V°/ Le jeu de la vie et la probabilité :

La probabilité est basée sur le hasard, ce qui veut dire qu’il est difficile de prévoir le résultat d’une expérience aléatoire.

Par exemple, si on joue à pile ou face et que l’on obtient pile 10 fois consécutivement, tout d’abord cela parait difficile à faire et ensuite la logique voudrait que la probabilité d’obtenir face augmente et soit supérieure à la probabilité d’obtenir pile.

Et bien la probabilité d’obtenir face, tout comme pile, reste toujours de 1/2, quelque soit les lancers précédents. La logique et la probabilité sont quelque fois incompatible.

Pour un mathématicien qui déteste ne pas maitriser les résultats et est allergique aux approximations, on effectueras un très grand nombre d’expérience pour pouvoir affirmer que : pour un très grand nombre de lancer la probabilité d’obtenir pile est de 1/2 ainsi que celle d’obtenir face.

Cependant le hasard peut se montrer bizarre voir artistique.

Index :

I°/ Le jeu de la vie de John Conway : de ScienceEtonnante
II°/ La puissance organisatrice du hasard : de Mickaël Launay
III°/ La fourmi de Langton : de ScienceEtonnante

I°/ Le jeu de la vie de John Conway :

John Conway est un mathématicien célèbre et prolifique qui inventa entre le jeu de la vie.

Le génie de ce jeu réside dans la simplicité des règles qui permet pourtant de fabriquer des effets d’une richesse incroyable.

Sur une feuille quadrillée de la taille que l’on veut, on dispose des cellules qui ne peuvent être que dans 2 états. Si la cellule existe, on dit qu’elle est vivante, sinon elle est morte.

Les règles :

– Une cellule est entourée de 8 cases car on compte aussi les diagonales.
– Une cellule vivante possédant deux ou trois voisines vivantes reste vivante, sinon elle meurt (donc si elle n’a aucune ou une voisine seulement, et si elle a plus de 3 voisines).
– Une cellule morte possédant exactement trois voisines vivantes devient vivante.

1ière étape : – les cases 3 et 6 possèdent 1 seule voisine donc elles meurent. – les cases 4 et 5 possèdent 2 voisines donc elles restent en vie. – les cases 1, 2 ,7 et 8 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.2ième étape : – les cases 4 et 5 possèdent 5 voisines donc elles meurent. – les cases 1, 2 ,7 et 8 possèdent 3 voisines donc elles restent en vie. – les cases 3 et 6 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.3ième étape : – chaque cases possèdent 2 voisines donc elles restent en vie.

1ière étape : – les cases 2 et 5 possèdent 3 voisines donc elles restent en vie. – les cases 4 et 6 possèdent 2 voisines donc elles restent en vie. – les cases 1, 3 et 7 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.2ième étape : – les cases 3, 5, 6 et 7 possèdent plus de 3 voisines donc elles meurent. – les cases 2, 4 et 9 possèdent 3 voisines donc elles restent en vie. – les cases 1, 8 et 10 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.3ième étape : – les cases 2, 4, 8 et 10 possèdent 1 seule voisine donc elles meurent. – les cases 1 et 9 possèdent 2 voisines donc elles restent en vie. – les cases 3, 5, 7 et 11 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.

Il est très simple de coder ses règles et donc de modéliser ce jeu avec un ordinateur. Voici une application pour s’amuser et tester tout plein de situations. Ou ici.

Avec de telles règle aussi simplistes il est peu probable d’obtenir des choses très spectaculaires, et pourtant c’est le cas. On peut en effet obtenir :

Les motifs fixes qui ne bougent plus. Aucune cellule ne meurt ou ne nait.
Block	Mare	Tube	Ruche	Bateau
Long boat	Bélier	Mickey mouse	Miche de pain	Inflected 30 great sym
Les oscillateurs qui reviennent à leur état d’origine après un certain nombre d’étape.
Clignotant	Crapaud	Renard	Étoile	Lunette
horloge	Pulsar	Quasar	Smiley	Fontaine
Les vaisseaux qui eux aussi reviennent à leur état d’origine après un certain nombre d’étapes, mais en se décalant.
Planeur	Tortue	Weekender	Dragon	274p6h1v0
233p3h1v0	Period 20 glider gun	Ecologist	Spacerake	Spider
Les cannons qui expulsent des motifs. Cliquer sur les images pour les voir en grandeurs réelles.
Newgun	Newgun2	Ak94	Bigun	Block laying switch engine
Gunstar	Gunstar2	P14_Pseudo_01	Side cargun	Vacuum gun

On peut trouver à cette adresse, le Wiki du jeu de la vie , qui rassemble tout les motifs extraordinaires obtenus avec ce jeu merveilleux.

Certains motifs sont assez spectaculaires :

	Le jeu de la vie dans le jeu de la vie.

Une vidéo très complète de la chaine Youtube de ScienceEtonnante :

Du chaos émerge l’ordre :

Un autre jeu de ce type : le jeu du chaos. Le principe du jeu du chaos est relativement simple.

– Placez trois points non alignés, puis choisissez un point A au hasard à l’intérieur du triangle ainsi délimité. – Choisissez un sommet S du triangle au hasard, par exemple à l’aide d’un dé. – Tracer le milieu du segment qui joint le premier point A au sommet S choisi. – Recommencez le procédé : choisissez un sommet au hasard, notez le milieu, reprenez, et ainsi de suite.

Du chaos ambiant, du hasard grâce auquel est générée la figure semble pourtant émerger une certaine organisation. Les amateurs de fractale auront sans doute reconnu le triangle de Sirpienski dans notre cas.

Ce qui est fabuleux, c’est que cette forme émerge peu importe le point de départ que l’on choisit : le motif dessiné est « le même ».

II°/ La puissance organisatrice du hasard :

Que pourrait représenté un chemin où on a le choix entre monter de 1 carreau en diagonale ou descendre de 1 carreau en diagonale. Et ceci un nombre infini de fois.

Et dans la deuxième partie de la vidéo, un assemblage de dominos avec une règle très simple qui produit un résultats bluffant et magnifique.

III°/ La fourmi de Langton :

Comment un mouvement très simple mais répéter une infinité de fois peut produire une œuvre magnifique.