XVII°/ Le triangle de Pascal :

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Ce n’est pas Blaise Pascal (1623 – 1662) qui l’a trouvé mais il fut nommé ainsi en son l’honneur. Il est connu sous l’appellation « triangle de Pascal » en Occident, bien qu’il fût étudié par d’autres mathématiciens, parfois plusieurs siècles avant lui, en Inde, en Perse, au Maghreb, en Chine (où il est appelé « triangle de Yang Hui »), en Allemagne et en Italie.

I°/ Construction :
II°/ Coefficients des égalités remarques : coefficients binomiaux
III°/ La combinatoire : C’est l’art de compter les objets, actions ou autre.
IV°/ Trouver les puissances de 2 :
V°/ Trouver les puissances de 11 :
VI°/ La suite Fibonacci :
VII°/ La règle de la crosse de hockey :
VIII°/ Le triangle de Sierpinski :
IX°/ Les nombres premiers :

Sa construction est simple, mais ses applications sont multiples.

I°/ Construction :

On part du nombre 1 et à chaque ligne on rajoute un nombre qui est la somme des 2 nombres qui sont au-dessus de lui. Chaque case est donc la somme des 2 cases qui sont au-dessus, s’il n’y a pas de case on prend le nombre 0. Donc dans chaque ligne, le premier et le dernier nombre est 1.

1 1
2 1 1
3 2 = 1 + 1 1 2 1
4 1 3 3 1
5 4 = 1 + 3 1 4 6 4 1
6 1 5 10 10 5 1
7 1 6 15 20 15 6 1
8 35 = 15 + 20 1 7 21 35 35 21 7 1
9 1 8 28 56 70 56 28 8 1
10 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
11 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
12 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
13 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
14 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
15 3003 = 1287 + 1716 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
16 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
17 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1
18 1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1
19 1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1
20 1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1
21 1 20 190 1140 4845 15504 38760 77520 125970 167960 184756 167960 125970 77520 38760 15504 4845 1140 190 20 1
22 1 21 210 1330 5985 20349 54264 116280 203490 293930 352716 352716 293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1
23 1 22 231 1540 7315 26334 74613 170544 319770 497420 646646 705432 646646 497420 319770 170544 74613 26334 7315 1540 231 22 1
24 1 23 253 1771 8855 33649 100947 245157 490314 817190 1144066 1352078 1352078 1144066 817190 490314 245157 100947 33649 8855 1771 253 23 1

Chaque case est la somme des 2 cases qui sont au-dessus. C’est-à-dire que le kième terme de la nième ligne est égal au (k-1)ième terme de la (n-1)ième ligne plus le kième terme de la (n-1)ième ligne

Voilà comment on l’écrit plus simplement.

C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k} ou avec l’écriture Française \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}

remarque :
C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x…x (n – 1) x n
(n + 1)! = (n + 1) x n!
(n - 1)! = \frac{n!}{n}

Démonstration :

(n-1)!= \frac{n!}{n} \frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!\times(n-1-k+1)!}+\frac{(n-1)!}{k!\times(n-1-k)!} \frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{\frac{n!}{n}}{\frac{k!}{k}\times(n-k)!}+\frac{\frac{n!}{n}}{k!\times \frac{(n-k)!}{(n-k)}} \frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{\frac{n!}{n}\times k}{k!\times(n-k)!}+\frac{\frac{n!}{n}\times (n-k)}{k!\times (n-k)!} \frac{n!}{k!\times(n-k)!}=\frac{n!(\frac{k}{n}+\frac{n-k}{n})}{k!\times (n-k)!} \frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{n!(\frac{k+n-k}{n})}{k!\times (n-k)!} \frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{n!}{k!\times (n-k)!}

donc : C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}

On peut aussi dire que, la somme des 2 cases est égale à celle qui est en dessous de celle de droite. C’est-à-dire que le kième terme de la nième ligne plus le (k+1)ième terme de la nième ligne et égal au le (k+1)ième terme de la (n+1)ième ligne

C_{n}^{k}+ C_{n}^{k+1}= C_{n+1}^{k+1} ou avec l’écriture Française \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}

\frac{n!}{k!\times (n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!\times (n-k-1)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\times (n+1-k-1)!} \frac{n!}{k!\times (n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)\times k! \times \frac{(n-k)!}{(n-k)}}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\times (n-k)!} \frac{n!}{k!\times (n-k)!}+\frac{n!\times (n-k)}{(k+1) \times k!\times (n-k)!}=\frac{(n+1)\times n!}{(k+1) \times k! \times (n-k)!} \frac{n!(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)\times k!\times (n-k)!}=\frac{(n+1)\times n!}{(k+1)\times k!\times (n-k)!} \frac{n!(k+1+n-k)}{(k+1)\times k!\times (n-k)!}=\frac{(n+1)\times n!}{(k+1)\times k!\times (n-k)!} \frac{n!(1+n)}{(k+1)k!(n-k)!}=\frac{(n+1)n!}{(k+1)k!(n-k)!}

.

II°/ Coefficients des égalités remarques : les coefficients binomiaux.

Il s’agit de développer l’expression (a+b) à l’exposant n, ou n est un entier naturel.

Par exemple : (a+b)² = a² + 2ab + b²

Et bien le triangle de Pascal permet de déterminer les coefficients de chaque membre de l’égalité. Pour cela il faut prendre les coefficients de la ligne (n-1) et élever a et b aux puissances successives.

(a + b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k} \ b^{k}

Formule du binôme de Newton

 \binom{n}{k} = C_{n}^{k}=\frac{n!}{k! (n - k)!)}

Coefficients de la (n-1)ième ligne du triangle de Pascal.
1 (a + b) 0 = 1
1 1 (a + b) 1 = 1a + 1b
1 2 1 (a + b) 2 = 1a² +2ab + 1b²
1 3 3 1 (a + b) 3 = 1a3 + 3a²b + 3ab² + 1b3
1 4 6 4 1 (a + b) 4 = 1a4 + 4a3b + 6a²b² + 4ab3 + 1b4
1 5 10 10 5 1 (a + b) 5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b² + 10a²b3 + 5ab4 + 1b5
1 6 15 20 15 6 1 (a + b) 6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b² + 20a3b3 + 15a²b4 + 6ab5 + 1b6

III°/ La combinatoire : C’est l’art de compter les objets, actions ou autre.

Par exemple, combien y-a-t ’il de façon de choisir k objets parmi n. Et bien ce nombre sera égal au (k+1)ième coefficient de la (n-1)ième ligne du triangle de Pascal

1 1
2 1 1
3 1 2 1
4 1 3 3 1
5 1 4 6 4 1
6 1 5 10 10 5 1
7 1 6 15 20 15 6 1
Combien y-a-t ‘il de façon de choisir 2 objets parmi 4 objets a, b, c et d : le (2 + 1) = 3ième nombre de la (4 + 1) = 5ième ligne, c’est-à-dire 6.

Voici les 6 couples que l’on peut faire : a-b ; a-c ; a-d ; b-c ; b-d ; c-d
Combien y-a-t ‘il de façon de choisir 3 objets parmi 6 objets : le (3 + 1) = 4ième nombre de la (6 + 1) = 7ième ligne, c’est-à-dire 20.

C_{3}^{6} = \frac{6!}{3!(6 - 3)!)}= \frac{6 \times 5\times4\times3\times2}{3\times2\times3\times2}= 5 \times4 =20

Bien entendu il existe une formule qui permet de trouver ce résultat sans avoir à fabriquer le triangle de Pascal :

Le nombre de choix possible pour choisir k éléments parmi n est égal à : C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!)}

donc :

Choix de 2 éléments parmi 4 (le (2 + 1) = 3ième nombre de la (4 + 1) = 5ième ligne) = C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(4 - 2)!)}= \frac{4\times3\times2}{2\times2}= 3 \times 2= 6

Choix de 3 éléments parmi 6 (le (3 + 1) = 4ième nombre de la (6 + 1) = 7ième ligne) = C_{6}^{3} = \frac{6!}{3!(6 - 3)!)}= \frac{6 \times 5\times4\times3\times2}{3\times2\times3\times2}= 5 \times4 =20

IV°/ Trouver les puissances de 2 :

Si on additionne tous les nombres de la ligne n on obtient 2n-1.

n Somme 2n-1
1 1 1 2^0
1 1 2 2 2^1
1 2 1 3 4 2^2
1 3 3 1 4 8 2^3
1 4 6 4 1 5 16 2^4
1 5 10 10 5 1 6 32 2^5
1 6 15 20 15 6 1 7 64 2^6
1 7 21 35 35 21 7 1 8 128 2^7
1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 256 2^8
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 512 2^9
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 11 1024 2^10
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 12 2048 2^11
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 13 4096 2^12
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 14 8192 2^13
1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 15 16384 2^14
1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 16 32768 2^15
1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1 17 65536 2^16
1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 18 131072 2^17
1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1 19 262144 2^18
1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1 20 524288 2^19
1 20 190 1140 4845 15504 38760 77520 125970 167960 184756 167960 125970 77520 38760 15504 4845 1140 190 20 1 21 1048576 2^20
1 21 210 1330 5985 20349 54264 116280 203490 293930 352716 352716 293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1 22 2097152 2^21
1 22 231 1540 7315 26334 74613 170544 319770 497420 646646 705432 646646 497420 319770 170544 74613 26334 7315 1540 231 22 1 23 4194304 2^22
1 23 253 1771 8855 33649 100947 245157 490314 817190 1144066 1352078 1352078 1144066 817190 490314 245157 100947 33649 8855 1771 253 23 1 24 8388608 2^23

Démonstration : d’après la formule du binôme de Newton

(a + b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}\ b^{k}

Si on prend a = b = 1 on a :

(1 + 1)^{n}=2^{n}= \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\times 1^{n-k} \times 1^{k}= \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}

Donc 2n est égal à la somme des termes d’une ligne du triangle de Pascal.

V°/ Trouver les puissances de 11 :

C’est un peu plus compliqué et fastidieux. Les nombres du triangle de Pascal représentent les coefficients des puissances de 10 successives.

VI°/ La suite Fibonacci :

Cette suite célèbre est constituée en partant de 0 puis 1. On obtient les nombres suivants en additionnant les deux nombres précédents.

0 ; 1 ; 1 = 0 + 1 ; 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 ; 5 = 3 + 2 ….

Et bien en additionnant les diagonales ascendantes comme sur la figure ci-dessous, on obtient la suite Fibonacci.

Vous aurez ici une merveilleuse horloge de Fibonacci.

Une autre merveille : et si on attribuait une note pour chaque chiffre et que l’on jouait la suite de Fibonacci, cela donnerait quoi ?

John Edmark s’amuse avec Fibonacci dans des constructions de toutes beautés.

Lorsqu’elle est filmée à 24 images par seconde et tournée à 550 tours par minute, chaque image représente une rotation de 137,5 degrés, ce qui équivaut à l’angle d’or.

 

VII°/ La règle de la crosse de hockey :

Si on ajoute les nombres qui se suivent dans une diagonale, on obtient cette somme en bas à droite de la diagonale.

VIII°/ Le triangle de Sierpinski :

Si on enlève les nombres pairs du triangle Pascal on obtient celui de Sierpinski.

Triangle de Sierpinski Triangle de Pascal Les deux

IX°/ Les nombres premiers :

Le triangle de Pascal peut nous donner certains nombres premiers, avec une manipulation un peu fastidieuse, mais qui démontre qu’il y a une infinité de nombres premiers.

Voici le début du triangle de Pascal. Remplaçons les nombres pairs par 0 et les impairs par 1. Rapprochons les nombres. On obtient des nombres binaires. Traduisons les nombres binaires en nombres décimaux. Dès que l’on a un nombre premier, il faut le multiplier successivement à tous les résultats précédents avant de retrouver un nouveau nombre premier.

X°/ Multiple de n de la nième ligne :

Une propriété assez étrange est que si pour la nième ligne, n est un nombre premier, alors cette ligne ne contient que des multiples de n, en enlevant les deux 1.

Par exemple, à la 7ième ligne, il n’y a que des multiples de 7 : 7, 21 et 35.