A°/ Nombres particuliers :
B°/ Un peu de calcul mental : Utilisons 4 fois le même chiffre
C°/ 666 un nombre maléfique et le nombre de Belphégor :
D°/ Somme des n premiers nombres entiers impairs = n² :
E°/ Somme des n premiers carrés = n (n+1) (2n+1) / 6 :
F°/ Le cube de la somme de deux nombres : (a+b)³
G°/ Théorème de Nicomaque : Somme des n premiers cubes = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + n )²
H°/ Les nombres Phénix :
I°/ Les nombres remarquables :
J°/ La fonction 91 :
K°/ Les équations palindromiques :
L°/ Une jolie démonstration :
M°/ Le nombre d’or :
N°/ La somme d’une suite géométrique infinie est finie :
O°/ Le nombre un : Pourquoi faire simple quand on peu faire compliqué.
P°/ Le nombre e :

Comme amuse-gueule, voici une vidéo très originale qui nous présente toutes sorte de nombre et de concept mathématique : pour avoir des explications  Animation vs. Math

A°/ Nombres particuliers :

Vous pensez bien connaître les mathématiques…
Alors, le saviez-vous :

B°/ Un peu de calcul mental : Utilisons 4 fois le même chiffre

En utilisant 4 fois le même chiffre, des parenthèses et les 4 opérations, comment écrire les nombres proposés (les nombres non proposés sont impossibles).

Un autre jeu consiste à utiliser 4 fois le chiffre 4 pour obtenir tout les nombres entiers :

Remarque : .4 signifie 0,4 ce qui est un peu de la triche … et \bar{.4}= 0,44444... =\frac{4}{9}

Source : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/Quatre4p.htm

Quatre constantes fondamentales dans quatre 4 : En 2001, une équipe de mathématiciens du Harvey Mudd College a découvert que nous pouvions même obtenir quatre 4 pour approximer quatre constantes notables : le nombre e , π , l’accélération de la gravité g et le nombre d’Avogadro .

C°/ 666 un nombre maléfique et le nombre de Belphégor :

• Les numérologues considèrent que le nombre 666 est maléfique, aussi le remplacent-ils par de jolies combinaisons.

Ainsi : 666 = 6 + 6 + 6 + 63³+ 63³ + 63³.

• C’est aussi la somme des sept premiers nombres premiers au carré : 666 = 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17².
• C’est un nombre triangulaire : 666 = 1 + 2 + 3 + … + 36
• C’est par ailleurs un nombre palindromique c’est à dire qu’il peut se lire de droite à gauche ou de gauche à droite.
• Mais le 13 est aussi un nombre maléfique, notamment pour la religion chrétienne. Alors les mathématiciens ce sont amusés à créer le nombre de Belphégor qui est constitué du nombre 666 précédé de 13 zéros et suivit de 13 zéros, avec un 1 au début et à la fin : 1 000 000 000 000 066 600 000 000 000 001. Ce nombre est un palindrome et aussi un nombre premier, sa notation est le nombre \pi écrit à l’envers.

• Si l’on translittère la forme grecque Καίσαρ Νέρων du nom de l’empereur Caesar-Neron en hébreu קסר נרון suivant la guématria, la valeur numérique de l’addition de l’ensemble des lettres donne 666 dans un nombre qui, par opposition au chiffre 7 qui symbolise la perfection, symbolise l’imperfection suprême; si on translittère la forme latine « Caesar-Nero » en l’hébreu קסר נרו cela donne 616.
• Les ennemis du pape ce sont aussi prêtés à ce petit jeux des nombres. Le pape est le vicaire de dieu ce qui donne en latin :
  VICarIVs fILII DeI en ne prenant que les lettre traduisibles en nombre = 5 + 1 + 100 + 1 + 5 + 1 + 50 + 1 + 1 + 500 + 1 = 666
• Hitler aussi peut donner 666 si on considère que le A = 100; B = 101; C = 103.
  En effet : H = 107 + I = 108 + T = 119 + L = 111 + E = 104 + R = 117 = 666
• Dans la bible : bien entendu le nombre de la bête est présent dans la bible car la bête représente le diable. Dans les Évangiles selon  St Jean : les disciples pêchent et sortent 153 poissons.
  Plaçons les chiffres 1, 5 et 3 dans un triangle équilatéral noir dans le sens des aiguilles d’une montre, et dans un autre triangle équilatéral bleu dans le sens inverse. On obtient l’étoile de David. Si on additionne les nombres composés par 3 chiffres dans un sens et dans l’autre, on trouve 666 à chaque fois !!!

Petite remarque assez troublante : si on prend les 3 chiffres du haut de l’étoile, c’est à dire 355, et que l’on divise par ceux du bas, c’est à dire 113, et bien on obtient une approximation du nombre \pi à 6 décimales près … \frac{355}{113} = 3,14159292 \approx \pi

Toujours dans l’Apocalypse de Jean, chapitre 13, versets 11 à 18, on présente la bête, monstre de la fin du monde, et son nombre.

Puis je vis monter de la terre une autre bête, qui avait deux cornes semblables à celles d’un agneau, et qui parlait comme un dragon. […] Que celui qui a de l’intelligence calcule le nombre de la bête. Car c’est un nombre d’homme, et son nombre est six cent soixante-six.

D°/ Somme des n premiers nombres entiers impairs = n² :

De façon générale la somme des n premiers nombres impairs est n².
En effet la suite arithmétique des n premier nombre impair donne :

Avec : Premier terme : u₁ = 1

Dernier terme : u_n = 2n – 1

Nombre de termes : n

Exemple. La somme des 4 premiers nombres impairs est le carré de 4, soit 16 : 1 + 3 + 5 + 7 = 4² = 16

E°/ Somme des n premiers carrés = n (n+1) (2n+1) / 6 :

Commençons par les 4 premiers carrés : 1² + 2² + 3² + 4² = ( 4 x 5 x 9 ) / 6 = 30

Pour cela constituons un pyramidal en empilant quatre étages de forme carrés.
Nous avons un carré de 1 case, puis un carré de 2² = 4 cases, puis de 3² = 9 cases et enfin de 4² = 16 cases.

Maintenant, comme dans un puzzle 3D, agençons six pyramidaux pour reconstituer un parallélépipède rectangle de dimensions 4, 5 et (2 x 4 + 1 =) 9. Nous obtenons alors : 1² + 2² + 3² + 4² = ( 4 x 5 x 9 ) / 6 = 30 cubes.

De même agençons six pyramidaux constitués de carrés de 1 à 5² cases. Nous obtenons un parallélépipède de dimensions 5, 6 et (2 x 5 + 1 =) 11.

Somme des carrés des 5 premiers entiers Somme des carrés des 6 premiers entiers

1² + 2² + 3² + 4² + 5² = ( 5 x 6 x 11 ) / 6 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6²= ( 6 x 7 x 13 ) / 6

Le procédé se généralise avec un pyramidal obtenu en empilant des carrés de 1 à n² cases.
Six pyramidaux réunis permettent de construire un parallélépipède de dimensions n, n+1 et 2n+1.

Nous obtenons le résultat général :

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² +… + n² = n (n+1) (2n+1) / 6

F°/ Le cube de la somme de deux nombres : (a+b)³

G°/ Théorème de Nicomaque : la somme des n premiers cubes = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + n )²

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ +… + n³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + n )²

En effet, si l’on décompose correctement le cube de chaque entier, nous pouvons retrouver facilement la somme des cubes de différents entiers.

Découvrons d’emblée les résultats sur l’animation ci-dessous : le volume de chaque cube est égal à l’aire d’une zone colorée dans le même ton.

Voyons maintenant pourquoi l’aire de chaque zone colorée correspond bien au volume d’un cube. Nous connaissons la somme des entiers naturels de 1 à n avec la formule :

Nous en déduisons que pour chaque valeur de l’entier n :

Au final, on obtient un carré de côté (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + n ) et donc de surface (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + n )².

H°/ Les nombres Phénix :

Le bestiaire des nombres recèlent de bien curieux phénomènes…

Très curieux sont en effet les nombres phénix, qui comme leur nom l’indique peuvent renaître de leurs cendres!! Comment ?

En voici un exemple : le nombre 052 631 578 947 368 421 (à vos souhaits) est un de ces nombres si étranges.

Vous pouvez essayer de le multiplier par tout nombre entier compris entre 2 et 18, vous ne retrouverez bien sûr pas notre nombre de départ, mais les chiffres du résultat se suivent exactement dans le même ordre, à un décalage près !!!

exemple : si on le multiplie par deux, on obtient 1 052 631 578 947 368 42. le dernier 1 du nombre de départ s’est retrouvé en tête du nombre d’arrivée !! Pour le moins étonnant !!

Mais celui-ci vous réserve une autre surprise: multipliez-le donc par 19 pour comprendre à quel point ce nombre est « magique »…… :

52 631 578 947 368 421 x 19 = 999 999 999 999 999 999

Et le plus étonnant est qu’il existe d’autres nombres ayant les mêmes propriétés comme 0 588 235 294 117 647 ou 142 857 !!

La règle générale : 0,052 631 578 947 368 421 = 1/19 donc 052 631 578 947 368 421 x 19 = 999 999 999 999 999 999
                       0,0 588 235 294 117 647 = 1/17    donc 0 588 235 294 117 647 x 17 = 9 999 999 999 999 999
                       0,142 857 = 1/7                       donc 142 857 × 7 = 999 999   

I°/ Les nombres remarquables :

https://oeis.org/ ou https://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/histoire-des-nombres/158-les-nombres-remarquables

Les Mathématiciens adorent jouer avec les nombres et adorent encore plus les classer. Voici quelques nombres au titre poétique ou amusant comme nombres amicaux, parfaits ou de poulet.

Sur ce site vous pourrez tout connaitre d’un nombre : http://www.numbergossip.com/

Nom des nombres	Définition	Exemple	La liste de ces nombres
Les nombres abondants	Nombre entier naturel non nul qui est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs stricts sauf lui-même.	12 : La somme de ces diviseurs 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12	https://oeis.org/A005101
Les nombres autobiographiques	Nombre entier positif dont le 1er chiffre indique le nombre de 0 contenus dans ce nombre, le 2e le nombre de 1, le 3e le nombre de 2 et ainsi de suite jusqu’au 10e qui doit indiquer le nombre de 9 dans ce nombre.	1210 est le plus petit d’entre eux (1 chiffre 0, 2 chiffres 1, 1 chiffre 2 et 0 chiffre 3).	https://oeis.org/A046043
Les nombres déficients	Nombre entier naturel non nul qui est strictement supérieur à la somme de ses diviseurs stricts sauf lui-même.	10 : La somme de ces diviseurs 1 + 2 + 5 = 8 < 10	https://oeis.org/A005100
Les nombres parfaits	Nombres qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs entiers naturels sauf eux-mêmes. On en connaît 48, dont huit inférieurs à 1021.	28 : La somme de ces diviseurs 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28	https://oeis.org/A000396
Les nombres amicaux ou amiables	Couple d’entiers naturels dont la somme de diviseurs stricts, autre que lui-même, de l’un est égale à la somme de diviseurs stricts de l’autre.	La paire (220,284) est amiable et c’est la première. Les Grecs ne connaissaient que celle-ci.   La somme des diviseurs propres de 220 : 2+4+5+11+22+55+44+20+110+10+1 = 284. La somme des diviseurs propres de 284 : 2+4+71+142+1 = 220	https://oeis.org/A063990
Les nombres sociables	Suite de nombres qui sont la somme des diviseurs propres du nombre précédent (en revenant sur le premier).	Par exemples : 1264460, 1547860, 1727636, 1305184 (1547860 est la somme de tous les diviseurs propres de 1264460 …) Une suite de 28 nombres sociables : 14316 → 19116 → 31704 → 47616 → 83328 → 177792 → 295488 → 629072 → 589786 → 294896 → 358336 → 418904 → 366556 → 274924 → 275444 → 243760 → 376736 → 381 028 → 285 778 → 152990 → 122410 → 97946 → 48976 → 45946 → 22976 → 22744 → 19916 → 17716 (→ 14316 )	https://oeis.org/A003416 Un outil pour les calculer.
Les nombres chanceux	Nombres entiers naturels obtenus de la façon suivante : On commence avec la suite d’entiers démarrant par 1 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Puis on enlève un nombre sur deux, ce qui ne laisse que les entiers impairs : 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Le deuxième terme de la suite est désormais 3. Ensuite, on enlève un nombre sur trois parmi ceux qui restent dans la liste : 1 3 7 9 13 15 19 21 25 Le troisième nombre survivant est 7. On enlève alors un nombre sur sept parmi ceux qui restent dans la liste : 1 3 7 9 13 15 21 25 Le quatrième nombre survivant est 9. Puis on enlève un nombre sur neuf parmi ceux qui restent dans la liste, etc. Si l’on répète cette procédure indéfiniment, les survivants sont les nombres chanceux : 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, …	1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, …	https://oeis.org/A000959
Les nombres heureux (happy nomber)	Entier naturel tel que si on calcule la somme des carrés de ses chiffres puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1.	19 est un nombre heureux car : 1² + 9² = 82 8² + 2² = 68 6² + 8² = 100 1² + 0² + 0² = 1	https://oeis.org/A007770
Les nombres malheureux (unhappy nomber)	Entier naturel tel que si on calcule la somme des carrés de ses chiffres puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, il boucle sur le cycle long	14 est un nombre malheureux car : 1² + 4² = 17 1² + 7² = 50 5² + 0² = 25 2² + 5² = 29 2² + 9² = 85 8² + 5² = 89 8² + 9² = 145 …	https://oeis.org/A031177
Les nombres de Harshad	Du sanskrit « harṣa » (« joie ») et « da » (« qui donne »). Nombres divisiblent par la somme de ses chiffres.	2022 est divisible par la somme 2+2+0+2 = 6. 2022/6 = 337	https://oeis.org/A005349
Les nombres taxicab	Nombre qui peut être exprimé comme la somme de deux cubes, de plusieurs façons différentes (en l’occurrence, 2). Godfrey Harold Hardy, mathématicien britannique de la première moitié du XXe siècle, rapporte l’anecdote suivante, concernant le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan :« Je me souviens que j’allais le voir une fois, alors qu’il était malade, à Putney. J’avais pris un taxi portant le numéro 1729 et je remarquai que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j’espérais que ce ne fût pas mauvais signe. — Non, me répondit-il, c’est un nombre très intéressant : c’est le plus petit nombre décomposable en somme de deux cubes de deux manières différentes. »	1729 = 13 + 123 = 93 + 103	https://oeis.org/A011541
Les nombres poulet   https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_et_supernombre_de_Poulet	En arithmétique, un test de primalité courant pour un nombre impair n consiste à tester si n divise 2n – 2 : dans le cas contraire, en vertu de la contraposée du petit théorème de Fermat, on conclut que n n’est pas premier. Cependant il existe des nombres composés qui passent ce test avec succès : on les appelle nombres de Poulet, en l’honneur de Paul Poulet qui en a listé en 1926, ou nombres de Sarrus, car F. Sarrus découvrit certains de ces nombres (comme 341) en 18191. Un nombre composé n est donc un nombre de Poulet si n divise 2n – 2, autrement dit si c’est un nombre faiblement pseudo-premier en base 2. Un supernombre de Poulet est un nombre composé dont tous les diviseurs composés sont des nombres de Poulet (ces diviseurs sont alors aussi des supernombres de Poulet), ou encore : un nombre composé dont chaque diviseur d divise 2d – 2.	2341 – 2 est divisible par 341	https://oeis.org/A001567
Les nombres triangulaires	Nombres entiers naturels de la forme n(n+1)/2 , n étant un entier naturel.	t3 = 3+2+1 = 6 est le 3ième nombre triangulaire car 6 = 3(3+1)/2	https://oeis.org/A000217
Les nombres univers	Nombre réel dans les décimales duquel on peut trouver n’importe quelle succession de chiffres de longueur finie. Vous pouvez ainsi vérifier sur cette page, si votre date de naissance ou votre numéro de téléphone est présent dans les décimales de . En fait on peut tout trouver dans les décimales de , à partir du moment ou on le transforme en suite de nombre. Par exemple une photo est une succession de pixel codés par un nombre représentant sa couleur, vous pouvez donc trouver n’importe quelle photo. Si on remplace les lettres par leur rang dans l’alphabet, on peut trouver n’importe quel texte dans les décimales de pi (Maths sera codé par M = 13, a = 1, t = 20, h = 8, s = 13 et 13120813 ce retrouve au rang 29247731) !!!!	Même si ce n’est pas encore démontré, le nombre est considéré comme un nombre univers.	http://www.angio.net/pi/piquery
Nombres Escaliers, Polis ou Trapézoïdaux	C’est un nombre qui peut s’écrire sous la forme de une ou plusieurs sommes de deux ou plusieurs nombres consécutifs. Le degré de politesse indique combine de fois un nombre est sommes de nombres consécutifs.	$$\mathrm{Le\; nombre\; 15\; est\; un\; nombre\; 3-polis,\; c’est\; à\; dire\; qu’il\; peut\; se\; décomposer\; en\; somme\; d’entiers\; consécutifs\; 3\; fois.15}=1+2+3+4+5=4+5+6=7+8$$	https://oeis.org/A138591
Nombres cyclopes	Un nombre cyclope possède un nombre impair de chiffres et son chiffre du milieu est 0.	$$\mathrm{Par\; exemple,\; 607\; est\; un\; nombre\; cyclope\; premier.}$$	https://oeis.org/A134808
Nombres puissants	Un entier naturel n est dit puissant si, pour tout diviseur premier p de n, le carré p2 divise également n. Cela signifie que dans la décomposition en facteurs premiers de n, tous les exposants sont supérieurs ou égaux à 2.	$$\mathrm{Les\; 26\; premiers\; :\; 1,\; 4,\; 8,\; 9,\; 16,\; 25,\; 27,\; 32,\; 36,\; 49,\; 64,\; 72,\; 81,\; 100,\; 108,\; 121,\; 125,\; 128,\; 144,\; 169,\; 196,\; 200,\; 216,\; 225,\; 243,\; 256}$$ $$\mathrm{.6125\; =\; 53\; \times \; 72\; est\; puissant}$$ 6615 = 33 × 5 × 7² n’est pas puissant car pas divisible par 5²	https://oeis.org/A001694
Nombres de Dudeney	Un nombre de Dudeney est un entier positif dont la somme de ses chiffres décimaux est égale à la racine cubique du nombre. Il en existe seulement 7.	\sqrt[3]{0}=0\\\sqrt[3]{1}=1\\\sqrt[3]{512}=5+1+2=8\\\sqrt[3]{4913}=4+9+1+3=17\\\sqrt[3]{5832}=5+8+3+2=18\\\sqrt[3]{17 576}=1+7+5+7+6=26\\\sqrt[3]{19 683}=1+9+6+8+3=27	https://oeis.org/A046459
Les Nombres Premiers Rugeux (« rough numbers« )	Un entier est dit k-rugueux s’il n’est divisible par aucun nombre premier inférieur à k.	14 n’est pas 5-rugueux, car il est divisible par 2, un nombre premier inférieur à 5. 49 est 5-rugueux, car il n’est divisible ni par 2 ni par 3 (les nombres premiers inférieurs à 5).	https://oeis.org/A007310
Nombres de Lychrel	Si on ajoute un nombre entier et sont renversé (le même nombre écrit à l’envers), on obtient un nombre palindrome. Les nombres de Lychrel ne respectent pas cette propriété, mais on ne sait pas démontrer qu’ils existent.	143 + 341 = 484 nombre palindrome 196 est le plus petit candidats à la liste des nombres de Lychrel.	https://oeis.org/A023108
Les nombres auto-biographiques ou auto-descriptifs	C’est un entier naturel dont le premier chiffre indique le nombre de 0 qu’il contient, le deuxième chiffre le nombre de 1, etc., en respectant l’ordre numérique.	1210 : 1 2 1 0 1 chiffre zéro 2 chiffres 1 1 chiffre 2 0 chiffre 3	https://oeis.org/A046043

J°/ La fonction 91 :

En 1970 le mathématicien John McCarthy, a proposée une fonction de calcul très simple mais avec un résultat assez surprenant.

Prenez un nombre entier inférieur ou égal à 101. Si ce nombre est plus grand à 100, enlever-lui 10, sinon ajouter 11. Puis recommencer jusqu’à indéfiniment. Vous tomberez obligatoirement sur le nombre 91 ….

En langage Mathématique cela donne :

Exemples : un programme SCRATCH pour tester.

f(99) = f(f(110)) car 99 ≤ 100
      = f(100)    car 110 > 100
      = f(f(111)) car 100 ≤ 100
      = f(101)    car 111 > 100
      = 91        car 101 > 100

f(87) = f(f(98))
      = f(f(f(109)))
      = f(f(99))
      = f(f(f(110)))
      = f(f(100))
      = f(f(f(111)))
      = f(f(101))
      = f(91)
      = f(f(102))
      = f(92)
      = f(f(103))
      = f(93)
      ... 
      = f(99)
      ...
      = 91

K°/ Les équations palindromiques :

– Un palindrome peut se lire de droite à gauche et inversement. Le nombre 12521 est un nombre palindrome.

Mais trouver des équations qui le soient est plus compliqué :

61 – (8 + 8 + 8 + 8 + 8) = (8 + 8 + 8 + 8 + 8) – 19 : on obtient 21.

98 x 99 – (609 + 6969 + 111) = (111 + 6969 + 609) – 66 x 86 : on obtient 2013.

– Une autre bizarrerie : prenez n’importe quel nombre, inversez ses chiffres et ajoutez-le au nombre d’origine. Répétez ce processus et vous finirez par obtenir un palindrome.

196 est le plus petit nombre pour lequel un palindrome n’a pas été trouvé par ce processus itératif.

196 + 691 = 887 puis 887 + 788 = 1975 puis 1675 + 5761 = 7436 ….

L°/ Une jolie démonstration :

Tout nombre au carré peut s’écrire sous la forme de l’addition de deux nombres triangulaires.

	Pour rappel un nombre triangulaire de rang n noté tn, est la somme de tous les nombres de 1 jusqu’à n. On peut les représenter sous la forme d’un triangle de base n, d’où leur nom. Exemple : t5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15              t4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
	La démonstration est plutôt ardus, bien que tout à fait correcte.
	Mais en modélisant le problème par un schémas, la solution est tout de suite plus évidente et même très simple. Commençons par représenter un carré comme 25 = 5², puis découpons le par une diagonale comme sur la figure ci-contre. Le triangle supérieur est un nombre triangulaire d’ordre 5 et le triangle inférieur d’ordre n-1. Ainsi : n² = tn + tn-1

M°/ Le nombre d’or :

Un nombre mystérieux et magique dont on parle depuis la plus haute antiquité dans de nombreux domaines tels que la géométrie, l’architecture, la peinture, la nature, …
Il caractérise l’harmonie et l’esthétique dans les arts, bien que certains lui reproche son caractère ésotérique.

On le désigne par la lettre grecque \varphi   ( phi ) en hommage au sculpteur grec Phidias (490 – 430 avant J.C) qui décora le Parthénon à Athènes.

   1°/ Son nom :
   2°/ Sa définition :
   3°/ Le rectangle d’or :
   4°/ La spirale d’or :
   5°/ Le triangle d’or :
   6°/ Le pentagone d’or :
   7°/ De bien belles formules :
   8°/ Suite de Fibonacci :
   9°/ Les suites :
   10°/ Le nombre d’or est partout :
   11°/ Rapports métalliques :

   1°/ Son nom : il a évolué avec le temps.

• Le mathématicien et moine franciscain Luca Pacioli (1445 ; 1517) parle de « Divine proportion »
• Le physicien Johannes Kepler (1571 ; 1630) le désigne comme le « joyau de la géométrie »
• Léonard de Vinci l’appelle la « section dorée »
• Le prince Matila Ghyka en 1932, diplomate et ingénieur, est le premier à parler de « nombre d’or ».

   2°/ Sa définition : le nombre d’or est la solution positive de l’équation : x² – x – 1 = 0 et sa valeur est :   \varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618033... .
Concrètement cela veut dire que si on le multiplie par lui-même on le retrouve additionné de 1 : \varphi ^{2}= \varphi+1

	Peut-on trouver 2 segments alignés a et b tel que le rapport du plus grand sur le plus petit soit égal au rapport de la somme sur le plus grand ?  \varphi=\frac{b}{a}=\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=1+\frac{1}{\varphi}\Rightarrow\varphi=1+\frac{1}{\varphi}
	Géométriquement, si on prend un segment de longueur a, qu’on le multiplie par \varphi puis encore par \varphi , le grand segment est la somme des 2 petits. C’est cette propriété qui rend les longueurs harmonieuses.
	Autrement dit, 2 segments seront dans la proportion du nombre d’or si le rapport du grand sur le moyen est égal au rapport du moyen sur le petit. \frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow \frac{1+\varphi }{\varphi}=\frac{\varphi }{1}\Rightarrow 1+\varphi =\varphi ^{2}\Rightarrow \varphi ^{2}-\varphi -1 = 0 \\ \Delta = b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\times 1\times (-1) = 5 \\ \varphi_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0 \ impossible \ c'est \ une \ longueur \\ \varphi_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>0 \ c'est \ la \ valaur \ de \ \varphi
	Une autre façon de faire : \varphi =\frac{BC}{AB}=\frac{AB+BC}{BC}=\frac{AB}{BC}+\frac{BC}{BC}=\frac{1}{\varphi }+1 \\ \varphi =\frac{1}{\varphi }+1 \\ Donc : \Phi = \frac{1}{\varphi } = \varphi -1 \simeq 1,618033989... - 1 = 0,618033989... L’inverse de   \varphi est noté   \phi et il représente la partie décimale de   \varphi .

   3°/ Le rectangle d’or : de largeur une unité et de longueur \varphi . Ces proportions sont esthétiquement parfaites et on le retrouve dans de nombreux bâtiments.

Construction d’un rectangle d’or : Tracer un triangle ABC rectangle en A dont les côtés de l’angle droit mesurent 1 et 1/2 Puis on reporte la longueur de l’hypoténuse sur la demi droite [AC) tel que BC = CD Grâce au théorème de Pythagore : BC = \frac{\sqrt{5}}{2} AD = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} =\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

De façon générale, un rectangle est d’or si le rapport de sa longueur sur sa largeur est égal à \varphi .

   4°/ La spirale d’or :

   5°/ Le triangle d’or : on appelle triangle d’or un triangle isocèle dont les côtés sont dans le rapport du nombre d’or. De ce fait, les deux triangles d’or possible ont des angles à la base de 36° ou 72°. Celui d’angle de base à 36° est plutôt applé triangle d’argent.

Dans le triangle ACH rectangle en H Si : \frac{AB}{AC}=\varphi \ alors \ cos\widehat{A} = \frac{AH}{AC}=\frac{AB}{2AC}=\frac{\varphi }{2} \\ \widehat{A} = Acrcos\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right ) = 36^{\circ}\\ Si : \frac{AC}{AB}=\varphi \ alors \ cos\widehat{A}=\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{2AC}=\frac{1}{2\varphi} \\ \widehat{A} = Acrcos\left ( \frac{1}{1+\sqrt{5}} \right )= 72^{\circ}

   6°/ Le pentagone d’or :

Il faut prendre 2 triangles d’or AEC et BCD d’angles de bases 36° et un triangles d’or ABD d’angles de bases 72°. On obtient un pentagone d’or : Si : \frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{AE}=\varphi En fait, tous les pentagones respectent cette propriété est ce sont donc tous des pentagones d’or.

   7°/ De bien belles formules :

	\pi et le nombre d’or.
\varphi = \sqrt{1+ \sqrt{1+\sqrt{1 + \sqrt{1+...}}}}	Le nombre d’or et les racines continues : \varphi ^{2}= 1+ \varphi \\donc \ \varphi = \sqrt{1 + \varphi} = \sqrt{1+\sqrt{1 + \varphi}} = \sqrt{1+ \sqrt{1+\sqrt{1 + \varphi}}}
	Le nombre d’or et les fractions continues : \varphi ^{2}= \varphi +1 \\ donc \ \varphi = 1 + \frac{1}{\varphi } = 1+ \frac{1}{1+\frac{1}{\varphi }}
cos \frac{\pi \ rad}{5}= cos \ 36^{\circ} = \frac{1+\sqrt{5}}{4}=\frac{\varphi }{2}	La trigonométrie d’or.

   8°/ Suite de Fibonacci :

En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite d’entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent, en partant de 0 et de 1 :

Cette suite célèbre est constituée en partant de 0 puis 1. On obtient les nombres suivants en additionnant les deux nombres précédents.

0 ; 1 ; 1 = 0 + 1 ; 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 ; 5 = 3 + 2 ….

En partant d’un carré de côté 1, on juxtapose un autre carré de côté 2, ce qui crée un rectangle de longueur 1+2 = 3 et de largeur 1+1 = 2. Puis on juxtapose un autre carré de côté 3, ce qui crée un rectangle de longueur 2+5 = 5 et de largeur 1+2 = 3. Et ainsi de suite. Chaque carré présente des côtés qui suivent la suite de Fibonacci. Le lien avec le nombre d’or passe d’abord par la ressemblance avec le rectangle d’or, puis par le fait que le rapport de 2 nombres consécutifs de la suite se rapproche de plus en plus de \varphi .  Fractions \frac{13}{8} = 1,625... \frac{21}{13} = 1,615... \frac{34}{21} = 1,619... \frac{55}{34} = 1,617... Erreur par rapport à \varphi 0,4% -0,2% 0,06% -0,02%

Mais on peut aussi retrouver cette suite en assemblant des triangles d’or et d’argent : En partant d’un triangle d’or, on lui adjoint un triangle d’argent. On obtient un nouveau triangle d’argent. Puis un ajoute un triangle d’or et on obtient un nouveau triangle d’or. Et ainsi de suite. Si compte le nombre de triangle, qui sont la somme des précédents, on trouve la suite de Fibonacci. Et bien sur, si on divise le nombre de triangle d’or par le nombre de triangle d’argent de chaque triangle on se rapproche de de plus en plus de \varphi .  Étape 5 6 7 … 11 12 Triangles totaux 5 8 13   89 144 Triangles d’or 3 5 8   55 89 Triangles d’argent 2 3 5   34 55 Rapport \frac{3}{2} = 1,5 \frac{5}{3} \approx 1,66... \frac{8}{5} = 1,6   \frac{55}{34} \approx 1,617... \frac{89}{55} \approx 1,618...

Mais comment trouver le nième terme de la suite de Fibonacci sans avoir à calculer les précédents ?

   9°/ Les suites :

Le nombre d’or est certainement le seul nombre pour lequel on peut faire coïncider une progression géométrique (on passe d’un nombre à son suivant en multipliant par un même nombre, ici \varphi ) et une somme, en l’occurrence la somme des 2 termes précédents. Rappel : \varphi ^{2} = 1+\varphi

Suite Géométrique	\varphi ^{0} = \color{red}1	\varphi ^{1} = \color{red}\varphi	\varphi ^{2} = \color{red}1+\varphi	\varphi ^{3}=\varphi \times \varphi^{2} =\varphi \times (1+\varphi )=\varphi +\varphi^{2} = \varphi +1+\varphi = \color{red}1 + 2\varphi	\varphi ^{4}=\varphi \times \varphi^{3} =\varphi \times (1+2\varphi )=\varphi +2\varphi^{2} = \varphi +2+2\varphi =\color{red} 2 + 3\varphi	\varphi ^{5}=\varphi \times \varphi^{4} =\varphi \times (2+3\varphi )=2\varphi +3\varphi^{2} = 2\varphi +3+3\varphi =\color{red} 3 + 5\varphi	\varphi ^{n}=\color{red}\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}
Somme des 2 termes précédents		1 =\varphi ^{0}	\varphi ^{0}+\varphi ^{1}=1+ \varphi	\varphi ^{1}+\varphi ^{2}=\varphi+1+\varphi = 1+2\varphi	\varphi ^{2}+\varphi ^{3}=1+\varphi+1 + 2\varphi = 2 + 3\varphi	\varphi ^{3}+\varphi ^{4}=1 + 2\varphi + 2 + 3\varphi =3 + 5\varphi	\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}
Suite d’inverses
L’échelle d’or

   10°/ Le nombre d’or est partout :

On peut retrouver le nombre d’or un peu partout, soit du fait d’une intention humaine, soit pour des raisons logiques :

Le Corbusier (1887-1965) : architecte qui à développé toute une théorie autour de l’harmonie du nombre d’or. Il invente en 1945 le Modulor qui sera son modèle étalon pour la construction des habitations et qui remplace le mètre.  Plus adapté que le système métrique, car il est directement lié à la morphologie humaine. « Modulor » est composé sur « module » et « nombre d’or » car les proportions fixées par le modulor sont directement liées au nombre d’or. Par exemple, le rapport entre la taille (1,83 m) et la hauteur moyenne du nombril (1,13 m) est égal à 1,619, soit le nombre d’or à un millième près. La taille humaine standard d’1,83 mètre est fondée sur l’observation de l’architecture traditionnelle européenne et de l’utilisation des proportions de cette unité pour élaborer l’harmonie d’une architecture.
La phyllotaxie : pour ne pas ce faire de l’ombre les feuilles d’une branche se décalle d’un angle de 137,5°. En effet : 137,5° + 137,5° \varphi = 360°. 80% des plantes respectent cet agencement.
Les pétales de fleurs :  Rares sont les fleurs qui ne comptent pas 5, 8 ou 21 pétales. Il s’agit des nombres de la suite de Fibonacci intimement liée au nombre d’or.
Des constructions humaines : les rapports longueur sur largeur de la carte de crédit (taille standard CR80 : 85,6 cm sur 54 cm), longueur d’un violon sur son corps ou encore hauteur d’un vélo sur hauteur de sa roue.
Pyramide du Louvre : construite sur l’esplanade du Louvre à Paris, par l’architecte Ieoh Ming Pei, elle respecte la proportion du nombre d’or si on mesure sa largeur, sa hauteur et ses arêtes. Si pour la pyramide de Kéops on peut avoir des doutes quand à savoir si les constructeurs on sciemment utilisés le nombre d’or, ce n’est pas le cas ici.
Les logos : les entreprises ont bien comprit le côté subjectif du nombre d’or et elles le font apparaître partout dans leurs logos.
L’art : les peintres recherche l’harmonie et les belles proportions. C’est donc tout naturellement que l’on retrouve la divine proportion dans leurs œuvres.

Il y a des cas contestables, car ce n’est pas parce que le rapport de 2 nombres donne 1,618 que le nombre d’or y est pour quelque chose. Par exemple je mesure 1,89 m pour 55 kg (oui je ne suis pas bien épais …), et bien \frac{89}{55} =1,61818.... \approx \varphi .

Les proportions humaines : la taille d’un homme divisée par la distance du sol au nombril est égal au nombre d’or. La largeur de la bouche divisée par la largeur du nez aussi.
La coudée royale : mesure de référence des architectes égyptiens qui est la longueur du bout du majeur du Pharaon jusqu’à son coude c’est à dire 52,36 cm. Hasard ou coïncidence, si on prend un cercle de 1 unité de diamètre alors son périmètre fera \pi  . La coudée royale sera le sixième de ce périmètre : \frac{\pi }{6} \approx 0,523598... \ unités Il reste \frac{5\pi }{6} \approx 2,61799...\approx \varphi ^{2} \ unités
Le Parthénon : Temple, dédié à la déesse Athéna en 447 av JC, situé sur l’Acropole d’Athènes en Grèce. On peut repérer une multitude de rectangle d’or. Est-ce voulu, ou est-ce simplement parce que la dimension de ce rectangle est très agréable à l’œil ?
La pyramide de Kéops : en triturant toutes les mesures de la pyramide, on peut retrouver le nombre d’or dans de nombreux rapport. De là à affirmer que c’était voulu par les bâtisseurs …
Astronomie : si l’on divise le nombre de jours (terrestres) que la Terre met pour faire sa révolution (sidérale) autour du soleil, par le nombre de jours (terrestres) que Vénus met pour faire sa révolution (sidérale), on obtient comme résultat : le nombre d’or φ (à 99.53%). C’est bien sur une coïncidence et il ne faut pas chercher une intervention divine. La voie lactée a une forme en spirale, peut être celle de Fibonacci.
L’ADN : C’est le Dr ingénieur en mathématique et informatique Jean-Claude Perez qui a découvert la présences du ratio doré sous forme de la suite de fibonacci dans la répartition des bases de notre ADN ! Le rapport de la longueur d’une hélice sur sa largeur est égale au nombre d’or. Vue de dessus, il y a 10 barreaux par pas de l’hélice d’ADN : si qui donne un triangle d’or d’angle 36°.
La nature : en cherchant bien on peut trouver la divine proportion un peu partout dans la nature. Cela semble normal, puisque nous sommes sensible à cette proportion c’est quelle est soit très présente, soit quelle est utile voire parfaite.
La bible : la recherche est un peu tirée par les cheveux. Dans l’Apocalypse selon Saint Jean. Chapitre 13 verset 18 : C’est ici la sagesse ! Que celui qui a de l’intelligence compte le nombre de la bête ; car c’est un nombre l’homme et ce nombre est six cent soixante-six. Chapitre 21 verset 17 : Il en mesura aussi la muraille, de cent quarante-quatre coudées, mesure d’homme, qui est aussi mesure d’ange. Sin(666°) = cos(144°) = \frac{-\varphi }{2}    666 étant le nombre de la bête Rem : 666 = 234 + 432 = 13 x 18 + 3 x 144    234 et 432 sont des nombres miroir, Chapitre 13 verset 18 et 144 la longueur de la muraille.
Le drapeau de l’indépendance du Chili vis-à-vis de l’Espagne signée en 1818. Il est conservé au Musée d’Histoire Nationale de Santiago.. Le drapeau a toujours été conservé dans des musées, sauf pendant une vingtaine d’années. En effet, au début des années 80, il a été « kidnappé » par un commando en signe de protestation contre la dictature d’Augusto Pinochet. C’est ainsi qu’en 1912 on a choisi de simplifier le modèle. À titre de comparaison, vous pouvez voir en bas le design du drapeau de 1818 (à gauche) et celui du drapeau actuel (à droite). Dans ce dernier, la région bleue n’est qu’un carré sur lequel est centrée une étoile dont le diamètre du cercle circonscrit est la moitié du côté du carré. On aboutit de cette façon à un modèle de rapport longueur / largeur égal à 3:2 (comme celui du drapeau français).
On peut réaliser de très beaux dessins avec le nombre d’or. Le nombre d’or est mis en œuvre en cercles, servant de rapport mathématique pour générer des designs esthétiquement agréables. Compte tenu de sa prévalence dans la nature, l’apparence naturelle des résultats n’est pas surprenante. Le Diamant d’Or présente une dissection monomorphe asymptotique du triangle équilatéral. Chaque carreau suit des proportions alignées sur le nombre d’or par rapport au triangle extérieur. Spirale dorée créée à l’aide de triangles équilatéraux. La spirale de Padovan suit une séquence récursive semblable à la séquence de Fibonacci.
La philosophie du Yin Yang est représentée par le « symbole taichi » ( taijitu ). En fait, le Yin Yang est un concept de dualisme , décrivant comment des forces apparemment opposées ou contraires peuvent en réalité être complémentaires, Curieusement, dans le symbole du taichi sont cachés le nombre d’or et son inverse.

11°/ Rapports métalliques :

Le nombre d’or fait partie d’une vaste famille appelée « rapports métalliques » ou « Ratio métalliques ». Ces rapports décrivent une relation récursive entre les côtés d’un rectangle.

Étant donné un rectangle de côtés de longueurs A et B ( avec B > A ), les rapports métalliques satisfont l’équation :

Nombre n Équation Valeur Fraction continue Platine 0 \frac{0+\sqrt{4}}{2} 1   Or 1 \frac{1+\sqrt{5}}{2} 1,618033989 [1;1,1,1…] Argent 2 \frac{2+\sqrt{8}}{2} 2,414213562 [2;2,2,2…] Bronze 3 \frac{3+\sqrt{13}}{2} 3,302775638 [3;3,3,3,…] Cuivre 4 \frac{4+\sqrt{20}}{2} 4,236067978 [4;4,4,4,…] Nickel 5 \frac{5+\sqrt{29}}{2} 5,192582404 [5;5,5,5…] Aluminium 6 \frac{6+\sqrt{40}}{2} 6,162277660 [6;6,6,6…] Fer 7 \frac{7+\sqrt{53}}{2} 7,140054945 [7;7,7,7…] Étain 8 \frac{8+\sqrt{68}}{2} 8,123105626 [8;8,8,8,…] Plomb 9 \frac{9+\sqrt{85}}{2} 9,109772229 [9;9,9,9…]   n \frac{n+\sqrt{4+n^{2}}}{2}

N°/ La somme d’une suite géométrique infinie est finie :

Comment la somme infinie d’une suite de nombre plus petit que un, peut-elle donner un nombre fini ?

O°/ Le nombre un : Pourquoi faire simple quand on peu faire compliqué.

Voici plusieurs façon d’écrire le nombre un.

(sin x)² + (cos x)² = 1	La fameuse équation de trigonométrie.
	Vous pouvez écrire le nombre 1 comme une somme de 48 fractions différentes, où chaque numérateur est 1 et chaque dénominateur est un produit d’exactement deux nombres premiers.
\Huge \frac{\pi^{4}+\pi^{5}}{e^{6}}\approx 1	Cela signifie que ce triangle est presque un triangle rectangle.

P°/ Le nombre e :

Le nombre e est la base des logarithmes naturels, c’est-à-dire le nombre défini par ln ⁡ ( e ) = 1 {\displaystyle \ln(\mathrm {e} )=1}. Cette constante mathématique, également appelée nombre d’Euler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier[b], vaut environ 2,71828.

La décomposition de cette fonction en série entière mène à la définition de e par Euler comme somme de la série :

Ce nombre apparaît aussi comme limite de la suite numérique de terme général ( 1 + 1 n ) n et dans de nombreuses formules en analyse telles que l’identité d’Euler e ^{i π} = − 1  ou la formule de Stirling qui donne un équivalent de la factorielle. Il intervient aussi en théorie des probabilités ou en combinatoire.

Euler démontre en 1737 que e est irrationnel, donc que son développement décimal n’est pas périodique, et en donne une première approximation avec 23 décimales. Il explicite pour cela son développement en fraction continue. En 1873, Charles Hermite montre que le nombre e est même transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est racine d’aucun polynôme non nul à coefficients entiers.

Mais le plus improbable, c’est que l’on retrouve cette constante e dans la croissance continue.
Si le prix d’un tonneau de blé à 100 euros augmente de 50 %, il se retrouve à 150 euros ; et s’il augmente à nouveau de 50 %, le voilà à 225 euros. La deuxième augmentation (+ 75 euros) est plus élevée que la première (+ 50 euros) car elle s’applique au prix ayant déjà été augmenté. Bref, deux augmentations de 50 % font une augmentation de 125 %. Autrement dit, le prix final n’a pas été multiplié par 2, mais par 2,25.

Continuons d’affiner notre processus :
Imaginez maintenant que le prix du tonneau de blé augmente de 10 % tous les dixièmes de mois, c’est-à-dire en gros tous les trois jours. Cela signifie qu’à la fin du mois il aura subi dix augmentations d’un dixième, c’est-à-dire dix multiplications successives par 1,1. Au total, il aura donc été multiplié par 1,110 qui est approximativement égal à 2,59.
Si maintenant cette quantité avait subi 100 augmentations d’un centième, elle serait multipliée par 1,01100 qui vaut environ 2,705 à la fin du mois.
Et si nous précisons encore, 1 000 augmentations d’un millième auraient produit une multiplication par 2,717. Ces informations sont condensées dans le tableau suivant.

Autrement dit, lorsqu’une somme augmente n fois de n%, cela revient a multiplier cette somme par la constante e.

Lorsqu’elle présenta son introduction en Bourse, la société Google, folie des grandeurs oblige, décida symboliquement de lever 2 718 281 828 dollars, soit e milliards de dollars, arrondi à l’unité.

Pour effectuer de très grosses multiplications vous utilisez une machine à calculer, mais elle va très vite être limitée. Voici une calculatrice qui ne vous laissera pas en plan !!

En ligne, voici une autre calculatrice : https://www.dcode.fr/multiplication-grands-nombres

A°/ Les très grosses multiplications : La multiplication Grecque ou Italienne :
B°/ Les très grosses divisions :
C°/ La méthode mentale du rectangle : calcul mental
D°/ Trouver le dernier chiffre d’un quotient :
E°/ Méthode manuelle pour effectuer les multiplications :
F°/ Différentes méthodes de multiplication :

1°/ Multiplication babylonienne (Somme de carrés en Mésopotamie)
2°/ Multiplication égyptienne :
3°/ Multiplication Russe :
4°/ La multiplication per Gelosia Grecque ou Italienne :
5°/ Méthode des lignes : multiplication Japonaise
6°/ Méthode des cercles :
7°/ Méthode des bâtons de Neper dit aussi de Napier :

G°/ Multiplication de 2 nombres proches de 100 :
H°/ Tables de multiplication façon modulo :
I°/ Des simplifications bizarres :
J°/ Décomposition en facteur premiers :
K°/ La notation Polonaise :

A°/ Les très grosses multiplications : La multiplication Grecque ou Italienne

A l’aide d’une machine à calculer, si l’on effectue la multiplication de 987 654 × 745 321, la machine à calculer nous donnera le résultat suivant : 7,361 192 669 × 10¹¹, c’est-à-dire approximativement 736 119 000 000. En effet son écran est limité à certain nombre de caractères, en général 17 chiffres, et elle préfère donner la réponse sous forme scientifique.

Comment trouver les six derniers chiffres exactement ?

Bien sûr, si on utilise la calculatrice de Windows, on obtiendra la valeur exacte car elle n’est ps limiter par le nombre de caractères : 987 654 × 745 321 =  736 119 266 934

Pour comprendre comment utiliser une calculatrice, qui ne sait multiplier que des nombres de trois chiffres (par exemple), pour faire des multiplications de nombres composés de nombreux chiffres, il suffit de se rappeler comment on fait soi-même des multiplications de plusieurs chiffres alors qu’on ne sait que la table des produits de un chiffre. Ainsi, pour effectuer la multiplication de 57 × 46, on utilise la technique écrite suivante :

Cette merveilleuse technique nommée aussi italienne ou grecque qui nous vient d’Orient est utilisée au XVème siècle par le mathématicien arabe Al kasi, . Mais on la trouve beaucoup plus tôt chez les arabes aux alentours du XIIIe siècle (multiplication par le quadrillage ou par le tableau). Elle serait aussi dans un ouvrage de Fibonacci de 1202.

A la fin du Moyen-Age la technique fut surnommée « per gelosia ».

Ce nom fait allusion à la pièce en bois qui équipait certaines « fenêtres à jalousie » en Italie chez les maris jaloux. Ils voulaient bien que leur femme regarde ce qui se passe dans la rue, sans que les hommes qui s’y trouvaient puissent les voir.

Cette technique a fini par donner notre algorithme de multiplication.

Il faut écrire le multiplicande en haut et horizontalement, et le multiplicateur à droite et verticalement.

Pour les petites multiplications, on multiplie les chiffres des unités que l’on note dans la case supérieure à droite, la dizaine dans la partie supérieure de cette case, les unités dans la partie inférieure (la case est divisée en 2 par la diagonale). Et ainsi de suite.

B°/ Les très grosses divisions :

C°/ La méthode mentale du rectangle : calcul mental

Voici une méthode qui va nous permettre de simplifier la plupart des multiplications de 2 nombres.

Soit la multiplication de A par B. Le but du jeu est de trouver un nombre R, proche de A et B, et qui de plus soit simple a multiplier comme un multiple de 10 par exemple.

Ainsi : A × B = ( R + a ) × ( R + b ) = R² + Rb + aR + ab = R × ( R + a + b ) + ab

L’astuce est de placer les 4 nombres sur un rectangle. Le produit de A par B devient donc la somme du produit de R ( qui est simple à multiplier ), par R + a + b ( qui l’est un peu moins s’est vrai ) et de ab.

On peut fabriquer un tour de magie assez impressionnant en améliorant cette méthode. Affirmer que vous êtes capable de multiplier très rapidement 2 nombres de 2 chiffres.

Demandez à quelqu’un de choisir un nombre à deux chiffres et proposez le deuxième. L’astuce consiste à choisir un nombre de la même dizaine et dont l’unité est le complément à 10.

Par exemple 52 et 58 car 8 = 10 – 2.

Le produit de 2 nombres sera un nombre de 4 chiffres dont les 2 premiers seront le produit du chiffre des dizaines fois son suivant, et les 2 derniers chiffres seront le produit des unités des 2 chiffres : (10d + u) x (10d + (10-u)) = d(d + 1)100 + u(10 – u).

52 x 58 = 3016 en effet : 5×6 = 30 et 2×8 = 16

La démonstration de ce prodige est assez simple : Soit (10d + u) le premier nombre alors le second sera 10d + (10-u)

(10d + u) x (10d + (10-u)) = 100d² + 100d – 10du + 10ud + 10u – u² = 100d² + 100d + 10u – u² = 100(d² + d) + u(10 – u)
= d(d + 1)100 + u(10 – u)
Avec : d = chifre des dizaines
d+1 = chiffre des dizaines suivantes
u = chiffre des unités
10 – u = complément à 10 du chiffre des unités

Exemples :

Cependant votre interlocuteur peut se rendre compte de votre manipulation, alors voici une variante : il faudra prendre le second nombre pour qu’il soit le complément du premier par rapport à la dizaine la plus proche. Par exemple 52 et 48 : 52 est à 2 unités de 50 ainsi que 48 mais dans l’autre sens.

Le produit de 2 nombres dont R est la dizaine la plus proche et k les unités d’écart, sera le R² – k².

La démonstration : Soit A le premier nombre qui est au-dessus du nombre R de k unités, alors le second sera B qui est au-dessous du nombre R de k unités. On aura :

A = R + k  ainsi : A x B = (R + k) x (R – k) = R² – k²
B = R – k

Exemples :

D°/ Trouver le dernier chiffre d’un quotient :

Si le diviseur d’une division se termine par 1, 3, 7 ou 9, on peut trouver facilement le dernier chiffre du quotient.

E°/ Méthode manuelle pour effectuer les multiplications :

Il existe un truc infaillible pour trouver les produits de nombres strictement plus grands que 5, quand on connaît ses tables jusqu’à 5.

Il suffit de jouer avec ses doigts.

Les doigts sont numérotés de 6 à 10 à partir du pouce sur chaque main.
On fait se toucher les deux doigts correspondant aux nombres désirés.
Le nombre de doigts qui se touchent ajouté à ceux qui sont en-dessous donne des dizaines.
Le nombre de doigts du dessus à gauche multiplié par le nombre de doigts du dessus à droite, donne des unités.On ajoute alors toutes les unités obtenues.

Compliqué ? Non, regardons bien ci-dessous.

F°/ Différentes méthodes de multiplication :

F-1°/ Multiplication babylonienne (Somme de carrés en Mésopotamie):

Par exemple :

25 x 20 = (20 + 5) x 20 = 20 x 20 + 5 x 20 = 20² + 5 x 5 x 4 = 20² + 4 x 5² = 400 + 4 x 25 = 500
36 x 28 = (28 + 8) x 28 = 28² + 8 x (3 x 8 + 4) = 28² + 3 x 8² + 2 x 4² = 844 + 3 x 64 + 2 x 16 = 1 008

F-2°/ Multiplication égyptienne :

Bien sûr cette multiplication des commerçants du Nil marche toujours ! Elle a l’énorme avantage de n’utiliser que la table de deux.

Pour faire 458 × 25, on effectue toutes les multiplications du multiplicande M = 458 par tous les multiples m de 2, de 2⁰ à 2ⁿ. Il suffit de doubler les résultats à partir de la multiplication par 1, ce qui est simple.

Ensuite on cherche une somme qui donne le multiplicateur m = 25 en additionnant les multiplicateurs p de 458. En lisant Mod(M/2) en partant d’en bas, on obtient l’écriture binaire de m (25 s’écrit 11001 en binaire).

C’est long mais il ne faut maitriser que la table de 2 et l’addition. L’explication tient dans la possibilité de décomposer un nombre en somme de puissances de 2.

F-3°/ Multiplication Russe :

Cette multiplication a l’énorme avantage de n’utiliser que la table de deux. Elle très semblable à la Multiplication égyptienne.

Pour passer d’une ligne à la suivante on double le multiplicande M et divise le multiplicateur m par 2 en arrondissant à l’entier inférieur jusqu’à 1.

Tout irait parfaitement bien si les nombres étaient tous pairs…
On ajoute donc les produits de M qui sont multipliés par un m impair pour rattraper les pertes dues aux multiplications par des nombres impairs.

Plaçons 1 en face des lignes correspondant à une multiplication par un nombre impair et 0 devant les autres. Si maintenant nous relisons de bas en haut les chiffres 1 et 0, nous obtenons l’écriture binaire du nombre 25 par lequel nous avons multiplié 458. En effet 25 s’écrit 111 en binaire.

C’est long mais il ne faut maitriser que la table de 2 et l’addition. L’explication tient dans la possibilité de décomposer un nombre en somme de puissances de 2.

F-4°/ La multiplication per Gelosia Grecque ou Italienne :

F-5°/ Méthode des lignes : multiplication Japonaise

Cette technique amusante ne fait apparemment intervenir aucune table de multiplication.

On trace horizontalement et verticalement le nombre de lignes ou de colonnes correspondant au chiffre indiqué en haut ou à droite. Ensuite comme pour la technique à la grecque, il suffit de compter les points en diagonale. Les retenues éventuelles sont reportées sur la diagonale de gauche. En comptant le nombre de croix d’un rectangle de n lignes sur m colonnes, on redéfinit tout simplement la multiplication n x m.

F-6°/ Méthode des cercles :

Même méthode que celle avec les traits, mais avec des cercles !!

F-7°/ Méthode des bâtons de Neper dit aussi de Napier :

John Napier, parfois francisé en Jean Neper, né le 1^er février 1550 et mort le 4 avril 1617, est un théologien, physicien, astronome et mathématicien écossais.
Il a inventé les bâtons de Napier, ou réglettes de Neper est un abaque facilitant le calcul des produits, quotients, puissances et racines.

Pour la multiplication, la règle est simple :

Les réglettes de Napier sont constituées d’une série de barres verticales numérotées qui représente chacune une table de multiplication; ainsi nous avons 9 réglettes déclinant les tables de 1 jusqu’à la table de 9. Ces résultats sont affichés sur des cases séparées par des diagonales, et de part et d’autre de ces diagonales, sont représentés les chiffres des dizaines et des unités.

Ces réglettes mobiles, permettent de poser des opérations de multiplication en alignant une successions de réglettes pour composer le nombre souhaité : en alignant les réglettes 1, 2 et 3, nous considérons le nombre 123. Nous pouvons ainsi librement aligner les réglettes de notre choix pour former un nombre dans les dizaines, centaines, milliers etc…   Pour lire le résultats, il faut additionner, sur la ligne souhaitée, les chiffres en diagonale, en tenant compte des retenues , ce qui revient à des additions de chiffres simples pour obtenir le résultat.. Pour le produit 123 x 4, nous regardons la ligne 4 : nous avons ainsi (centaines = 4+0 = 4), (dizaines 8+1 = 9), (unités = 2), résultat 492

Voici deux petites animations qui vous permettront de vous entrainer :

G°/ Multiplication de 2 nombres proches de 100 :

Explications :

1ier nombre = 100 – a

2ième nombre = 100 – b

(100 – a) × (100 – b) = 10 000 – 100b – 100a + ab

= 10 000 – 100(a + b) + ab

= 100[100 – (a + b)] +ab

Vérification :

97 × 96 = 9 312

(100 – 3) × (100 – 4) = 100[100 – (3+4)] + 3 × 4

= 100 × 93 + 12

= 9 312

H°/ Tables de multiplication façon modulo :

Je vais vous expliquer les tables de multiplication d’une façon tout à fait différente.
Il s’agit de visualiser les tables à l’aide de segments dans un cercle.

L’idée de base de l’arithmétique modulaire est de travailler non sur les nombres eux-mêmes, mais sur les restes de leur division par un nombre.
Par exemple, s’il est 16h52 et que j’attends 15 minutes, il sera 17h07, autrement dit 52+15=7 dans l’arithmétique à base 60 des minutes.

Ce que nous en écrivons, en mathématiques : 52 + 15 ≡ 7 (mod. 60) autrement dit dans 67/60 il reste 7. En effet : 67/60 = 1 et il reste bien 7.

et que nous lisons : « 52 plus 15 est congru à 7 modulo 60 ».

Pourquoi congru ? En latin, congruens signifie « qui s’accorde ».
Pourquoi modulo ? Il s’agit de l’ablatif du nom latin modulus, qui signifie « mesure ».

On peut visualiser les tables de multiplication en utilisant le modulo des nombres.

Voici une explication détaillée : Cliquez sur l’image pour lancer la vidéo ou le programme.

Superbe vidéo de Mickaël Launay de sa chaine Youtube.	Programme Scratch qui explique tout.

I°/ Des simplifications bizarres :

Pour simplifier des fractions la règle est simple. Il faut diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre.

Il y a bien quelques élèves qui comprennent que l’on peut éliminer le même chiffre en « haut » et en « bas » et qui se permettent d’écrire :

\frac{15}{21} = \frac{\cancel{1}5}{2 \cancel{1}}=\frac{5}{2} Mais c’est totalement faux.

Quoiqu’il existe des cas où cela fonctionne :

Pourvu que mes élèves ne tombent pas sur cet article, ce sera la révolution dans la classe !!!

J°/ Décomposition en facteur premiers :

Voici une très belle animation qui montre visuellement la décomposition des nombres en facteurs premier.

K°/ La notation Polonaise :

Nous sommes parfois si habitués à certaines conventions humaines que nous finissons par en oublier que nous aurions pu faire autrement. Ainsi, notre façon d’écrire un calcul aussi simple que 1 + 1 n’a rien d’obligatoire.

L’une des plus fameuses alternatives se nomme « la notation polonaise » et fut inventée en 1924 par le mathématicien (polonais) Jan Łukasiewicz. Dans ce système, l’addition précédente se note « + 1 1 ». Autrement dit, le symbole d’opération ne vient pas se placer entre les deux nombres, mais avant eux. De la même façon, le calcul que nous notons « 2 × (3 + 4) » se notera « × 2 + 3 4 » en notation polonaise.

L’intérêt principal de cette méthode est lever toute ambiguïté sur l’ordre dans lequel effectuer les opérations et de rendre obsolète l’usage des parenthèses. 

Mais avec l’apparition des ordinateurs, une variante de la notation Polonaise a vu le jour : la notation Polonaise inversée ou NPI. Les opérations seront à présent écrites après les nombres. Pour ne pas confondre 3 + 4 avec 34 il faudra laisser un espace entre les deux chiffres ou faire « Enter » sur une machine à calculer (symboliser par ↑ ).

Voici un site pour expérimenter cette NPI ou alors une calculatrice NPI.

A°/ Multiplication de carrés :
B°/ Nombres automorphes et miroirs :
C°/ Des carrés bizarres :
D°/ Trouver de tête des carrés et des racines carrées :
E°/ Trouver de tête des cubes et des racines cubiques :
F°/ Trouver une racine cinquième :
G°/ Bonjour les racines carrées :
H°/ Les nombres p-adiques :
I°/ \sqrt{2} est irrationnel :
J°/ Racines continues : Racines (ou radicaux) emboîtées ou imbriqués
K°/ Le carré et le cube de 69 :
L°/ Cercle « carré » parfait :

A° / Multiplication de carrés :

1 × 2 × 3 × 4 = 24 = (5² – 1)

de même: 2 × 3 × 4 × 5 = 120 = (11² – 1)

Est-il toujours vrai qu’en multipliant 4 nombres successifs on obtienne un carré moins 1 ?

Solution de l’énigme:

La réponse est OUI !!

(y – 1 ) × y × (y + 1) × (y + 2) + 1 = (y² + y – 1)²

Démonstration : (y – 1) × y × (y + 1) × (y + 2) = (y² + y)(y² + y – 2)

. = [(y² + y – 1) + 1][(y² + y – 1) – 1]

. = (y² + y – 1)² – 1

B°/ Nombres automorphes et miroirs :

Nombres automorphes : nombre qui apparaît à la fin de son carré.

exemple:

5² = 25

6² = 36

25² = 625

76² = 5776

Il n’existe que 2 nombres automorphes à 3 chiffres.

Quels sont-ils ?

Solution de l’énigme : 376² = 141376 et 625²=390625

Carrés miroirs : si on inverses les chiffres d’un carré ou retrouve un autre carré.
10² = 100 <-> 001 = 01²
11²  = 121  <->  121 = 11²
12² = 144 <-> 441 = 21²
13² = 169 <-> 961 = 31²

C°/ Des carrés bizarres :

. 1 / Une somme bizarre :

Il existe des nombres qui ont la particularité suivante:

Le nombre additionné du même nombre écrit dans l’ordre inverse donne un carré parfait.

Exemple : 440 + 044 = 22²

Il en existe 3 autres de 3 chiffres. Quels sont-ils ?

De Même il en existe 2 de 5 chiffres. Quels sont-ils ?

Solution de l’énigme:

990 + 099 = 33²

198 + 891 = 33²

396 + 693 = 33²

65340 + 04356 = 264²

53361 + 16335 = 264²

. 2 / Une division infaisable :

Voici une fraction proposée par S. Ratchinski, professeur de sciences naturelles, qui avait renoncé à sa chaire à l’Université de Moscou en 1895, pour de venir un simple maître d’école.

Que vaut :

Cette fraction est vraiment difficile à faire de tête, mais les nombres 10, 11, 12, 13 et 14, ont une propriété intéressante :

10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 100 + 121 + 144 = 365

ainsi :

. 3 / Cercle « carré » parfait :

Les nombres 1 à 32 sont placés le long d’un cercle sans répéter aucun nombre et pourtant la somme de deux nombres adjacents dans ce cercle est un carré parfait !

D°/ Trouver de tête des carrés et des racines carrées :

. 1 / Trouver un carré connaissant le précédent : la méthode de Zorro

Pour connaître le carré d’un nombre (n + 1), il suffit de connaître le carré du nombre n précédent. Pour cela, il suffit d’additionner le carré n² au nombre n et à son suivant ( n + 1) :  ( n + 1 )² = n² + 2n + 1 = n² + n + ( n + 1)En effet :3² = 2 + 2² + (2+1) = 2 + 4 + 3 = 910² = 9 + 9² + (9+1) = 9 + 81 + 10 = 100Sur le tableau des carrés on remarque que cette addition forme le Z de Zorro !!!

. 2 / Trouver le carré d’un nombre dont le chiffre des unités est 5 :

Pour trouver le carré d’un nombre n dont le chiffre des unités est 5, il suffit de multiplier le nombre de dizaines de n par le nombre suivant et d’ajouter 25.

Exemple :

Si on a : n = 10d + 5 alors : (10d + 5)² = (10d)² + 2x10dx5 + 5² = 100d² + 100d + 25 = 100d(d+1) + 25

Le résultat a pour nombre de centaines le produit d(d+1) c‘est à dire le nombre de dizaines de n par le nombre suivant, et on écrit 25 à droite du produit d(d+1).

. 3 / Trouver un carré par la méthode du rectangle :

Allez voir ici : chapitre c/

. 4 / Trouver mentalement une racine carrée :

Connaissant le carré n² d’un nombre n ( si n²< 1 000 000 ), on peut retrouver le nombre n, c’est-à-dire la racine carrée de n².

– Après avoir enlever les 2 derniers chiffres de n², chercher le carré parfait juste inférieur au nombre obtenu. La racine carrée de ce carré donne le chiffre des dizaines de n.

– Le dernier chiffre de n² ne peut correspondre qu’à deux chiffres maximums donnant le dernier chiffre de n :

Exemple : n² = 6 561 → 6 400 > 6 561 > 8 100 ( ou 64 > 65 > 81 )

. → 8² > 65 > 9²

9² étant trop grand, le chiffre des dizaines de n est 8.

Le dernier chiffre de n² étant 1, le dernier chiffre de n ne peut être que 1 ou 9. Or 85² = 7 225 (Allez voir ici : chapitre c/ ), donc trop grand pour n², ainsi que 89².

Ainsi n est égal à 81.

. 5 / L’extraction d’une racine carrée à la main : A la manière de nos grand parents.

. 6 / L’extraction d’une racine carrée à la main par soustractions : La méthode du compte-goutte

Pour avoir la racine carrée d’un nombre qui est un carré parfait, on soustrait la suite des nombres impairs à partir de 1, jusqu’à l’obtention d’un résultat nul. En effet, pour passer d’un carré au suivant il suffit d’ajouter un impair :

1² = 1 = 0 + 1

2² = 4 = 1 + 3

3² = 9 = 4 + 5

4² = 16 = 9 + 7

On compte alors le nombre d’entiers enlevés. Le résultat donne la racine carrée.

16 – 1 = 15

15 – 3 = 12 Il y a 4 soustractions

12 – 5 = 7 Donc la racine carrée de 16 est 4.

7 – 7 = 0

Pour avoir la racine carrée d’un nombre quelconque, on procède de même jusqu’à ce qu’on ne puisse plus obtenir un nombre positif. On compte le nombre d’entiers enlevés et l’on a une valeur approchée à une unité près par défaut, du résultat.

106 – 1 = 105

105 – 3 = 102

102 – 5 = 97

97 – 7 = 90 Il y a 10 soustractions

90 – 9 = 81 Donc la racine carrée de 106 est 10 à 1 près par défaut.

81 – 11 = 70

70 – 13 = 57

57 – 15 = 42

Évidemment nos calculettes sont plus rapides et efficaces, mais ce procédé très ancien reste très simple.

42 – 17 = 25

25 – 19 = 6

Une variante : La méthode du compte-goutte :

Cherchons la racine carrée de 2 137
1. On partage le nombre dont on recherche la racine par paquets de 2 chiffres en partant de la droite (le dernier paquet possède donc 1 ou 2 chiffres) en partant de la virgule : 21 37, 00 00
2. Du premier groupe 21, on ôte les premiers nombres impairs. Nous avons effectués quatre soustractions, le premier chiffre de la racine est donc un 4.	21 – 1 – 3 – 5 – 7 = 5
3. On prend le dernier résultat 5 et on lui « colle » la suite 37 du nombre de départ.	5 × 100 + 37 = 537
4. On multiplie le dernier impair 7 de la soustraction précédente par 10 et on ajoute 11.	7 × 10 + 11 = 81
5. On soustrait à 537 les impairs à partir de 81. Nous avons effectués 6 soustractions, le deuxième chiffre de la racine est donc 6. 46 à l’unité prés.	537 – 81 – 83 – 85 – 87 – 89 – 91 = 21
6. On peut continuer. On multiplie le dernier impair 91 de la soustraction précédente par 10 et on ajoute 11.	91 × 10 + 11 = 921
7. On prend le dernier résultat 21 et on lui « colle » la suite 00 du nombre de départ. On soustrait les impairs à partir de 921. Nous avons effectués 2 soustractions, la 1ière décimale de la racine est donc 2. 46,2 au dixième prés.	2100 – 921 – 923 = 256
8. On continue. Nous avons effectués 2 soustractions, la 2ième décimale de la racine est donc 2. 46,22 au centième prés.	923 × 10 + 11 = 9241 25600 – 9241 – 9243 = 7116

Voici un fichier Excel pour vérifier : Racine carrée compte goutte (Fichier à télécharger ou cliquez sur la flèche en haut à droite de la page excel ci-dessous pour l’ouvrir dans Microsoft Office Online)

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. 7 / L’extraction d’une racine carrée : Algorithme de Héron d’Alexandrie

L’algorithme de héron d’Alexandrie est un algorithme très ancien (premier siècle) qui permet de calculer avec une très grande précision (convergente quadratique) une racine carrée.

Voici un fichier Excel pour manipuler : Algorithme de Heron d’Alexandrie (Fichier à télécharger ou cliquez sur la flèche en haut à droite de la page excel ci-dessous pour l’ouvrir dans Microsoft Office Online)

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. 8/ L’extraction d’une racine carrée à la règle et au compas :

Cette méthode très simple est attribuée à Descartes. Elle nécessite seulement une règle et un compas.

Si on cherche la racine carrée d’un nombre n, il suffit :

– de tracer un demi-cercle de diamètre 1+n, donc de rayon (1+n)/2

– tracer un diamètre [FH] de ce cercle

– marquer sur le diamètre le point G tel que GF = 1

– tracer la perpendiculaire en G au diamètre [FH].

Cette perpendiculaire coupe le cercle en I. IG a pour mesure la racine carrée de n.

Dans le triangle IFG rectangle en G. D’après le théorème de Pythagore. IF² = IG² + FG²Dans le triangle IGH rectangle en G. D’après le théorème de Pythagore.I H² = IG² + GH²Dans le triangle IFH rectangle en I. D’après le théorème de Pythagore. FH² = IF² + IH²Donc : 2IG² = IF² – FG² + IH² – GH² = FH² – FG² – GH² = (FG + GH)² – FG² – GH² . 2IG² = FG² + 2FG × GH + GH² – FG² – GH² . 2IG² = 2FG × GH . FG x GH = IG²Avec : FG = 1, nous obtenons GH = IG² Le nombre IG a pour carré GH. Donc IG est la racine carrée de GH.

. 9/ L’escargot de Pythagore :

On part d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont de longueur 1. Par application du théorème de Pythagore, son hypoténuse a pour longueur \sqrt{2}. On trace un nouveau triangle rectangle à partir de cette hypoténuse de longueur \sqrt{2}, l’autre côté de l’angle droit est à nouveau de longueur 1. La nouvelle hypoténuse mesure \sqrt{3}. On peut alors réitérer la construction, en construisant à chaque fois un nouveau triangle rectangle dont un des côtés de l’angle droit est l’hypoténuse du triangle rectangle précédent, l’autre côté de l’angle droit ayant pour longueur 1. Les longueurs des hypoténuses des triangles rectangles ainsi obtenus sont les racines carrées des entiers consécutifs. En généralisant ce principe, un triangle avec les côtés adjacents à l’angle droit de longueur \sqrt{n} et 1 a une hypoténuse de longueur  \sqrt{n+1}.

. 10/ Les dents de requin :

Dans un repère orthonormé on trace les droites y = 0 et y = 1, puis : le cercle de centre (0;0) et de rayon 1 : on obtient le point (\sqrt{1}=1 ; 0) le cercle de centre (0;1) et passant par (\sqrt{1}=1 ; 0) : on obtient (\sqrt{2} ; 1) le cercle de centre (0;0) et passant par (\sqrt{2} ; 1) : on obtient (\sqrt{3} ; 0) le cercle de centre (0;1) et passant par (\sqrt{3} ; 0) : on obtient (\sqrt{4}=2 ; 1) le cercle de centre (0;0) et passant par (\sqrt{4}=2 ; 1) : on obtient (\sqrt{5} ; 0)

E°/ Trouver de tête des cubes et des racines cubiques :

. 1 / Trouver mentalement une racine cubique :

Connaissant le cube n³ d’un nombre n ( si n³< 1 000 000 ), on peut retrouver le nombre n, c’est-à-dire la racine cubique de n³.

– Après avoir enlevé les 3 derniers chiffres de n³, chercher le cube parfait juste inférieur au nombre obtenu. La racine cubique de ce cube donne le chiffre des dizaines de n. Il faut bien sur connaître les cubes de 0 à 9.

– Le dernier chiffre de n³ ne peut correspondre qu’à un seul chiffre inférieur à 10, donnant le dernier chiffre de n. Pour 0, 1, 4, 5, 6 et 9 le dernier chiffre de n³ est le même que pour n. Pour 2, 3, 7 et 8 il faut faire la soustraction de 10 et de ce chiffre :

Exemple : n³ = 636 056 → 512 > 636 > 729

. → 8³ > 636 > 9³

9³ étant trop grand, le chiffre des dizaines de n est 8.

Le dernier chiffre de n³ étant 6, le dernier chiffre de n ne peut être que 6.

Ainsi n est égal à 86.

. 2/ L’extraction d’une racine cubique : A la manière de nos grand pères.

Le principe ressemble à celui de l’extraction de la racine carrée.

Exemple : Extrayons la racine cubique de 97 652 328

On découpe le nombre de 3 en 3 en partant de la droite 97 652 328. Puis on cherche le nombre dont le cube est le plus proche par défaut de 97. C’est 4 dont le cube est 64. On soustrait 64.
On cherche alors le plus grand nombre a tel que ( 30 x 4a x 4 + a2 ) x a <= 33 652 Rem : 4a est le nombre constitué de 4 dizaines et de a unités.
On cherche alors le plus grand nombre a tel que ( 30 x 46a x 46 + a2 ) x a <= 33 652 Rem : 46a est le nombre constitué de 46 dizaines et de a unités.

Finalement la racine cubique de 97 652 328 est 460 à 1 unité près par défaut.
On peut vérifier le résultat en l’élevant à la puissance 3 ou sur calculette en calculant 97 652 328 à la puissance (1/3)

. 3/ L’extraction d’une racine cubique avec 2 équerres :

Le principe repose sur les propriétés de la hauteur du triangle rectangle.     Dans le triangle rectangle AB’A’ : OB’² = OA × OA’ (1) Dans le triangle rectangle BA’B’ : OA’² = OB × OB’ et comme OB=1, on a : OA’² = OB’ Donc : OA’ 4 = OB’² (2) En utilisant (1) et (2) on obtient : OA’ 4 = OB’² = OA × OA’ Donc : OA’ 3 = OA Et OA’ est bien la racine cubique de OA.

Pour construire un tel appareil :

– AA’ doit être gradué.
– Points fixes : OB = 1cm et les équerres
– Points mobiles : A et A’- Points reliés et alignés mais articulés : C, B’, A’ et G.
– Une baguette fixe (H) sur (OB)

Si OB = 1cm est trop petit, prendre : OB = 8cm et les graduations sur OA 4 fois plus petites que sur OA’.

OA’² = OB × OB’ = 8OB → OA’ ⁴ = 64OB’² = 64 OA × OA’
. → OA’ ³ = 64OA = 4³OA
.

. 4/ L’extraction d’une racine cubique par une abaque :

L’abaque suivant permet de calculer facilement les cubes des nombres entiers par des additions. Les flèches sont des additions.

F°/ Trouver une racine cinquième :

Connaissant la puissance cinquième n⁵ d’un nombre n de deux chiffres, il est possible de retrouver la racine cinquième de ce nombre n⁵ sans machines à calculer.

– La puissance cinquième n⁵ et n ont exactement le même chiffre des unités.

– Pour trouver le chiffre des dizaines de n, il suffit de connaître par cœur le tableau ci-dessous : supprimer les cinq derniers chiffres de la puissance cinquième n⁵, et regarder où se place le nombre alors obtenu dans le tableau (on peut apprendre par cœur l’ordre de grandeur). La borne inférieure de a donne alors le chiffre des dizaines de n.

a	a5	Ordre de grandeur de a5
1	1	1	Exemple : n5 = 6 436 343 →     32 > 64 > 243 → 32 nous donne 2 comme chiffre des dizaines
2	32	30
3	243	250
4	1 024	1 000
5	3 125	3 000
6	7 776	8 000
7	16 806	17 000
8	32 768	33 000
9	59 049	60 000

G°/ Bonjour les racines carrées :

1/ La formule du bicentenaire :

2/ Quel calcul !

Combien fait ce calcul démentiel ?

L’astuce consiste a utiliser la forme conjuguée du dénominateur :

Ainsi en simplifiant :

H°/ Les nombres p-adiques :

Les nombres p-adiques sont des nombres qui, contrairement aux nombres usuels, possèdent une infinité de chiffres avant la virgule et éventuellement un nombre fini après.

Prenons le nombre 5 et élevons-le au carré. Puis recommençons à l’élever au carré un nombre infini de fois. Et bien nous obtenons un nombre p-adique qui a la particularité de ce terminer par les mêmes chiffres.

De même, si on prend 2 comme nombre de départ et qu’on l’élève à la puissance 5 de façon successive, on observe le même phénomène.

Un outil pour calculer les très grandes puissances qui sont inaccessibles aux calculatrices : https://www.dcode.fr/calcul-exponentiation

I°/ \sqrt{2} est irrationnel :

YBC_7289

la longueur du côté du carré vaut c’est à dire 30. Un autre nombre apparait et il vaut c’est à dire \sqrt{2} 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 ≈ 1,41421296 (correct à 5 décimales) \sqrt{2} correspond à la longueur d’une diagonale d’un carré de côté 1 unité. La diagonale horizontale vaut c’est à dire , c’est à dire 30 fois \sqrt{2}. 42 + 25/60 + 35/602 ≈ 42,426389 (correct à 3 décimales) Rien n’indique que les scribes Babyloniens avaient une idée du caractère irrationnel de ce nombre. Cette tablette reste remarquable quand on pense qu’il faudra attendre encore plus de 12 siècles avant de voir réapparaître \sqrt{2} chez les Grecs. Pour rappel les Babyloniens compter en base 60, donc : = 42; 25; 35 cad 42 + 25/60 + 35/602 ≈ 42,426389

Démontrons à présent que \sqrt{2} est irrationnel.

a/ 1^ière méthode :

Si \sqrt{2} était rationnel il s’écrirait sous la forme d’une fraction irréductible de 2 nombres entiers :

Cependant si a et b sont pairs on peut les simplifier, ce qui contredit la proposition initiale qui stipulait que \frac{a}{b} était une fraction irréductible.

b/ 2^ième méthode :

Si \sqrt{2} était rationnel il s’écrirait sous la forme d’une fraction irréductible de 2 nombres entiers :

\sqrt{2}=\frac{a}{b} et comme \sqrt{2}\approx 1,41... on sait que : 1 < \sqrt{2}<2
\frac{a}{b} > 1  donc a > b et  \frac{a}{b}  < 2   donc a < 2b en faisant passer b de l’autre côté de l’inéquation.

Donc : b < a < 2b

Posons : c = 2b – a           c’est-à-dire les écarts de a avec b et 2b

.             d = a – b

On peut aussi faire autrement :

Calculons : c² – 2d² = (2b – a)² – 2(a – b)² = 4b² – 4ab + a² – 2a² + 4ab – 2b² = -a² + 2b² = b^{2}(\frac{-a^{2}}{b^{2}}+2)=b^{2}(- \sqrt{2}^{2}+2)=b^{2}\times 0=0

Donc : c² – 2d² = 0 donc : \frac{c^{2}}{d^{2}}=2 et alors : \frac{c}{d}=\sqrt{2}

Comparons b et d : on sait que a < 2b donc a – b < 2b – b et enfin :
d < b

Donc : \sqrt{2} = \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=...

avec : b > d > f

On vient d’écrire \sqrt{2} comme une suite de fraction dont le
dénominateur est de plus en plus petit, ce qui est impossible

J°/ Racines itératives de Ramanujan : Racines emboîtées ou imbriqués

Il existe des racines continues, suite de radicaux emboîtés, qui finissent par donner des valeurs très particulières.

Par exemple avec la \sqrt{2} :

Ainsi on obtient toujours le nombre 2, quelque soit la longueur du calcul.

On peut généraliser cet exploit avec n’importe quel nombre entier n, en utilisant la formule suivante : posons r = n( n – 1)

Ainsi :

Mais on peut trouver des racines imbriquées encore plus terrifiantes qui donnent pourtant des résultats tout à fait simples :

Ce sont des formules découvertes par le génial Mathématicien Indien Ramanujan :

Il suffit de remplacer n par 1 et on retrouve les deux dernières formules précédentes.

Quelques remarquables racines carrées imbriquées infinies de 2remarquables carrés imbriqués de 2 :

K°/ Le carré et le cube de 69 :

69 est le seul nombre naturel dont le carré 69² = 4 761 et le cube 69³ = 328 509 utilisent chaque chiffre décimal de 0 à 9 exactement une fois.

L°/ Cercle « carré » parfait :

Les nombres 1 à 32 sont placés le long de la circonférence d’un cercle sans répéter aucun nombre et pourtant la somme de deux nombres adjacents dans ce cercle est un carré parfait !

A°/ 0,9999…. = 1 ?
B°/ 0,5 kg = 500 kg ?
C°/ 2 = 1 ?
D°/ + 8 = – 1 ?
E°/ 2 m = 2 000 m !
F°/ 4 = 5 !
G°/ Un demi euro est égal à 5 centimes :
H°/ Un euro est égal à 10 centimes :
I°/ 3 = 1 ?
J°/ Tout nombre vaut 1 ?
K°/ p = 2 :
L°/ Sept contre treize :
M°/ 2 = 1 (encore et toujours) :
N°/ 2 = 3 :
O°/ La preuve qu’un trapèze est toujours un parallélogramme :
P°/ La somme de tous les entiers positif est égal à -1/12 ?
Q°/ Le calcul le plus long du monde :
R°/ Des équations pour tout et n’importe quoi :
S°/ 7 = 13 ?
T°/ L’éléphant aussi lourd qu’un moustique :

A°/ 0,9999…. = 1 ?

Trouver l’erreur dans le raisonnement.

Solution de l’énigme :

• Si on considère que X a un nombre fini de décimales, en faisant 10X on « décale » la virgule d’un chiffre vers la droite. On perd donc une décimale.
  Or en faisant 9 + X on « remplace » le 0 par un 9. On a donc le même nombre de décimales.

Conclusion: 10 × X est différent de 9 + X !!!!!!

• Si par contre on considère que X a vraiment un nombre infini de décimale, alors il faut admettre que 0,9999…. = 1. On dira plus exactement que la limite de 0,9999…. sera égale à 1.

En effet : \frac{1}{3} = 0,33333\overline{3}.... \\3 \times \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 = 3\times 0,33333\overline{3}.... = 0,99999\overline{9}....

B°/ 0,5 kg = 500 kg ?

A, B, C et D sont 4 nombres quelconques. Alors si A = B et C = D, on a donc A x C = B x D.

Pourtant A = 1 kg = 1000 g = B et C = 0,5 kg = 500 g = D

On en déduit que 1 x 0,5 kg = 1000 x 500 g et que donc 0,5 kg = 500000 g c’est à dire 0,5 kg = 500 kg !

Ou est l’erreur ??

Solution de l’énigme :

En fait, en multipliant des kg par des kg on invente une unité qui n’a aucun sens, les kg² !!!!!

Si quelqu’un est capable de m’expliquer à quoi correspondent des kg² ou des g², je lui offre des cacahuètes !!

Bonne chance

C°/ 2 = 1 ?

Soit X et Y, 2 nombres égaux : X = Y

On multiplie par X : X² = X × Y

On soustrait par Y² : X² – Y² = (X × Y) – Y²

On factorise : (X + Y) × (X – Y) = Y × (X – Y)

On divise par (X- Y) : X + Y = Y

Or X = Y donc remplaçons Y par X : Y + Y = Y

Donc : 2 Y = Y

On simplifie par Y : 2 = 1 !!!

Où est l’erreur ?

Solution de l’énigme :

Pour passer de : (X + Y) × (X – Y) = Y × (X – Y) à : X + Y = Y

on divise les 2 côtés de l’égalité par (X – Y).

Or (X – Y) = 0.

Et on ne peut pas diviser par 0.

D°/ + 8 = – 1 ?

Soit
A= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128…
Alors
2A = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128…
et
2A+1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128…

On a donc : 2A+1 = A
D’où A = -1

Or A est une somme de termes positifs. Comment peut-il être alors négatif ?

De plus A est infini, comment peut-il être égal à -1 ?

Solution de l’énigme :

A ? 2A+1 car A est une somme infinie et que (2A+1) en est une autre mais plus grande.

Si 2A+1 = A alors (2A+1)-A = 0, mais :

E°/ 2 m = 2 000 m !

Prenez d’abord : 1 m = 1000 mm et 2 m = 2000 mm

Multiplions chaque longueur en m entre elles puis de même pour celles en mm. On a donc l’égalité :

1 m × 2 m = 1 000 mm × 2 000 mm

Ce qui fait donc : 2 m = 2 000 000 mm

Soit plus exactement en changeant d’unité : 2 m = 2 000 m

Où est donc l’erreur ?

Solution de l’énigme :

1 m² n’est pas égal 1000 mm². Exercice parfait pour maitriser les calculs avec unités.

F°/ 4 = 5 !

L’égalité suivante est vraie : 16 – 36 = 25 – 45
Soit : 4² – 9 x 4 = 5² – 9 x 5
Soit encore : 4² – 9 x 4 – 81/4 = 5² – 9 x 5 – 81/4

En appliquant une égalité remarquable, on a alors :
(4 – 9/2)² = (5 – 9/2)²
Soit : 4 – 9/2 = 5 – 9/2
Soit encore : 4 = 5.

Et pourtant 4 n’est pas égal à 5, alors où est l’erreur ?

Solution de l’énigme :

(4 – 9/2)² = (5 – 9/2)²

(- 4,5)² = (+ 4,5)² Jusque-là tout est vrai.

Mais si a² = b² alors a = ± b et donc a n’est pas obligatoirement égal à b.

G°/ Un demi euro est égal à 5 centimes :

On sait que 25 centimes est égal à 1/4 d’euro.	25 cts = 1/4 €
Or la racine carrée de 25 est égale à 5 et celle de 1/4 est égale à 1/2.
On en déduit que : 1/2 euro = 5 centimes.	5 cts = 1/2 €

Et pourtant 1/2 euro n’est pas égal à 5 centimes, alors où est l’erreur ?

Solution de l’énigme :

Si on peut comparer des centimes avec des euros, on ne peut le faire avec leurs racines carrées qui n’existent pas.

H°/ Un euro est égal à 10 centimes :

On sait que 100 centimes est égal à 1 euro.	100 cts = 1 €
Or la racine carrée de 100 est égale à 10 et celle de 1 est égale à 1.
On en déduit que : 1 euro = 10 centimes.	10 cts = 1 €

Et pourtant 1 euro n’est pas égal à 10 centimes, alors où est l’erreur ?

Solution de l’énigme :

Si on peut comparer des centimes avec des euros, on ne peut le faire avec leurs racines carrées qui n’existent pas.

I°/ 3 = 1 ?

Soient les trois nombres suivants : x = 3 ; y = 1 ; z = 2

donc : x = y + z

Je multiplie par x – y : x(x-y) = (y+z)(x-y)
Je développe : x² – xy = xy + zx – y² – yz
. x² – xy – zx = xy – y² – yz
Je factorise : x(x – y – z) = y(x – y – z)

Soit en simplifiant, x = y
C’est-à-dire : 3 = 1

Solution de l’énigme :

En simplifiant par (x – y – z) = 3 – 2 – 1 = 0, on divise par zéro, ce qui est impossible.

J°/ Tout nombre vaut 1 ?

Soit n un entier quelconque. La formule de la somme algébrique dit :

Conclusion : tout entier est égal à 1.

Solution de l’énigme :

L’erreur vient du passage :
1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + 1 = 1 + ((n – 1)n)/2
1 + 2 + 3 + … + n = 1 + ((n – 1)n)/2

En effet, les écritures « 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + 1 » et « 1 + 2 + 3 + … + n » ne sont pas égales. Par exemple, si n = 6,
1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + 1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 1 = 16
1 + 2 + 3 + … + n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Il faut être très attentif quand on utilise des points de suspension, et il vaut mieux utiliser le symbole Sigma (si on le connaît)

K°/ p = 2 :

	Soit AO = BO = 1   Périmètre du ½ cercle = p x R = p = 3.14…
	Le demi-cercle noir a même périmètre que les 2 demi-cercles roses de rayon 0,5.2 x p x 0.5
	Le demi-cercle noir a même périmètre que les 2 demi-cercles roses de rayon 0,5 qui ont même périmètre que les 4 demi-cercles bleus de rayon 0,25 qui ont même périmètre que les 8 demi-cercles bruns de rayon 0,125 qui ont même périmètre que les 16 petits demi-cercles roses de rayon 0,0625.

Et comme cela indéfiniment, donc le demi-cercle devient son diamètre, et p = 2

Quand on poursuit indéfiniment les constructions proposées, les longueurs des demi-cercles ont effectivement toutes la même longueur et à la fin, ces demi-cercles vont tendre à se confondre avec le diamètre initial.

Pourtant sous les apparences d’une logique inattaquable, il y a une faille dans le raisonnement. Pi est évidemment différent de 2.

La conclusion annoncée ci-dessus est basée sur une fausse interprétation de la « limite » dont la définition précise est la suivante: « Une grandeur variable L a pour limite une grandeur fixe A. Lorsque la différence entre L et A peut devenir et rester moindre que toute quantité donnée à l’avance, aussi petite qu’elle soit. »

Les grandeurs L et A sont ici respectivement le périmètre des demi-cercles et la longueur du diamètre. Mais A est constant et non variable, et la différence entre L et A est également constante.

On ne se trouve donc pas du tout dans les conditions de la définition précédente, et il n’est alors pas surprenant que nous soyons arrivés à un RESULTAT ABSURDE.

L°/ Sept contre treize :

Deux nombres mythiques Sept et Treize se querellaient :
Sept se prenait pour la merveille du monde,
Treize se prétendait le messager du bonheur.
Mais Vendredi les déclara égaux !

Voici comment :

finalement nous avons deux fractions de même numérateur, les dénominateurs sont donc égaux et
7 – x = 13 – x
d’où
7 = 13

– Quoi ? s’écrie Treize consterné, c’est donc que l’équation de départ est fausse et impossible !
– Mais non ! répond Sept tout heureux au Treize devenu porte-malheur,
notre ami x = 1O, solutionne parfaitement cette équation !

En effet, si l’on remplace x par 10 dans l’équation initiale on trouve bien :

L’équation est donc juste.

Donc: 7 = 13

Solution de l’énigme :

Les fractions sont bien égales, leurs numérateurs aussi, mais pas les dénominateurs !
Affirmer cela, revient à simplifier par le numérateur.
Or celui-ci est nul puisque la seule valeur de x satisfaisant l’équation de départ est x = 10. L’équation n’existe que si x = 0.
Or on ne peut pas simplifier par zéro !
Imaginez donc si on pouvait le faire :

on aurait l’égalité de 6 et 458 et bien d’autres choses…

M°/ 2 = 1 (encore et toujours) :

Posons d’abord :

2 = 1 + 1

Multiplions chaque membre par (2 – 1) :

2x(2-1)=(1 + 1)(2 – 1)

Développons:

2×2 – 2×1 = 1×2 – 1×1 + 1×2 – 1×1

Passons 1×2 de droite à gauche :

2×2 – 2×1 – 1×2 = 1×2 – 1×1 – 1×1

Factorisons:

2x(2 – 1 – 1) = 1x(2 – 1 – 1)

En simplifiant les 2 membres par le facteur (2 – 1 – 1), il reste alors :

2 = 1

Il y a une erreur quelque par, mais où ?

Solution de l’énigme :

On ne peut pas diviser par (2 – 1 – 1), car 2 – 1 – 1 = 0 et la division par zéro est impossible.

N°/ 2 = 3 :

On part de l’égalité :

4 – 10 = 9 – 15 = -6

Ajoutons aux deux membres le même nombre : (5/2)² :

4 – 10 + (5/2)²= 9 – 15 + (5/2)²

On fait quelques transformations :

2² – 2x2x5/2 + (5/2)² = 3² -2x3x5/2 + (5/2)²

Par identité remarquable on a :

(2 – 5/2)² = (3 – 5/2)²

En extrayant la racine carrée des deux membres de l’égalité on obtient alors :

2 – 5/2 = 3 – 5/2

Ce qui donne alors : 2 = 3

Il y a une erreur quelque par, mais où ?

Solution de l’énigme :

Lorsque l’on extrait les racines, on oublie les valeurs négatives. En effet :

Si x² = y² alors x = +y ou –y

Dans le cas présent :

Si (2 – 5/2)² = (3 – 5/2)² alors 2 – 5/2 = – (3 – 5/2)

2 – 3 = 5/ 2 + 5/2

1 = 10/2 ce qui est exact !!!

O°/ La preuve qu’un trapèze est toujours un parallélogramme :

Sur la figure ci-dessus, ABCD est un trapèze quelconque de bases [AB] et [CD].
On pose : AB = x et CD = y.
Les points E et F sont respectivement placés sur les droites (AB) et (CD) tels que : BE = y et DF = x.
Les droites (BD) et (EF) se coupent en G.
Les droites (AC) et (DB) se coupent en H.

En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles ABH et CDH, on a :

et donc

En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles DFG et BEG, on a :

et donc

Ainsi :

On a ainsi :

Et donc :

C’est à dire que la partie numérique (la valeur absolue) de x est égale à celle de y car HD – GB = – (GB – HD)

Les côtés [AB] et [CD] sont donc parallèles et de même longueur.
On en déduit que le trapèze ABCD est un parallélogramme.

Et pourtant tout trapèze n’est pas un parallélogramme, alors où est l’erreur ?

Solution de l’énigme :

En fait les segments [HD] et [GB] sont égaux, et lorsque l’on divise par (BG – HD), on divise par zéro ce qui est impossible.

De plus, trouver des longueurs négatives est impossible.

P°/ La somme de tous les entiers positif est égal à -1/12 ?

Solution de l’énigme :

L’algèbre des séries infinies est un peu particulière. En fait, comme pour l’énigme du A°/ , on compare des infinis qui ne sont pas les mêmes.

A n’est pas égal à 1 – A !!!

Selon comment on écrit A il sera égal à 0 ou 1 :
Dans la série A = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 … , si on prend un nombre pair de termes : A = (1-1) + (1-1) + … = 0
.                                                   si on prend un nombre impair de termes : A = (1-1) + (1-1) + … + 1 = 1

Q°/ Le calcul le plus long du monde :

Attribuez un nombre aux 26 lettres de l’alphabet, puis calculer le produit des ces 26 facteurs : (x-a)(x-b)(x-c) … (x-y)(x-z) = ?

Solution de l’énigme :

Ce produit est très long à effectuer, sauf si on se rend compte que l’antépénultième facteur est (x-x) qui est égal à zéro !!

Donc ce calcul est égal à zéro.

R°/ Des équations pour tout et n’importe quoi :

On voit régulièrement des formules faussement scientifiques qui se targuent de mettre le mande en équation, et tant pis si la syntaxe mathématique y est martyrisée (de toutes façons, personne ne va lire la formule…).

La meilleure route du monde :

Variables :
R : Ratio de conduite (le ratio parfait étant de 10)
a_b : Décélération lors des freinage (en m·s^-2)
a_l : Accélération latérale durant les virages (en m·s^-2)
a_f : Accélération durant les lignes droites (en m·s^-2)
r : rayon des virages (en m)
l : longueur des lignes droites (en m)
v : vitesse(en m·s^-1)

• Auteurs : Hermann Tilke, architecte de voiture automobile, Mark Hadley, physicien (Université de Warwick) et John Wardley, concepteur de montagnes russes – étude sponsorisée par Avis, entreprise de location de voitures, et Mercedes-Benz
• Méthodologie : expertise des experts
• Ce que l’on peut conclure de cette formule : 
  – la meilleure route du monde serait, d’après cette formule, au Portugal. La départementale sarthoise que j’emprunte régulièrement n’est apparemment pas dans le top 25, malgré ses belles lignes droites.
  – cette formule peut être en fait simplifiée en R = (temps passé sur les lignes droites) / (temps passé dans les virages). Mais écrite comme ça, la formule aurait été trop simple à appliquer…
  – Mark Hadley n’est pas à son coup d’essai en terme d’études un peu absurdes, puisqu’il a aussi étudié les pâtes (pour Giovanni Rana), le Curry (pour Tilda Rice, voir plus bas) ou les Sandwiches (pour Frank PR)
  – Les traducteurs français de la page officielle de cette formule n’ont apparemment pas fait S…
  Conclusion : cette formule est complètement inutile, et donc, parfaitement dispensable.

Durée d’une relation amoureuse :

Pour les couples hétérosexuels :
L = 8 + 0.5Y – 0.2P + 0.9H_m + 0.3M_f + J – 0.3G – 0.5(S_m – S_f)²  + I + 1.5C

Pour les couples homosexuels :
L = 8 + 0.5Y – 0.2P + 2J – 0.3G – 0.5(S₁ – S₂)² – I + 1.5C

Variables :
L : Temps estimé de la durée de la relation amoureuse (en années)
Y : Temps depuis lequel chacun se connaît (en années)
P : Nombre cumulé d’ex de chacun
H_m : Importance accordée à l’honnêté par l’homme du couple (sur une échelle de 1 à 5)
M_f : Importance accordée à l’argent par la femme (sur une échelle de 1 à 5)
J : Importance accordée à l’humour par chacun, cumulé (sur une échelle de 1 à 5)
G : Importance accordée à la beauté par chacun, cumulé (sur une échelle de 1 à 5)
S_m et S_f / S₁ et S₂ : Importance accordée au sexe par chacun (sur une échelle de 1 à 5)
I : Importance accordée à la belle famille (sur une échelle de 1 à 5)
C : Importance accordée aux enfants (sur une échelle de 1 à 5)

• Auteur : Inconnu, étude commandée par MSN – 2014
• Méthodologie : sondage sur 2000 personnes
• Ce que l’on peut conclure de cette formule :
  – Pour faire durer une relation de couple, il faut se connaître depuis longtemps mais ne pas avoir eu d’autres partenaires auparavant.
  – Au maximum, une relation née d’un coup de foudre peut durer 31.2 ans.
  – Une relation hétérosexuelle durera plus longtemps si chacun s’entend bien avec se belle famille, le contraire pour une relation homosexuelle.
  – Un couple homosexuel qui accorde de l’importance à l’humour durera plus longtemps qu’un couple hétérosexuel qui y accorde la même importance.
  – En ajoutant des grandeurs sans unités, on peut obtenir des durées
  Conclusion : cette formule est complètement con.

Meilleures conditions pour boire une bière :

E =  – (0,62 T² + 39,2W² + 62,4P²) + (21,8T + 184,4W + 395,4 P + 94,5 M – 90,25V) + 50 (S + F + 6,4)

Variables :
E : Plaisir ressenti lors de la dégustation d’une bière
T : Température, en °C
W : Temps avant de retourner travailler, en jours
P : Nombre de personne avec qui l’on partage cette bière
M : Humeur (sur une échelle de 1 à 5, 1 = sale journée)
V : Volume du fond sonore (sur une échelle de 1 à 5, 1 = très fort)
S : Qualité de la nourriture disponibles (sur une échelle de 1 à 5)
F : Qualité des snacks disponibles (sur une échelle de 1 à 5)

• Auteurs : mathématiciens du MindLab (Université du Sussex), étude commandée par Taylor-Walker, une chaîne de pubs britannique.
• Méthodologie : sondage sur 1000 personnes, questionnaire disponible en ligne
• Ce que l’on peut conclure de cette formule : 
  – La meilleure bière se déguste à 17.6 °C
  – La meilleure bière se déguste le vendredi soir
  – La meilleure bière se partage avec 3 personnes
  La formule ne tient cependant pas compte de nombreux autres paramètres inclus dans l’étude : catégorie socio-économique, âge, sexe, région…
  Conclusion : Cette formule inutilement compliquée ne mérite pas vraiment ses coefficients à 4 chiffres significatifs

Équation du curry parfait :

Ppar Mark Hadley, physicien à l’Université de Warwick (le même qui a pondu la formule de la meilleure route) (2013)
Étude commandée par la marque de riz Tilda

En fait, cette formule est une simple application de formules de volumes, mais elle s’accompagne d’une suggestion de présentation basée sur le nombre d’or. L’équation est donc incontournable !

Équation du sapin parfait :

Par Nicole Wrightham et Alex Craig, étudiants de l’Université de Sheffield (2012)
Étude commandée par la chaîne de magasins Debenhams

L’équation aurait demandé deux heures complètes de travail acharné…

Équation du parfait derrière :

Par David Holmes, psychologue à l’Université métropolitaine de Manchester (2006)
Étude sponsorisée par la marque de boisson Lambrini

Équation à prendre avec de très grosses pincettes, la plus fiable de mes sources est FoxNews. D’autant que, selon cette formule, si le rapport tour de hanche / tour de taille est égal à la texture de la peau, alors on serait en présence d’un fessier infiniment parfait…

Effet de la bière sur la vision (« beer google ») :

Par Nathan Efron, optométriste à l’Université de Manchester (2005)
Étude commandée par Bausch & Lomb, une marque de produits médicaux optique et par Speed dater, une entreprise de speed-dating

Équation de la plage parfaite :

Par Dimitrios Buhalis, professeur en Management et Marketing à Université de Surrey (2005)
Étude commandée par l’agence de voyage Opodo par faire un top 25 des meilleures plages
Encore une fois, débrouillez-vous pour mesurer objectivement toutes ces variables


Équation du film d’horreur parfait :

Par des scientifiques du King’s College de Londres (2004)
Étude commandée par la chaîne de télé Sky Movies
Faute de source fiables, je n’ai aucune idée de ce que la formule calcule, encore moins des unités, ni de ce que signifie vraiment ce sin x – 1. Cette formule n’est maintenant rien d’autre que des lettres posées aléatoirement les unes à côté des autres… 

Équation du jour déprimant :

Signé par le psychologue (?) Cliff Arnall (mais qui aurait été écrite par une agence de pub) (2006)
Etude commandée par la chaîne de télé Sky Travel (chaine qui a fermé, contrairement à sa grande soeur Sky movies)
Cette formule, qui n’a pas le moindre sens mathématique, a donné naissance au blue monday, un marronier journaliste qui prétend que le troisième lundi de janvier serait le jour le plus déprimant de l’année. Même son auteur a reconnu quelmques années plus tard que c’était n’importe quoi.

S°/ 7 = 13 ?

7 est donc égal à 13 !!! Il y a un problème ou alors il va falloir reprendre les règles d’algèbre depuis le début.

Solution :

Or on a affirmé que si les numérateurs sont égaux, les dénominateurs le sont aussi. Cela est parfaitement exact sauf si les numérateurs sont nuls car alors les fractions seraient égales à zéro et les dénominateurs pourraient être égaux à n’importe quel nombre. En effet : \frac{0}{7} = \frac{0}{13} = 0

La solution de l’équation étant x = 10 alors  4x - 40 = 0 et on ne peut donc pas affirmer que les dénominateurs x-7 et 13-x  sont égaux.

T°/ L’éléphant aussi lourd qu’un moustique :

Posons : e = poids de l’éléphant , m = poids du moustique et 2p = poids des 2 animaux en imaginant que c’est un nombre pair.. e + m = 2p donc : e – 2p = -m équa. 1 et e = 2p – m équa. 2 Multiplions équa.1 par e : e² – 2ep = -em Remplaçons e par (2p – m) dans la partie droite : e² – 2ep = -2pm + m² Additionnons p² :  e² – 2ep + p² = m² – 2pm + p² Factorisons : (e – p)² = (m – p)² équa. 3 Donc : e – p = m – p Donc : e = m L’éléphant pèse autan que le moustique !!!!!!!

Solution :

Toutes les étapes sont correctes sauf à l’équa. 3. Il s’agit d’une équation du second degrés, donc il y a 2 solutions :

Par exemple si e = 5 kg (c’est vrai il est pas très gros) et m = 1 kg (bon lui il a bien profité) alors p = 3 kg

e + m = 5 + 1 = 6 = 2×3 = 2p

équa. 3 : (e – p)² = (5 – 3)² = 2² = 4 et (m – p)² = (1 – 3)² = (-2)² = 4

L’équation 3 est correcte car 4 = 4 mais 2 n’est pas égal à -2, ce sont leurs carrés qui sont égaux.

Si x² = y² alors x = y ou x = -y