, il ne voulait pas mettre en difficulté ses collègues.
32°/ Pythagore nous aurait menti ?
Calculons la hauteur des marches et contremarches d’un escalier de base 4 unités et de hauteur 3 unités.
La longueur des marches rouges est équivalente à la base de 4 unités, et la longueur des contremarches à la longueur bleue de 3 unités. On obtient 7 unités.
Avec 3 marches on obtient le même résultats.
Ainsi qu’avec 8 marches. La longueur des marches rouges et des contremarches bleues ne dépend pas du nombre de marches total.
Si l’escalier possède un ombre infini de marche alors la longueur de l’hypoténuse mesure 7 unités.
Cependant, le Théorème de Pythagore nous dit que : 4² + 3² = 16 + 9 = 25 Donc la longueur de l’hypoténuse est de 5 unités et non de 7 !!!!!
Quel est donc l’explication de ce prodige ? 2 unités de différence ce n’est pas rien !! Voici une excellente vidéo de la chaine youtube Maths en tete.
En réalité, la limite de la somme des marches et contremarches n’est pas une droite, et même si on imagine un escalier avec un nombre infini de marches, ces dernières existent toujours et ne peuvent être assimilées à une droite. La notion de limite est toujours à prendre avec des pincettes.
33°/ L’Algorithme de Kaprekar :
Le mathématicien indien D.R. Kaprekar (1905 – 1986) s’est intéressé depuis son enfance aux nombres. Il a inventé l’algorithme suivant :
Prendre un nombre K (qui ne doit pas être composé des mêmes chiffres) puis réordonner ses chiffres du plus grand au plus petit, puis du plus petit au plus grand. Effectuer la différence du plus grand par le plus petit. Si le nombre de départ contient 3 chiffres on tombe obligatoirement sur 495 de façon cyclique. Si le nombre de départ contient 4 chiffres on tombe obligatoirement sur 6174.
Il existe 3 autres algorithmes : Vous pouvez observer les suites obtenues à l’aide le l’application ci-dessous.
Écrire les chiffres du nombre K dans l’ordre inverse. Effectuer la différence du plus grand par le plus petit.
zéro
3452 – 2543 = 909 909 – 909 = 0 0 – 0 = 0
Algorithme dit « alterné »
Pour le premier nombre, inverser le premier et le dernier chiffre. Pour le second, inverser les chiffres du milieu. Effectuer la différence du plus grand par le plus petit.
34°/ Le paradoxe du duc de Toscane, ou la naissance des probabilités :
Au début du XVIIième siècle, le grand duc de Toscane Cosme II de Médicis (1590-1621) joue avec 3 dés à six faces et s’aperçoit qu’il obtient plus souvent la somme de 10 que celle de 9 lorsqu’il ajoute les trois dés. Or, après avoir listé toutes les façons d’obtenir 9 ou 10, il remarque qu’il y en a 6, que ce soit pour 9 ou pour 10. Il y a donc autan de chance de tomber sur les deux valeurs.
Intrigué par la contradiction apparente de ses observations, il va demandé conseil au grand savant de l’époque, Galilée (1564-1642). Un temps perplexe, Galilée fini par découvrir l’explication de ce paradoxe. En effet, si on considère qu’il y a une seule façon d’obtenir la combinaison 1-2-6 par exemple, pour obtenir la somme 9, on se trompe car on oublie que l’ordre a aussi sont importance, et il faut considérer les 6 combinaisons suivantes : 1-2-6; 1-6-2; 2-1-6; 2-6-1; 6-1-2 et 6-2-1.
Somme des 3 dés égale à 9
Somme des 3 dés égale à 10
il y a 6 x 6 x 6 = 216 combinaisons possibles avec 3 dés :
Donc, la probabilité d’obtenir 9 sera : P(9) = \frac{25}{216}\simeq 0,116
il y a 6 x 6 x 6 = 216 combinaisons possibles avec 3 dés :
Donc, la probabilité d’obtenir 10 sera : P(9) = \frac{27}{216}= 0,125
La probabilité d’obtenir 10 est donc bien légèrement plus grande que celle d’obtenir 9.
35°/ La conjecture de Poincaré :
La conjecture de Poincaré était une conjecture mathématique du domaine de la topologie algébrique portant sur la caractérisation d’une variété particulière, la sphère de dimension trois ; elle fut démontrée en 2003 par le Russe Grigori Perelman. On peut ainsi également l’appeler théorème de Perelman.
Elle faisait jusqu’alors partie des problèmes de Smale et des sept « problèmes du prix du millénaire » recensés et mis à prix en 2000 par l’Institut de mathématiques Clay. En 2006, cette démonstration a été validée par l’attribution d’une médaille Fields à Grigori Perelman (qui l’a refusée) ; de plus, en mars 2010, l’institut Clay a officiellement décerné le prix correspondant à Perelman, prix qu’il a également refusé, en raison d’un « désaccord avec les décisions de la communauté mathématique ».
36°/ La loi de Benford :
La loi de Benford, permet de comparer une série de nombre selon le mode additif ou multiplicatif.
Je vous propose le pari suivant : ouvrons le journal, choisissons une page au hasard et notons le premier nombre que nous rencontrons ; si le premier chiffre significatif de ce nombre est supérieur à 3, je vous donnerai 100 €, sinon c’est vous qui me donnerez 100 €.
La proposition vous est , semble-t-il, nettement favorable : il n’y a en effet que trois chiffres qui me font gagner (1, 2, 3), alors qu’il y en a six pour vous ( 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) ; le 0 ne compte pas, car il ne peut pas être un premier chiffre significatif. Vous pensez donc gagner environ deux fois sur trois. Serais-je idiot de vous proposer un tel pari ?
Eh bien non : si vous acceptez, je gagnerai dans plus de 60 pour cent des cas. La loi de Benford indique que, dans un contexte général comme celui d’un article de journal, les probabilités p de rencontrer les différents chiffres comme premier chiffre significatif sont, exprimées en pourcentage : p(1) = 30,1; p(2) = 17,6 ; p(3) = 12,5 ; p(4) = 9,7; p(5) = 7,9 ; p(6) = 6,7; p(7) = 5,8 ; p(8) = 5,1 ; p(9) = 4,6. Puisque 30,1 + 17,6 + 2,5 = 60,2, Je gagnerai mon pari dans 60,2% des cas.
Quelle est donc cette loi bizarre du premier chiffre significatif, si contraire à l’intuition ?
Cette loi de Benford n’est pas si compliquée à comprendre. Si on joue avec un livre de 99 pages, il y a autan de chance de tomber sur chacun des 9 chiffres significatifs : en effet il y a chacun des chiffres de 1 à 9 et 10 chiffres de chaque de 10 à 99. Chaque probabilité est donc de 11/99. Par contre si le livre possède 299 pages, ce qui est très courant, alors il y aura 11 exemplaires de chaque chiffre de la page 1 à 99 et toutes les autres commenceront par 1 ou 2 pour les pages 100 à 299. P(1) = P(2) = \frac{11+100}{299}=\frac{111}{299} qui est largement supérieur aux autres probabilités qui seront de \frac{11}{299}
Prenons tous les prix d’un grand supermarché et relevons le premier chiffre de chaque référence. Classons ces chiffres pour déterminer quel est celui qui est le plus présent. Étonnamment les petits chiffres sont plus fréquents que les grands. Il en va de même si on mesure la surface des îles de la Polynésie Française.
Prenons tous les prix d’un grand supermarché et relevons le premier chiffre de chaque référence.
Classons ces chiffres pour déterminer quel est celui qui est le plus présent. Étonnamment les petits chiffres sont plus fréquents que les grands.
Il en va de même si on mesure la surface des îles de la Polynésie Française.
La répartition des chiffres montre une courbe de forme exponentielle.
En fait c’est l’échelle des abscisses qui n’est pas idéale. Si on utilise une échelle logarithmique, alors la répartition des chiffres devient tout à fait régulière. On utilise cette loi de Benford pour savoir si une suite de nombre a été créer aléatoirement par un ordinateur ou si elle est naturelle. Par exemple les données comptables d’une entreprise ont toutes les chances d’avoir été bidouillées si la répartition des premiers chiffres est trop régulière.
Je vous propose différents exercices, tous aussi contre-intuitifs les uns que les autres :
a°/ La distance terre-lune :
b°/ La fourmi, le chimpanzé et le Gorille :
c°/ La balle de ping-pong, la terre et le soleil :
d°/ Mille million milliard :
Notre erreur provient sans nul doute de la façon dont nous avons appris à compter. Jusqu’à cent, nous comptons de 10 en 10 : dix, vingt, trente …, mais ensuite c’est plutôt de 1000 en 1000 : mille, million, milliard ….
37°/ Des sommes de réel étonnantes :
En fait toutes les opérations qui vont suivre, sont fausses dans l’ensemble des nombres réels mais exactes dans l’ensemble des nombres p-adiques.
Les nombres p-adiques forment une extension particulière du corps \mathbb{Q} des nombres rationnels, découverte par Kurt Hensel en 1897. Ce sont des nombres composés d’une suite de chiffre infinie à gauche de la virgule, mais toujours finie à droite de la virgule. Par exemple : ….9999 signifie que ce nombre est composé d’une infinité de 9. Dans cet ensemble les opérations de bases donnent des résultats particuliers.
3°/ Une autre addition étonnante : Voici une somme infinie qui ne donne pas l’infinie mais -1 !!!
4°/ Voici deux autres additions : celle de gauche est correcte mais pas celle de droite.
Certains d’entre vous seront peut-être intrigués par le résultat paradoxal des opérations de la fig. 2, en fait : infini ≠ -2. D’ailleurs, on peut trouver dans n’importe quel manuel de mathématiques que la somme des puissances de 2 donne :
2 n + 2 n -1 + 2 n -2 + … + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 2 n +1 – 2 = 2(2 n – 1)
Alors, où est l’erreur ?
Les mathématiques derrière le fait : l’indétermination de ∞ – ∞ Alors que la limite de la somme des fractions peut converger vers une limite, dans ce cas précis vers 1, la somme des puissances n’a pas de limite car elle ne peut exister puisque : \lim_{n\to\infty}S_{n}=\infty
Ainsi, vous ne pouvez pas soustraire S des deux côtés de l’équation ; car cela reviendrait à écrire : – 2 + ∞ – ∞ = 2∞ – ∞
et le problème est que même dans les réels étendus * , ∞-∞ est indéterminé. Cela n’équivaut à rien, et certainement pas à zéro. Bref, on ne peut pas simplement annuler les infinis.
* En mathématiques, le système de nombres réels affinement étendu est obtenu à partir du système de nombres réels R en ajoutant deux éléments : +∞ et -∞ (lus respectivement comme l’infini positif et l’infini négatif). Ces nouveaux éléments ne sont pas de vrais chiffres. Il est utile pour décrire divers comportements limites en calcul et en analyse mathématique, en particulier dans la théorie de la mesure et de l’intégration.
38°/ Les 7 problèmes du millénaire :
Le 24 mai 2000, le Clay Mathematics Institute (CMI) présente au Collège de France sept problèmes majeurs des mathématiques. Chacun est doté d’un prix d’un million de dollars pour celui qui en arriverait à bout. Malheureusement ces problèmes ne sont pas à la portée du profane et sont plutôt un défi à la communauté scientifique dans le but de faire progresser les recherches en mathématiques, en informatique et en physique.
1°/ La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer : Quand les solutions d’une équation algébrique sont situées sur une variété abélienne, la taille du groupe des solutions rationnels est reliée au comportement de la fonction Zeta ?(s) associée au voisinage de s=1. Si ?(1)=0 alors il y a une infinité de solutions rationnelles et réciproquement, si ?(1)?0, il y a seulement un nombre fini de solutions rationnelles.
2°/ La conjecture de Hodge : Pour une certaine classe d’espace, les variétés algébriques projectives, appelées cycles de Hodge sont des combinaisons linéaires rationnelles d’objets ayant une réelle nature algébrique (les cycles algébriques).
3°/ Les équations de Navier-Stokes : Le défi consiste à faire progresser les théories mathématiques liées aux équations de Navier-Stockes dans le but d’expliquer des phénomènes tel le mouvement des vagues produites par un bateau en déplacement.
4°/ Le P problème et le NP problème : On appelle P problème tout problème qui consiste à trouver une liste d’éléments dans un ensemble donné et ce relativement à un critère fixé à l’avance. Le NP problème est opposé au P problème : il consiste à vérifier si une liste donnée est en adéquation avec les conditions données au préalable.
5°/ La conjecture de Poincaré : Soit une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3. En 2006, le russe Gregori Perelman se voit décerner la médaille Fields pour avoir démontré la conjecture de Poincaré. Mais le mathématicien russe la refuse ainsi que la récompense de un million de dollars promise par la Clay Mathematics Instituts. La seule raison invoquée est qu’il se sentait isolé de la communauté mathématique internationale.
6°/ L’hypothèse de Riemann : Les solutions de l’équation ?(s)=0 se situent le long d’une ligne droite verticale, où ? est la fonction Zeta de Riemann.
7°/ La théorie de Yang-Mills : La théorie de Yang et Mills est construite sur un modèle géométrique expérimental qui décrit l’interaction forte des particules élémentaires. Elle n’est par contre pas comprise d’un point de vue théorique. Elle fait intervenir une propriété appartenant au monde de la mécanique quantique : certaines particules quantiques ont une masse positive alors que l’onde associée voyage à la vitesse de la lumière.
39°/ Le paradoxe de Bertrand :
Les probabilités sont étonnantes. Prenons un triangle équilatéral et son cercle circonscrit. Quelle est la probabilité pour qu’une corde, choisie au hasard, soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit ?
Et bien suivant comment on fabrique ces cordes, la probabilité sera ne sera pas la même !!
Cas 1 : Corde définie par un sommet du triangle et un point du cercle. Probabilité = 1/3
Cas 2 : Un point dans le cercle inscrit au triangle. Probabilité = 1/4
Cas 3 : Point sur un rayon perpendiculaire à un côté du triangle. Probabilité = 1/2
Dans chacun des cas on a bien fabriquer toutes les cordes possibles, mais on ne peut calculer une probabilité correctement que si les consignes de départs sont claires, et ce n’est pas le cas ici !!
Une petite variante très paradoxale : prenons un cube de côté c. On vous demande de parier sur deux propositions:
– Proposition n°1 : le côté c étant compris entre 1 et 10, vous pariez que c est compris entre 1 et 7 ou entre 7 et 10 ?
– Proposition n°2 : le volume c3 étant compris entre 1 et 1 000, vous pariez que le volume est compris entre 1 et 343 ou entre 343 et 1 000 ?
Proposition n°1
Proposition n°2
entre 1 et 7 il y a 7 possibilités : probabilités supérieures, c’est mon choix.
entre 7 et 10 il y a 4 possibilités.
entre 1 et 343 il y a 343 possibilités.
entre 343 et 1 000 il y a 658 possibilités : probabilités supérieures, c’est mon choix.
Le choix a l’air simple et basique, sauf que ces 2 propositions sont en fait parfaitement identiques mais les réponses diamétralement opposées. En effet, pour un cube dont le côté varie de 1u à 7u, son volume varie de 13 = 1 u3 à 73 = 343 u3. Pour un cube dont le côté varie de 7u à 10u, son volume varie de 73 = 343 u3 à 103 = 1 000 u3.
Donc notre intuition nous joue un drôle de tour ainsi que le facteur d’agrandissement des volumes.
40°/ La trompette de Gabriel :
Cette figure a été étudiée par le physicien italien Evangelista Torricelli au XVIIe siècle.
En partant de la fonction \frac{1}{x} et en la faisant tourner autour de l’axe des abscisses. Calculons le volume et la surface entre x = 1 et x = a où a > 1.
On obtient un volume infini appelé trompette de Gabriel.
Le volume de la trompette est donc la limite de V quand a tend vers l’infini : \displaystyle \lim_{ a \to \infty }\pi (1-\frac{1}{a}) = \pi qui est un nombre rationnel mais qui n’est pas infini.
Calcul de la surface :A = 2\pi \int_{1}^{a}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x^{2}}dx > 2\pi \int_{1}^{a}\frac{\sqrt{1}}{x}dx = 2\pi \ ln\ a
La surface de la trompette est donc la limite de A quand a tend vers l’infini : \displaystyle \lim_{ a\to \infty } 2\pi \ ln\ a = \infty
Donc la trompette de Gabriel possède une surface infinie mais un volume fini !!!
Si on voulait peindre cette trompette il nous faudrait donc un pot de peinture infini, mais il suffirait de remplir l’intérieur de la trompette, il là le pot de peinture serait fini.
41°/ Le paradoxe de Simpson :étude sur les placébos
Voici une étude sur l’efficacité d’un placébo, qui est un médicament sans principe actif. On a donné soit un médicament soit un placébo à 80 hommes et 80 femmes. On a calculer le taux de personnes guéries.
Hommes
Guéris
Malade
% de guérison
Médicament
36
24
60%
Placébo
14
6
70%
Femmes
Guéris
Malade
% de guérison
Médicament
4
16
20%
Placébo
18
42
30%
Tous
Guéris
Malade
% de guérison
Médicament
40
40
50%
Placébo
32
38
40%
Il faut donner le placébo aux hommes et aux femmes, mais le médicaments si on ne connait pas leur sexe !!!!!
Il y a 2 critères à prendre en compte : la prise de médicament/placébo et le genre des personnes. Il s’agit d’évaluer des facteurs croisés qui perturbent la proportionnalité.
42°/ Tous les triangles sont équilatéraux :
1°/ Prenons un triangle quelconque ABC et traçons la médiatrice de [BC] et la bissectrice de l’angle \widehat{A}. Appelons E leur point d’intersection. 2°/ Traçons les perpendiculaires à (AB) et (AC) passant par E. Elles coupent (AB) en F et (AC) en G. 3°/ Les triangles AEF et AGE ont un angle droit, les angles \widehat{FAE} et \widehat{EAG} sont égaux et l’hypoténuse [AE] en commun. Ils sont donc égaux et AF = AG. 4°/ Les triangles BED et DEC ont un angle droit, un côté [ED] en commun et BD = DC car D est le milieu de [BC]. Ils sont donc égaux et EB = EC. 5°/ Les triangles BEF et CGE ont un angle droit, EB = EC et EF = EG. Ils sont donc égaux et FB = GC. 6°/ \left.\begin{matrix}AF=AG\\BF=GC\end{matrix}\right\}\Rightarrow AB=AC. Donc ABC est isocèle en A. 7°/ On peut refaire la même démonstration en B et en C.
Le triangle est donc équilatéral !!!!!
Solution : En fait, le schéma est un peu faux !!!
La bissectrice ne coupe pas parfaitement l’angle \widehat{A} en deux parties égales et le point E devrait être à l’extérieur du triangle. Le raisonnement est en tout point exact, et les triangles AEF et AGE sont bien identiques, ainsi que BED et DEC et ainsi que BEF et CGE. Cependant, si en effet si AF = AG et BF = GC, AB = AF + BF alors que AC = AG – CG
43°/ Les limites de bon sens :
Construisons les figures suivantes :
Partons d’un cercle de rayon une unité, puis construisons son triangle équilatéral circonscrit. Puis un nouveau cercle circonscrit et son carré circonscrit. Et ainsi se suite en alternant un cercle et un polygone dont le nombre de coté augmente de un à chaque étape.
Partons d’un cercle de rayon une unité, puis construisons son triangle équilatéral inscrit à l’intérieur. Puis un nouveau cercle inscrit et son carré inscrit. Et ainsi se suite en alternant un cercle et un polygone dont le nombre de coté augmente de un à chaque étape.
Il parait évident que la figure va augmenter indéfiniment.
Il parait évident que le rayon des cercles va tendre vers zéro.
Et bien ce n’est pas si simple. Voir les explications détaillées ici :
Le cercle limite de rayon en bleu sera de presque 8,7 unités.
Le cercle limite de rayon en bleu sera de presque 0,115 unités.
44°/ Je suis le Pape :
Un étudiant de philosophie demande au logicien Bertrand Russell :
« Prétendez-vous que, de l’assertion 2 + 2 = 5, il s’ensuit que vous êtes le pape ?
— Oui, bien sûr, dit Russell.
— Pouvez-vous le prouver ? demanda l’étudiant sceptique.
— Certainement, répliqua Russell en poursuivant. Supposons donc que 2 + 2 = 5. Soustrayons 2 de chaque membre de l’égalité, nous obtenons 2 = 3 et par symétrie 3 = 2. Soustrayons 1 de chaque côté, il vient 2 = 1. Le pape et moi sommes 2 personnes, et puisque on part du principe que 2 + 2 = 5 et que donc 2 = 1, deux personnes équivalent à une seule. Le pape et moi sommes donc une seule et même personne. Par suite, je suis le pape ! »
45°/ Le paradoxe de la roue d’Aristote :
Voici une roue sur laquelle on a tracé 2 cercles concentriques de rayon différents. En faisant tourner cette roue, on se rend compte que les 2 points repérer sur les 2 cercles parcourent la même distance alors que les circonférences sont différentes. Comment cela est-il possible ?
L’explication de ce paradoxe vient du fait que les trajectoires des 2 points ne sont pas des cercles :
La trajectoire bleue extérieure est 2 demis cercles, ce qui fera bien un cercle entier de longueur 2πR.
La trajectoire rouge intérieure est plus complexe et elle est égale à la trajectoire bleue.
(la barre pour la barre de fraction et les points pour le numérateur et le dénominateur)
racine carrée. R pour radix (du latin racine).
(l’infini)
(Signe « somme de valeurs continues » : intégrale)
Partons d’un cercle de rayon une unité, puis construisons son triangle équilatéral circonscrit. Puis un nouveau cercle circonscrit et son carré circonscrit. Et ainsi se suite en alternant un cercle et un polygone dont le nombre de coté augmente de un à chaque étape.
Partons d’un cercle de rayon une unité, puis construisons son triangle équilatéral inscrit à l’intérieur. Puis un nouveau cercle inscrit et son carré inscrit. Et ainsi se suite en alternant un cercle et un polygone dont le nombre de coté augmente de un à chaque étape.
Il parait évident que la figure va augmenter indéfiniment.
Il parait évident que le rayon des cercles va tendre vers zéro.
Le cercle limite de rayon en bleu sera de presque 8,7 unités.
Le cercle limite de rayon en bleu sera de presque 0,115 unités.