XVII°/ Le triangle de Pascal :

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Ce n’est pas Blaise Pascal (1623 – 1662) qui l’a trouvé mais il fut nommé ainsi en son l’honneur. Il est connu sous l’appellation « triangle de Pascal » en Occident, bien qu’il fût étudié par d’autres mathématiciens, parfois plusieurs siècles avant lui, en Inde, en Perse, au Maghreb, en Chine (où il est appelé « triangle de Yang Hui »), en Allemagne et en Italie.

I°/ Construction :
II°/ Coefficients des égalités remarques : coefficients binomiaux
III°/ La combinatoire : C’est l’art de compter les objets, actions ou autre.
IV°/ Trouver les puissances de 2 :
V°/ Trouver les puissances de 11 :
VI°/ La suite Fibonacci :
VII°/ La règle de la crosse de hockey :
VIII°/ Le triangle de Sierpinski :
IX°/ Les nombres premiers :
X°/ Multiple de n de la nième ligne :
XI°/ D’autre trouvailles :

Sa construction est simple, mais ses applications sont multiples.

I°/ Construction :

On part du nombre 1 et à chaque ligne on rajoute un nombre qui est la somme des 2 nombres qui sont au-dessus de lui. Chaque case est donc la somme des 2 cases qui sont au-dessus, s’il n’y a pas de case on prend le nombre 0. Donc dans chaque ligne, le premier et le dernier nombre est 1.

1 1
2 1 1
3 2 = 1 + 1 1 2 1
4 1 3 3 1
5 4 = 1 + 3 1 4 6 4 1
6 1 5 10 10 5 1
7 1 6 15 20 15 6 1
8 35 = 15 + 20 1 7 21 35 35 21 7 1
9 1 8 28 56 70 56 28 8 1
10 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
11 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
12 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
13 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
14 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
15 3003 = 1287 + 1716 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
16 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
17 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1
18 1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1
19 1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1
20 1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1
21 1 20 190 1140 4845 15504 38760 77520 125970 167960 184756 167960 125970 77520 38760 15504 4845 1140 190 20 1
22 1 21 210 1330 5985 20349 54264 116280 203490 293930 352716 352716 293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1
23 1 22 231 1540 7315 26334 74613 170544 319770 497420 646646 705432 646646 497420 319770 170544 74613 26334 7315 1540 231 22 1
24 1 23 253 1771 8855 33649 100947 245157 490314 817190 1144066 1352078 1352078 1144066 817190 490314 245157 100947 33649 8855 1771 253 23 1

Chaque case est la somme des 2 cases qui sont au-dessus. C’est-à-dire que le kième terme de la nième ligne est égal au (k-1)ième terme de la (n-1)ième ligne plus le kième terme de la (n-1)ième ligne

Voilà comment on l’écrit plus simplement.

C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k} ou avec l’écriture Française \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}

remarque :
C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x…x (n – 1) x n
(n + 1)! = (n + 1) x n!
(n - 1)! = \frac{n!}{n}

Démonstration :

(n-1)!= \frac{n!}{n} \frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!\times(n-1-k+1)!}+\frac{(n-1)!}{k!\times(n-1-k)!} \frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{\frac{n!}{n}}{\frac{k!}{k}\times(n-k)!}+\frac{\frac{n!}{n}}{k!\times \frac{(n-k)!}{(n-k)}} \frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{\frac{n!}{n}\times k}{k!\times(n-k)!}+\frac{\frac{n!}{n}\times (n-k)}{k!\times (n-k)!} \frac{n!}{k!\times(n-k)!}=\frac{n!(\frac{k}{n}+\frac{n-k}{n})}{k!\times (n-k)!} \frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{n!(\frac{k+n-k}{n})}{k!\times (n-k)!} \frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{n!}{k!\times (n-k)!}

donc : C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}

On peut aussi dire que, la somme des 2 cases est égale à celle qui est en dessous de celle de droite. C’est-à-dire que le kième terme de la nième ligne plus le (k+1)ième terme de la nième ligne et égal au le (k+1)ième terme de la (n+1)ième ligne

C_{n}^{k}+ C_{n}^{k+1}= C_{n+1}^{k+1} ou avec l’écriture Française \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}

\frac{n!}{k!\times (n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!\times (n-k-1)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\times (n+1-k-1)!} \frac{n!}{k!\times (n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)\times k! \times \frac{(n-k)!}{(n-k)}}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\times (n-k)!} \frac{n!}{k!\times (n-k)!}+\frac{n!\times (n-k)}{(k+1) \times k!\times (n-k)!}=\frac{(n+1)\times n!}{(k+1) \times k! \times (n-k)!} \frac{n!(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)\times k!\times (n-k)!}=\frac{(n+1)\times n!}{(k+1)\times k!\times (n-k)!} \frac{n!(k+1+n-k)}{(k+1)\times k!\times (n-k)!}=\frac{(n+1)\times n!}{(k+1)\times k!\times (n-k)!} \frac{n!(1+n)}{(k+1)k!(n-k)!}=\frac{(n+1)n!}{(k+1)k!(n-k)!}

.

II°/ Coefficients des égalités remarques : les coefficients binomiaux.

Il s’agit de développer l’expression (a+b) à l’exposant n, ou n est un entier naturel.

Par exemple : (a+b)² = a² + 2ab + b²

Et bien le triangle de Pascal permet de déterminer les coefficients de chaque membre de l’égalité. Pour cela il faut prendre les coefficients de la ligne (n-1) et élever a et b aux puissances successives.

(a + b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k} \ b^{k}

Formule du binôme de Newton

 \binom{n}{k} = C_{n}^{k}=\frac{n!}{k! (n - k)!)}

Coefficients de la (n-1)ième ligne du triangle de Pascal.
1 (a + b) 0 = 1
1 1 (a + b) 1 = 1a + 1b
1 2 1 (a + b) 2 = 1a² +2ab + 1b²
1 3 3 1 (a + b) 3 = 1a3 + 3a²b + 3ab² + 1b3
1 4 6 4 1 (a + b) 4 = 1a4 + 4a3b + 6a²b² + 4ab3 + 1b4
1 5 10 10 5 1 (a + b) 5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b² + 10a²b3 + 5ab4 + 1b5
1 6 15 20 15 6 1 (a + b) 6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b² + 20a3b3 + 15a²b4 + 6ab5 + 1b6

III°/ La combinatoire : C’est l’art de compter les objets, actions ou autre.

Par exemple, combien y-a-t ’il de façon de choisir k objets parmi n. Et bien ce nombre sera égal au (k+1)ième coefficient de la (n-1)ième ligne du triangle de Pascal

1 1
2 1 1
3 1 2 1
4 1 3 3 1
5 1 4 6 4 1
6 1 5 10 10 5 1
7 1 6 15 20 15 6 1
Combien y-a-t ‘il de façon de choisir 2 objets parmi 4 objets a, b, c et d : le (2 + 1) = 3ième nombre de la (4 + 1) = 5ième ligne, c’est-à-dire 6.

Voici les 6 couples que l’on peut faire : a-b ; a-c ; a-d ; b-c ; b-d ; c-d
Combien y-a-t ‘il de façon de choisir 3 objets parmi 6 objets : le (3 + 1) = 4ième nombre de la (6 + 1) = 7ième ligne, c’est-à-dire 20.

C_{3}^{6} = \frac{6!}{3!(6 - 3)!)}= \frac{6 \times 5\times4\times3\times2}{3\times2\times3\times2}= 5 \times4 =20

Bien entendu il existe une formule qui permet de trouver ce résultat sans avoir à fabriquer le triangle de Pascal :

Le nombre de choix possible pour choisir k éléments parmi n est égal à : C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!)}

donc :

Choix de 2 éléments parmi 4 (le (2 + 1) = 3ième nombre de la (4 + 1) = 5ième ligne) = C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(4 - 2)!)}= \frac{4\times3\times2}{2\times2}= 3 \times 2= 6

Choix de 3 éléments parmi 6 (le (3 + 1) = 4ième nombre de la (6 + 1) = 7ième ligne) = C_{6}^{3} = \frac{6!}{3!(6 - 3)!)}= \frac{6 \times 5\times4\times3\times2}{3\times2\times3\times2}= 5 \times4 =20

IV°/ Trouver les puissances de 2 :

Si on additionne tous les nombres de la ligne n on obtient 2n-1.

n Somme 2n-1
1 1 1 2^0
1 1 2 2 2^1
1 2 1 3 4 2^2
1 3 3 1 4 8 2^3
1 4 6 4 1 5 16 2^4
1 5 10 10 5 1 6 32 2^5
1 6 15 20 15 6 1 7 64 2^6
1 7 21 35 35 21 7 1 8 128 2^7
1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 256 2^8
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 512 2^9
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 11 1024 2^10
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 12 2048 2^11
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 13 4096 2^12
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 14 8192 2^13
1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 15 16384 2^14
1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 16 32768 2^15
1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1 17 65536 2^16
1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 18 131072 2^17
1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1 19 262144 2^18
1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1 20 524288 2^19
1 20 190 1140 4845 15504 38760 77520 125970 167960 184756 167960 125970 77520 38760 15504 4845 1140 190 20 1 21 1048576 2^20
1 21 210 1330 5985 20349 54264 116280 203490 293930 352716 352716 293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1 22 2097152 2^21
1 22 231 1540 7315 26334 74613 170544 319770 497420 646646 705432 646646 497420 319770 170544 74613 26334 7315 1540 231 22 1 23 4194304 2^22
1 23 253 1771 8855 33649 100947 245157 490314 817190 1144066 1352078 1352078 1144066 817190 490314 245157 100947 33649 8855 1771 253 23 1 24 8388608 2^23

Démonstration : d’après la formule du binôme de Newton

(a + b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}\ b^{k}

Si on prend a = b = 1 on a :

(1 + 1)^{n}=2^{n}= \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\times 1^{n-k} \times 1^{k}= \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}

Donc 2n est égal à la somme des termes d’une ligne du triangle de Pascal.

V°/ Trouver les puissances de 11 :

C’est un peu plus compliqué et fastidieux. Les nombres du triangle de Pascal représentent les coefficients des puissances de 10 successives.

VI°/ La suite Fibonacci :

Cette suite célèbre est constituée en partant de 0 puis 1. On obtient les nombres suivants en additionnant les deux nombres précédents.

0 ; 1 ; 1 = 0 + 1 ; 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 ; 5 = 3 + 2 ….

Et bien en additionnant les diagonales ascendantes comme sur la figure ci-dessous, on obtient la suite Fibonacci.

Vous aurez ici une merveilleuse horloge de Fibonacci.

Une autre merveille : et si on attribuait une note pour chaque chiffre et que l’on jouait la suite de Fibonacci, cela donnerait quoi ?

John Edmark s’amuse avec Fibonacci dans des constructions de toutes beautés.

Lorsqu’elle est filmée à 24 images par seconde et tournée à 550 tours par minute, chaque image représente une rotation de 137,5 degrés, ce qui équivaut à l’angle d’or.

VII°/ La règle de la crosse de hockey :

Si on ajoute les nombres qui se suivent dans une diagonale, on obtient cette somme en bas à droite de la diagonale.

VIII°/ Le triangle de Sierpinski :

Si on enlève les nombres pairs du triangle Pascal on obtient celui de Sierpinski.

Triangle de Sierpinski Triangle de Pascal Les deux

IX°/ Les nombres premiers :

Le triangle de Pascal peut nous donner certains nombres premiers, avec une manipulation un peu fastidieuse, mais qui démontre qu’il y a une infinité de nombres premiers.

Voici le début du triangle de Pascal. Remplaçons les nombres pairs par 0 et les impairs par 1. Rapprochons les nombres. On obtient des nombres binaires. Traduisons les nombres binaires en nombres décimaux. Dès que l’on a un nombre premier, il faut le multiplier successivement à tous les résultats précédents avant de retrouver un nouveau nombre premier.

On peut aussi les trouver directement.

Dans certaines rangées du triangle de Pascal, la concaténation des nombres forme des nombres premiers (surlignés en orange sur l’image). Bien que rares, ces modèles mettent en évidence de curieuses symétries numériques.

X°/ Multiple de n de la nième ligne :

Une propriété assez étrange est que si pour la nième ligne, n est un nombre premier, alors cette ligne ne contient que des multiples de n, en enlevant les deux 1.

Par exemple, à la 7ième ligne, il n’y a que des multiples de 7 : 7, 21 et 35.

XI°/ D’autre trouvailles :

Dans la deuxième diagonale du triangle de Pascal, le carré de n’importe quel nombre est égal à la somme des nombres directement à côté de lui et en dessous de ceux de la rangée suivante.
Chaque diagonale du triangle de Pascal, de droite à gauche, contient des séquences de nombres célèbres :

1°/ nombres repunits : nombres composés seulement de 1.
2°/ nombres naturels : nombres sans signe et sans virgule.
3°/ nombres triangulaires : Nombres entiers naturels de la forme n(n+1)/2 , n étant un entier naturel. t3 = 3+2+1 = 6 est le 3ième nombre triangulaire car 6 = 3(3+1)/2
4°/ nombres tétraédriques : ou nombre pyramidal triangulaire, est un nombre figuré qui peut être représenté graphiquement par une pyramide de base triangulaire, c’est-à-dire un tétraèdre, dont chaque couche représente un nombre triangulaire.
5°/ nombres pentatopiques : ou nombre pentachorique, ou encore nombre hypertétraédrique est un nombre figuré qui peut idéalement être représenté en dimension 4 par un pentatope (ou hypertétraèdre) constitué d’un empilement de tétraèdres réguliers.