Définition d’un nombre rationnel : Nombre qui peut s’exprimer sous la forme du quotient de deux nombres entiers a et b où b est non nul. Il peut avoir un nombre infini de décimales, mais il comporte toujours un motif périodique qui se répète à l’infini et que l’on signale avec une barre au-dessus..
exemples : 1/3 = {a= 0,333 \overline{3} \ ...}
Définition d’un nombre décimal : Quotient de deux nombres entiers dont l’écriture, en notation décimale, comporte une suite finie de chiffres à la droite de la virgule. C’est un rationnel ayant un nombre fini de décimales.
exemples : 66/25 = 2,64
Définition d’un nombre irrationnel : Nombre qui ne peut pas s’exprimer sous la forme du quotient de deux nombres entiers a et b où b est non nul.
exemples : π ou √2.
Lorsque l’on a un nombre rationnel il peut être compliqué de trouver sa forme fractionnaire.
- Soit : {a= 0,42 \ \overline{42} \ ...} Alors : 100 × a = 42,4242424242… = 42 + a ↔ 99a = 42 { \Leftrightarrow a = \frac{42}{99} = 0,42424242424242…}
- Soit : {b = 0,335 \ \overline{335} \ ...} Alors : 1 000 × b = 335,335335335335335…= 335 + b ↔ 999 × b = 335 {\color{Red} \Leftrightarrow b = \frac{335}{999} = 0,335335335335..}
- Soit : {c = 5,335 \ \overline{335} \ ...} = 5 + 0,335335335335335… = 5 +335/999 = 4995/999 + 335/999 {\color{Red} \Leftrightarrow c = \frac{5330}{999} = 5,335335335335..}
- Soit : {d = 0, 1764705882352941\ \overline{1764705882352941} \ ...} {\color{Red} \Leftrightarrow d = \frac{3}{17} = 0,1764705882352941 ...} le motif périodique est de 16 chiffres.
- Soit : {e = 0,120 \ 456 \ \overline{456} \ ...} {\color{Red} \Leftrightarrow e = \frac{5 014}{41 625} = 0,120 456 456 456 ...} le motif périodique apparait après 3 chiffres.
De façon générale : si {x = k,abc \ \overline{abc} \ ...} alors {\color{Red} \Leftrightarrow x = \frac{999k + abc}{999}}
Il y a des cas surpenants :
- Soit : {f = 0,9999 \ \overline{9} \ ...} Alors : 100 × f = 0,999999999999… = 99 + f ↔ 99f = 99 ↔ f = 99/ 99 = 1
Mais est-ce que 0,999999999999… = 1 ? et bien oui !!! Même si on aimerais dire que la limite de 0,999999999999… tend vers 1 mais pas plus.
En effet :
– 1ière démonstration : 0,999999999999… = 3 x 0,333333… = 3 x 1/3 = 1
– 2ième : démonstration : 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1 or 1/3 + 2/3 = 0,333333… + 0,666666… = 0,9999999…
– 3ième : démonstration : soit x = 0,9999… ↔ 10x = 9,9999… ↔ 10x − x = 9,9999… − x ↔ 9x = 9,9999… − 0,9999 donc : x = 9 et donc x = 1.
– 4ième : démonstration : soi 0,9999… = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ⋯ = \displaystyle \lim_{n \to +\infty }\sum_{i=1}^{n}\frac{9}{10^{i}}= \displaystyle \lim_{n \to +\infty }0,9\times \frac{1-(\frac{1}{10})^{n}}{1-\frac{1}{10}}=0,9\times\frac{1}{0,9}=1 -
Attention cependant, cette méthode est loin d’être correcte et elle ne fonctionne que pour certain cas.
- Soit : {g = 0,1789\ \overline{1789} \ ...} Alors : 1 000 × g = 1 789,1789178917891789…= 1 789 + g ↔ 999 × d = 1 789 ↔ g = 1789 / 999 = 1.790790…….