X°/ Critères de divisibilité :

Les critères de divisibilités permettent de savoir si un nombre est divisible par un autre.

Pour la compréhension de la suite nous rappellerons que tout nombre A peut s’écrire : A = 10d + u     (avec : d = nombre de dizaines et u = chiffre des unités)
Attention : Ne pas confondre chiffre et nombre !!!!

Exemple : 1587 = 158 × 10 + 7    Dans 1587 il y a 158 dizaines et le chiffre des unité est 7. Donc d = 158 et u = 7.

Les critères sont rangés par utilité pratique et non par ordre croissant.

A°/ Divisibilité par 2 :
B°/ Divisibilité par 5 :
C°/ Divisibilité par 3 :
D°/ Divisibilité par 10 :
E°/ Divisibilité par 4 :
F°/ Divisibilité par 9 :
G°/ Divisibilité par 7 :
H°/ Divisibilité par 8 :
I°/ Divisibilité par 11 :
J°/ Divisibilité par 13 :
K°/ Divisibilité par 19 et tous les nombres de la forme 10k + 9 :
L°/ Cas général : Divisibilité par des nombres premiers dont le chiffre des unités est 1, 3, 7 ou 9

A°/ Divisibilité par 2 :

Un nombre est pair, c’est-à-dire divisible par 2, si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

Démonstration : soit  A = 10d+ u
10d est toujours multiple de 2 puisque 10 est lui même un multiple de 2.
A est multiple de 2 si et seulement si u est multiple de 2, c’est dire que le chiffre des unités u est pair.

A = 10d + U = 10d + 2k = 2(5d + k)

B°/ Divisibilité par 5 :

Un nombre est divisible par 5, si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.

Démonstration : soit  A = 10d + u
10d est toujours multiple de 5 puisque 10 est lui même un multiple de 5.
A est multiple de 5 si et seulement si u est multiple de 5, c’est dire que le chiffre des unités u est multiple de 5.

A = 10d + U = 10d + 5k = 5(2d + k)

C°/ Divisibilité par 3 :

Un nombre est divisible par 3, si et seulement si la somme des chiffres du nombre est multiple de 3.

Démonstration : En Si A = 10d + u est un multiple de 3 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 3 × 3k = 9k   avec k un nombre entier.
Calculons : A – 9d = 9k – 9d = 9( k – d )    Donc A – 9d sera aussi un multiple de 3
De plus :   A – 9d = 10d + u – 9d = d + u
Donc :      A – 9d = d + u = 9( k – d ) Donc A est un multiple de 3, si et seulement si d + u est aussi un multiple de 3.

Exemple : 4275 → 427 + 5 = 432 → 43 + 2 = 45 → 4 + 5 = 9 → 4275 et 9 sont multiples de 3

Plus simplement : A = u + 10b + 100c + 1000m …
Si A est un multiple de 3 alors A – 9b – 99c – 999m – … = u + b + c + m + … l’est aussi.

4275 → 4 + 2 + 7 + 5 = 18

D°/ Divisibilité par 10 :

Un nombre est divisible par 5, si et seulement si son chiffre des unités est 0.

Démonstration : soit  A = 10d + u
10d est toujours multiple 10.
A est multiple de 10 si et seulement si u est multiple de 10, c’est dire que le chiffre des unités u est multiple de 10.

A = 10d + U = 10d + 10k = 10(d + k)

E°/ Divisibilité par 4 :

Un nombre est divisible par 4, si et seulement si le nombre composé par les 2 derniers chiffres du nombre est multiple de 4.

Démonstration : soit  A = 100c + 10d + u
Avec:    c = Nombre de centaine
d = Chiffre des dizaines
u = Chiffre des unités
100c est toujours multiple de 4 puisqu’il se termine par 2 zéros.

A est multiple de 4 si et seulement si (10d +u) est multiple de 4, c’est dire que le nombre composé par les 2 derniers chiffres du nombre est multiple de 4.

Exemple : 112 557 484 = 112 557 400 + 84 = 4 × 28 139 350 + 4 × 21 = 4(28 139 350 + 21)   donc 112 557 484 est bien divisible par 4, et 84 = 4 ×21.

F°/ Divisibilité par 9 :

Il faut que la somme des chiffres du nombre soit multiple de 9.

Démonstration : Même démonstration que pour 3.
En Si A = 10d + u est un multiple de 9 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 9k   avec k un nombre entier.
Calculons : A – 9d = 9k – 9d = 9( k – d )    Donc A – 9d sera aussi un multiple de 9
De plus :   A – 9d = 10d + u – 9d = d + u

Donc :      A – 9d = d + u = 9( k – d ) Donc A est un multiple de , si et seulement si d + u est aussi un multiple de 9.

Exemple : 4275 → 427 + 5 = 432 → 43 + 2 = 45 → 4 + 5 = 9 → 4275 et 9 sont multiples de 3

Plus simplement : A = u + 10b + 100c + 1000m …
Si A est un multiple de 3 alors A – 9b – 99c – 999m – … = u + b + c + m + … l’est aussi.

4275 → 4 + 2 + 7 + 5 = 18

G°/ Divisibilité par 7 :

A est multiple de 7 si et seulement si le nombre constitué par le nombre de départ auquel on a enlevé le dernier chiffre moins 2 fois l’unité, est multiple de 7.
Oui ce n’est pas simple. Traduisons en langage Mathématiques. Soit A = 10d + u il est divisible par 7 si et seulement si d – 2u est multiple de 7.

Démonstration : Si A = 100c + 10d + u est un multiple de 7 alors il peut s’écrire : A = 100c + 10d + u = 7k   avec k un nombre entier.
Calculons : A = 100c + 10d + u = 100c + 10d – 20u + 21u = 10(10c + d – 2u) + 21u
21u est toujours multiple de 7 puisque 21 est lui même un multiple de 7.

A est multiple de 7 si et seulement si (10c + d – 2u) est multiple de 7 car 10 ne peut pas l’être, c’est dire que le nombre constitué par le nombre de départ auquel on a enlevé le dernier chiffre moins 2 fois l’unité, est multiple de 7.

Exemple : 3192 → 319 – 2 × 2 = 315 → 31 – 5 × 2 = 21 → 2 – 1 × 2 = 0 → 0 et 3192 sont multiples de 7

H°/ Divisibilité par 8 :

Un nombre A est un multiple de 8, si et seulement si le nombre formé par les 3 derniers chiffres de A est aussi un multiple de 8.

Démonstration : Même démonstration que pour 4.

I°/ Divisibilité par 11 :

1/ Un nombre A est un multiple de 11, si et seulement si d – u est aussi un multiple de 11.

Démonstration : Si A = 10d + u est un multiple de 11 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 11k   avec k un nombre entier.
Donc 11d – A sera aussi un multiple de 11 car : 11d – A = 11d – 11k = 11( d – k )
De plus : 11d – A = 11d – (10d + u ) = 11d – 10d – u = d – u

Donc A est un multiple de 11, si et seulement si d – u est aussi un multiple de 11.

Exemple : 1 771 561 → 177 156 – 1 = 177155 → 17 715 – 5 = 17 710 → 1 771 – 0 = 1 771

→ 177 – 1 = 176 → 17 – 6 = 11 → 11 et 1 771 561 sont multiples de 11

2/ La différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11.

Exemple : 1 771 561 → (7+1+6) – (1+7+5+1) = 14 – 14 = 0 → 1 771 561 = 161 051 x 11
10 846 → (0+4) – (1+8+6) = 4 – 15 = -11            → 10 846 = 986 x 11

J°/ Divisibilité par 13 :

Un nombre A est un multiple de 13, si et seulement si d – 9u est aussi un multiple de 13 ou que d + 4u est aussi un multiple de 13.

Pour voir si un nombre est divisible par 13, il suffit de répéter cette transformation jusqu’à obtenir un résultat strictement inférieur à 52 (= 4 × 13). Le nombre de départ est divisible par 13 si et seulement si le résultat final est 13, 26 ou 39.

Exemples :

• 312 est divisible par 13 car 31 + 4 × 2 = 39.
• 1 664 est divisible par 13 car 166 + 4 × 4 = 182 et 18 + 4 × 2 = 26.

Démonstration :

1ére méthode :

Si A = 10d + u est un multiple de 13 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 13k   avec k un nombre entier.
Donc 7d × 13 – 9A sera aussi un multiple de 7 car : 7d × 13 – 9A = 7d × 13 – 9 × 13k = 13( 7d – 9k )
De plus : 7d × 13 – 9A = 7d × 13 – 9(10d + u) = 91d – 90d – 9u = d – 9u

Donc A est un multiple de 13, si et seulement si d – 9u est aussi un multiple de 13.

Exemple : 1313 → 131 – 9 × 3 = 104 → 10 – 9 × 4 = – 26   → 26 et 1313 sont multiples de 13

2éme méthode :

Si A = 10d + u est un multiple de 13 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 13k   avec k un nombre entier.
Donc 4A – 13d × 3 sera aussi un multiple de 7 car : 4A – 13d × 3 = 4 × 13k – 13d × 3 = 13( 4k – 3d )
De plus : 4A – 13d × 3 = 4(10d + u) – 13d × 3 = 40d + 4u – 39d = d + 4u

Donc A est un multiple de 13, si et seulement si d + 4u est aussi un multiple de 13.

Exemple : 1313 →131 + 4 × 3 = 143 → 14 + 4 × 3 = 26   → 26 et 1313 sont multiples de 13

K°/ Divisibilité par 19 et tous les nombres de la forme 10k + 9 :

Un nombre A est un multiple de 19, si et seulement si d + 2u est aussi un multiple de 19.

Démonstration : Si A = 10d + u est un multiple de 19 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 19k   avec k un nombre entier.
Donc 2A – 19d sera aussi un multiple de 19 car : 2A – 19d = 2× 19k – 19d = 19( 2k – d )
De plus : 2A – 19d = 2(10d + u) – 19d = 20d + 2u – 19d = d + 2u

Donc A est un multiple de 19, si et seulement si d + 2u est aussi un multiple de 19.

Exemple : 106 856 → 10 685 + 2 × 6 = 10 697 → 1 069 + 2 × 7 = 1 083 → 108 + 2 × 3 = 114 → 11 + 2 × 4 = 19 → 19 et 106 856 sont multiples de 19.

Plus généralement, pour les nombres de la forme 10k + 9 il existe une formule générique :
Soit un nombre N = 10k + 9 avec k \in \mathbb{N}
Soit A \in \mathbb{N} et u son  chiffre des unités
A est divisible par N \Leftrightarrow \frac{A-u}{10}+(k+1)u = 19n avec n\in \mathbb{N}

Démonstration:
Comme N = 10k + 9 et 10 sont premiers entre eux, si A est divisible par N alors 10A l’est aussi.
Si 10A est divisible par N \Leftrightarrow A – u + 10(k+1)u est divisible par N
.                                \Leftrightarrow A – u + 10ku + 10u est divisible par N
.                                \Leftrightarrow A + 10ku + 9u est divisible par N
.                                \Leftrightarrow A + (10k + 9)u est divisible par N
.                                \Leftrightarrow A + Nu est divisible par N
Or Nu est divisible par N, donc A le sera aussi.

L°/ Cas général : Divisibilité par des nombres premiers dont le chiffre des unités est 1, 3, 7 ou 9

    1°/ La fonction modulo :

Tout d’abord un petit rappel sur la fonction modulo.

Dans l’ensemble \mathbb{Z} des nombres entiers, la fonction Modulo est la fonction mathématique donnant le reste r de la division d’une variable A par un nombre donné N.
On dit que « A est congru à r modulo N ».
On note : A ≡ r (mod. N) ≡ r[N] et on pourra écrire que : A = kN + r (k étant un nombre entier quelconque)

Par exemple : 67 ≡ 7 (mod. 60) car 67/60 donne 1 et il reste 7 (67 = 60×1 + 7)

Si on veut vérifier que A est divisible par N il faudra que le reste de la division Euclidienne soit zéro. On notera : A ≡ 0 (mod. N)

    2°/ Critère de divisibilité par des nombres premiers se terminant 7 :

Soit A = 10d + u

Remarquons que : 50 = 7×7 + 1 donc : 50 ≡ 1[7] et que donc en multipliant par d : 50d ≡ d[7] cad 50d = 7k + d
50d est congru à 1 modulo 7

Supposons que : 10d + u ≡ 0[7] donc que (10d + u) est congru à 0 modulo 7, c’est à dire que A est divisible par 7.
Multiplions par 5 : 50d + 5u ≡ 0[7]     si on multiplie par 5 c’est parce que 10×5 = 50 = 7×7 + 1 il nous faut ce +1.
Remplaçons 50d : 7k + d + 5u ≡ 0[7]
Éliminons 7k qui est multiple de 7 : d + 5u ≡ 0[7]

Donc, le nombre A = 10d + u est divisible par 7 si et seulement si d + 5u ≡ 0[7], c’est à dire que d + 5u est divisible par 7.
Il existe une autre formule : A = 10d + u est divisible par 7 si et seulement si d – 2u ≡ 0[7], c’est à dire que d – 2u est divisible par 7.

Exemple :

Avec d + 5u ≡ 0[7] : A = 3682 → 368 + 5×2 = 378 → 37 + 5×8 = 77 = 7×11 donc 77 et 3682 sont multiples de 7.
Avec d – 2u ≡ 0[7] : A = 3682 → 368 – 2×2 = 364 → 36 – 2×4 = 28 = 7×4 donc 28 et 3682 sont multiples de 7.

    3°/ Critère de divisibilité par des nombres premiers se terminant par 1, 3, 7 ou 9 :

Cas général : A = 10d + u soit divisible par N c’est à dire : A = 10d + u ≡ 0[N]

Multiplions par x : 10dx  + ux ≡ 0[N]   Ce que l’on veut c’est que : 10dx  ≡ d[N] cad 10x ≡ 1[N] ou encore  10x = kN + 1
Remplaçons : (kN + 1) d + ux ≡ 0[N]
kNd + d + ux  ≡ 0[N]
Éliminons kNd qui est multiple de N : d + ux ≡ 0[N]

Le but final est donc de résoudre l’équation : 10x ≡ 1[N]      avec : Critère de divisibilité par N
.                                         Ou encore : 10x = kN + 1             k = un entier relatif quelconque
.                                                                                                      x = le nombre à trouver

Exemple :

Le but final est donc de trouver par quel nombre k il faudra multiplier le diviseur N pour obtenir, soit un entier positif dont l’unité sera un 9, soit un entier négatif dont l’unité sera un 1. En additionnant 1 on obtiendra un multiple de 10 qui pourra être négatif.

Retrouvez les formules en utilisant l’application ci-dessous. Vous devez entrer le nombre N qui sera le critère de divisibilité et trouver le multiple de 10 ± 1 proche de N. Ce dernier peu être négatif.