Maths pour travailler

I°/ Définitions des unités de base :
II°/ Les unités dérivées du SI :
III°/ L’histoire du mètre :

I°/ Définitions des unités de base :

Il existe 7 unités de base qui permettent de mesurer tout ce qui nous entoure : la longueur en mètre, la masse en kilogramme, le temps en seconde, le courant électrique en ampère, la température en kelvin , la quantité de matière en mole et l’intensité lumineuse en candela.

A partir de ces 7 unités on peut alors construire toutes les autres. Par exemple la vitesse est mesurée en km/h.

Mesures	Temps t	Distance D	Masse m	Intensité électrique I	Température T	Quantité de matière n	Intensité lumineuse Iv
Unités	Seconde	Mètre	Kilogramme	Ampère	Kelvin	Mole	Candela
Symbole	s	m	kg	A	k	mol	Cd
Définition historique	1re définition en 1889 : la durée du jour terrestre divisée en 24 h de 60 min de 60 s. 2ième définition en 1960 : durée de l’année 1900 divisée par 31 556 925,9757	1re définition en 1791 : un dix-millionième du quart de la circonférence de la terre	1re définition en 1799 : poids d’un litre d’eau à 4°C. 2ième définition en 1889 : un étalon en alliage de 90% de platine et de 10% d’iridium	1re définition en 1946 : correspondant au transport d’une charge électrique d’1 coulomb par seconde (C/s) à travers une surface.	1re définition en 1954 : degré d’agitation des molécules basée sur une fraction de la température thermodynamique du point triple de l’eau (à la fois liquide, solide et gazeuse). 1 K = 1/273,16.	1re définition en 1971 : nombre d’atomes dans 0,012 kilogramme de carbone 12	1re définition en 1954, remplaçant l’unité de la bougie établie à 60 bougies par centimètre carré.
Définition moderne	9 192 631 770 x période de rayonnement de Césium 133	Distance parcourue par la lumière pendant 1/299 792 458 seconde	Constante de Planck = 6,626 070 15 × 10−34 s−1 m2 kg ou Joule-seconde	Charge élémentaire = 1,602 176 634 × 10−19 Coulombs ou Ampère – seconde	Constante de Boltzmann = 1,380 649 × 10−23 s−2 m2 kg K−1 ou Joule/Kelvin	Nombre d’Avogadro = 6,022 140 76 × 1023 mol-1	Intensité énergétique d’un rayonnement monochromatique de fréquence 540 × 1012 s−1 (hertz) = 683 s3 m−2 kg−1 cd sr, ou cd sr W−1, ou lm W−1

Les définitions historiques posent des problèmes de nos jours où les mesures se doivent d’être beaucoup plus précises, car elles reposent sur de la matière qui évolue dans le temps et perd donc en précision. Le mètre étalon ou le kilogramme repose depuis 1889 sur des objets en platine et iridium (90% et 10%) qui se dégradent au fil du temps du fait de la désintégration de ces atomes. On sait que certains poids étalons ont varié d’environ 50 µg en un siècle.

A présent il faut graver les puces électroniques au nanomètre (milliardième de mètre), peser précisément les molécules des médicaments, mesurer le temps correctement pour nos futurs voyages intersidéraux …. Il était nécessaire de revoir complétement notre système de mesure.

Il fut donc décidé, lors de la 26e Conférence générale des poids et mesures (CGPM) à Versailles, de baser notre nouveau SI sur des constantes universelles, qui sont des invariants de la nature (indépendant du temps et de l’espace) à caractère universel ce qui permettra d’assurer la stabilité à long terme des nouvelles définitions. Le nouveau SI entre en vigueur le 20 mai 2019 à l’occasion de la journée mondiale de la métrologie. La seconde permet de définir le mètre, la seconde et le mètre permettent de définir le kilogramme et ainsi de suite.

Mètre, kilo, seconde : Les sorciers prennent des mesures, une vidéo de l’émission « C’est pas sorcier ». Sabine et Jamy nous emmènent dans l’univers de la métrologie (la science des unités de mesure).

I°/ Les états de la matières :
II°/ L’eau et la glace :

 

I°/ Les états de la matières :

La matière se présente naturellement dans trois états :

– Solide : les molécules sont liées par des liaisons fortes et ne peuvent pas bouger. La matière n’est pas déformable.

– Liquide : les molécules sont faiblement liées et peuvent bouger. La matière est déformable.

– Gazeux : les molécules ne sont plus liées entre elles et elles sont libres. La matière prend la forme du récipient qui la contient.

La matière peut passer d’un état à l’autre en faisant varier la pression et la température. On peut ainsi fabriquer un diagramme de phase qui montre dans quel état se trouve la matière en fonction de la pression et de la température.

Voici le diagramme de phase de l’eau : – Au point triple, les 3 états sont présents en même temps : 0,6% d’atmosphère et 0,01° – Au point critique, l’eau se trouve dans un état particulier, qui n’est ni liquide ni gazeux et que l’on appelle fluide supercritique : 220% d’atmosphère et 374° – On peut passer directement de l’état solide vers l’état liquide ou gazeux, mais on peut aussi passer de l’état liquide vers l’état gazeux en passant par l’état supercritique.

Voici une excellente vidéo qui explique tout :

II°/ L’eau et la glace :

Dans un verre de 20 cl contenant de l’eau, on ajoute un glaçon de 2 cl. Le niveau d’eau se trouve alors à la limite du verre. Quel est le volume d’eau qui va alors déborder du verre après que le glaçon aura fondu ?

La réponse est surprenante, car le verre ne déborde pas.

Pour comprendre cette énigme il faut connaître et comprendre deux phénomènes :

– La glace augmente de 10% en volume lorsqu’elle gèle.

Masse volumique de l’eau : 1 g/cm³

Masse volumique de la glace : 0,91 g/cm³

L’eau est d’ailleurs un cas très particulier car quasiment tous les liquides, au contraire, diminuent de volume quand ils deviennent solides.

Vous vous êtes sans doute déjà aperçus de ce phénomène en oubliant, par exemple, une bouteille remplie d’eau au congélateur : la bouteille éclate car le volume de la glace est plus grand que celui de l’eau liquide.

– La poussée d’Archimède :

« Tout corps immergé dans un liquide subit de la part de ce liquide une force (appelée poussée d’Archimède) verticale orientée vers le haut égale au poids du liquide déplacé ».

Si par exemple la poussée d’Archimède est inférieure au poids de l’objet ce dernier coule, si elle est supérieure il flotte.

La force est mesuré en Newton ( N ) et est donnée par la formule : P = g × m

Avec : m : le poids en kg

g : constante universelle de la gravité = 9,81 m/s² ≈ 10 m/s²

Objet	Masse	Volume	Masse volumique	Poussée d’Archimède	Plongé dans l’eau
Eau	1 kg	1 L	1 g/	A = 10×1 = 10 N
Pierre	1,2 kg	1 L	1,2 g/	P1 = 10×1,2 = 12 N	P1 > A  Il coule
Glace	0,91kg	1 L	0,91 g/	P2 = 10×0,91 = 9,1 N	P2 < A Il flotte

Dans l’eau, le glaçon est à 90% immergé, donc pour un glaçon de 0,91 kg, il déplace 90% de 1 litre cad 0,9 litre d’eau.

S’il fond il donnera 0,91 kg d’eau liquide, cad 0,91 litre, exactement le volume qu’occupe le glaçon dans l’eau. Le niveau de l’eau dans le verre ne bouge donc pas.

Ce problème peut sembler anodin mais il permet de mieux comprendre l’actualité : il est souvent dit dans les médias que le réchauffement de la Terre va faire fondre les glaces du pôle et qu’ainsi certains pays seront engloutis.

Or ceci est faux comme on vient de le voir ; en fait ce n’est pas la fonte des glaces qui va provoquer la montée des eaux des océans mais un autre phénomène très courant : un liquide se dilate (augmente de volume) quand la température augmente (phénomène à la base du principe du thermomètre à liquide).

La fonte de la banquise du pôle nord n’a donc aucun effet sur la montée des océans. Par contre au pôle sud, l’Antarctique étant un continent, toute la glace qui se trouve sur la terre ferme va s’ajouter à l’eau présente dans les océans.

1°/ Définition :

La température est une mesure physique qui caractérise l’agitation des particules de la matière.
Ainsi, plus les particules sont agitées plus elles bougent et plus la température augmente.

2°/ Les différentes unités de températures :

Le degré Fahrenheit :

La première échelle à être universellement reconnue, fut celle de Gabriel Fahrenheit, un Hollandais, qui, au début du XVIII^e siècle, fabriqua des thermomètres au mercure qui permettaient de mesurer les températures de manière fiable et répétitive.

Le degré Celsius :

Le physicien suédois Anders Celsius (1701-1744) fit construire en 1741 un thermomètre à mercure, qui marquait 0 degré au point d’ébullition et 100 au point de congélation de l’eau et qui fut utilisé de 1742 à 1750 à l’observatoire scandinave d’Uppsala (Upsal en français). En 1745, Linné présenta à l’Académie suédoise des sciences un thermomètre à mercure à échelle centésimale ascendante ayant le zéro au point de congélation de l’eau. À la même époque, le secrétaire perpétuel de l’Académie des beaux-arts de Lyon, Jean-Pierre Christin (1683-1755), faisait construire par l’artisan lyonnais Pierre Casati un thermomètre à mercure à échelle centésimale ascendante, qu’il présenta le 19 mars 1743 à l’assemblée publique de cette académie.

Le thermomètre suédois et le thermomètre de Lyon n’auraient eu qu’une utilisation restreinte si la Révolution Française n’avait donné au monde moderne le système métrique, et si la Commission des poids et mesures, créée par la Convention, n’avait décidé en 1794 que « le degré thermométrique sera la centième partie de la distance entre le terme de la glace et celui de l’eau bouillante ». En octobre 1948, à la suite d’une décision de la IXe Conférence des poids et mesures, le degré centésimal a pris le nom de degré Celsius.

Le kelvin :

William Thomson, connu sous le nom de lord Kelvin contribua, de manière durable à la thermodynamique. Après la dissertation de S. Carnot sur la chaleur et les travaux expérimentaux de J. Joule, la première loi de la thermodynamique put être explicitée, et, en 1850, R. Clausius fut conduit à poser pour principe que la chaleur ne peut d’elle-même passer d’un corps froid à un corps chaud. Thomson montra qu’en se fondant sur le système de Carnot il était possible de définir une échelle opératoire de température, indépendante des propriétés du système mis en œuvre. Ainsi fut construite l’échelle thermométrique « absolue » ou graduation Kelvin.

Il faut noter que le kelvin doit être utilisé ni avec le mot degré, ni avec le symbole ° ; on dit « un kelvin » et non pas un degré kelvin.

Le degré Rankine :

L’échelle Rankine (°R) n’est que la transposition en degré Fahrenheit de l’échelle des températures absolues Kelvin, nommée ainsi en l’honneur d’un pionnier de la thermodynamique : William John Macquorn Rankine (1820-1872). Le °R est égal à la température en °F + 459,67.

Le degré Réaumur :

Citons, pour mémoire, René Antoine Ferchault de Réaumur (1683-1757) qui fut amené à inventer, vers 1730, à cause de l’imprécision des mesures employées, le thermomètre à alcool qui porte son nom. Bien qu’il ait été détrôné plus tard par le thermomètre Celsius, il constitua un notable progrès au XVIIIe siècle. Son échelle fut fixée, en 1732 à zéro degrés pour la température de fusion de la glace et à 80 degrés pour l’ébullition de l’esprit-de-vin (alcool).

Pendant une certaine période, le thermomètre de Réaumur a désigné des instruments où la température d’ébullition de l’eau se trouvait à une division comprise entre 80 et 100 degrés Réaumur. Cette constatation conduisit, en 1772, le physicien genevois Jean-André Deluc (1727-1817) à proposer une division en 80 parties de l’intervalle fondamental du thermomètre Réaumur dans les pays l’ayant adopté. Les constructeurs français normalisèrent peu à peu leur échelle suivant cette proposition, mais le renom laissé par Réaumur était alors si grand qu’ils lui donnèrent son nom. Son usage dura jusqu’au tout début du XXe siècle en Allemagne méridionale, en Espagne, en Russie et en Amérique du sud.

Le degré Delisle :

L’échelle Delisle est une échelle de température conçue en 1732 par l’astronome français Joseph-Nicolas Delisle (1688-1768), auteur de Mémoires pour servir à l’histoire et aux progrès de l’Astronomie, de la Géographie et de la Physique (1738).

Il avait été invité à travailler en Russie par Pierre le Grand, et il y fabriqua des thermomètres au mercure. Initialement, son échelle avait son zéro au point d’ébullition de l’eau et mesurait la contraction du mercure (avec la baisse de température) en cent-millièmes. L’échelle Celsius elle aussi croissait avec le froid à ses débuts; c’est peu de temps après la mort de Celsius en 1744 que l’échelle sera inversée (une innovation souvent attribuée, à tort, à Carl von Linné) pour donner le degré Celsius que nous connaissons maintenant.

Les thermomètres Delisle comptaient en général 2 400 graduations, ce qui était approprié pour les hivers de Saint-Pétersbourg. En 1738, Josias Weitbrecht (1702–1747) recalibra l’échelle Delisle en fixant à 150 degrés le point de congélation de l’eau. Les thermomètres Delisle resteront en usage en Russie pendant près d’un siècle.

Ainsi l’unité de cette échelle, le degré Delisle, vaut -2/3 d’un kelvin (ou d’un degré Celsius) et le zéro absolu vaut 559,725 degrés Delisle.

Le degré Rømer :

Le Rømer (aussi épelé Roemer) est une échelle de température élaborée par l’astronome, physicien et fabricant d’instruments de mesure danois Ole Christensen Rømer en 1701.

En 1701, Isaac Newton (1642–1727) avait suggéré que la température moyenne du corps humain et le point de congélation de l’eau servent de points fixes pour calibrer les thermomètres. Rømer n’a pas publié la méthode qu’il utilisa (ou bien ces notes ont péri dans l’incendie de Copenhague de 1728), mais en 1708 Daniel Gabriel Fahrenheit le visita, le regarda travailler, et consigna ses observations.

Le zéro aurait d’abord été établi par le point de congélation d’une saumure d’eau, de glace et de chlorure d’ammonium. Le point d’ébullition de l’eau a ensuite été fixé à 60 degrés. Rømer constata alors que le point de congélation de l’eau tombait aux alentours du huitième de cette valeur (7,5 degrés), aussi utilisa-t-il cette valeur comme second point fixe. Ainsi l’unité de cette échelle, le degré Rømer, vaut 40/21 d’un kelvin (ou d’un degré Celsius).

Fahrenheit améliora l’échelle, augmentant entre autres le nombre de divisions et établit en 1724 l’échelle qui porte maintenant son nom : le degré Fahrenheit.

Le symbole est parfois donné comme étant °R, mais ce symbole est aussi parfois utilisé pour le degré Rankine; il faut donc préférer l’autre symbole °Rø.

3°/ Conversion :

Outil de conversion.

La matière peut se trouver sous 3 états : Solide, liquide et gazeux. En faisant varier la température et la pression, on peut faire passer passer cette matière d’un état à l’autre.

Le tableau ci-dessous est donné pour une pression au niveau de la mer. Ainsi, si l’eau bout à 100 °C au niveau de la mer, elle bout à 89 °C à 2930 m.

	Celsius	Kelvin	Fahrenheit	Réaumur	Rankine	Rømer	Delisle
Zéro absolu	-273,15 °C	0 K	-459,67 °F	-218,52 °Ré	0 °Ra	-135,90 Rø	559,725 °De
Fusion de l’eau	0°C	273,15 K	32 °F	0 °Ré	491,67 °Ra	7,5 °Rø	150 °De
Vaporisation de l’eau	100 °C	373,15 K	212 °F	80 °Ré	671,67 °Ra	60 °Rø	0 °De
Température la plus basse sur terre	-89 °C	184 K	-128,2 °F	-71,2 °Ré	331,47 °Ra	-39,22 °Rø	283,5 °De
Température la plus haute sur terre	58 °C	331 K	136,4 °F	46,4 °Ré	596,07 °Ra	37,95 °Rø	63 °De
Température moyenne du corps humain	36,8 °C	309,95 K	98,24 °F	29,44 °Ré	557,91 °Ra	26,8 2 °Rø	94,8 °De
Température de la surface du Soleil	5526 °C	5800 K	9980 °F	4421 °Ré	10440 °Ra	2909 °Rø	-8140 °De
Fusion du carbone	3827°C	4100 K	6920,6 °F	3061,6 °Ré	7380,3 °Ra	2016,7 °Rø	-5590,5 °De
Fusion du fer	1538°C	1811,2 K	2800,4 °F	1230,4 °Ré	3260,1 °Ra	814,95 °Rø	-2157 °De
Fusion du mercure	-38,8°C	234,32 K	-37,89 °F	-31,06 °Ré	421,78 °Ra	-12,88 °Rø	208,24 °De
Fusion de l’azote	-210°C	63,15 K	-346 °F	-168 °Ré	113,67 °Ra	-102,7 °Rø	465 °De

De	Vers	Formules
Fahrenheit	Celsius	°C = (°F – 32) / 1.8
Fahrenheit	Kelvin	K = (°F + 459.67) / 1.8
Fahrenheit	Rankine	°Ra = °F + 459.67
Fahrenheit	Réaumur	°Re = (°F – 32) / 2.25
Celsius	Fahrenheit	°F = °C × 1.8 + 32
Celsius	Kelvin	K = °C + 273.15
Celsius	Rankine	°Ra = °C × 1.8 + 32 + 459.67
Celsius	Réaumur	°Re = °C × 0.8
Kelvin	Celsius	°C = K – 273.15
Kelvin	Fahrenheit	°F = K × 1.8 – 459.67
Kelvin	Rankine	°Ra = K × 1.8
Kelvin	Réaumur	°R = (K – 273.15) × 0.8
Rankine	Celsius	°C = (°Ra – 32 – 459.67) / 1.8
Rankine	Fahrenheit	°F = °Ra – 459.67
Rankine	Kelvin	K = °Ra / 1.8
Rankine	Réaumur	°Re = (°Ra – 32 – 459.67) / 2.25
Réaumur	Celsius	°C = °Re × 1.25
Réaumur	Fahrenheit	°F = °Re × 2.25 + 32
Réaumur	Kelvin	K = °Re × 1.25 + 273.15
Réaumur	Rankine	°Ra = °Re × 2.25 + 32 + 459.67

Peut-on avoir la même valeur de température en degrés Celsius et en Fahrenheit ?

Il faut résoudre l’équation : y = 1,8 x + 32  (avec x = degrés Celsius et y = degrés Fahrenheit).
Donc pour x = y :             x = 1,8 x + 32
x = -32/(1,8 – 1) = -32 / 0,8 = -40°

Donc : -40° Celsius = -40° Fahrenheit

4°/ Liste des éléments chimiques par température de fusion :

Liste des éléments chimiques par température de fusion.

On remarquera que la plupart des gaz ont un point de fusion au alentour de -200°C.  Il faut une température vraiment basse pour les avoir sous forme solide.
A l’inverse, le carbone fond à 3 827°C. Tous les matériaux à base de carbone sont donc très résistants à la chaleur.

Le plus étonnant est le le mercure , qui est un métal, et qui a un point de fusion de -38,8°C. Ce qui veut dire qu’il est à l’état liquide lorsqu’il est à température ambiante.