Énigmes et curiosités Mathématiques
Carte a été dessiné par Fra Mauro et son assistant Andrea Bianco. La carte représente de manière étonnante l’océan Indien et surtout la partie australe de l’Afrique, à une époque où aucun Européen ne s’y était encore aventuré. Il est plausible que ces renseignements soient parvenus de Chine en Italie par l’intermédiaire de marchands.
Déplacer la souris sur la carte pour zoomer.
Pomponius Mela est le plus ancien géographe romain connu.
Déplacer la souris sur la carte pour zoomer.
Elle mesure 3,6 sur 3 mètres, et contient plus de 2300 données sous forme de textes ou d’images, ce qui en fait la plus grande et la plus complexe des cartes médiévales connues. Elle était composée de 30 feuilles de parchemin cousues ensemble.
Déplacer la souris sur la carte pour zoomer.
Carte a été dessiné par Fra Mauro et son assistant Andrea Bianco. La carte représente de manière étonnante l’océan Indien et surtout la partie australe de l’Afrique, à une époque où aucun Européen ne s’y était encore aventuré. Il est plausible que ces renseignements soient parvenus de Chine en Italie par l’intermédiaire de marchands.
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Cliquer sur « Dessiner le Julia » : tiré du site http://graphes-fonctions-holomorphes.toile-libre.org/index.html
Cliquer sur « Dessiner le Mandelbrot » : tiré du site http://graphes-fonctions-holomorphes.toile-libre.org/index.html
Une figure fractale est un objet mathématique qui présente une structure similaire quelque soit l’échelle à la quelle on la regarde.
I°/ Des vidéos :
II°/ C’est quoi une fractale ?
III°/ Dans la nature :
IV°/ Construction et dimensions particulières :
V°/ Le Paradoxe du littoral :
VI°/ Animations Géogébra :
VII°/ Utilisation particulières des dimensions :
Un artiste très imaginatif : Jos Leys |
Un artiste très imaginatif : Jos Leys |
Un site avec de très belles animations sur des sphères :
Quelle est donc la particularité d’une figure fractale ?
| Si on zoome sur une figure classique (polygone ou cercle), on trouvera un segment comme élément de base. Le cas le plus particulier est celui du cercle. En effet si on choisi de zoomer sur un point de ce cercle, celui-ci va s’aplanir jusqu’à présenter un segment. Ce détail ne nous permet pas de reconstituer l’objet de départ. | Si on zoome sur une partie d’une figure fractale, et bien on retrouvera toujours un détail et ce, quelque soit la puissance du zoom. La figure fractale est donc de taille infinie. De plus, si la fractale est auto-similaire, ce détail sera identique à la figure fractale de départ. |
Cela donne des figures de toutes beautés : cliquez sur une image pour lancer le diaporama.
On en trouve aussi dans la nature :
 Le choux Romanesco avec ces mini choux à l’infini.. |
 Les fougères, qui sont des reproductions d’elles même, quelque soit le niveau où on les regarde. |
 Les branches des arbres sont elles aussi des ramifications. |
 Les vaisseaux sanguins du corps humain sont des ramifications qui se répètent sans cesse. |
 Le magnifique tournesol |
 l’Aloès spirale (Aloe Polyphylla) |
 Kaori (Agathis Australis) |
 Crassula Capitella |
Mais cela ouvre aussi la porte à des abstractions mathématiques qui heurte notre logique. Une ligne est de dimension 1, une surface de dimension 2 et un volume de dimension 3. Mais de quelle dimension est une ligne fractale. Selon toute logique, si c’est une ligne alors sa dimension est de 1. Vérifions cette affirmation avec la célèbre courbe de Von Koch, découverte en 1904 par le mathématicien Suédois Elge Von Koch.
La construction de la courbe de Von Koch est simple :
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| Prenons un segment de longueur L. Longueur = L |
Découpons-le en trois et enlevons le tiers du milieu. Longueur = 2L/3 |
Dans cet espace libre, plaçons deux segments de longueur L/3. Longueur = 2L/3 + 2L/3 = 4L/3 = L + L/3 |
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A chaque étape de la construction, la longueur de la ligne augmente de un tiers. Comme le nombre d’étape est infinie, la courbe de Von Koch est donc infinie, alors quelle tient parfaitement sur une feuille et que l’on voit bien où elle démarre et où elle finie.
Mais quelle est sa dimension ? Pour rappel, quand on multiplie les longueurs par k alors les surfaces sont multipliées par k² et les volumes par k3.
Et bien si on multiplie une courbe de Von Koch par 3 et bien on se rend compte que l’on a 4 exemplaires de la ligne de départ.
| Périmètre | Surface | Volume | Courbe de Von Koch | |
| Multiplier par | \times k | \times k² | \times k3 | \times kn |
| Multiplier par | \times 3 | \times 3² = 9 | \times 33 = 27 | \times 4 |
| Dimension | 1 | 2 | 3 | \approx 1,2618… |
Donc : 3n = 4
Passons par les logarithmes pour déterminer la valeur de n : Log 3n = Log4 et donc nLog 3 = Log 4 et enfin : n = \frac{Log 4}{Log 3}\approx 1,2618…
La dimension de la courbe de Von Koch est une valeur intermédiaire entre 1 et 2. Ces dimensions intermédiaire s’appellent des dimensions d’Hausdorff du nom du mathématicien Allemand Felix Hausdorff. On mesurera donc la courbe de Von Koch en mètre1,16. Liste de fractales par dimension de Hausdorff.
Une application aussi géniale que perturbante est le Paradoxe du littoral. Dans les années 1920, le mathématicien Anglais Levis Fry Richardson décide de mesurer la longueur des côtes Anglaises.
Il se rend compte que suivant l’unité de mesure que l’on choisit, cette longueur peut varier de façon considérable. En effet, si on les mesure avec des lignes de 100 km a long, les côtes Anglaises mesurent 2 800 km, mais elles passent à 3 400 km si on les mesure avec des lignes de 50 km. Avec des lignes de 100 km on néglige beaucoup de détail.
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| On peut même imaginer que les traits de côtes sont infinis si on va jusqu’à l’atome de chaque grain de sable !!! | Pour des côtes très découpées, plus on s’approche du détail et plus la longueur augmente. Par exemple Les États fédérés de Micronésie, qui sont de petites îles perdues dans l’océan Pacifique, ont une surface de 702 km2 pour un périmètre de 6 112 km. C’est-à-dire que la longueur de côte est presque neuf fois plus grande que la surface, en valeur numérique. |
Plus fort encore, le Canada a un périmètre de 210 973 km c’est à dire plus de cinq fois la circonférence terre.
Il existe principalement deux ressources listant les longueurs des littoraux de la planète. La première est le World Factbook, un document conçu et publié par la CIA, l’agence de renseignements américaine ; la seconde vient de la World Ressources Institute (WRI), une organisation environnementale américaine. Ces deux structures disposent de moyens techniques d’une grande précision et le sérieux de leurs travaux est incontestable. Et pourtant, sur près de deux cents pays répertoriés, les deux organisations semblent dans l’incapacité la plus totale de trouver le même résultat en effectuant la même mesure. La différence à propos de Madagascar est particulière.
| World Factbook (WF) | World Ressources Institute(WRI) | Erreur WRI par rapport à WF | |
| Canada | 202 080 km | 265 523 km | 31 % |
| Japon | 29 751 km | 29 020 km | -2,5 % |
| Grèce | 13 676 km | 15 147 km | 10,8 % |
| Madagascar | 4 828 km | 9 935 km | 105,7 % |
| Nouvelle-Zélande | 15 134 km | 17 209 km | 13,7 % |
Quelques exemples de figures fractales : une page avec des fractales en Géogébra.
| Le triangle de Sierpinski | Le carré de Sierpinski |
| Le flocon de Koch | Arbre de Pythagore |
| Arbre de Pythagore | L’éponge de Menger (cliquer sur l’image.) |
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Si une situation fait intervenir deux valeurs différentes, on peut la modéliser par une fonction à deux inconnues et la représenter par un graphique où les points possèdent une abscisse et une ordonnée. Mais s’il y en a plus de deux, cela devient plus difficile, sauf si on fait intervenir plusieurs dimensions et des points ayant plus de deux coordonnées.
| Situation | Dimensions | Coordonnées | Graphique |
| Euros dans ma poche | 1 : Nombre de pièces | (5) | |
| Personne : Teddy Riner | 2 : Poids ; Taille | (145 ;2,04) |   |
| Triathlon olympique | 3 : Nage ; cyclisme ; course à pied
Le triathlon, épreuve combinée de nage, de cyclisme et de course à pied, est de dimension 3. Le point de coordonnées (0,3 ; 6 ; 2) représente l’épreuve du triathlon junior en France. Le point (1,5 ; 40 ; 10) est le triathlon olympique. Le point (3,8 ; 180 ; 42,2) est celui de l’Ironman, l’une des plus dures épreuves sportives qui soient, la course à pied finale n’étant rien de moins qu’un marathon. |
(3,8 ; 180 ; 42,2)
3,8 km de nage, puis 180 km de vélo et 42,2 km de course. |
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| Quatre quart | 4 : Farine, sucre, beurre, œuf | (250 ; 250 ; 250 ; 4) |  |
| 12 crêpes | 5 : Farine, sucre, beurre, œuf, lait | (250 ; 20 ; 50 ; 4 ; 0,5) |
Il permet de calculer l’aire d’un triangle quand on connait seulement la longueur des 3 côtés.
En posant s = ½ Périmètre de ABC : Aire_{ABC}=\sqrt{s (s - AC)(s - BC) (s - AB)}
Démonstration :
| Dans le triangle ABH rectangle en H
D’après le théorème de Pythagore AB² = AH²+ HB² donc AH² = AB² – HB²
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Dans le triangle ACH rectangle en H
D’après le théorème de Pythagore AC² = AH²+ HC² donc AH² = AC² – HC² = AC² – (BC – HB)² = AC² – BC² + 2 BCxHB – HB² |
| Donc : AB² – HB² = AC² – BC² + 2 BCxHB – HB²
AB² = AC² – BC² + 2 BCxHB HB = \frac{AB^{2}-AC^{2}+BC^{2}}{2BC}
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Ainsi : AH² = AB² – HB² = AH² = AB² – ( \frac{AB^{2}-AC^{2}+BC^{2}}{2BC})^{2}
4AH²BC² = 4AB²BC² – (AB² – AC² + BC²)² 4AH²BC² = (2ABxBC)² – (AB² – AC² + BC²)² 4AH²BC² = (2ABxBC + AB² – AC² + BC²) (2ABxBC – AB² + AC² – BC²) 4AH²BC² = ((AB + BC)² – AC²) (AC²- (AB – BC)²) 4AH²BC² = (AB + BC + AC)( AB + BC – AC) (AC + AB – BC) (AC – AB + BC) Posons : s = ½ périmètre de ABC donc : 2s = périmètre de ABC = AB + BC + AC 2s – 2AC = AB + BC + AC – 2AC = AB + BC – AC 2s – 2BC = AB + BC + AC – 2BC = AB – BC + AC 2s – 2AB = AB + BC + AC – 2AB = -AB + BC + AC 4AH²BC² = 2s (2s – 2AC) (2s – 2BC) (2s – 2AB) 4AH²BC² = 16s (s – AC) (s – BC) (s – AB) \frac{AH^{2}BC^{2}}{4} = s (s – AC) (s – BC) (s – AB) (\frac{AH\times BC}{2})^{2} = s (s – AC) (s – BC) (s – AB) (Aire_{ABC})^{2} = s (s – AC) (s – BC) (s – AB) Aire_{ABC}=\sqrt{s (s - AC)(s - BC) (s - AB)} |
Un graphe est un ensemble points reliés par des arêtes qui peuvent être droites ou pas. Si les arêtes ne se croisent pas on dit que le graphe est planaire.
La formule d’Euler pour les graphes convexes : S + R = A + 2 (S nombre de sommets, R nombre de régions délimitées par les arêtes et A nombre d’arêtes)
| 1 points | + 1 points = + 1 arêtes, donc pas de changement dans la formule. | + 1 région sans sommet = + 1 arête | ||
| Schéma |  |
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| Sommet S | S = 1 | S + 1 = 1 + 1 = 2 | S + 4 = 5 | S = 5 |
| Régions R | R = 1 | R = 1 | R = 1 | R = 2 + 1 = 3 |
| Arêtes A | A = 0 | A + 1 = 0 + 1 = 1 | A + 4 | A = 5 + 1 = 6 |
| Formule d’Euler S + R = A + 2 |
1 + 1 = 0 + 2 = 2 | 2 + 1 = 1 + 2 = 3 S + 1 + R = A + 1 + 2 S + R = A + 2 |
5 + 1 = 4 + 2 = 6 S + 4 + R = A + 4 + 2 S + R = A + 2 |
5 + 3 = 6 + 2 = 8 S + R + 1 = A + 1 + 2 S + R = A + 2 |
Tour de magie :
Cette formule permet de créer un petit tour de magie assez bluffant : gribouiller n’importe comment. La seule chose qui importe, c’est que le gribouillage soit en un seul morceau (connexe). Par exemple, vous pouvez faire un truc comme ça :
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C’est maintenant qu’on va faire des maths ! Dans ce gribouillage, on peut repérer des « Sommets » S (les points d’intersection et les extrémités), des « Arrêtes » A (ce qui relie deux sommets) et des « Régions » R (les cellules, délimitées par des arrêtes. Au passage, l’extérieur de la figure est une face. On les appellent souvent Face F.). Comptez-les !
Moi, je compte S = 26 sommets (bleus), A = 49 arrêtes (rouges) et F = 25 faces (verts)
Attention, tour de magie qui n’impressionnera personne. Je suis sûr que si vous effectuez l’opération S – A + F = 26 – 49 + 25 = 2, vous trouverez toujours 2 !
La formule d’Euler pour les polyèdres convexes : S + F = A + 2 (S nombre de sommets, F nombre de faces et A nombre d’arêtes).
Une très belle vidéo :
| Vertices = sommets
Edges = arêtes Faces = faces Dans un polyèdre : Nombre de sommet – Nombre d’arêtes + Nombre de face = 2 S – A + F = 2 Ou en Anglais : V – E + F = 2 |
Ce n’est pas Blaise Pascal (1623 – 1662) qui l’a trouvé mais il fut nommé ainsi en son l’honneur. Il est connu sous l’appellation « triangle de Pascal » en Occident, bien qu’il fût étudié par d’autres mathématiciens, parfois plusieurs siècles avant lui, en Inde, en Perse, au Maghreb, en Chine (où il est appelé « triangle de Yang Hui »), en Allemagne et en Italie.
I°/ Construction :
II°/ Coefficients des égalités remarques : coefficients binomiaux
III°/ La combinatoire : C’est l’art de compter les objets, actions ou autre.
IV°/ Trouver les puissances de 2 :
V°/ Trouver les puissances de 11 :
VI°/ La suite Fibonacci :
VII°/ La règle de la crosse de hockey :
VIII°/ Le triangle de Sierpinski :
IX°/ Les nombres premiers :
Sa construction est simple, mais ses applications sont multiples.
On part du nombre 1 et à chaque ligne on rajoute un nombre qui est la somme des 2 nombres qui sont au-dessus de lui. Chaque case est donc la somme des 2 cases qui sont au-dessus, s’il n’y a pas de case on prend le nombre 0. Donc dans chaque ligne, le premier et le dernier nombre est 1.
| 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 | 2 = 1 + 1 | 1 | 2 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | 4 = 1 + 3 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 7 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8 | 35 = 15 + 20 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 9 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 10 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 11 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 12 | 1 | 11 | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | 11 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 13 | 1 | 12 | 66 | 220 | 495 | 792 | 924 | 792 | 495 | 220 | 66 | 12 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 14 | 1 | 13 | 78 | 286 | 715 | 1287 | 1716 | 1716 | 1287 | 715 | 286 | 78 | 13 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 15 | 3003 = 1287 + 1716 | 1 | 14 | 91 | 364 | 1001 | 2002 | 3003 | 3432 | 3003 | 2002 | 1001 | 364 | 91 | 14 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| 16 | 1 | 15 | 105 | 455 | 1365 | 3003 | 5005 | 6435 | 6435 | 5005 | 3003 | 1365 | 455 | 105 | 15 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| 17 | 1 | 16 | 120 | 560 | 1820 | 4368 | 8008 | 11440 | 12870 | 11440 | 8008 | 4368 | 1820 | 560 | 120 | 16 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| 18 | 1 | 17 | 136 | 680 | 2380 | 6188 | 12376 | 19448 | 24310 | 24310 | 19448 | 12376 | 6188 | 2380 | 680 | 136 | 17 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 19 | 1 | 18 | 153 | 816 | 3060 | 8568 | 18564 | 31824 | 43758 | 48620 | 43758 | 31824 | 18564 | 8568 | 3060 | 816 | 153 | 18 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||
| 20 | 1 | 19 | 171 | 969 | 3876 | 11628 | 27132 | 50388 | 75582 | 92378 | 92378 | 75582 | 50388 | 27132 | 11628 | 3876 | 969 | 171 | 19 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
| 21 | 1 | 20 | 190 | 1140 | 4845 | 15504 | 38760 | 77520 | 125970 | 167960 | 184756 | 167960 | 125970 | 77520 | 38760 | 15504 | 4845 | 1140 | 190 | 20 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||
| 22 | 1 | 21 | 210 | 1330 | 5985 | 20349 | 54264 | 116280 | 203490 | 293930 | 352716 | 352716 | 293930 | 203490 | 116280 | 54264 | 20349 | 5985 | 1330 | 210 | 21 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| 23 | 1 | 22 | 231 | 1540 | 7315 | 26334 | 74613 | 170544 | 319770 | 497420 | 646646 | 705432 | 646646 | 497420 | 319770 | 170544 | 74613 | 26334 | 7315 | 1540 | 231 | 22 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
| 24 | 1 | 23 | 253 | 1771 | 8855 | 33649 | 100947 | 245157 | 490314 | 817190 | 1144066 | 1352078 | 1352078 | 1144066 | 817190 | 490314 | 245157 | 100947 | 33649 | 8855 | 1771 | 253 | 23 | 1 | ||||||||||||||||||||||||
Chaque case est la somme des 2 cases qui sont au-dessus. C’est-à-dire que le kième terme de la nième ligne est égal au (k-1)ième terme de la (n-1)ième ligne plus le kième terme de la (n-1)ième ligne
Voilà comment on l’écrit plus simplement.
C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k} ou avec l’écriture Française \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}
remarque :
C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x…x (n – 1) x n
(n + 1)! = (n + 1) x n!
(n - 1)! = \frac{n!}{n}
Démonstration :
(n-1)!= \frac{n!}{n}
\frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!\times(n-1-k+1)!}+\frac{(n-1)!}{k!\times(n-1-k)!}
\frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{\frac{n!}{n}}{\frac{k!}{k}\times(n-k)!}+\frac{\frac{n!}{n}}{k!\times \frac{(n-k)!}{(n-k)}}
\frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{\frac{n!}{n}\times k}{k!\times(n-k)!}+\frac{\frac{n!}{n}\times (n-k)}{k!\times (n-k)!}
\frac{n!}{k!\times(n-k)!}=\frac{n!(\frac{k}{n}+\frac{n-k}{n})}{k!\times (n-k)!}
\frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{n!(\frac{k+n-k}{n})}{k!\times (n-k)!}
\frac{n!}{k!\times (n-k)!}=\frac{n!}{k!\times (n-k)!}
donc : C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}
On peut aussi dire que, la somme des 2 cases est égale à celle qui est en dessous de celle de droite. C’est-à-dire que le kième terme de la nième ligne plus le (k+1)ième terme de la nième ligne et égal au le (k+1)ième terme de la (n+1)ième ligne
C_{n}^{k}+ C_{n}^{k+1}= C_{n+1}^{k+1} ou avec l’écriture Française \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}
\frac{n!}{k!\times (n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!\times (n-k-1)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\times (n+1-k-1)!}
\frac{n!}{k!\times (n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)\times k! \times \frac{(n-k)!}{(n-k)}}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\times (n-k)!}
\frac{n!}{k!\times (n-k)!}+\frac{n!\times (n-k)}{(k+1) \times k!\times (n-k)!}=\frac{(n+1)\times n!}{(k+1) \times k! \times (n-k)!}
\frac{n!(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)\times k!\times (n-k)!}=\frac{(n+1)\times n!}{(k+1)\times k!\times (n-k)!}
\frac{n!(k+1+n-k)}{(k+1)\times k!\times (n-k)!}=\frac{(n+1)\times n!}{(k+1)\times k!\times (n-k)!}
\frac{n!(1+n)}{(k+1)k!(n-k)!}=\frac{(n+1)n!}{(k+1)k!(n-k)!}
.
Il s’agit de développer l’expression (a+b) à l’exposant n, ou n est un entier naturel.
Par exemple : (a+b)² = a² + 2ab + b²
Et bien le triangle de Pascal permet de déterminer les coefficients de chaque membre de l’égalité. Pour cela il faut prendre les coefficients de la ligne (n-1) et élever a et b aux puissances successives.
| (a + b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k} \ b^{k}
Formule du binôme de Newton |
\binom{n}{k} = C_{n}^{k}=\frac{n!}{k! (n - k)!)}
Coefficients de la (n-1)ième ligne du triangle de Pascal. |
| 1 | (a + b) 0 = 1 |
| 1 1 | (a + b) 1 = 1a + 1b |
| 1 2 1 | (a + b) 2 = 1a² +2ab + 1b² |
| 1 3 3 1 | (a + b) 3 = 1a3 + 3a²b + 3ab² + 1b3 |
| 1 4 6 4 1 | (a + b) 4 = 1a4 + 4a3b + 6a²b² + 4ab3 + 1b4 |
| 1 5 10 10 5 1 | (a + b) 5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b² + 10a²b3 + 5ab4 + 1b5 |
| 1 6 15 20 15 6 1 | (a + b) 6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b² + 20a3b3 + 15a²b4 + 6ab5 + 1b6 |
Par exemple, combien y-a-t ’il de façon de choisir k objets parmi n. Et bien ce nombre sera égal au (k+1)ième coefficient de la (n-1)ième ligne du triangle de Pascal
|
Combien y-a-t ‘il de façon de choisir 2 objets parmi 4 objets a, b, c et d : le (2 + 1) = 3ième nombre de la (4 + 1) = 5ième ligne, c’est-à-dire 6.
Voici les 6 couples que l’on peut faire : a-b ; a-c ; a-d ; b-c ; b-d ; c-d |
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| Combien y-a-t ‘il de façon de choisir 3 objets parmi 6 objets : le (3 + 1) = 4ième nombre de la (6 + 1) = 7ième ligne, c’est-à-dire 20.
C_{3}^{6} = \frac{6!}{3!(6 - 3)!)}= \frac{6 \times 5\times4\times3\times2}{3\times2\times3\times2}= 5 \times4 =20 |
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Bien entendu il existe une formule qui permet de trouver ce résultat sans avoir à fabriquer le triangle de Pascal :
Le nombre de choix possible pour choisir k éléments parmi n est égal à : C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!)}
donc :
Choix de 2 éléments parmi 4 (le (2 + 1) = 3ième nombre de la (4 + 1) = 5ième ligne) = C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(4 - 2)!)}= \frac{4\times3\times2}{2\times2}= 3 \times 2= 6
Choix de 3 éléments parmi 6 (le (3 + 1) = 4ième nombre de la (6 + 1) = 7ième ligne) = C_{6}^{3} = \frac{6!}{3!(6 - 3)!)}= \frac{6 \times 5\times4\times3\times2}{3\times2\times3\times2}= 5 \times4 =20
Si on additionne tous les nombres de la ligne n on obtient 2n-1.
| n | Somme | 2n-1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 1 | 1 | 2^0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 1 | 2 | 2 | 2^1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 1 | 3 | 4 | 2^2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | 4 | 8 | 2^3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 5 | 16 | 2^4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | 6 | 32 | 2^5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | 7 | 64 | 2^6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | 8 | 128 | 2^7 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | 9 | 256 | 2^8 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | 10 | 512 | 2^9 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 | 11 | 1024 | 2^10 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 11 | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | 11 | 1 | 12 | 2048 | 2^11 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 12 | 66 | 220 | 495 | 792 | 924 | 792 | 495 | 220 | 66 | 12 | 1 | 13 | 4096 | 2^12 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 13 | 78 | 286 | 715 | 1287 | 1716 | 1716 | 1287 | 715 | 286 | 78 | 13 | 1 | 14 | 8192 | 2^13 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 14 | 91 | 364 | 1001 | 2002 | 3003 | 3432 | 3003 | 2002 | 1001 | 364 | 91 | 14 | 1 | 15 | 16384 | 2^14 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 15 | 105 | 455 | 1365 | 3003 | 5005 | 6435 | 6435 | 5005 | 3003 | 1365 | 455 | 105 | 15 | 1 | 16 | 32768 | 2^15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 16 | 120 | 560 | 1820 | 4368 | 8008 | 11440 | 12870 | 11440 | 8008 | 4368 | 1820 | 560 | 120 | 16 | 1 | 17 | 65536 | 2^16 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 17 | 136 | 680 | 2380 | 6188 | 12376 | 19448 | 24310 | 24310 | 19448 | 12376 | 6188 | 2380 | 680 | 136 | 17 | 1 | 18 | 131072 | 2^17 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 18 | 153 | 816 | 3060 | 8568 | 18564 | 31824 | 43758 | 48620 | 43758 | 31824 | 18564 | 8568 | 3060 | 816 | 153 | 18 | 1 | 19 | 262144 | 2^18 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 19 | 171 | 969 | 3876 | 11628 | 27132 | 50388 | 75582 | 92378 | 92378 | 75582 | 50388 | 27132 | 11628 | 3876 | 969 | 171 | 19 | 1 | 20 | 524288 | 2^19 | |||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 20 | 190 | 1140 | 4845 | 15504 | 38760 | 77520 | 125970 | 167960 | 184756 | 167960 | 125970 | 77520 | 38760 | 15504 | 4845 | 1140 | 190 | 20 | 1 | 21 | 1048576 | 2^20 | ||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 21 | 210 | 1330 | 5985 | 20349 | 54264 | 116280 | 203490 | 293930 | 352716 | 352716 | 293930 | 203490 | 116280 | 54264 | 20349 | 5985 | 1330 | 210 | 21 | 1 | 22 | 2097152 | 2^21 | |||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 22 | 231 | 1540 | 7315 | 26334 | 74613 | 170544 | 319770 | 497420 | 646646 | 705432 | 646646 | 497420 | 319770 | 170544 | 74613 | 26334 | 7315 | 1540 | 231 | 22 | 1 | 23 | 4194304 | 2^22 | ||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 23 | 253 | 1771 | 8855 | 33649 | 100947 | 245157 | 490314 | 817190 | 1144066 | 1352078 | 1352078 | 1144066 | 817190 | 490314 | 245157 | 100947 | 33649 | 8855 | 1771 | 253 | 23 | 1 | 24 | 8388608 | 2^23 | |||||||||||||||||||||||||
Démonstration : d’après la formule du binôme de Newton
(a + b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}\ b^{k}
Si on prend a = b = 1 on a :
(1 + 1)^{n}=2^{n}= \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\times 1^{n-k} \times 1^{k}= \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}
Donc 2n est égal à la somme des termes d’une ligne du triangle de Pascal.
C’est un peu plus compliqué et fastidieux. Les nombres du triangle de Pascal représentent les coefficients des puissances de 10 successives.
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Cette suite célèbre est constituée en partant de 0 puis 1. On obtient les nombres suivants en additionnant les deux nombres précédents.
0 ; 1 ; 1 = 0 + 1 ; 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 ; 5 = 3 + 2 ….
Et bien en additionnant les diagonales ascendantes comme sur la figure ci-dessous, on obtient la suite Fibonacci.
Vous aurez ici une merveilleuse horloge de Fibonacci.
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Une autre merveille : et si on attribuait une note pour chaque chiffre et que l’on jouait la suite de Fibonacci, cela donnerait quoi ? |
John Edmark s’amuse avec Fibonacci dans des constructions de toutes beautés. Lorsqu’elle est filmée à 24 images par seconde et tournée à 550 tours par minute, chaque image représente une rotation de 137,5 degrés, ce qui équivaut à l’angle d’or. |
Si on ajoute les nombres qui se suivent dans une diagonale, on obtient cette somme en bas à droite de la diagonale.
Si on enlève les nombres pairs du triangle Pascal on obtient celui de Sierpinski.
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| Triangle de Sierpinski | Triangle de Pascal | Les deux |
Le triangle de Pascal peut nous donner certains nombres premiers, avec une manipulation un peu fastidieuse, mais qui démontre qu’il y a une infinité de nombres premiers.
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| Voici le début du triangle de Pascal. | Remplaçons les nombres pairs par 0 et les impairs par 1. | Rapprochons les nombres. On obtient des nombres binaires. | Traduisons les nombres binaires en nombres décimaux. | Dès que l’on a un nombre premier, il faut le multiplier successivement à tous les résultats précédents avant de retrouver un nouveau nombre premier. | |
Une propriété assez étrange est que si pour la nième ligne, n est un nombre premier, alors cette ligne ne contient que des multiples de n, en enlevant les deux 1.
Par exemple, à la 7ième ligne, il n’y a que des multiples de 7 : 7, 21 et 35.