Les Sciences sont bizarres

Index :
I°/ Quel jour de la semaine es-tu né ?
.   1°/ L’algorithme de Conway :
.   2°/ Un autre algorithme :
.   3°/ Nombre de jours entre deux dates :
II°/ Convertisseur de calendriers :
III°/ Combien fait une année ?
IV°/ Une horloge fractionnaire :
V°/ Notre calendrier est faux !!!
VI°/ Une horloge décimale :
VII°/ Les fuseaux horaires :

I°/ Quel jour de la semaine es-tu né ?

Un calculateur qui vous donne le jour de la semaine où vous êtes né : ICI

1°/ L’algorithme de Conway :

John Conway est un Mathématicien célèbre et génial en plus d’être prolifique.

Il inventa, entre autre, un algorithme qui permettait de déterminer le jour de la semaine de n’importe quelle date.
Il avait remarqué que chaque année avait sa date pivot qui tombait toujours le même jour de la semaine.
Les dates pivot du calendrier : dernier jour de février, 04/04, 06/06, 08/08, 10/10 et le 12/12 pour les jours pairs et 3-4/01 (4 pour les années bissextiles et le 3 pour les autres), 09/05, 05/09, 11/07 et le 07/11 pour les impairs (remarquez l’ingéniosité dans le choix de ces dates qui se retiennent facilement).
Par exemple, en 2020 la date pivot est un samedi. Donc le 20 octobre sera un mardi car c’est 10 jours (1 semaine et 3 jours) après le 10/10, qui est la date pivot la plus proche du 20 octobre.
Comment calculer ce fameux jour pivot ?
Pour mettre au point son algorithme, Conway a tout d’abord utiliser les conventions suivantes. Il a transformé les jours de la semaine en nombre pour pouvoir effectuer des calculs, et il a inventé des jours balise.

Voici l’algorithme :

Par exemple, quel est le Doomsday de 1987 ?

On obtient le nombre 6 qui correspond au 6-di c’est à dire le samedi.

Donc si le Doomsday de 1987 était un samedi, le 3 décembre, par exemple, qui est 9 jours avant la date pivot du 12/12 (1 semaine et 2 jours) sera un jeudi.

  2°/ Un autre algorithme :

Si tu es né après 1583 (En effet pour la France, à cause du passage du calendrier Julien au calendrier Grégorien que nous utilisons aujourd’hui, le mois de décembre 1582 présente un « trou » de 10 jours entre le 9 et le 20 décembre.), il existe une formule mathématique simple et rapide pour prouver le jour où tu es né : il suffit additionner 6 nombres et de faire une division par 7 !

A = les deux derniers chiffres de ton année de naissance.

B = la partie entière du quotient de A par 4.

M = un nombre associé au mois :

Mois	janvier	février	mars	avril	mai	juin	juillet	août	septembre	octobre	novembre	décembre
M	0	3	3	6	1	4	6	2	5	0	3	5

J = le nombre du jour du mois.

K = Si l’année est bissextile et que c’est le mois de janvier ou de février, on ôte 1 (années bissextiles : 1904, 1908, 1912, 1916, 1920, 1924, 1928, 1932, 1936, 1940, 1944, 1948, 1952, 1956, 1960, 1964, 1968, 1972, 1976, 1980, 1984, 1988, 1992, 1996, 2000, 2004, 2008, 2012, 2016, 2020, 2024, 2028, 2032, 2036, 2040, 2044, 2048, 2052, 2056, 2060, 2064, 2068)

S = un nombre associé au siècle :

Siècle	Années 1600	Années 1700	Années 1800	Années 1900	Années 2000	Années 2100
S	6	4	2	0	6	4

Le calcul du ( A + B + M + J + K + S ) / 7 → reste

Reste	0	1	2	3	4	5	6
Jour	dimanche	lundi	mardi	mercredi	jeudi	vendredi	samedi

Exemple : Voir le chapitre suivant 2°/ Convertisseur de calendriers : Calendrier Grégorien.

1°/ Si tu es né le 24 décembre 1963 : A = 63, B = 63/4 = 15,75 = 15, M = 5, J = 24, K = 0 et S = 0.

A + B + M + J + K + S = 63 + 15 + 5 + 24 + 0 + 0 = 107

107/7, il reste 2. Tu es né un mardi.

2°/ Si tu es né le 24 janvier 2000 : A = 00, B = 00/4 = 0, M = 5, J = 28, K = -1 et S = 6.

A + B + M + J + K + S = -1 + 6 = 5

5/7, il reste 5. Tu es né un vendredi.

Il existe des formules plus compliquées ici.

  3°/ Nombre de jours entre deux dates :

C’est très simple avec Excel. Il suffit d’écrire deux dates et d’en faire la soustraction : Fichier Excel.

II°/ Convertisseur de calendriers :

Cette page vous permet de convertir des dates dans un grand nombre de calendriers civils et para-informatiques : C’est ici.

Chaque civilisation a établi son propre calendrier, en voici quelques un : https://icalendrier.fr/calendriers-saga/calendriers/

III°/ Combien fait une année ?

Une année représente le temps que met la terre pour faire le tour du soleil. On parle de révolution terrestre. On compte généralement 365 jours mais ce n’est pas vraiment précis !!

Si on veut être plus juste il faudrait compter 365 jours et 6 heures c’est à dire 365 jours et un quart de jour. Autrement dit 365,25 jours.
En effet, chaque année bissextile, il faut rajouter un jour le 29 mars pour rattraper les 6 heures perdues et non comptabilisée dans notre calendrier.
Les années bissextiles ayant lieu tous les 4 ans : 4 x 6 = 24 heures = 1 jour.
Si on ne le faisait pas, en 400 ans on aurait perdus 100 jours c’est à dire plus de 3 mois. Noël se retrouverais en Mars !!

Cependant, pour être encore plus juste il faudrait compter 365,242190 jours ou 365 jours 5 heures 48 minutes 45,2 secondes.
Ainsi le calendrier julien se trouve-t-il, lui aussi, légèrement décalé par rapport à la course de la Terre autour du Soleil : en effet, 365,25 − 365,2422 = 0,0078, soit un peu moins d’un centième de jour de trop chaque année. Ce n’est pas beaucoup, bien sûr, mais suffisamment pour créer, tous les millénaires, un décalage de plus d’une semaine : 7,8 jours exactement !
C’est pourquoi, vers la fin du XVIe siècle, celui du grand astronome Copernic, le pape Grégoire XIII promulgua, le 24 février 1582, la bulle Inter gravissimas pour corriger cette anomalie : le lendemain du 4 octobre 1582 serait le 15 octobre (plus 11 jours) !
Ce décalage mit encore du temps à être pleinement adopté. Ainsi la naissance d’Isaac Newton fut-elle enregistrée en Angleterre le jour de Noël 1642, en calendrier julien, tandis qu’une bonne partie de l’Europe vivait ce jour-là, en calendrier grégorien, son 4 janvier 1643 (plus 11 jours).
À partir de ce moment, 3 années bissextiles en 400 ans furent supprimées : les années multiples de 400 sont donc bissextiles (comme 1600 et 2000), mais les autres centaines ne le sont pas (comme 1700, 1800, 1900, 2100…).

En 400 ans, cela ramène le décalage à 400 × 0,0078 − 3, soit 0,12 jour. Cela ne tombe pas encore juste ; dans 10 fois cette période, c’est-à-dire dans 4000 ans, il faudra supprimer un 29 février. Il restera alors encore un décalage de 0,02 jour en 4000 ans, soit un jour tous les 200 000 ans. Nous avons le temps d’y penser !

Mais là encore la précision laisse à désirer. En effet, la trajectoire de la terre n’est pas un cercle mais une ellipse. Qui plus est, l’axe de cette ellipse se déplace au cours du temps et la rotation de la Terre ralentit d’à peu près deux millisecondes par siècle, de sorte que, dans deux millions de siècles, une année ne comptera plus qu’environ 350 jours de 25 heures chacun. Il sera alors temps pour nos descendants de ressortir des musées les vieux calendriers. Mais bon, comme disait mon grand père, même une horloge arrêtée donne l’heure exacte deux fois par jour !!

Trajectoire circulaire.	Trajectoire elliptique.	Trajectoire elliptique avec un axe qui bouge.

Si on pose comme définition qu’une année représente le temps que met la terre pour faire le tour du soleil pour revenir au même endroit, et bien l’année n’existe pas car la terre ne repassera jamais exactement au même endroit. C’est gênant.

Il y a 3 façons de compter une année.

Année sidérale : la terre revient dans la même zone que l’année dernière par rapport à l’axe soleil – terre l’année dernière. 1 année = 365 j 6 h 9 min Année anomalistique : la terre revient sur la même position sur l’ellipse que l’année dernière. 1 année = 365 j 6 h 13 min Année tropique : on tient compte de la modification de l’axe de rotation de la terre sur elle-même. 1 année = 365 j 5 h 48 min

Il n’y a que 25 min de différence entre l’année tropique et l’année anomalistique, mais ce n’est pas rien. En 400 ans il y aurait une différence de 4 x 400 = 10 000 min = 166,66.. jours c’est à dire presque 6 mois.

Amusez-vous a calculer la date de votre prochain anniversaire pour voir si ce jour change en fonction de la façon de compter l’année. Cliquer sur le bouton « Calcul détaillé » :

De fait il existe une règle pour définir si une année est bissextile ou pas : l’année est divisible par 4 mais pas par 100 ou alors elle est divisible par 400.
Par exemple l’année 2000 est divisible par 4 et par 100 et donc ne respecte pas la première condition, mais elle est divisible par 400. Elle est donc bissextile.

L’histoire de l’année bissextile :

Le premier calendrier romain, introduit vers le VIIe siècle av.J.-C., séparait en dix mois une année de 304 jours qui commençait par mars. Les mois de janvier et de février furent ajoutés plus tard, mais on dut encore intercaler un autre mois à peu près un an sur deux, car les mois ne faisaient que 29 ou 30 jours. Les jours étaient désignés par une méthode qui consistait à compter à rebours à partir de trois dates pivot : les calendes au début du mois, les ides au milieu et les nones, qui tombaient le neuvième jour avant les ides. Ce calendrier devint désespérément confus lorsque les dirigeants romains, à qui revenait la charge de fixer les jours et les mois à ajouter, abusèrent de leur autorité pour prolonger leur mandat ou changer la date des élections.
En 46 av.J.-C., Jules César décida, sur les conseils de l’astronome grec Sosigène, d’établir un nouveau calendrier. Ce calendrier, connu sous le nom de calendrier julien, fixa la durée d’une année normale à 365 jours et celle d’une année bissextile, tous les 4 ans, à 366 jours – la journée redoublée étant celle du 24 février. César ramena également le début de l’année au1er janvier (au lieu du 1er mars).

IV°/ Une horloge fractionnaire :

Pourquoi donc une heure est-elle divisée en 60 minutes ?
C’est une conséquence d’un choix fait par les Babyloniens, qui comptaient par paquets de 60 (en base 60) comme nous comptons par paquets de 10 et de 100.
Ce nombre n’a pas été choisi au hasard, mais parce qu’il a un nombre particulièrement élevé de diviseurs.
En effet, 10 possède seulement 4 diviseurs (1; 2; 5; 10) alors que 60 en possède 12 (1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60), ce qui permet d’effectuer de nombreuses divisions.

Les savants babyloniens, versés en Astronomie, mesurant des angles, avaient trouvé plus pratique cette base qui permet de tomber sur des nombres entiers en divisant par 2, 3, 4, 5 et 6. Pourtant, dans le langage courant, on n’utilise que sur les 1/2 heure et les 1/4 d’heure, pas les 1/3, 1/5, 1/6, 1/10… Qui tombent pourtant également sur un nombre entier de minutes !

Voici ce que donnerait une horloge fractionnaire.

V°/ Notre calendrier est faux !!!

Et bien oui, le calendrier grégorien qui est utilisé dans le monde est incorrect. Il est basé sur la naissance Jésus Christ et c’est de là que vient l’erreur.

C’est de la faute à Denys le Petit (Dionysus Exiguus) qui travaillait aux archives pontificales (pape Jean 1^er) au VI^e siècle. Il calcule la date de la naissance du Christ (anno domini) qu’il fait correspondre à l’année 753 après la fondation de Rome, le 25 décembre bien entendu, et fait démarrer son calendrier l’année suivante le 1ier janvier 754. Or il commet deux erreurs.

Tout d’abord il commence notre calendrier à l’an un et non zéro, ce qui est normal car il utilise les chiffres romains qui ne connaissent pas le zéro. Ce qui implique que l’on passe de l’an -1 av. J.-C. à l’an +1 après, sans passer par l’an 0. Par conséquence, les décennies, les siècles et les millénaires commencent les années finissant par 1 et non par zéro.

La deuxième erreur est plus importante. Denys le Petit établit notre calendrier au VI^e siècle, et les source historiques relatant la naissance de Jésus Christ sont assez rares et peu précises. On sait que le roi Hérode est mort en 750 après la fondation de Rome (-3 av. J.-C. ), or Marie et Joseph fuient les menaces d’Hérode à la naissance de Jésus. Donc Jésus ne peut être né qu’entre 748 et 750, soit entre 4 ou 6 ans avant 753, début du calendrier chrétien de Denys le Petit. La date la plus vraisemblable de la naissance du Christ serait plutôt 749, ce qui décale notre calendrier de plus 4 ans par rapport à la véritable naissance de Jésus Christ.

Fondation de Rome	748	749	750	751	752	753	754	755
Calendrier de Denys le Petit	-6	-5	-4	-3	-2	-1	1	2
En réalité	0	0	1	2	3	4	5	6

Bon, le plus important c’est que l’humanité utilise le même calendrier, même si il ne démarre pas l’année exacte de la naissance Jésus Christ qui ne représente pas grand chose pour le monde non-chrétien.

L’histoire de notre calendrier est vraiment complexe et tortueuse, la preuve dans cette vidéo :

VI°/ Une horloge décimale :

Une question que je pose tous les ans à mes élèves de collège, et même à mes collègues. Rares sont ceux qui sont capables de répondre correctement.

L’erreur la plus courante est due au fait que nous comptons à l’aide du système décimal alors que le système horaire est basé sur le système sexagésimal à base 60.

Il est vrai qu’il n’est pas très simple de compter en base 60 et c’est ce que ce sont dit les révolutionnaires de 1789.

Si l’Egypte et la Chine anciennes utilisaient déjà des mesures décimales du temps, il n’en a pas été de même des peuples sous l’influence babylonienne : le système sexagésimal pour les angles et les heures, avait l’avantage d’avoir beaucoup de diviseur (60 est divisible par : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60), et on peut donc découper le cadran d’une horloge de nombreuse fois, alors qu’avec le système décimal (10 est divisible par : 1; 2; 5; 10) ce n’est pas le cas.

Jusqu’au XVIII^e siècle, en France, c’est le bazar dans les systèmes de mesure. Il existe alors plus de 700 unités de mesures différentes et elles n’ont aucun lien entre elles, ce qui provoque erreurs et fraudes. La Révolution apporte une première harmonisation de ces unités avec l’apparition du mètre et des mesures décimales.

Cette harmonisation des mesures s’accompagne de la remise en question du calendrier grégorien de 365 jours par année et de 366 jours en année bissextile. Le calendrier républicain est adopté le 5 octobre 1793. Il est composé de 12 mois de 30 jours (basé sur le cycle de la lune), divisés en 3 décades de 10 jours et de 5 ou 6 jours de fêtes pour compléter l’année de 365 jours.

C’est dans ce contexte qu’apparaît l’heure révolutionnaire. Chaque jour possède désormais 10 heures, chaque heure 100 minutes et chaque minute 100 secondes.

Horaire classique	Horaire révolutionnaire
1 jour = 24 h = 24 x 60 = 1 440 min classique	1 jour = 10 h = 10 x 100 = 1 000 min révolutionnaires
(100 x 1 440)/ 1 000 = 144 min classique	1 h révolutionnaire = 100 min révolutionnaire

Une heure décimale correspond à 144 minutes classiques, c’est-à-dire que quand il est 4 h 58 en heure décimale, il est 11 h.  Les horlogers s’empressent alors de fabriquer de nouvelles horloges indiquant à la fois l’heure décimale et l’heure sexagésimale. Très peu arrivent à en réaliser qui indiquent uniquement l’heure décimale et celles ci sont destinées uniquement aux mesures scientifiques.

Montre à double graduation et quantième (Cers 1795/1795)	Montre à double graduation et quantième (Izaac Droz 1795/1795)	Montre décimale avec petit cadran des secondes divisé en 100 (vers 1900)	Chronomètre décimal (trompète) avec cadran divisé en 10 min (vers 1901)

VII°/ Les fuseaux horaires :

Avant, il n’y avait pas de fuseau horaire. Il n’y avait même pas d’horloge. Mais ensuite, avec le développement des déplacements sur de longues distances, le besoin de « temps clair » s’est accru. L’heure moyenne de Greenwich (GMT) a été introduite le 2 août 1880 à 11 heures du matin et désormais tous les endroits des îles britanniques avaient la même heure.

Eh bien, ce n’est pas tout à fait vrai. L’Irlande avait toujours son propre fuseau horaire, qui était en retard de 25 minutes et 21 secondes sur GMT. En 1916, cela fut aboli. L’heure de Greenwich est devenue la norme. À propos : Greenwich se prononce « Grenitsch ».

Aujourd’hui, l’étalon horaire est UTC, Temps Universel Coordonné. Sur cette base, les fuseaux horaires du monde entier sont calculés. GMT est basé sur UTC (UTC ± 0). Les autres fuseaux horaires sont indiqués par GMT/UTC + ou – (par exemple : GMT+1 pour la Suisse et GMT+2 pour l’heure d’été suisse).

1°/ Un immense empire, un fuseau horaire : La Chine s’étend théoriquement sur cinq fuseaux horaires. Afin de promouvoir la simplicité et la convivialité, « l’heure de Pékin » s’applique dans tout le pays, soit UTC+8. L’une des conséquences est qu’au Tibet ou dans la région du Xinjiang, le soleil ne se lève que vers 10 heures du matin en hiver. Une période non officielle y fut donc créée, mais celle-ci fut rejetée par les Chinois Han vivant dans la région. Mais l’énorme fuseau horaire conduit également à des moments étranges à l’échelle internationale. Quiconque traverse la frontière entre la Chine et l’Afghanistan doit avancer sa montre de 3,5 heures. Au triangle frontalier Afghanistan/Pakistan/Chine, vous pouvez changer l’heure trois fois (UTC+4.5, UTC+5, UTC+8). Pour être honnête, il faut cependant dire que cette région est pratiquement inhabitée et que le triangle des pays est situé sur un sommet élevé.
2°/ Ni une demi-heure, ni une heure, mais 45 minutes : Nous resterons quelques temps dans la région. Le Népal était le seul pays à ne pas se contenter d’une demi-heure, mais a fixé son heure à UTC+5:45. La raison en est que le méridien de l’heure normale du Népal était situé à Gaurishankhar, une montagne à l’est de Katmandou. Ceci est en vigueur depuis 1986. Toute personne traversant la frontière chinoise depuis le Népal doit avancer son horloge de 2h15 ; ceux qui voyagent vers l’Inde doivent les reculer de 15 minutes. Outre le Népal, seules les îles Chatham, qui font partie de la Nouvelle-Zélande, ont un fuseau horaire d’un quart d’heure. (UTC+12:45).
3°/ J’ai sauté par-dessus la ligne de date : Kiribati se trouvait bien à l’est de la ligne de date et avait donc environ un jour de retard sur l’Australie. Depuis que l’Australie est devenue le principal partenaire commercial, cela signifiait que les demandes de Kiribati y étaient envoyées le vendredi matin, alors qu’en Australie, c’était déjà le samedi matin et donc le week-end. Le 1er janvier 1995, Kiribati a dépassé la date limite. Le 31 décembre 1994 n’existait donc pas à Kiribati. Étant donné que l’État insulaire s’étend sur de nombreuses îles, la ligne de date présente ici un renflement particulier. À propos, Hawaï se trouve sur le même méridien de longitude et a la même heure que Kiribati – juste un jour plus tard. À propos : les Samoa ont également rejoint la « partie australienne » en 2011 pour une raison similaire à celle des Kiribati. Toutefois, les Samoa américaines, situées à 70 kilomètres à l’est, sont restées du « côté américain ».
4°/ Des lignes de pays et de dates séparent ce groupe d’îles : Nous restons un instant sur la ligne de date, mais voyageons plus au nord jusqu’aux îles Diomède. Le petit groupe d’îles du détroit de Béring se situe entre la Russie et les États-Unis. L’île occidentale (la grande île Diomède) appartient à la Russie, tandis que la petite île Diomède, située environ quatre kilomètres plus à l’est, appartient aux États-Unis. En plus des nations, comme mentionné, la ligne de date sépare également les deux îles, qui sont à distance visuelle l’une de l’autre. Mais ils sont séparés de 21 heures. Ainsi, alors qu’il est lundi à midi sur l’île russe (UTC+12), les insulaires voisines du côté américain profitent encore du dimanche après-midi (15 heures, UTC-9).
5°/ 26 heures de décalage horaire : Bien entendu, 21 heures de décalage horaire ne sont pas le plus grand possible. Il ne s’agit pas – comme on pourrait s’y attendre – de 24 heures, mais plutôt de 26 heures. Cette différence existe entre les îles linéaires qui appartiennent à Kiribati (UTC+14, avec de si beaux noms de lieux sur les îles Christmas comme Kiritimati, Londres, Paris, Pologne ou Banana) et les îles Baker (UTC-12). Les deux îles sont distantes d’un peu plus de 2000 kilomètres (à peu près l’équivalent de Berne – Saint-Pétersbourg). Mais alors que sur les îles Baker inhabitées, l’horloge indique 23 heures samedi soir, sur les îles Line, il est déjà 1 heure du matin lundi.
6°/ Un fuseau horaire pour personne : En parlant de Baker Island et UTC -12. Avez-vous déjà regardé la superficie couverte par le fuseau horaire UTC -12 ? En fait, à part l’île Baker (2,1 km2), il n’y a que l’île Howland (superficie 2,6 km2). Les deux sont répertoriés comme inhabités. Personne ne vit en permanence dans le fuseau horaire UTC -12. À propos : l’île Howland est la zone terrestre qui, à 386 km, est la distance la plus courte du contrepoint terrestre, l’intersection de l’équateur avec le méridien 180°.
7°/ Trois jours calendaires dans le monde : Conséquence du décalage horaire maximum de plus de 24 heures : trois jours calendaires différents peuvent exister simultanément dans le monde. Ainsi, s’il est samedi 11h30 (UTC+1) en Suisse, les horloges de Kiritimati, dans les îles Christmas de Kiribati, indiquent déjà dimanche 00h30 (UTC+14) et aux Samoa américaines, il est toujours vendredi 23h30 (UTC). -11).
8°/ Changer l’horloge six fois dans un seul état : Comme nous l’avons déjà appris, certains pays sont trop grands pour se trouver dans un seul fuseau horaire. Mais bien sûr, cela peut être encore plus compliqué. Une frontière de fuseau horaire traverse neuf États américains. Par exemple, dans l’Indiana, 12 des 92 comtés sont à l’heure centrale (UTC-6), les autres sont à l’heure de l’Est (UTC-5). Sur les douze comtés, six sont situés au nord-ouest et sont basés sur la ville de Chicago, dans l’État voisin de l’Illinois ; les six autres se trouvent au sud-ouest, autour de la ville d’Evansville. Mais les choses deviennent vraiment étranges en Arizona. Comme vous pouvez le voir sur la carte ci-dessus, il semble également y avoir deux fuseaux horaires. Cependant, la différence ne se produit que pendant la phase d’heure d’été (DST). Ceci, comme l’heure d’été, rallonge les journées le soir. Cependant, l’Arizona est l’un des rares États à ne pas appliquer généralement l’heure d’été. Cela ne s’applique pas à la réserve des nations Navajo, une zone environ deux fois plus grande que la Suisse, qui change d’horloge à chaque fois. Mais cela ne suffit pas. La réserve Hopi existe dans la réserve des nations Navajo, qui à son tour n’applique pas l’heure d’été. Et cette réserve Hopi a, d’une part, une enclave dans la réserve des nations Navajo, et d’autre part, elle renferme une enclave de la réserve des nations Navajo. Cela ressemble à ceci et devient assez compliqué en termes de temps : Quiconque fait un aller-retour de 4,5 heures depuis Flagstaff via Tuba City, Shongopovi et Winslow pour revenir à Flagstaff devrait changer d’horloge six fois au cours de ce voyage.
9°/ Trois fuseaux horaires en hiver et cinq en été : L’heure d’été rend également la vie plus compliquée en Australie. Fondamentalement, l’Australie s’est donnée trois fuseaux horaires : UTC+8, UTC+9:30 et UTC+10. Il existe également des fuseaux horaires provenant de zones externes, comme l’île Lord Howe (UTC+10:30), mais nous nous concentrerons ici sur la partie continentale. En été, cependant, deux fuseaux horaires sont ajoutés. Parce que trois États fixent l’heure d’été. En Australie-Méridionale, cela signifie UTC+10h30, les États du sud-est – y compris les grandes villes de Melbourne et Sydney – règlent leur horloge sur UTC+11. Ainsi, si vous devez être à Currumbin Beach (Queensland) à 14 heures et partir de Tweed Heads (Nouvelle-Galles du Sud), vous devez partir à 14 h 45, vous devriez alors pouvoir effectuer le trajet de 15 minutes à 2 heures. p.m…. Le Mexique a connu un problème similaire jusqu’en octobre 2022, certaines provinces observant l’heure d’été et d’autres non. Depuis octobre 2022, l’heure d’hiver est en vigueur partout – ou, comme l’appelle le président Andres Manuel Lopez Obrador : « l’heure de Dieu ».
10°/ Un fuseau horaire pour cinq colonies : Et puis l’Australie a également l’heure standard du centre-ouest de l’Australie (ACWST, UTC +8:45). Toutefois, cela ne s’applique qu’à quelques colonies (Border Village, Cocklebiddy, Eucla, Madura et Moundrabilla) situées dans une zone presque inhabitée du sud. Après tout, il est affiché sur l’Eyre Highway.
11°/ Terre-Neuve et Labrador diffère de 30 minutes : Les choses deviennent également beaucoup plus intéressantes plus au nord. La province canadienne de Terre-Neuve-et-Labrador fonctionne actuellement sur UTC-4. Cependant, l’île de Terre-Neuve règle ses horloges selon UTC-3:30. Mais pas seulement l’île, mais aussi la pointe la plus orientale du continent du Labrador. L’Anse au Clair et Norman Bay avancent également leur horloge d’une demi-heure. Et oui, l’île de St-Pierre et Miquelon, juste à côté de Terre-Neuve, suit UTC-4h30.
12°/ Les demi-heures : Cela nous amène aux pays qui se varient d’environ une demi-heure et affichent un écart de xx:30 par rapport à UTC. Il s’agit notamment de l’Iran, de l’Afghanistan, de l’Inde, du Sri Lanka et du Myanmar. Le Venezuela ne fait plus partie de ce club. Le pays a reculé son horloge d’une demi-heure en 2007, mais en 2016, il est revenu à UTC-4. Tous les pays sont libres de choisir leur fuseau horaire. La décision est généralement liée à plus de soleil le soir. L’Inde, par exemple, devrait économiser de grandes quantités d’électricité grâce à la demi-heure.
13°/ Célébrez le réveillon du Nouvel An deux fois : Enfin, une petite anecdote : ces grands décalages horaires n’existent pas toujours quelque part entre deux îles des mers du Sud ou sur certains sommets de l’Himalaya et sont donc de toute façon presque imperceptibles. Quiconque fait la fête à Arica, la ville la plus septentrionale du Chili, dans la légendaire discothèque Sunset (UTC-3), peut traverser la frontière péruvienne peu après le début de l’année et atteindre Tacna en une heure. Les horloges y sont reculées de deux heures (UTC-5). Vous pouvez célébrer le réveillon du Nouvel An deux fois plus. Par exemple avec le Pisco Sour.

 

II°/ L’Algorithmique :

L’algorithmique c’est l’art de découper un problème complexe en tâches élémentaires.

En effet, pour faire accomplir quelque chose d’à peu près utile au tas de ferraille que vous appelez un robot sophistiqué, il est inutile de compter sur son esprit d’initiative. Au contraire, il faut tout lui expliquer correctement. Et en détail. Patiemment. Car, malgré les apparences, l’ordinateur le plus sophistiqué n’a pas beaucoup plus d’intelligence qu’une ancienne machine à coudre. Et à pédales encore ! 

Le mot « algorithme » vient du nom du mathématicien Al-Khwârizmî (latinisé au Moyen Âge en Algoritmi), qui, au IX^e siècle écrivit le premier ouvrage systématique donnant des solutions aux équations linéaires et quadratiques.

Voici 2 vidéos très instructives :

Un jeune chasseur du néolithique apprend avec son père à fabriquer une hache à partir de bois, de silex et d’os. Tout doit être exécuté à la perfection, dans un ordre précis. Mais aujourd’hui, nous utilisons des machines qui travaillent à notre place en obéissant à un programme spécifique. Cet épisode revient sur les étapes qui ont permis à l’être humain de découvrir et maîtriser les algorithmes.

En 1843, sur la machine à calculer de Charles Babbage, Ada Lovelace fabrique ce qui est considéré comme le tout premier programme informatique au temps où les ordinateurs n’existaient pas. En utilisant des fiches perforées à la manière d’un orgue de barbarie, cette machine était capable d’effectuer des calculs élémentaires mais aussi et surtout des boucles de calcul à l’instar de nos ordinateurs. Ada Lovelace pu ainsi calculer les nombres de Bernoulli à partir du nombre B3.

III°/ L’informatique :

L’homme a toujours chercher à automatiser les tâches du quotidien, quelles soient physiques ou intellectuelles.

Il a inventé la parole puis l’écriture, le calcul puis les algorithmiques, les machines à calculer puis les ordinateurs. Voici une chronologie de ces inventions.

Date	Nom	Visuel	Inventeur	Principe	Principes et Stockage
-2000	Le boulier		Mésopotamie	Billes qui permettent de compter.	Principe : billes Stockage : Aucun
IXième siècle	Algorithmique		Al-Khwârizmî	Un algorithme est une suite finie et non ambiguë d’instructions et d’opérations permettant d’effectuer une action.	Principe : billes Stockage : Parchemin
1642	La Pascaline		Blaise Pascal	Machine capable d’additionner et de soustraire. Elle est créée spécifiquement pour le père de Blaise Pascal, qui était percepteur d’impôts.	Principe : Engrenage Stockage : Aucun
1673	La machine à calculer REPLICA de Leibniz		Gottfried Wilhelm Leibniz	Leibniz qui s’est inspiré de la Pascaline invente une machine capable de multiplier et de diviser.	Principe : Engrenage Stockage : Aucun
1800	Le métier à tisser Jacquard		Joseph Marie Jacquard	Un métier à tisser qui utilise des cartons perforés pour commander les mouvements des aiguilles. C’est la première machine programmée.	Principe : Les cartes perforée Stockage : Les cartes perforées
1834	La machine à calculer de Charles Babbage		Charles Babbage	S’inspire du métier à tisser de Jacquard, pour élaborer une machine qui, à l’aide de cartes perforées, évalue les différentes fonctions (addition, soustraction, multiplication, et division).	Principe : Les cartes perforée Stockage : Les cartes perforées
1843	Le premier programme informatique d’Ada Lovelace		Ada Lovelace	Fille du célèbre Lord Byron, un des plus grands poètes anglais de son temps, elle développe les principes de base de la programmation en travaillant avec Charles Babbage sur sa machine.	Principe : Les cartes perforée Stockage : Les cartes perforées
1936	La Bombe d’Alan Turing		Alan Turing	Il publie en 1936 un article “On Computable Numbers” définissant les bases théoriques de la programmation sur des machines capables d’effectuer des calculs. Il parvient en 1940 à “cracker” la machine de cryptage nazi appelée Enigma.	Principe : Engrenage et tube à vide Stockage : Aucun
1938-1941	Les Z1, Z2 et Z3 de Konrad Zuse		Konrad Zuse	Premier ordinateur programmable qui utilise le binaire : le Z1. C’est le premier calculateur programmable fonctionnel. Le Z3 achevé en 1941 est plus fiable que les précédentes versions.	Principe : Les cartes perforée Stockage : Les cartes perforées
1943	Le MARK 1		Howard Aiken	Créé en collaboration avec IBM c’est le premier calculateur électromécanique ASCC (Automatic Sequence Controlled Calculator). Installé à d’Harvard, il pèse 5 tonnes et 17 m de long pour 2,5 m de hauteur. Il calcule 5 fois plus vite que l’Homme de façon entièrement automatisée.	Principe : tube de Williams Stockage : Programme
1945	L’ENIAC		John William Mauchly et J. Presper Eckert	Premier ordinateur ne comportant plus aucune pièce mécanique. Il est composé de 18 000 tubes à vide, s’étend sur plus 160 m2 et opère en décimal. Il est surtout utilisé pour effectuer des calculs balistiques.	Principe : Tubes à vide Stockage : Programme
1946	L’EDVAC		John von Neumann	L’EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer) est une évolution de l’ENIAC. Il permet la mémorisation de 5,5 kilo octets et opère en binaire. Il est composé de 6 000 tubes à vide, 12 000 diodes et s’étend sur plus 45 m2.	Principe : Tubes à vide et diodes Stockage : Programme
1948	Le transistor		John Bardeen, William Shockley et Walter Brattain	Il révolutionne l’informatique, permettant ainsi de fabriquer des ordinateurs moins encombrants en consommant moins d’électricité. Il s’agit d’une sorte d’interrupteur électronique automatique qui remplace les tubes à vide.
1951	Création du langage informatique par Grace hopper		Grace hopper	Après avoir travaillé sur le Mark 1, elle développe le premier compilateur sur une évolution de l’EDVAC : l’UNIVAC. Un compilateur est un système qui traduit automatiquement le langage des informaticiens en langage machine.
1962	Apparition du mot “informatique”		Philippe Dreyfus	Bien qu’étymologiquement le mot « informatik » fût créé par l’ingénieur allemand Karl Steinbuch en 1957, il est le premier à utiliser sa traduction française « informatique » dès 1962, par la fondation de la Société d’informatique appliquée (SIA). Le mot informatique désigne alors la contraction des mots information et automatique.
1963	La première souris par Doug-Engelbart		Doug-Engelbart	Mise au point au Stanford Research Institute. Elle est équipée de deux roues fixées sur deux capteurs et d’un bouton poussoir. La souris est améliorée par Jean-Daniel Nicoud dès 1979 avec une boule et deux capteurs internes ainsi que deux boutons poussoirs.
1965	Programma 101, premier ordinateur personnel d’Olivetti		Pier Giorgio Perotto	le Programma 101 de la société italienne Olivetti est le premier ordinateur personnel numérique et programmable.	Principe : Le transistor Stockage : Programme
1969	UNIX		Ken Thompson	Ken Thompson développe la première version d’un système d’exploitation en ligne de commande (UNIX).	Principe : Le transistor Stockage : Programme
1971	Premier microprocesseur		Intel	La société Intel commercialise son premier microprocesseur, le 4004.	Principe : Le transistor Stockage : Programme
1973	Premier système d’exploitation graphique		XEROX	La société XEROX sort en 1973 sa station de travail Alto équipée d’un système d’exploitation appelé Alto OS. Il possède la première barre d’outils.	Principe : Le transistor Stockage : Programme
1976	Premier ordinateur Apple		Steve Jobs, Steve Wozniak et Ronald Wayne	Premier ordinateur Apple.	Principe : Le transistor Stockage : Programme
1981	Premier PC		IBM	IBM lance le PC (Personal Computer). Son succès repose sur sa compatibilité logicielle. Quelle que soit la marque de l’ordinateur, les logiciels pour PC sont compatibles. La société Microsoft de Bill Gates, fondée en 1975 distribue rapidement des logiciels d’application (traitement de texte, gestion de base de données, etc.)	Principe : Le transistor Stockage : Programme
1984	Premier GUI sur Macintosh		Apple	les systèmes Macintosh d’Apple Computer sont les premiers à être dotés d’une interface graphique : Lisa OS. Au lieu d’avoir à taper des lignes de commandes au clavier, l’utilisateur peut maintenant se servir d’une souris et cliquer sur des icones. Le contenu est présenté sous la forme WYSIWYG “What You See Is What You Get”.	Principe : Le transistor Stockage : Programme
1985	Microsoft Windows 1.0		Microsoft	Après le succès de ses logiciels sur PC et de son système d’exploitation MS-DOS, Microsoft lance Microsoft Windows 1.0	Principe : Le transistor Stockage : Programme
1991	Linux		Linus Torvalds et Richard Stallman	Le concept consiste à développer un système d’exploitation libre et open source. Plusieurs distributions apparaissent comme Debian ou Ubuntu.	Principe : Le transistor Stockage : Programme

Liste des systèmes d’exploitation : de la naissance de l’écriture au langage informatique.

IV°/ Le Binaire :

     1°/ Histoire :
     2°/ Utilisation du binaire : 2 chiffres suffisent à coder
     3°/ Les unités :
     4°/ Tables de code :
     5°/ L’algèbre de Boole :

     1°/ Histoire :

• IX^e siècle av. J.-C. en Chine : Le système binaire du Yi Jing , un texte dédié à la divination, est basé sur la dualité du yin et du yang.
• Environ V^e – II^e siècles av. J.-C. : Le savant indien Pingala a développé un système binaire pour décrire la prosodie dans son Chandashutram.
• Les tambours à fente avec sons binaires étaient utilisés pour coder les messages en Afrique et en Asie
• avant 1450 : Les habitants de l’île de Mangareva en Polynésie française utilisaient un système hybride décimal-binaire.
• 1605 : Francis Bacon discuta d’un système selon lequel les lettres de l’alphabet pourraient être réduites à des séquences de chiffres binaires.
• 1847, George Boole publia un article intitulé « L’analyse mathématique de la logique » qui décrit un système algébrique de la logique, désormais appelé algèbre de Boole. Le système de Boole était basé sur une approche binaire, un oui-non, on-off qui comprenait les trois opérations les plus élémentaires: ET, OU et NON. Ce système ne fut pas utilisé et fut oublié.
• 1689 : Le système de numération binaire moderne, base du code binaire, a été inventé par Gottfried Leibniz en 1689 et apparaît dans son article Explication de l’Arithmétique Binaire en 1703.
• 1937 : Claude Shannon se rend compte que l’algèbre booléenne qu’il avait apprise était semblable à un circuit électrique. La thèse de Shannon devint un point de départ pour l’utilisation du code binaire dans des applications pratiques telles que les ordinateurs, les circuits électriques, etc.

     2°/ Utilisation du binaire : 2 chiffres suffisent à coder

Système	Système	Non	Oui
Binaire	Le bit	0	1
Métier à tisser	Une carte perforée	Trou	Plein
Informatique	Transistor	Le courant ne passe pas	Le courant passe

Le bit porte ce nom car il signifie en anglais « binary digit », ce que l’on pourrait traduire par unité binaire. Autrement dit, un chiffre ou un symbole qui représente un des deux états du code binaire. Un bit = 2 possibilités (0 ou 1). Deux bits = 4 états ou possibilités (00 / 11 / 01 / 10). Et ainsi de suite.

Plus les séries de bits (octets) sont longues, plus le nombre de combinaisons possibles augmente :
[1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1]₍₂₎ = 1×2¹⁰ + 1×2⁹ + 1×2⁸ + 1×2⁷ + 1×2⁶ + 0×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 1 ×2⁰ = 11111001001

    3°/ Les unités :

Unités	Valeurs	Unités	Valeurs
bit	0 ou 1	Mega-octet (Mo)	106 octets
byte	de 6 à 9 bit	Giga-octet (Go)	109 octets
Octet (o)	8 bits = 28 nombres = 256	Tera-octet (To)	1012 octets
Kilo-octet (ko)	1000 octets

     4°/ Tables de code :

Les 128 premiers caractères (de 0 à 127) représentent le code ASCII sur 7 bits = 2⁷ = 128, les 128 autres le code ASCII étendu sur 8 bits = 2⁸ = 256.

code ASCII :

Déc	Oct	Héx	Binaire	Carac	Signification
0	0	00	00000000	NUL	Caractère Null
1	1	01	00000001	SOH	Début d’en-tête (Start of header)
2	2	02	00000010	STX	Début du texte (Start of Text)
3	3	03	00000011	ETX	Fin du texte (End of Text)
4	4	04	00000100	EOT	Fin de transmission (End of Transmission)
5	5	05	00000101	ENQ	Demande, fin de ligne (Enquiry, End of Line)
6	6	06	00000110	ACK	Accusé de réception (Acknowledge)
7	7	07	00000111	BEL	Caractère d’appel (Bell)
8	10	08	00001000	BS	Espacement arrière (Backspace)
9	11	09	00001001	HT	Tabulation horizontale (Horizontal Tab)
10	12	0A	00001010	LF	Saut de ligne (Line Feed)
11	13	0B	00001011	VT	Tabulation verticale (Vertical Tab)
12	14	0C	00001100	FF	Saut de page (Form Feed)
13	15	0D	00001101	CR	Retour chariot (Carriage Return)
14	16	0E	00001110	SO	Fin d’extension (Shift Out)
15	17	0F	00001111	SI	Démarrage d’extension (Shift In)
16	20	10	00010000	DLE	Échappement de lien de donnée (Data Link Escape)
17	21	11	00010001	DC1	Contrôle de périphérique de 1 à 4 (Device Control)
18	22	12	00010010	DC2
19	23	13	00010011	DC3
20	24	14	00010100	DC4
21	25	15	00010101	NAK	Accusé de réception négatif (Negative Acknowledge)
22	26	16	00010110	SYN	Attente synchronisée(Synchronous Idle)
23	27	17	00010111	ETB	Fin du bloc de transmission (End of Transmission Block)
24	30	18	00011000	CAN	Annulation (Cancel)
25	31	19	00011001	EM	Fin de support (End of Medium)
26	32	1A	00011010	SUB	Substitution (Substitute)
27	33	1B	00011011	ESC	Échappement (Escape)
28	34	1C	00011100	FS	Séparateur de fichier (File Separator)
29	35	1D	00011101	GS	Séparateur de groupe (Group Separator)
30	36	1E	00011110	RS	Séparateur d’enregistrement (Record Separator)
31	37	1F	00011111	US	Séparateur d’unité (Unit Separator)
32	40	20	00100000	SP	Espace
33	41	21	00100001	!
34	42	22	00100010	«
35	43	23	00100011	#
36	44	24	00100100	$
37	45	25	00100101	%
38	46	26	00100110	&
39	47	27	00100111	‘
40	50	28	00101000	(
41	51	29	00101001	)
42	52	2A	00101010	*
43	53	2B	00101011	+
44	54	2C	00101100	,
45	55	2D	00101101	–
46	56	2E	00101110	.
47	57	2F	00101111	/
48	60	30	00110000	0
49	61	31	00110001	1
50	62	32	00110010	2
51	63	33	00110011	3
52	64	34	00110100	4
53	65	35	00110101	5
54	66	36	00110110	6
55	67	37	00110111	7
56	70	38	00111000	8
57	71	39	00111001	9
58	72	3A	00111010	:
59	73	3B	00111011	;
60	74	3C	00111100	<
61	75	3D	00111101	=
62	76	3E	00111110	>
63	77	3F	00111111	?
64	100	40	01000000	@
65	101	41	01000001	A
66	102	42	01000010	B
67	103	43	01000011	C
68	104	44	01000100	D
69	105	45	01000101	E
70	106	46	01000110	F
71	107	47	01000111	G
72	110	48	01001000	H
73	111	49	01001001	I
74	112	4A	01001010	J
75	113	4B	01001011	K
76	114	4C	01001100	L
77	115	4D	01001101	M
78	116	4E	01001110	N
79	117	4F	01001111	O
80	120	50	01010000	P
81	121	51	01010001	Q
82	122	52	01010010	R
83	123	53	01010011	S
84	124	54	01010100	T
85	125	55	01010101	U
86	126	56	01010110	V
87	127	57	01010111	W
88	130	58	01011000	X
89	131	59	01011001	Y
90	132	5A	01011010	Z
91	133	5B	01011011	[
92	134	5C	01011100	\
93	135	5D	01011101	]
94	136	5E	01011110	^
95	137	5F	01011111	_
96	140	60	01100000	`
97	141	61	01100001	a
98	142	62	01100010	b
99	143	63	01100011	c
100	144	64	01100100	d
101	145	65	01100101	e
102	146	66	01100110	f
103	147	67	01100111	g
104	150	68	01101000	h
105	151	69	01101001	i
106	152	6A	01101010	j
107	153	6B	01101011	k
108	154	6C	01101100	l
109	155	6D	01101101	m
110	156	6E	01101110	n
111	157	6F	01101111	o
112	160	70	01110000	p
113	161	71	01110001	q
114	162	72	01110010	r
115	163	73	01110011	s
116	164	74	01110100	t
117	165	75	01110101	u
118	166	76	01110110	v
119	167	77	01110111	w
120	170	78	01111000	x
121	171	79	01111001	y
122	172	7A	01111010	z
123	173	7B	01111011	{
124	174	7C	01111100	|
125	175	7D	01111101	}
126	176	7E	01111110	~
127	177	7F	01111111	DEL	Supprimer

code ASCII étendu :

ASCII	Octal	Hexadécimal	Binaire	Caractère (ANSI)
128	200	80	10000000	€
129	201	81	10000001
130	202	82	10000010	‚
131	203	83	10000011	ƒ
132	204	84	10000100	„
133	205	85	10000101	…
134	206	86	10000110	†
135	207	87	10000111	‡
136	210	88	10001000	ˆ
137	211	89	10001001	‰
138	212	8A	10001010	Š
139	213	8B	10001011	‹
140	214	8C	10001100	Œ
141	215	8D	10001101
142	216	8E	10001110	Ž
143	217	8F	10001111
144	220	90	10010000
145	221	91	10010001	‘
146	222	92	10010010	’
147	223	93	10010011	“
148	224	94	10010100	”
149	225	95	10010101	•
150	226	96	10010110	–
151	227	97	10010111	—
152	230	98	10011000
153	231	99	10011001	™
154	232	9A	10011010	š
155	233	9B	10011011	›
156	234	9C	10011100	œ
157	235	9D	10011101
158	236	9E	10011110	ž
159	237	9F	10011111	Ÿ
160	240	A0	10100000
161	241	A1	10100001	¡
162	242	A2	10100010	¢
163	243	A3	10100011	£
164	244	A4	10100100	¤
165	245	A5	10100101	¥
166	246	A6	10100110	¦
167	247	A7	10100111	§
168	250	A8	10101000	¨
169	251	A9	10101001	©
170	252	AA	10101010	ª
171	253	AB	10101011	«
172	254	AC	10101100	¬
173	255	AD	10101101
174	256	AE	10101110	®
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176	260	B0	10110000	°
177	261	B1	10110001	±
178	262	B2	10110010	²
179	263	B3	10110011	³
180	264	B4	10110100	´
181	265	B5	10110101	µ
182	266	B6	10110110	¶
183	267	B7	10110111	·
184	270	B8	10111000	¸
185	271	B9	10111001	¹
186	272	BA	10111010	º
187	273	BB	10111011	»
188	274	BC	10111100	¼
189	275	BD	10111101	½
190	276	BE	10111110	¾
191	277	BF	10111111	¿
192	300	C0	11000000	À
193	301	C1	11000001	Á
194	302	C2	11000010	Â
195	303	C3	11000011	Ã
196	304	C4	11000100	Ä
197	305	C5	11000101	Å
198	306	C6	11000110	Æ
199	307	C7	11000111	Ç
200	310	C8	11001000	È
201	311	C9	11001001	É
202	312	CA	11001010	Ê
203	313	CB	11001011	Ë
204	314	CC	11001100	Ì
205	315	CD	11001101	Í
206	316	CE	11001110	Î
207	317	CF	11001111	Ï
208	320	D0	11010000	Ð
209	321	D1	11010001	Ñ
210	322	D2	11010010	Ò
211	323	D3	11010011	Ó
212	324	D4	11010100	Ô
213	325	D5	11010101	Õ
214	326	D6	11010110	Ö
215	327	D7	11010111	×
216	330	D8	11011000	Ø
217	331	D9	11011001	Ù
218	332	DA	11011010	Ú
219	333	DB	11011011	Û
220	334	DC	11011100	Ü
221	335	DD	11011101	Ý
222	336	DE	11011110	Þ
223	337	DF	11011111	ß
224	340	E0	11100000	à
225	341	E1	11100001	á
226	342	E2	11100010	â
227	343	E3	11100011	ã
228	344	E4	11100100	ä
229	345	E5	11100101	å
230	346	E6	11100110	æ
231	347	E7	11100111	ç
232	350	E8	11101000	è
233	351	E9	11101001	é
234	352	EA	11101010	ê
235	353	EB	11101011	ë
236	354	EC	11101100	ì
237	355	ED	11101101	í
238	356	EE	11101110	î
239	357	EF	11101111	ï
240	360	F0	11110000	ð
241	361	F1	11110001	ñ
242	362	F2	11110010	ò
243	363	F3	11110011	ó
244	364	F4	11110100	ô
245	365	F5	11110101	õ
246	366	F6	11110110	ö
247	367	F7	11110111	÷
248	370	F8	11111000	ø
249	371	F9	11111001	ù
250	372	FA	11111010	ú
251	373	FB	11111011	û
252	374	FC	11111100	ü
253	375	FD	11111101	ý
254	376	FE	11111110	þ
255	377	FF	11111111	ÿ

     5°/ L’algèbre de Boole :

Posséder des caractères c’est bien pour créer un vocabulaire mais c’est insuffisant pour effectuer des opérations et des commandes logiques. Il faut bien se rappeler que l’on n’a que 2 actions possibles. George Boole développe une nouvelle forme de logique, à la fois symbolique et mathématique. Le but : traduire des idées et des concepts en équations, leur appliquer certaines lois et retraduire le résultat en termes logiques. Pour cela, il crée une algèbre binaire, dite booléenne, n’acceptant que deux valeurs numériques : 0 et 1. Cette algèbre est définie par la donnée d’un ensemble E (non vide) muni de deux lois de composition interne (le ET et le OU) satisfaisant à un certain nombre de propriétés (commutativité, distributivité…).

Voici comment traduire une commande ET entre 2 action A et B.	Voici comment traduire une commande OU entre 2 action A et B.

Un site pour comprendre toute l’algèbre de Boole.

 

 

Il vous est certainement déjà arrivé de vivre l’expérience suivante. Vous êtes confortablement installé dans un train en attendant le départ. En regardant par la fenêtre, vous voyez le train stationné à côté avancer. Mais une fois que les trains se séparent, vous vous rendez compte que c’est le vôtre qui avançait et non celui d’à côté !! D’ailleurs aucuns des passagers de chaque train ne peut véritablement savoir qui se déplace, car si on regarde vers l’intérieur de notre compartiment, rien ne bouge. Tout ce qui est dans le compartiment est fixe, on en conclue que l’on ne se déplace pas.

En physique on parle de référentiel pour désigner le lieu de départ d’un mouvement. Pour chaque passager, le référentiel c’est sa propre place et donc ce sera toujours l’autre train que se déplacera.

Dans le cas des trains, les distances sont absolues c’est-à-dire qu’elle ne dépendent pas du référentiel choisit. Que je choisisse un train ou un autre, les distances parcourues seront les mêmes dans des directions opposées.

Mais notre cher Einstein a démontré que le temps était relatif, c’est-à-dire dépendant d’un référentiel . Si les 2 trains se déplacent à une vitesse proche de la lumière, des événements vraiment particuliers se produisent.

1°/ Une vidéo :
2°/ Les explications de la vidéo :
3°/ Une calculatrice : pour tester différentes configurations
4°/ Démonstration de la formule :
5°/ L’expérience grandeur nature :

1°/ Une vidéo :

La puissance des Mathématiques est prodigieuse. La preuve réside dans son utilisation durant l’Antiquité, car nos ancêtres ont réalisé des travaux exceptionnels à l’aide de moyens dérisoires et de raisonnements Mathématiques vraiment très simples.

Bien avant Jésus Christ, les Mathématiciens de l’Antiquité étaient capables de bien des performances :

≈ 580 Avt JC : Thalès généralise le théorème qui porte maintenant son nom. On peut mesurer des distances inaccessibles comme la hauteur d’une pyramide, d’une muraille protégée par des ennemis ou la largeur d’une rivière en crue.

≈ 550 Avt JC : Pythagore généralise le théorème qui porte maintenant son nom. Les angles droits sont désormais réalisables et les bâtiments prennent de la hauteur.

≈ 350 Avt JC : Aristote affirme que la Terre est ronde. Il faudra attendre le XVII^Ième siècle et Galilée pour en être sûr et ne pas risquer le bucher de l’inquisition.

≈ 270 Avt JC : Aristarque mesure la taille de la Lune, du Soleil, les distances Terre-Lune et Terre–Soleil et cela en restant sur notre bonne terre et sans instruments modernes.

≈ 220 Avt JC : Ératosthène mesure la circonférence de la Terre et valide la rotondité de la terre.

≈ 150 Avt JC : Hipparque pose les premières bases de la trigonométrie et calcule avec précision la distance Terre – Lune. Les angles ne sont plus un problème.

Avec l’Almageste de Ptolémée, la théorie Géocentrique s’impose comme une évidence et est reprise ensuite par les religions. Nous avons donc une modélisation de référence, fausse, mais totalement ancrée. Le modèle étant faux, plus aucune avancée ne pouvait être faite car nous étions dans une impasse. S’en suivi près de 1500 ans où aucune découverte ne fut faite (ou du moins publiée)… Quel gâchis !

Ici un historique complet.
Ici un blog très détaillé mais un peu austère.

 

I°/ La terre est-elle ronde ? Pas de platiste dans l’Antiquité
II°/ Astronomie : c’est la terre ou le soleil qui est au centre de l’univers ?
III°/ Circonférence de la terre et distance terre – lune – soleil : Érathostène (-310 -230 avt. JC) et Aristarque de samos (-310 -230 avt. JC)
IV°/ Le tunnel de Samos : Creuser un tunnel de 1 km sous la montagne 550 ans avant J.C.
V°/ Poids des planètes : Kepler (1571-1630) et Isaac Newton. (1642-1717)
VI°/ Vitesse de la lumière :
VII°/ Les instruments de mesure de l’antiquité :
VIII°/ L’équation d’Al-Khwarizmi : 780-850 après JC

 

I°/ La terre est-elle ronde ?

De nos jour il existe encore des platistes qui croient que notre bonne vielle terre est plate. Cependant, avec les satellites, le doute n’est plus permis. Mais dans l’antiquité, comment connaître la forme exacte de notre planète ? Et bien avec de l’observation et un minimum de réflexion, ce qui manque toujours aux platistes à l’encéphalogramme … plat. Une série de vidéos Youtube qui analyse les théories platistes.

1°/ Un bateau apparaît petit à petit à l’horizon :

Lorsqu’un navire navigue vers l’horizon, il ne devient pas de plus en plus petit jusqu’à devenir invisible comme il le ferait si la Terre était plate. Sa coque semble d’abord disparaître puis son mât. Ceci est due à la courbure de la terre qui laisse apparaitre le mât plus longtemps que la coque. Il faut bien entendu se munir de jumelle pour observer ce phénomène car l’œil humain ne peut pas voir trop loin. Sur le bord d’un lac on dispose un laser qui pointe sur la cible d’un bateau qui navigue sur le grand lac. Si la terre est plate, alors le rayon laser restera parallèle à la surface du lac, sinon on observera un écart. Or c’est bien ce que l’on voie : à 5 km du laser l’écart est de 1,80 m et il est de 7,3 m à 10 km.

2°/ Notre ombre sur la Lune :

Lors d’une éclipse lunaire, la Terre se trouve exactement entre le Soleil et notre satellite naturel. On peut alors apercevoir l’ombre de la planète bleue, qui est toujours un cercle, ou une partie de cercle selon le moment de l’éclipse. Or, on ne voit jamais une ligne qui serait l’ombre d’une planète plate vue par la tranche. Si la Terre était plate, pour expliquer l’ombre circulaire, il faudrait que le Soleil soit toujours à « minuit » lors d’une éclipse lunaire pour créer un cercle parfait, ce qui n’est pas le cas, car l’heure d’une éclipse varie selon notre localisation sur la planète.

3°/ La voûte céleste diffère selon l’endroit :

C’est à Aristote (384 à 322 avant notre ère) que l’on doit la première observation de la différence de position des constellations selon l’endroit où l’on se trouve (faite lors d’un périple en Égypte). Son observation est vraiment très simple : si deux personnes observe la voûte céleste dans deux endroits différents et bien ils n’observeront pas la même chose car ils ne regardent pas dans la même direction.

4°/ L’existence des saisons :

Le changement de saison – l’hiver en Australie et l’été au Canada en même temps, par exemple – s’explique par l’angle des rayons solaires sur la Terre. Si cette dernière était plate, nous aurions exactement les mêmes saisons en même temps, car l’angle serait toujours le même, peu importe où l’on se trouve. Ce qui n’est manifestement pas le cas. Dans l’antiquité on pouvait déjà voyager sur de longue distance pour observer ce changement de saison.

5°/ Les levers et couchers de soleil :

En observant un levé de soleil depuis le sommet d’une montagne, on peut aisément voir la course du soleil qui suit une trajectoire circulaire. Si la terre était plate, le jour apparaitrait de la même façon partout sur terre. Lorsque le soleil se couche, le bas d’une montagne rentre dans la pénombre avant le sommet.

6°/ On voit plus loin de plus haut :

Plus vous êtes haut, plus vous voyez loin. Faites le test. Au sol, sans rien qui vous bloque la vue, regardez au loin à travers des longues-vues. Ensuite, grimpez dans un arbre, ou montez au sommet d’un édifice, et refaites l’expérience. Plus vous serez haut, plus vous verrez loin. Ce phénomène facilement observable est dû à la courbure terrestre. À titre d’exemple, si vous faites 1,80 m de haut, votre horizon sera situé à cinq kilomètres de vous. Si vous gravissez l’Everest, il sera à… 370 kilomètres.

Un platiste marseillais pourrait vous faire remarquer que l’on peut voir le sommet du Canigou depuis Marseille, alors que la courbure de la terre devrait l’interdire. Ce phénomène optique existe bel et bien, et il est du à la réfraction atmosphérique. Il nécessite des conditions de pression, de température et d’humidité de l’atmosphère, bien particulières.

Cliquer sur l’image pour plus d’explications.

7°/ La ligne s’enfonce sous l’horizon :

Un exemple analogue à l’expérience avec les bateaux est à chercher du côté des infrastructures humaines longues installées sur de grandes surfaces d’eau. Un exemple très parlant est la ligne à haute tension située sur le lac Pontchatrain, près de la Nouvelle-Orléans. En se mettant dans son axe, on peut la voir clairement plonger sous l’horizon en suivant une courbure. Or, les pylônes sont tous à la même hauteur, plantés de façon rectiligne et de niveau. Dans le cas d’une terre plate, les plus lointains devraient sembler plus petits mais être visibles en entier. Or, seule leur partie supérieure est visible, le bas étant sous l’horizon. De même, la ligne qu’ils forment vers l’horizon devrait être droite et non incurvée. Cette courbure, c’est celle de notre planète ! Il serait compliqué de trouver de telle construction dans l’antiquité, mais le raisonnement est simple.

II°/ Astronomie : c’est la terre ou le soleil qui est au centre de l’univers ?

L’astronomie, qui est l’observation du ciel, est considérée comme la plus ancienne des sciences.

a°/ La préhistoire : avant 4800 av. J.-C.

Lever et coucher du Soleil, aspect du ciel différent en été et en hiver, position changeante du lever de Soleil par rapport aux étoiles… À sa naissance, l’astronomie sert principalement à mesurer le temps, définit les journées et marque les saisons.   Ci-contre : Représentation d’un aurochs, ancêtre bovin, avec six étoiles des Pléiades au-dessus de lui dans la grotte de Lascaux (entre 17500 et 13000 av. J.-C.).

b°/ Le Néolithique : entre 4800 av. J.-C. et 2100 av. J.-C.

Les mégalithes du Néolithique sont constitués d’une ou plusieurs pierres de grande taille érigées sans mortier ni ciment. Ils auraient un rôle multiple : social et culturel, mais aussi astronomique.   Par exemple, sur le site de Nabta Playa en Égypte (4500 à 4000 av. J.-C.), on trouve un cercle de pierres de deux mètres de hauteur. Quatre couples de rocs plus grands forment comme des “portes” sur ce cercle. Deux d’entre elles sont alignées avec l’axe nord-sud, tandis que les deux autres forment une ligne à 70° avec l’est-nord-est… Cette dernière direction est alignée avec la position du lever du Soleil au solstice d’été il y a 6 000 ans, un événement qui marquait le début de la saison des pluies dans le désert. D’après les archéoastronomes, Nabta Playa serait donc, comme d’autres mégalithes du Néolithique, un “observatoire ancien”.

Le monument préhistorique de Stonehenge a longtemps été étudié pour ses liens éventuels avec l’astronomie ancienne. Des archéoastronomes ont prétendu que Stonehenge représentait un « ancien observatoire », bien que son utilisation à cette fin soit contestée. Beaucoup pensent également que le site peut avoir eu une valeur astrologique ou spirituelle.   Ci-contre : Mégalithe de Stonehenge (3500 à 3000 av. J.-C.), “observatoire ancien” en Angleterre.

c°/ Mésopotamie : entre 5300 av. J.-C. et 539 av. J.-C.

Les Sumériens, les Babyloniens (au sud) puis les Assyriens (au nord) ont peuplé la Mésopotamie (Irak actuel). Ils se distinguent par un développement très poussé des mathématiques.   Ils sont à l’origine des premiers modèles mathématiques de description et de prédiction des phénomènes célestes. Les astronomes connaissent notamment bien les mouvements des planètes visibles à l’œil nu : Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne. Par ailleurs, les savants mésopotamiens inventent les constellations les plus anciennes comme le Lion, le Taureau, le Scorpion et le Capricorne. Ils divisent également la voûte céleste entre douze signes du Zodiaque. Ces premières constellations seront ensuite complétées par les Grecs, qui introduiront des références à leur propre mythologie. Ci-contre : Tablette relatant des observations de Vénus, Ninive (ville d’Assyrie), VIIe siècle av. J.-C.

d°/ Égypte : vers 2500 av. J.-C.

Les Égyptiens sont eux à l’origine du calendrier solaire. Ils remarquent que l’apparition de l’étoile Sirius au-dessus de l’horizon terrestre à l’aube, après une période où elle était cachée, se produit approximativement tous les 365 jours, et divisent donc l’année de cette manière. Le cycle de la Lune durant environ 30 jours et nuits, ils divisent l’année en douze mois de 30 jours. Les Égyptiens sont aussi à l’origine du découpage de la journée en 24 heures.   Leurs pyramides sont orientés suivant les quatre points cardinaux, parfois avec une précision impressionnante comme les pyramides de Gizeh. Ci-contre : Une horloge stellaire égyptienne.

e°/ Grèce : VII^e siècle av. J.-C.

Les connaissances babyloniennes et égyptiennes sont transmises aux savants grecs. Et c’est en Grèce que tout change. Alors que les civilisations mésopotamienne et égyptienne se limitent à la description des phénomènes célestes, les Grecs s’intéressent au “pourquoi”. Ils vont plus loin dans l’analyse en cherchant à déterminer les lois physiques à l’origine du mouvement des astres et à trouver une explication rationnelle à la création du monde.

Deux visions de notre galaxie s’affrontent alors au cours des âges. Le géocentrisme qui place la terre au centre de l’univers et l’héliocentrisme pour qui c’est le soleil.

Aristote : Géocentriste. Philosophe grec né en 384 avant JC et mort en 322 avant JC. Il avait une vision géocentrique de l’Univers. Il considérait que la Terre est fixe au centre de l’univers et que tous les astres tournent autour d’elle selon des trajectoires circulaires.

Cette idée permettait d’expliquer grossièrement les mouvements apparents de la Lune et du Soleil, qui sont à peu près réguliers, mais elle ne pouvait pas justifier la complexité du mouvement des planètes qui parcourent la voûte céleste en effectuant des boucles. Par exemple, voici la trajectoire de Mars (la courbe blanche). On observe que Mars semble revenir en arrière et forme une boucle. Cette hypothèse n’expliquait pas non plus les grandes variations de l’éclat lumineux des planètes.

Position et phases changeantes de la Lune au-dessus des sommets du Groupe de Cridola, dans les Alpes italiennes, au cours d’un mois lunaire, appelé mois synodique.

Il est à noter que la forme des galaxie varie au cours du temps.

Ptolémée : Géocentriste. Claude Ptolémée, communément appelé Ptolémée, était un astronome (et astrologue), probablement d’origine grecque, qui vivait à Alexandrie en Égypte au 2^ième siècle.

Pour rendre compte de ces aspects, Ptolémée a proposé une modification au modèle d’Aristote.   Il a conservé la position centrale et fixe de la Terre mais chaque planète tournait cette fois autour d’un point qui suit la trajectoire circulaire d’Aristote. Ainsi chaque planète effectuait un petit cercle nommé épicycle dont le centre se déplaçait sur le déférent. Cette disposition décrivait mieux les trajets des planètes et elle expliquait aussi les variations d’éclats par des variations de distances.

f°/ Europe : XVI^e siècle.

C’est le système de Ptolémée qui restera en vigueur jusqu’au XVI^e siècle.

Copernic : Héliocentriste. Nicolas Copernic était un chanoine, médecin et astronome polonais né à Thorn en 1473 et mort à Frauenburg en 1543.

Copernic était conscient des insuffisances du système de Ptolémée et il l’a reconsidéré en mettant le Soleil au centre de l’Univers.   Il n’était certainement pas le premier à y avoir pensé mais, à cette époque on craignait la censure (et la répression) des autorités religieuses. Or l’idée de chasser la Terre (et l’homme) du centre de l’Univers était mal perçue par la communauté religieuse. Copernic a exposé son système planétaire dans son ouvrage « De Revolutionibus Orbium Coelestium » qui a été imprimé juste avant sa mort en 1543. Cependant, son système il n’explique pas mieux les irrégularités de la marche des planètes dans le ciel, et lui aussi fait appel à des épicycles et des excentriques.

Tycho Brahé : Géocentriste. Astronome Danois né à Knudstrup en 1546 et mort à Prague en 1601.

Il était opposé aux thèses héliocentriques de Copernic et préférait considérer la Terre fixe au centre de l’Univers. En fait, il croyait que les planètes tournaient autour du Soleil et que celui-ci tournait autour de nous avec tout ce cortège. C’était une sorte de compromis entre le système d’Aristote et celui de Copernic.   Cependant, Tycho Brahé était un observateur et il avait besoin d’un mathématicien pour exploiter ses mesures. Ceci le conduisit à rechercher la participation de Kepler. C’est en 1600, que l’astronome et mathématicien Kepler rencontra Brahé et devint son collaborateur. Quelques mois plus tard, la mort emporta Tycho Brahé et Kepler récupéra une partie de ses observations.

Kepler : Héliocentriste. Johannes Kepler (1571 – 1630) a alors étudié les mesures de Tycho Brahé dans le but de comprendre les mouvements des planètes.

C’est de l’étude des positions de la planète Mars que la solution a commencé à germer dans l’esprit de Kepler.   En 1609, Kepler publia un livre intitulé « Astronomia nova » (Astronomie nouvelle) dans lequel il exposait les deux premières lois que l’histoire des sciences a attachées à son nom. Neuf années plus tard, en 1618, il énonça sa troisième loi.

Newton : Isaac Newton (4 janvier 1643 – 31 mars 1727 ) est un mathématicien, physicien, philosophe, alchimiste, astronome et théologien anglais. Figure emblématique des sciences, il est surtout reconnu pour avoir fondé la mécanique classique (Philosophiae naturalis principia mathematica), pour sa théorie de la gravitation universelle et la création du calcul infinitésimal.

Les lois de Kepler étaient déduites des observations, celles Newton sont des hypothèses sur la réalité physique des relations entre matière, forces et mouvements.   Premier principe de Newton :Tout corps persiste dans son état de repos, ou de mouvement uniforme en ligne droite, à moins que des forces exercées sur lui ne l’obligent à changer cet état.

III°/ Circonférence de la terre et distance terre – lune – soleil :

Comment mesurer des distances inaccessibles, qui plus est sans avoir une idée précise de notre galaxie ? Et bien les savant Grecs de l’antiquité l’on fait …

La chronologie :

Date	Savant	Distances calculées	Distances réelles	Erreurs
-280 ans av. J.C.	Aristarque de Samos	Terre-lune = 495 338 km	Terre-lune = 384 400 km	+ 28,86 %
-200 ans av. J.C.	Ératosthène	Terre-soleil = 7 344 854 km	Terre-soleil = 149 597 870 km	– 49 %
-200 ans av. J.C.	Ératosthène	Rayon terre = 6 484 km	Rayon terre = 6 371 km	+ 1,74 %
-167 ans av J.C.	Hipparque de Nicée	Terre-lune = 424 309 km	Terre-lune = 384 400 km	+ 10,4 %
1751	Le Monnier	Terre-lune = 382 542 km	Terre-lune = 384 400 km	– 0,48 %
1969	Saturne 5	Terre-lune = 384 400 km	Terre-lune = 384 400 km	0 %

a°/ Ératosthène et la circonférence de la terre :

Nous connaissons la circonférence de la terre, qui est de 40 075 Km grâce aux satellites qui gravitent autour de nous.

Mais le plus extraordinaire, est que 3 siècles avant J.C. Ératosthène, sans satellite ni aucun instruments modernes, a été capable d’en donner une valeur incroyablement précise.
Ses calculs lui on permis de donner une circonférence 39 438,20 km soit une erreur de moins de 2%.

3 siècles avant J.C., Ératosthène se promenait à la fin du mois de juin à Syène au sud de l’Égypte, sous le tropique du Cancer. Le jour du solstice d’été, à midi (les rayons du soleil sont alors parallèles à l’équateur), il regarde au fond d’un puits. Il constate qu’il n’y a pas d’ombre à l’intérieur, et note ce phénomène. L’année suivante, à la même date et à la même heure, il est à Alexandrie au nord de l’Égypte qui se trouve à 780 km (les distance étaient mesurer en stade à l’époque). Il regarde dans un puits et constate, avec surprise, qu’il y a de l’ombre. Les rayons du soleil ne serait-il pas parallèles au nord et au sud ?
Cette hypothèse est peu probable, compte tenu de la distance terre-soleil. Faisons plutôt, pense-t-il, l’hypothèse que ce sont les puits qui ne sont pas parallèles.
Donc, si les puits sont bien fait et qu’ils sont perpendiculaires au sol, c’est la terre qui est ronde et l’axe des puits forment entre eux un angle a° de 7,12°.

Ératosthène était un astronome et mathématicien grec qui a vécu environ 200 ans avant Jésus Christ. Il a réussi à calculer le périmètre de la terre, avec une belle précision, ce qui est une sacrée performance pour l’époque.

Il constata qu’au solstice d’été à midi (les rayons du soleil sont alors parallèles à l’équateur), le soleil éclairait le fond d’un puits de la ville de SYENE (S) au sud de l’Égypte, sous le tropique du Cancer. En même temps à ALEXANDRIE (A), située à 800 km plus au nord de SYENE et sur le même méridien, un obélisque projetait une ombre qui faisait un angle de 7,12°.

Les rayons du soleil ne serait-il pas parallèles au nord et au sud ? Cette hypothèse est peu probable, compte tenu de la distance terre-soleil. Faisons plutôt, pense-t-il, l’hypothèse que ce sont les puits qui ne sont pas parallèles.

Distance ALEXANDRIE-SYENE AS = 780 km et a° = 7,12° :   360° ? Circonférence de la terre Ct a° ? AS Donc : Ct = (360 x AS)/ a Ct = (360 x 780) / 7,12 Ct = 39 438,20 km La circonférence réelle de la terre est de 40 075 km. Ératosthène a donc commis une erreur de 1,6%, ce qui est une immense performance.

b°/ Calcul de la distance terre-lune : Par Aristarque de samos (-310 -230 avt. JC)

La distance terre-lune est de 384 400 km. Nous avons des outils moderne et précis pour effectuer cette mesure, mais les Grecs, deux siècles avant Jésus Christ ont été capables d’obtenir de très belles approximations.

Lors d’une éclipse de Lune (passage de la Lune dans l’ombre de la Terre), Aristarque de samos (-310 -230 avt. JC) remarqua que l’éclipse avait durée 4 heures et que l’on pouvait mettre 3 lunes dans l’ombre de la terre.   Rayon_{Lune} = \frac{2\times Rayon_{Terre} }{6} = \frac{6484}{3} = 2161 \ km Le rayon réel de la lune étant de 1737,4 km l’erreur est seulement de 24%. Aristarque a considéré que le soleil était à l’infini et que l’ombre faite par la terre était un cylindre, alors que c’est un cône. Malgré tout, il a été capable de mesurer des distances inatteignables.

Il détermine que \widehat{L_{1}OL_{2}} mesure un demi degrés. Sachant que le rayon terre d’après Ératosthène fait 6 484 km.   tan \widehat{LOL_{2}}=\frac{opp \widehat{LOL_{2}}}{adj \widehat{LOL_{2}}}=\frac{LL_{2}}{OL} \ donc \ OL = \frac{LL_{2}}{tan \widehat{LOL_{2}} } = \frac{T_{1}T_{2}}{6 \times tan 0,25} \\                                                                      OL = 38,2 \times T_{1}T_{2}= 495 378 \ km La distance réelle terre-lune étant de 384 400 km, l’erreur est de 28,87 %, ce qui est très correct car la mesure de 0,5° durant l’antiquité s’avère difficile (certain ont suggéré que Aristarque aurait plutôt mesuré 2°. L’erreur serait alors de 84% !!!). En considérant maintenant la durée de l’éclipse de 4 heures et sachant que la durée du mois lunaire est de 30 jours (la lune fait le tour de la terre en 30 jours), recalculons la distance terre-lune. La lune passe dans l’ombre de la terre en 4h et parcoure donc le diamètre de la terre qui est de 2 x 6 484 = 12 968 km.

temps en heure Périmètre Révolution lune en km Eclipse 4 h 12 968 km Moi lunaire 30 jours = 30 x 24 = 720 h \frac{720 \times 12 968}{4}= 2 \ 334\ 240\ km

Périmètre Révolution lune = 2 \pi R donc : Distanceterre-lune = \frac{2 \ 334\ 240}{2\pi }= 371 \ 505,8\ km   Soit une erreur de seulement 3,35 %, ce qui est très superbe comme précision. Bien que les Grecs utilisaient le cadran solaire ou la clepsydre, leur mesure du temps était tout à fait correcte.

Remarque : comment mesurer l’angle \widehat{L_{1}OL_{2}} ?

Il suffit de viser l’objet inatteignable avec une pièce de monnaie par exemple dont on connait le diamètre.  L’angle de visée est alors facilement mesurable. Bien entendu l’erreur de mesure n’est pas négligeable.

c°/ Calcul de la distance terre-soleil :

Aristarque c’est aussi essayé au calcul de la distance terre-soleil. Mais sa mesure d’angle c’est révélé bien trop inexacte.

Lorsque la lune se présente sous différents aspects car elle réfléchit la lumière du soleil.   Au premier et au dernier quart, la lune présente une ombre qui la coupe exactement en deux. Soleil, terre et lune s’inscrivent alors dans un triangle rectangle. Aristarque avait mesurer un angle \widehat{DST} de 3°. La mesure du temps était moins facile et précise que maintenant.

Dans le triangle DST rectangle en D   sin \widehat{DST}=\frac{opp \widehat{DST}}{hypo} = \frac{DT}{ST} \ donc \ : \ ST = \frac{DT}{sin \widehat{DST}}= \frac{371 \ 505,8}{sin \ 3} = 7 \ 098\ 481,17 \ km La distance terre-soleil est de 149 597 870,7 km, l’erreur est donc considérable mais le raisonnement est correct. En fait l’angle est de 0,15° : ST = \frac{DT}{sin \widehat{DST}}= \frac{371 \ 505,8}{sin \ 0.15} = 141 \ 904\ 619 \ km

IV°/ Le tunnel de Samos :

550 ans avant Jésus Christ, sur l’île grecque de Samos (là où serait né Pythagore), Polycrate (un tyran de l’île) décida de faire creuser un tunnel qui aurait pour but de ravitailler sa ville en eau sans que cet approvisionnement ne puisse être facilement coupé en cas de siège. Ce tunnel se présenterait alors sous la forme d’un aqueduc souterrain et devrait traverser un petit mont (le Mont Kastro) sous l’Acropole de Samos sur une longueur d’environ 1km. L’aqueduc puiserait sa source de l’autre côté de la montagne. De plus, il devrait être quasi-horizontal afin de permettre l’écoulement naturel des eaux jusqu’à la ville.

C’est Eupalinos de Mégare (fils de Naustrophus et élève de Pythagore) qui fut désigné comme architecte-ingénieur de l’ouvrage. Celui-ci, afin de gagner du temps, demanda à deux équipes de creuser simultanément des deux côtés de la montagne. Il ne lui fallut tout de même pas moins de 10 ans pour parvenir à ses fins.

Visiter le tunnel	Visiter le tunnel

Aujourd’hui, même si on ne sait toujours pas exactement comment Eupalinos réalisa ses plans et que bon nombre d’hypothèses circulent, on peut être sûr qu’il fut confronté à 3 problèmes :

1/ Garder l’aqueduc horizontal, avec une légère pente entre l’entrée et la sortie pour permettre l’écoulement de l’eau.

C’est le problème le plus important. Déterminer l’entrée A et la sortie B du tunnel. Pour cela il suffit de choisir l’endroit de la sortie B pour qu’elle surplombe la ville et de contourner la montagne par l’ouest en suivant la même courbe de niveau, en passant par le point C et rejoindre l’entrée A.

Des preuves archéologiques nous montrent que les Samiens disposaient d’instruments pour déterminer l’horizontale : des sortes de gouttières en terre cuite, posées sur des pieux, dans lesquelles on versait de l’eau. L’horizontale était obtenue quand celle-ci ne s’écoulait pas. Cependant, si les gouttières mesuraient 2 m de long, il en aurait fallu environ 1100, car la distance séparant l’entrée A de la sortie B, en passant par l’ouest, est de 2200 mètres.

Les Samiens utilisèrent alors une petite astuce, leur permettant de réduire considérablement le nombre de pieux à planter. En effet, ils commencèrent par planter deux pieux A et B distants l’un de l’autre d’environ 10 mètres, dont les sommets étaient à même niveau en utilisant la méthode des gouttières. Ils alignaient ensuite un pieu C à environ 100 mètres, en utilisant des visées oculaires et grâce aux deux autres pieux préalablement mis en place.

2/ Les 2 équipes ne doivent pas se rater, car partant de chaque côté, le risque de ne pas se rencontrer était grand. Il faut bien déterminer l’orientation dans laquelle le tunnel doit être percé.

Deux méthodes furent imaginées, car nous n’avons aucun indice sur la façon exacte qui fut utilisée.

La première méthode : celle des pieux

Comme l’entrée A est invisible de la sortie B du tunnel à cause de la montagne, il suffirait de construire une tour au sommet S, visible de A et de B. En disposant des pieux intermédiaires entre les extrémités A et B et le sommet S, il est possible de réaliser un alignement de pieux entre A et B. On vérifie cet alignement comme précédemment, de proche en proche.

Une autre méthode a été proposée, celle de Héron d’Alexandrie.

Elle consiste à rester sur le même niveau et à relier l’entrée A et la sortie B du tunnel à l’aide de planche que l’on dispose toujours en ligne droite ou à angle droit. Ainsi il suffit de compter le nombre de planches disposées vers l’ouest (de B vers 6, de 5 vers 4 …) et vers le nord (de 6 vers 5, de 4 vers 3 …). On détermine ainsi un triangle ABC rectangle en C dont on connait AC (la longueur des planches dirigées vers le nord) et BC (la longueur des planches dirigées vers le l’ouest entre B et C). On peut ainsi calculer la longueur AB du tunnel, mais surtout fabriquer deux autres triangles rectangles AFG et BED, semblables à ABC.

Pour cela il suffit de faire en sorte que (BD) soit perpendiculaire à (BC) ainsi que (AG) et (FG), et que les longueurs des triangles AFG et BED soient des réductions de ABC, d’un rapport que l’on pourra choisir à notre convenance. L’axe (EB) sera ainsi orienté de la même façon que l’axe (AF) et surtout que l’axe (AB) du tunnel.

Les deux équipes connaissent à présent l’endroit où commencer à creuser et la direction à suivre.

3/ La longueur du tunnel. Estimer la longueur du tunnel. Peut important sauf pour prévoir le temps et le coût financier du chantier.

La longueur de l’hypoténuse AB du triangle rectangle ABC précédent.

Pour conclure, il est intéressant de noter que le tracé réel du tunnel n’est pas parfaitement rectiligne. Il présente quelques zigzags au milieu du parcours. Il faut tenir compte des erreurs de précision des mesures, du manque d’outils et des erreurs humaines.

Carte de Ernst Fabricius (1884)

Victor Guerin, archéologue français à la recherche de la « grande source » d’Hérodote, fut le premier à découvrir les 400 premiers mètres de l’aqueduc, à partir de la source des Agiades, en 1853. Cependant, ce fut le moine Kyrillos Moninas, en 1882, du monastère voisin d’Agia Triada, qui a réussi à découvrir les entrées sud et nord du tunnel principal. En 1884, E. Fabricius, archéologue de l’Institut archéologique allemand d’Athènes (DAI), visita l’île et inspecta le tunnel jusqu’au point qui pouvait être visité à l’époque. En 1971, U. Jantzen, directeur du DAI, réussit après de longs préparatifs, à dégager complètement le tunnel (1971-1973).

V°/ Poids des planètes :

a°/ La constante gravitationnelle G : Newton et l’expérience de Henry Cavendish au XVIII^ième siècle

En physique, la constante gravitationnelle, aussi connue comme la constante universelle de gravitation, notée G, est la constante de proportionnalité de la loi universelle de la gravitation d’Isaac Newton. Cette constante physique fondamentale apparaît dans des lois de l’astronomie classique qui en découlent (gravité à la surface d’un corps céleste, troisième loi de Kepler, etc.), ainsi que dans la théorie de la relativité générale d’Albert Einstein.

Newton a établit une loi qui explique que 2 corps s’attirent mutuellement, proportionnellement au produit des deux masses m₁ et m₂, et inversement proportionnellement au carré de la distance d qui les sépare. F_{1\to 2}=F_{2\to 1}= G \times \frac{m_{1}m_{2}}{d^{2}}.

Loi universelle de la gravitation selon Newton.	Expérience de Cavendish. On connait les masse mB des boules bleues et mR des boules rouges, la distance d entre les boules et la force de traction F_{R\to B} des boules rouges sur les bleues. On peut donc calculer la constante G.   G = 6,674184 10–11 m3 kg–1 s–2

b°/ Les 3 lois de Kepler :

Kepler (1571-1630) publia, entre 1609 et 1618, un livre intitulé Astronomia Nova dans lequel il énonça les trois relations mathématiques, aujourd’hui dites lois de Kepler, qui régissent les mouvements des planètes sur leur orbite.

Les 3 lois de Kepler :

1ière loi : Loi des orbites   Les planètes tournent autour du Soleil en décrivant des ellipses dont le soleil occupe un des foyers. On appellera a le demi grand axe de cette ellipse et T la période orbitale de cette planète autour du soleil. Les planètes de notre système solaire ont une trajectoire presque circulaire car leur excentricité (distance centre – 2ième foyer) est très faible.
2ième loi : La loi des aires   Durant un temps donné, la surface balayée par la planète et la même. Donc, plus une planète est proche du soleil plus sa vitesse augmente. Entre t1 et t2 la surface bleue de l’ellipse et la même que entre t3 et t4.
3ième loi : Loi des périodes   Les carrés des périodes de révolution des planètes sont proportionnels aux cubes des grands axes de leurs orbites.	\huge \frac{a^{3}}{T^{2}} = k

Démonstration de la 3ième loi de Kepler :

Si un objet de masse m tourne autour d’un autre de masse M infiniment plus grand (les planètes autour du soleil, la lune autour de la terre ou un satellite autour d’un planète) alors il subit deux forces opposées qui se compensent :

– Une force d’attraction : Force de gravitation universelle \huge F_{1} = \frac{GmM}{a^{2}}   – Force centrifuge due à la rotation de la terre autour du soleil \huge F_{2} = \frac{mV^{2}}{a}

G = constante gravitationnelle = 6,674×10-11 Nm2kg-2   M = masse de l’objet massif = Constante m = masse de l’objet en mouvement autour de M a = longueur du demi-grand axe de la trajectoire elliptique de l’objet m autour de M V = vitesse de la rotation de m autour de M T = période de révolution sidérale en seconde

\huge F_{1} = F_{2} \\\frac{GmM}{a^{2}} = \frac{mV^{2}}{a} \ avec : V = \frac{Orbite \ circulaire}{Temps} = \frac{2\pi a}{T} \\\frac{GM}{a^{2}} = \frac{(2\pi a)^{2}}{a \times T^{2}} \\\frac{GM}{4\pi ^{2}} = \frac{a^{2}\times a^{2}}{a \times T^{2}} \\ \frac{ a^{3}}{ T^{2}} = \frac{GM}{4\pi ^{2}} = Constante

 

c°/ Cas de la terre :

G = constante gravitationnelle = 6,674×10^-11 Nm²kg^-2

m = masse de la terre

M= masse du soleil

a = distance terre soleil = 150×10⁶ km

V = vitesse de la rotation de la terre autour du soleil. V= \frac{2\pi a}{T} = \frac{2\pi \times 1,5 \times10^{11}}{365\times24\times3600} =29 886 \ m/s \simeq 3 \times10^{4} \ m/s

Puisque les forces F1 t F2 sont égales : \huge F_{1} = F_{2} \\\frac{GmM}{a^{2}} = \frac{mV^{2}}{a} \\M =\frac{aV^{2}}{G} \\M =\frac{1,5 \times 10^{11}\times (3\times10^{4})^{2}}{6,674\times10^{-11}} = 2,02\times 10^{30} kg

G = constante gravitationnelle = 6,674×10-11 Nm2kg-2   m = masse de la terre M= masse du soleil a = distance terre soleil = 150×106 km V = vitesse de la rotation de la terre autour du soleil. V= \frac{2\pi a}{T} = \frac{2\pi \times 1,5 \times10^{11}}{365\times24\times3600} =29 886 \ m/s \simeq 3 \times10^{4} \ m/s

d°/ Cas des autres planètes :

On peut procéder de la même manière avec les satellites des planètes Jupiter, Mars et Saturne.

 

VI°/ Vitesse de la lumière :

La vitesse de la lumière est la vitesse maximale que l’on peut atteindre (enfin, jusqu’à preuve du contraire). Elle est de 299 792 458 m/s. Mais très tôt on a su la calculer avec des moyens dérisoires.

L’histoire de la mesure de la vitesse.

Les dates clefs :

Année	Savants	Technique	Valeur	Erreur	Conclusions
			(en km/s)	(en %)
< 1000	Alhazen (965–1039)	Réfraction de la lumière dans l’eau : Lorsque l’on plante un bâton dans l’eau on a l’impression qu’il est brisé. Alhazen comprend que cela est due à la vitesse de la lumière qui est différente dans l’air et dans l’eau.	Non concluant		La lumière a une vitesse mais elle est incalculable pour le moment.
< 1638	Galilée (1564–1642)	Lanternes masquées : deux hommes munis d’une lanterne et placés à une distance de 1800 m, font l’expérience suivante : le premier découvre sa lanterne en déclenchant une clepsydre (horloge), le second découvre la sienne dès qu’il aperçoit le signal lumineux et le premier arrête son horloge dès qu’il voit le signal lumineux. Le temps d’aller et retour du signal lumineux peut être ainsi en théorie apprécié.	Non concluant		La lumière paraît être instantanée car la distance est trop courte et il lui faut quelques millionièmes de seconde pour faire les 3,6 kilomètres. Galilée en déduit que la vitesse de la lumière est trop élevée pour être mesurée
1676	Ole Rømer (1644–1710) et Christiaan Huygens	Observation des lunes de Jupiter : En 1676, Ole Rømer étudie les éclipses d’Io. Ce satellite de Jupiter n’est plus visible lorsqu’il traverse la zone d’ombre de Jupiter. Ces éclipses sont bien connues mais ne respectent bizarrement pas toujours les horaires prévus par les calculs établis par les tables de Cassini. Römer prouve que ces variations ne peuvent correspondre qu’au temps supplémentaire que met la lumière d’Io pour nous parvenir quand Jupiter et elle sont plus éloignées de la Terre­ : la lumière a donc une très grande vitesse. Il observe qu’il y a 22 min pour pour traverser l’équivalent du diamètre de l’orbite terrestre.	227 272	-24,2 %	La distance terre-soleil et le mouvement des astres n’étaient pas très précis à l’époque, mais le raisonnement était exact.   V_{Lux}=\frac{2 \times 150 \ 000 \ 000}{22 \times 60}= 227 \ 272 \ km/s
1729	James Bradley (1693-1762)	Aberration de la lumière : L’aberration est le fait qu’en raison du mouvement de la Terre autour du Soleil toutes les étoiles effectuent un mouvement annuel apparent, selon une ellipse plus ou moins aplatie selon leur position, dont le demi grand axe est de 20,4 secondes de degré. Si on l’exprime en radians, la moitié de cette amplitude est le rapport entre la vitesse de la Terre sur son orbite et la vitesse de la lumière. Bradley a ainsi estimé que la lumière allait 10 210 fois plus vite que la Terre.   C’était bien mieux que Cassini, mais il restait à estimer avec précision la distance Terre-Soleil pour obtenir une bonne valeur de la vitesse de la lumière.	301 000	0,40 %	V_{Lux}= 10 \ 210 \times V_{Terre} \\ \\ \frac{Distance_{Terre-Soleil}}{T_{Terre-Soleil}}=10 \ 210 \times \frac{2\pi Distance_{Terre-Soleil} }{1 \ an} \\ \\ T_{Terre-Soleil} = \frac{365 \times 24 \times 3600}{10 \ 210 \times 2\pi } = 492 \ secondes = 8 \ min \ 12 s
1849	Hippolyte Fizeau	Roue dentée : En 1849, il fabrique un ingénieux système comportant une roue dentée et deux miroirs , dont un semi-réfléchissant. Sur la figure ci-contre on devine le principe : la roue est mise en rotation , une source de lumière est réfléchie par le premier miroir , franchit une échancrure de la roue , se réfléchit sur le second miroir et parvient à l’observateur après un parcours correspondant à (2d) à la vitesse (c) qui est l’inconnue. Fizeau fait son expérience entre Montmartre et le Mont Valérien à Suresnes distants de 8633 m. La roue dentée comporte 720 dents et 720 échancrures. Fizeau détermine alors la vitesse de rotation de la roue qui permet à la lumière de traverser le bord d’un « creux » et de revenir au bord du même creux. Le faisceau est donc juste occulté et ne parvient plus à l’observateur. Cette vitesse de rotation est de 12,67 tours par seconde.	315 000	5,07 %	Temps tAR de la lumière à la vitesse de la lumière CAR durant l’aller-retour Montmartre-Suresnes : t_{AR}=\frac{D}{C_{AR}}=\frac{2 \times 8633}{C_{AR}} Vitesse angulaire V de la roue crantée : V = 12,67 tours/s = 12,67 \times 2 \pi \ rad/s La roue est composée de 720 dents et 720 échancrures, dont un secteur angulaire \alpha = \frac{2\pi }{2 \times 720} Temps tα mit par la roue pour tourner d’un angle α : t_{\alpha } = \frac{\alpha }{V}=\frac{2\pi }{2 \times 720 }\times\frac{1}{12,67 \times 2\pi }=\frac{1}{2 \times 720 \times 12,67 } Ainsi : t_{AR}= t_{\alpha } \ donc \ : \ \frac{2 \times 8633}{C_{AR}}=\frac{1}{2 \times 720 \times 12,67 } Donc : C_{AR} = 2 \times 8633 \times 2 \times 720 \times 12,67 = 315 \ 760 \ 608 \ m/s \approx 3 \times 10^{8} \ m/s
1862	Léon Foucault	Miroir en rotation : C’est aussi en 1850 que Léon Foucault détermine la vitesse de la lumière, au moyen d’un miroir tournant fabriqué par Louis Breguet. Le faisceau lumineux est réfléchi par un miroir tournant à 400 tours/s, qui l’envoie sur une suite de miroirs, dont le dernier renvoie la lumière sur le trajet inverse jusqu’à une fenêtre semi-réfléchissante et un microscope qui permet de mesurer une variation d’angle de 0,0195° pour un parcours de la lumière de 40,4 m.	298 000	-0,60 %	Vitesse du miroir tournant : 400 tours/s = 400 x 360° = 144 000° par seconde Donc pour un angle de 0,0195° : \frac{0,0195 \times 1}{144 \ 000}=1,354 \times 10^{-7} \ seconde Vitesse de la lumière : C = \frac{D}{T} = \frac{40,4}{1,354 \times 10^{-7}}= 298\ 375 \ 184 \ m/s
1878	Albert A. Michelson	Miroir en rotation : Même procédé que Léon Foucault mais sur une distance 70,8 km et un temps de 327 x 10-6 secondes.	299 796	0%
1907	Bennett Rosa et Noah Dorsey	Constantes électromagnétiques	299 710	-0,03 %
1950	Louis Essen et Albert Gordon-Smith	Cavité résonnante	299 792,5	0%
1958	K. D. Froome	Interférométrie radio	299 792,50	0%
1972	Evenson et al.	Interférométrie laser	299 792,456 2	0%
1978	Woods, Shotton et Rowley	Interférométrie laser	299 792,458 8	0%
1983	Conférence générale des poids et mesures (définition du mètre)	Avant 1960, le mètre était la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre passant par Paris. Une barre de platine mesurant 1 m se trouvée au Bureau international des poids et mesures à Sévre, et servait de référence. Cependant la précision n’était pas parfaite, puisque sujette aux condition de mesure. En 1983 la définition du mètre évolue. Ce sera la distance parcourue par la lumière en 1/299 792 458 seconde. Ce n’est plus la lumière que l’on mesure à partir d’une distance, mais le mètre que l’on définie à partir de la vitesse de la lumière.	299 792,458	0%	Mètre étalon en platine. Mètre étalon 36 rue de Vaugirard 75006

VII°/ Les instruments de mesure de l’antiquité :

VIII°/ L’équation d’Al-Khwarizmi : 780-850 après JC

Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (en arabe : محمد بن موسى الخوارزمي), généralement appelé Al-Khwârizmî (latinisé en Algoritmi ou Algorizmi), né dans les années 780, probablement à Khiva dans la région du Khwarezm (d’où il prend son nom), dans l’actuel Ouzbékistan, mort vers 850 à Bagdad, est un mathématicien, géographe, astrologue et astronome persan. Ses écrits, rédigés en langue arabe, puis traduits en latin à partir du XIIe siècle, ont permis l’introduction de l’algèbre en Europe. Sa vie s’est déroulée en totalité à l’époque de la dynastie abbasside.

Son nom latinisé est à l’origine du mot algorithme et le titre de l’un de ses ouvrages Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison) est à l’origine du mot algèbre (al-jabr), discipline mathématique connue depuis l’antiquité.

Voici sans doute l’exercice fondateur de l’algèbre et de la résolution des équations : Le carré d’un nombre et 10 fois ce nombre valent 39.

Si on pose x le nombre inconnu, il faut résoudre l’équation suivante en langage moderne : x² + 10x = 39

Al-Khwarizmi a utilisé une représentation géométrique pour visualiser le problème : 39 = x² + 5x + 5x = x² + 10x	Si on rajoute un carré de  5×5 = 25 on fabrique ainsi un nouveau carré de côté x+5. On a alors : (x+5)² = 39 + 25 = 64 Il faut trouver un nombre dont le carré est égal à 64. Ce sera 8, car le nombre négatif -8 n’a pas encore beaucoup de signification à l’époque. x + 5 = 8 donc x = 8 – 5 = 3 Vérification : x² + 10x = 3² + 10×3 = 9 + 30 = 39

 

 

1°/ Le paradoxe de Condorcet : Phénomène non transitif.
2°/ Conjecture de FERMAT Puissance niéme :
3°/ Duplicité du cube :
4°/ Trisection d’un angle :
5°/ Le problème de Syracuse :
6°/ La Conjecture de Goldbach :
7°/ Le Problème de Catalan :
8°/ Elkies contredit Euler :
9°/ Le paradoxe de Zénon d’Elée : La flèche
10°/ L’avocat :
11°/ Le segment qui se voulait aussi grand qu’une droite… :
12°/ \sqrt{2} = 2 :
13°/ Factorielles et carrés :
14°/ Fractions égyptiennes :
15°/ Équations Diophantiennes :
16°/ Côtés et segments remarquables du triangle :
17°/ Les distances d’un point aux sommets d’un carré :
18°/ La brique parfaite d’Euler :
19°/ Le paradoxe d’Épiménide le Crétois :
20°/ Quelques sophismes :
21°/ Le barbier barbant :
22°/ Le paradoxe de Zénon d’Elée : Achille et la tortue
23°/ Paradoxe de Socrate et Platon :
24°/ Les nombres de Ramsey :
25°/ Les nombres de Lychrel :
26°/ Le nombre chromatique du plan :
27°/ Persistance multiplicative :
28°/ Paradoxe des anniversaires et Rubik’s cube :
29°/ Le plus court chemin est-il la ligne droite ?
30°/ \pi = 4 ou même 2 :
31°/ Les bœufs d’Helios :
32°/ Pythagore nous aurait menti ?
33°/ L’Algorithme de Kaprekar :
34°/ Le paradoxe du duc de Toscane, ou la naissance des probabilités :
35°/ La conjecture de Poincaré :
36°/ La loi de Benford :
37°/ Des sommes de réel étonnantes :
38°/ Les 7 problèmes du millénaire :
39°/ Le paradoxe de Bertrand :
40°/ La trompette de Gabriel :
41°/ Le paradoxe de Simpson : étude sur les placébos
42°/ Tous les triangles sont équilatéraux :
43°/ Les limites de bon sens :
44°/ Je suis le Pape :
45°/ Le paradoxe de la roue d’Aristote :

1°/ Le paradoxe de Condorcet : Phénomène non transitif.

Un phénomène transitif respecte l’ordre. Donc : si A < B et B < C alors A < C.

Cependant il existe des phénomènes non transitifs. Ainsi : si A < B et B < C alors A > C.

Chaque résultat l’emporte sur un autre. C’est comme dans le jeu du Chifumi (Pierre-papier-ciseaux), chaque action l’emporte sur une autre.

1°/ L’élection :

Soient trois candidats ou trois options, A, B et C que nous voulons départager par le vote. Si une majorité d’électeurs préfère A à B, nous noterons A>B.

On peut imaginer que si A>B et B>C alors A>C. Et bien cela est faux en général comme le prouve l’exemple suivant.

Lors de l’élection du délégué de classe de 3°2, trois candidats se sont présentés : Véronique, Jules et Olivier.

Dans cette classe de 25 élèves, j’ai donc demandé à chacun de donner ses préférences.

5 élèves préfèrent Jules à Véronique, elle-même préférée à Olivier : J > V > O : 5 voix

Voici les résultats :

J > V > O : 5 voix

J > O > V : 6 voix

O > J > V : 3 voix

O > V > J : 3 voix

V > O > J : 7 voix

V > J > O : 1 voix

Total : 5 + 6 + 3 + 3 + 7 + 1 = 25 élèves

Donc on remarque que :

5 + 6 + 3 = 14 préfère J> V contre 3 + 7 + 1 = 11 pour V > J

5 + 7 + 1 = 13 préfère V>O contre 6 + 3 + 3 = 12 pour O > V

3 + 3 + 7 = 13 préfère O>J contre 5 + 6 + 1 = 12 pour J > O

On a donc J > V, V > O et pourtant O > J alors qu’on s’attendrait à J > O !

Autrement dit aucun classement tel que J > V > O ne peut être considéré comme le classement préféré de la classe, car celui-ci impliquerait que J > O. Dans ce cas, les classements individuels ne peuvent conduire à un classement collectif.

Voici 3 types d’élections :

1/ L’élection précédente s’appelle Vote plurinominal, à un tour, avec échelle de préférences. C’est le vote le plus démocratique par excellence. Avec trois candidats, l’électeur a le choix entre 6 combinaisons possibles. Malheureusement, ce mode de scrutin, qui permet à l’électeur d’exprimer un ordre de préférence sur l’ensemble des candidats, est difficilement applicable dans la pratique. Il butte sur le paradoxe de Condorcet et il y a impossibilité de désigner un vainqueur.

2/ Vote uninominal, à la majorité simple, à un tour. C’est le système anglo-saxon : First past the post. Celui qui remporte le plus de voix au premier tour est élu. Ici se serait Jules car il a 14 voix contre 13 pour Olivier et Véronique.

3/ Vote uninominal, à la majorité absolue, à deux tours. C’est le système français. Il faut avoir plus de la moitié des voix pour être élu au premier tour, sinon on réalise un deuxième tour. Dans ce cas de figure, si Olivier se désiste au profit de Véronique (ou le contraire), Jules est battu au deuxième tour par 26 voix contre 14 (si le report est total).

2°/ Les magasins :

Les enseignes de distribution de vantent souvent d’être moins chère que leurs concurrents. Mais est-ce 3 magasins peuvent être plus économiques à la fois les uns avec les autres ?

Voici 3 magasins qui vendent 3 produits identiques.	Comparons les magasins 1 et 2. C’est 2 qui est plus économique.
Comparons les magasins 2 et 3. C’est 3 qui est plus économique.	Comparons les magasins 1 et 3. C’est 1 qui est plus économique.

Donc : Magasin 3 < Magasin 2 puis Magasin 2 < Magasin 1 mais Magasin 1 < Magasin 3 ???? Il n’y a pas de magasins plus économiques que les autres, cela va dépendre du produit.

Les publicitaires ont encore de beaux jours devant eux pour nous vendre leurs salades.

3°/ Les dés :

Voici 3 dés un peu particulier. Lequel a le plus de chance de nous faire gagner ?

Représentons les issues possibles et leurs résultats sont forme de tableau :

Le dé vert est meilleur que le dé rouge qui est lui-même meilleur que le dé bleu, il semble logique de supposer que le dé vert sera meilleur que le dé bleu. Est bien contrairement à ce que l’on pouvez imaginer, le bleu l’emporte sur le vert !!

Mais on peut encore aller plus loin : voici 3 nouveaux dés et leurs résultats.

Le 1ier dé vert est meilleur que le 2ième dé rouge qui est lui-même meilleur que le 3ième dé bleu, mais c’est bien le bleu qui est meilleur que le vert.

Mais si maintenant on lance deux fois chaque dé, il est peut probable que cela change le classement précédent. Et bien les 2 dés rouges deviennent meilleurs que les verts alors que seul, c’est le vert qui gagne !!!

En fait tous les classements s’inversent à présent. Ils sont fous ces dés.

4°/ Le plus rapide :

Christophe, Sébastien et François font tous les jours la course pour se rendre de leur même immeuble jusqu’au collège. Il y a 201 jours de classe dans l’an­née. Christophe est arrivé au moins 134 fois avant Sébastien et se considère donc comme plus rapide que lui. Sébastien est arrivé au moins 134 fois avant François et se considère donc comme plus rapide que lui. Il est donc impossi­ble que François soit arrivé au moins 134 fois avant Christophe, n’est-ce pas ?

Et bien si !!! Il n’est pas impossible que François se considère comme plus rapide que Christo­phe. Pour nous en persuader, nous pouvons imaginer les ordres d’arrivée suivants :

67 fois : Christophe, puis Sébastien puis François; 67 fois : Sébastien, puis François, puis Christophe ; 67 fois : François puis Christophe, puis Sébastien.

134 fois : Christophe avant Sébastien 134 fois : Sébastien avant François 134 fois : François avant Christophe

C’est le paradoxe de Condorcet

2°/ Conjecture de FERMAT Puissance niéme :

Quel que soit a un nombre entier, il n’existe pas 2 autres entiers b et c tels que : aⁿ = bⁿ + cⁿ avec n >2

Fermat établira tout de même une preuve pour n = 4.
Plus tard, le suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783) propose une démonstration pour n = 3. En 1828, l’allemand Peter Lejeune-Dirichlet (1805 ; 1859) la démontre pour n = 5, puis en 1840, Gabriel Lamé (1795 ; 1870) et Joseph Liouville (1809 ; 1882) pour n = 7.
La course folle après la conjecture de Fermat est lancée. Les plus grands mathématiciens et savants s’affrontent pour être le premier à venir à bout de cette étonnante conjecture à l’énoncé si simple mais dont la démonstration semble inaccessible. Il faut dire que des récompenses très appréciables sont promises. L’Académie des sciences de Paris promet une médaille d’or et une somme de 300 000 francs or. La Société royale de Göttingen offre 50 000$ (actuel) correspondant au prix Wolfskehl crée en 1908.

C’est en 1993 que la conjecture défraie la chronique. Les médias de toutes parts annoncent la fin de ce grand mythe des mathématiques, qui résistait depuis plus de 350 ans à toutes les démonstrations.
Le héros s’appelle Andrew Wiles, un anglais né à Cambridge en 1953. Sa mère, professeur de mathématiques l’initie très jeune au maniement des nombres.
C’est à l’âge de 10 ans qu’il tombe dans le piège de Fermat en empruntant à la bibliothèque un manuel d’histoire des mathématiques traitant de la conjecture de Fermat.

« Cela avait l’air si simple, et pourtant aucun des grands mathématiciens de l’histoire n’avait pu le résoudre. » Wiles

Pas si simple ! Wiles doit travailler dans le plus grand secret, le risque est trop grand, pense-t-il de se faire voler sa démonstration. Seuls ses plus proches collègues sont au courant de ses travaux. Il faudra à Wiles sept années d’isolement et de labeur pour arriver à bout, croyait-il, le 23 juin 1993 de la conjecture de Fermat. A l’Institut Isaac Newton de Cambridge, Il expose sa démonstration devant une assemblée de savants. L’idée de Wiles est remarquable, en passant par les courbes elliptiques, il unifie différentes branches des mathématiques pour prouver la conjecture de Fermat…
… Mais après plusieurs semaines, on s’aperçoit que sa preuve comporte une faille.

Andrew Wiles

Même si Wiles tente corriger son erreur, après ce revers, c’est le doute puis le désarroi qui l’emportent.
Quand le matin du lundi 19 septembre 1994, assis à son bureau, Wiles a de façon tout à fait inattendue une incroyable révélation. Il réalise ce qui empêche sa démonstration de fonctionner et se remet alors au travail.
En mai 1995, il publie la correction de sa démonstration qui est ensuite officiellement reconnue dans le monde scientifique. Celle-ci fait tout de même plus de 1000 pages. Fermat avait raison de dire qu’elle ne pouvait tenir dans sa marge !!!

Il reçoit alors un prix spécial par le congrès international des mathématiciens qui attribue habituellement la médaille Field (l’équivalent du prix Nobel en mathématiques), les 300 000 francs or de l’Académie des sciences, le prix Wolfskehl et surtout la fierté de voir la conjecture de Fermat changer de statut et de nom pour devenir le Théorème de Fermat-Wiles.

Cela marche avec n = 2. Il s’agit des triplets Pythagoriciens ( 3² + 4² = 5² par exemple).

Petit bonus : ce n’est pas la seule conjecture que Fermat a découvert. En voici une autre un peu plus simple car démontrée en 2006 par Gougam et Bagglio. 26 est le seul entier qui suit un carré 25 = 25² et précède un cube 27 = 3³.

3°/ Duplicité du cube :

Soit un cube d’arête a. Il est impossible de trouver un autre cube d’arête b dont l’aire ou le volume soit le double du premier. En effet :

Arête	Surface	Volume
a	a²	a3
b	b²	b3

Un carré de côté b peut-il avoir une aire qui soit le double d’un carré de côté a ?	Un cube de côté b peut-il avoir un volume qui soit le double d’un cube de côté a ?
2 x a² = b² 2 = b²/a² \sqrt{2} = b/a	2 x a3 = b3 2 = b3/a3 \sqrt[3]{2}= b/a

Or ni ni ne sont des rationnels, donc ils ne peuvent s‘écrire comme tel c’est à dire sous la forme d’un rapport de 2 nombres entiers b/a.

4°/ Trisection d’un angle :

A l’aide d ‘une règle et d’un compas, il est impossible de partager un angle b donné, en 3 angles a égaux.

5°/ Le problème de Syracuse :

L’origine du problème n’est pas claire. Il semble que le mathématicien Lothar Collatz soit le premier à avoir, au début des années 1930, rencontré ce que l’on appelle, depuis, l’algorithme de Collatz ou le problème 3 N + 1. Vers 1950, Helmut Hasse, un ami de Collatz, introduisit le problème à l’Université de Syracuse (aux États-Unis et non en Sicile). C’est pour cette raison que le problème est maintenant connu sous le nom de conjoncture de Syracuse.

Recommencez de même avec le résultat… Vous arriverez fatalement à 1 au bout d’un nombre h (la hauteur du nombre initial) d’opérations. Mais quelle peut être la hauteur maximale ?

À l’heure actuelle, la conjoncture de Syracuse a été vérifiée pour tout nombre inférieur à mille milliards, mais on ne sait toujours pas prouver qu’elle est vraie pour tous les entiers !

Amusez-vous avec cette application SCRATCH :

6°/ La Conjecture de Goldbach : Info Wikipedia

En 1742, Christian Goldbach proposa à Leonhard Euler la conjecture suivante : « Tout nombre entier supérieur à 3 est somme de deux nombres premiers » (rem : à cette époque le nombre 1 est considéré comme premier).

Énoncé modernisé en : Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers.

Cette conjecture a fait l’objet de recherches par plusieurs théoriciens des nombres et a été vérifiée par ordinateur pour tous les nombres pairs jusqu’à 2.10¹⁸ à la date de novembre 2010. Voici un site qui propose de décomposer les nombres.

Mais aujourd’hui encore personne n’a pu prouver qu’elle était valable pour TOUS les entiers !!

Le site WIMS de l’université de Nice propose de calculer simplement la décomposition en sommes de 2 nombres premiers, pour un nombre de votre choix.

7°/ Le Problème de Catalan :

En 1844, Catalan proposa l’énoncé suivant: les seuls puissances parfaites consécutives sont 8 et 9. Autrement dit l’équation x^p – y^q = 1, avec x, y, p et q entiers n’admet comme solution que le couple (8,9). On sait depuis 20 ans qu’il n’y a en tout cas qu’un nombre fini de solutions, on connait également la borne supérieure de ces solutions, mais elle est si élevée que même à l’aide des ordinateurs les plus puissants, on n’a jamais pu trouver d’autres solutions à l’équation. Apparemment la conjecture de Catalan a de beaux jours devant elle…

8°/ Elkies contredit Euler :

Mais même les plus grands mathématiciens peuvent se tromper dans leurs conjectures: ainsi Leonhard Euler (1707/1783) qui avait prévu que la somme de trois bicarrés ne pouvait être un bicarré, c’est-à-dire que l’équation a⁴ + b⁴ + c⁴ =d⁴ n’admet aucune solution avec a,b,c,d entiers naturels. Or il se trompait !! Car l’américain N. Elkies a trouvé une solution à cette équation en 1988 !! Et on sait de plus qu’il n’y a qu’une solution avec d inférieur à 1 million.

Cette solution est a = 95800 b = 217519 c = 414560 et d = 422481.

9°/ Le paradoxe de Zénon d’Elée : La flèche

Zénon se tient à huit mètres d’un arbre, et tire une flèche sur cet arbre. Avant que le flèche puisse atteindre l’arbre, elle doit traverser la première moitié des huit mètres. Il faut un certain temps, non nul, à cette flèche pour se déplacer sur cette distance. Ensuite, il lui reste encore quatre mètres à parcourir, dont elle accomplit d’abord la moitié, deux mètres, ce qui lui prend un certain temps. Puis la pierre avance d’un mètre de plus, progresse après d’un demi-mètre et encore d’un quart, et ainsi de suite ad infinitum et à chaque fois avec un temps non nul.

Zénon en conclut que la flèche ne pourra pas frapper l’arbre, puisqu’il faudrait pour cela que soit franchie effectivement une série infinie d’étapes, ce qui est impossible. Le paradoxe se résout en soutenant que le mouvement est continu ; le fait qu’il soit divisible à l’infini ne le rend pas impossible pour autant. De plus, en analyse moderne, le paradoxe est résolu en utilisant fondamentalement le fait qu’une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.

Ce paradoxe dit de « la dichotomie » c’est à dire division par deux veut montrer l’impossibilité du mouvement. Il tend à mettre en doute la vérité par un raisonnement logique. Par ce paradoxe on peut en déduire que le mouvement ne peut être découpé en une infinité de morceaux. Cependant et les mathématiques nous le confirment si on fait la somme (infinie) de toutes les distances du problème on trouve 1 : 1/2+1/4+1/8+…

La limite de cette suite vaut 1. Donc on atteindra bien ce point. Mais une limite est ce vers quoi on tend sans jamais l’atteindre…

\lim_{n \to \infty }(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+..\frac{1}{2^{n}})= 1

10°/ L’avocat :

Le sophiste Protagoras avait convenu avec un de ses élèves Euathlus, un étudiant pauvre, qu’il lui enseignerait le droit à la condition qu’Euathlus lui payât cet enseignement dès qu’il aurait gagné son premier procès. Le jeune homme suivit ses leçons, puis finalement devient avocat. Il attendit alors ses premiers clients qui ne virent pas.
Protagoras s’impatienta et décida alors de réclamer à son ancien élève la somme qu’il lui devait. Il l’assigna donc devant les tribunaux.
– Ainsi raisonna Protagoras:
« Ou je gagne le procès, ou tu le gagnes. Si je gagne, tu me paies en exécution du jugement du tribunal. Si tu gagnes, tu me paies d’après notre convention. Dans les deux cas je serai payé ».
– « Pas du tout », répliqua Euathlus. « Si je gagne, je n’ai pas à te payer, d’après le jugement du tribunal. Si tu gagnes je n’ai pas à te payer d’après notre convention. Dans les deux cas je n’ai pas à te payer. »

Alors que va choisir le tribunal?

Les 2 personnages raisonnent correctement.
Voici comment le tribunal pourrait agir pour dissiper ce paradoxe:

D’abord, le juge décide de faire gagner Euathlus. Il aura ainsi remporté son premier procès.
Ensuite, Protagoras pourra intenter un nouveau procès et pourra se faire rembourser son dû sans créer un nouveau paradoxe.

11°/ Le segment qui se voulait aussi grand qu’une droite… :

A chaque point N de [AB], correspond un point unique M de [CD].
Et à chaque point M de [CD] correspond un point unique N de [AB].
Chaque point de chaque segment a son correspondant sur l’autre.

Les deux segments [AB] et [CD] ont donc le même nombre de points mais pas la même longueur…

12/ \sqrt{2} = 2 :

Soit un triangle rectangle et isocèle de côté 1 et d’hypoténuse \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

La somme des longueurs des 2 côtés de l’angle droit est 1 + 1 = 2.

Si nous construisons une ligne brisée avec des gradins en angle droit comme sur la figure ci-dessous, il est facile de conclure que sa longueur est toujours égale à 2 (les segments verticaux mis bout à bout ont une longueur de 1 et les horizontaux mis bout à bout ont aussi une longueur de 1).

En réitérant le procédé, nous avons toujours une ligne brisée de longueur 2.
Continuons indéfiniment à augmenter le nombre de gradins, nous obtenons une suite de lignes brisées qui se rapprochent de plus en plus de l’hypoténuse du triangle rectangle. On a bien envie de penser que la ligne brisée se confondra à la fin avec l’hypoténuse et donc que sa longueur sera celle de l’hypoténuse donc =2 !!

Explication :

La ligne brisée ne sera pas confondue avec l’hypoténuse du triangle. Elle n’a pas tous ses points sur l’hypoténuse. L’ensemble des points communs à la ligne brisée et l’hypoténuse est un ensemble dénombrable de points et il existe des points intermédiaires non communs à la ligne brisée et l’hypoténuse.
La ligne brisée a une longueur constante 2 et l’hypoténuse a une longueur de .

13°/ Factorielles et carrés :

Existe-t-il un couple d’entiers p > 7 et q tels que la factorielle de p, plus un soit égale à q ?

p! + 1 = q² ?

Il est connu que 4! +1 = 25 = 5²

5! + 1 = 121 = 11²

7! + 1 = 5041 = 71²

On ne connaît pas d’autre solution.

14°/ Fractions égyptiennes :

Un entier n > 1 étant donné, existe-t-il des entiers x, y et z tels que 4/n = 1/x + 1/y + 1/z ?

Les fractions 1/x, 1/y et 1/z dont le numérateur est égal à 1 et le dénominateur est un entier naturel positif, sont appelées fractions égyptiennes.

4/n doit donc être la somme de trois fractions égyptiennes.

On connaît des solutions chaque fois que n est différent de 24k+1

Par exemple, pour n=7, on a : 4/7 = 1/3 + 1/6 + 1/14.

Mais on ne sait pas montrer que le problème est possible pour tout n.

15°/ Équations Diophantiennes :

Il existe 4 nombres a, b, c et d qui vérifient les équations diophantiennes suivantes :

a² + b² = c² + d²
a³ + b³ = c³ + d³
a⁴ + b⁴ = c⁴ + d⁴

Mais on ne connaît pas de relation similaire pour a⁵ + b⁵ = c⁵ + d⁵

16°/ Côtés et segments remarquables du triangle :

On sait résoudre un joli problème dans lequel 17 longueurs dans un triangle ABC sont toutes des nombres entiers : les trois côtés, les trois hauteurs (hA, hB ,hC), les trois bissectrices intérieures (AA’, BB’, CC’) et les trois bissectrices extérieures (AA’’, BB’’, CC’’) , le rayon R du cercle circonscrit et le rayon r du cercle inscrit et les trois rayons des cercles exinscrits (rA, rB ,rC) (cité par Jean Moreau de Saint Martin).

AB = 148622918043600 BC = 160847313900000 AC = 185939494868400

hA = 154413421344000 hB = 142678001321856 hC = 123423876576000

rA = 115810066008000 rB = 132109260483200 rC = 185778647554500

AA’ = 156251676360000 BB’ = 145764785004300 CC’ = 123594942240000

AA’’ = 1009626216480000 BB’’ = 696990236342400 CC’’ = 2346677653320000

r = 46324026403200 R = 96843486910625.

Un autre problème d’énoncé plus simple n’a toujours pas de solution à ce jour : existe-t-il un triangle dont les côtés, les médianes et l’aire s’expriment avec des nombres entiers ?

17°/ Les distances d’un point aux sommets d’un carré :

On considère dans le plan un carré de côté unité. Existe-t-il un point du plan dont les distances aux quatre sommets du carré s’expriment sous la forme de nombres rationnels ?

En d’autres termes existe-t-il un carré de côté n entier tel qu’il existe un point du plan situé à des distances entières des quatre sommets du carré ? Aucune solution n’existe à ce jour.

On peut rapprocher cet énoncé d’un problème analogue sur la sphère, non résolu à notre connaissance : peut-on tracer quatre cercles de rayons rationnels sur une sphère de rayon unité tels qu’ils soient tangents deux à deux ?

18°/ La brique parfaite d’Euler :

La brique parfaite d’Euler est un parallélépipède rectangle dont les côtés a, b et c, les diagonales des faces
, et et la diagonale principale qui joint deux sommets opposés sont tous des nombres entiers. Aucun exemple de cette brique parfaite n’existe à ce jour.

19°/ Le paradoxe d’Epiménide le Crétois :

Un paradoxe dû à Epiménide le Crétois (Vie siècle av. J.C.). C’est un syllogisme , basé sur le raisonnement logique.

Voici l’énoncé :

« Tous les Crétois sont des menteurs.

Si tous les Crétois sont des menteurs, alors Epiménide le Crétois est un menteur.

Si Epiménide est un menteur, ce qu’il dit est faux, donc il ne ment pas et ce qu’il dit est vrai. »

Donc comme Epiménide dit vrai, tous les Crétois sont des menteurs. Mais comme Epiménide est un Crétois, c’est un menteur.

Et on retombe sur un cercle vicieux.

20°/ Quelques sophismes :

 » Un cheval bon marché est rare.
Or ce qui est rare est cher
Donc un cheval bon marché est cher. « 

Cette conclusion est contradictoire, pourtant chacune des phrases du raisonnement paraît correcte. Pourquoi parvient-on à un tel résultat ?

On peut ajouter une dose d’humour et le formuler autrement :

 » Plus il y a de gruyère, plus il y a de trous.
Or plus il y a de trous, moins il y a de gruyère
Donc plus il y a de gruyère, moins il y a de gruyère .. »

Il existe tout plein de belles phrases qui se contredisent de façon très élégante :

Il est interdit d’interdire.
Toutes les règles ont des exceptions.
Lu sur un badge : Interdisons les badges.
Un graffiti disait : A bas les graffitis.

21°/ Le barbier barbant :

Sur l’enseigne d’un barbier est inscrit :
 » Je rase tous les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. »
Alors d’après vous qui rase le barbier?

On voit bien le paradoxe. En effet, si le barbier se rase lui-même, alors d’après ce qu’il dit, il ne peut pas se raser. Au contraire s’il ne se rase pas, il doit alors se raser pour respecter son enseigne.

Et là, il y a paradoxe. Donc la condition que définit le barbier crée une contradiction. On ne peut que conclure qu’un barbier qui prétend cet axiome ne peut exister.

22°/ Le paradoxe de Zénon d’Elée : Achille et la tortue

Pour une raison maintenant oubliée dans les brumes du temps, une course avait été organisée entre le héros Achille et une tortue.
Le premier se déplaçant 10 fois plus vite que la seconde, celle-ci démarra avec 100 m d’avance pour équilibrer les chances des deux concurrents.

La première chose à faire pour Achille fût de combler son retard en se rendant à l’endroit de départ de la tortue qui, pendant ce laps de temps, s’était déplacée. Achille dut donc combler ce nouvel handicap alors que la tortue, bien que d’une lenteur désespérante, continuait inexorablement sa route, créant ainsi un handicap supplémentaire…
Battu et furieux, Achille exigea une revanche mais rien n’y fit, ni la longueur de la course, ni la vitesse de déplacement d’Achille.

En effet, aussi petits que soient les handicaps successifs créés par la tortue, Achille mettait toujours un certain temps pour combler chacun d’entre eux et, malgré tous ses efforts, il ne put jamais rattraper la tortue!

Vitesse d’Achille : 10m.s^-1 dA = Distance parcourue par Achille TA = temps de corse d’Achille
Vitesse de la tortue : 1m.s^-1 dt = Distance parcourue par la tortue Tt = temps de corse de la tortue

dA	TA = dA/10 = Tt	dt = Tt
100m	10s	10m
10m	1s	1m
1m	1/10s	1/10m
1/10m	1/100s	1/100m

On le voit bien, dA diminue d’un facteur 10 mais n’est jamais égal à zéro, tout comme TA et Tt.

Par conséquent, le nombre de secondes qui s’écoulent avant qu’Achille ne rattrape la tortue est :

On obtient une somme comportant une infinité de termes. Ce que Zénon d’Elée n’avait pas prévu, c’est que cette somme infinie possède une valeur finie. Les règles sur les séries géométriques montrent en effet sans peine que la somme précédente fait 11s et 1/9.

La manipulation des sommes infinies (on parle de séries) a très longtemps posé des problèmes conceptuels et philosophiques aux mathématiciens. Le cours de Cauchy à l’Ecole Polytechnique en 1820, pourtant un modèle pour l’époque, comporte encore des erreurs à ce sujet. Il faudra attendre la fin du XIXè s., et les travaux de Karl Weierstrass, le législateur de l’analyse, pour que les règles soient clairement établies.

23°/ Paradoxe de Socrate et Platon :

Socrate et Platon sont des philosophes grec du V? siècle av. J.-C.

Voici un joli paradoxe :

Socrate : Ce que dit Platon est faux.

Platon : Ce que dit Socrate est vrai.

Si Socrate dit vrai, alors ce que dit Platon est faux. Il faut prendre le contraire de ce que dit Platon, en l’occurrence que Socrate ment, ce qui est le contraire de l’affirmation de départ.

Si par contre, ce que dit Platon est vrai, alors Socrate dit la vérité, c’est-à-dire que Platon ment, ce qui est aussi contraire à l’affirmation de départ.

Voyons les 2 autres cas :

Si Socrate ment, alors ce que dit Platon est vrai, c’est-à-dire que Socrate dit la vérité, ce qui est encore le contraire de l’affirmation de départ.

Si par contre, c’est Platon qui ment, alors Socrate ment aussi, c’est-à-dire que Platon dit la vérité, ce qui est toujours contraire à l’affirmation de départ.

Finalement les deux phrases ne peuvent être correctes en même temps. Cela s’appelle un paradoxe.

24°/ Les nombres de Ramsey : Info Wikipedia

Théorème de Ramsey (fini) : Pour tout entier c et toute suite d’entiers (n₁, n₂, … , n_c), il existe un entier N tel que pour toute coloration en c couleurs du graphe complet K_N d’ordre N, il existe une couleur i et un sous-graphe complet de K_N d’ordre n_i qui soit monochromatique de couleur i.

En clair, si on prend un nombre de points N et qu’on les relies par un trait de couleur qui est soit rouge ou soit bleu, peut-on trouver un groupe de points qui est relié par la même couleur.

Par exemple :

Pour ces 5 points il y a 3 points qui sont reliés en bleu.	Ici il n’y a aucun points qui sont reliés de la même couleur.

r représente le nombre de sommet du polygone bleu et s représente le nombre de sommet du polygone rouge.

R(4,3) = 9 indique qu’il faut 9 points pour faire des quadrilatères bleus (4 points) et des triangles rouges (3 points) ou vide et versa.

Le tableau ci-dessous montre que l’on est pas capable de déterminer des valeurs exactes pour la plupart des problèmes : 43 points < R(5,5) < 49 points, nous n’avons que des encadrements et pas de valeur exactes.

25°/ Les nombres de Lychrel :

Un nombre palindrome est un nombre qui peut se lire de droite à gauche, comme 272 = 272.

Il est surprenant de remarquer que si on ajoute n’importe quel nombre et sont renversé (le même nombre écrit à l’envers), on obtient un nombre palindrome.

par exemple : 143 + 341 = 484

On peut le faire en plusieurs étapes : 153 + 351 = 504 puis 504 + 405 = 909

Mais existe t’il des nombres qui ne respectent pas cette propriété ? On les appelle des nombre de Lychrels et on ne sait pas s’il en existe. On a des soupçons sur le nombre 196 mais sans être capable de le prouver.

La liste des nombres de Lychrel soupçonnés sur OEIS.

Pour tester les possibles nombres de Lychrel.

26°/ Le nombre chromatique du plan :

Peut-on colorier une feuille de papier avec un nombre minimal de couleur pour qu’un segment ne puisse pas relier 2 zone de la même couleur ?

Ici ce n’est pas possible.	Ici le segment ne pourra jamais atteindre 2 zone de la même couleur.

La réponse serait un pavage hexagonal avec un nombre ce couleur compris entre 4 et 7. Pas plus de précision.

Un excellent article sur le blog d’eljj.

27°/ Persistance multiplicative :

Prenons un nombre entier : 53

Multiplions ces 2 chiffres : 5 x 3 = 15

Continuons : 1 x 5 = 5

Nous arrivons à un nombre composé d’un seul chiffre en cela en 3 étapes. La persistance multiplicative de 53 est donc de 3.

Quel est le nombre qui a la plus grande persistance multiplicative ?

Pour le moment on a trouver les nombres 277 777 788 888 899 et 27 777 789 999 999 999 donc la persistance multiplicative est de 11. Mais on ne sait pas si on peut dépasser 11.

Une appli pour calculer la persistance d’un nombre.

28°/ Paradoxe des anniversaires et Rubik’s cube :

Combien faut-il de personnes pour que l’on ait 50 % de chance de trouver deux personnes qui ont la même date d’anniversaire ?
La logique voudrait qu’il en faille beaucoup, mais …
Avec 23 personnes on aura 50,73 % de chance, ce qui n’est vraiment pas beaucoup convenons-en.
A partir de 60 personnes on aura 99,81 %

La preuve :

Avec 23 personnes, le premier a 22 possibilités d’avoir un anniversaire commun avec quelqu’un.

Le 2ième a 21 possibilités d’avoir un anniversaire commun avec quelqu’un.
Le 3ième a 20 possibilités d’avoir un anniversaire commun avec quelqu’un.
…………..
Le 22ième a 1 possibilité d’avoir un anniversaire commun avec quelqu’un.

Le nombre d’anniversaires commun = 22 + 21 + 20 + … + 2 + 1 = 23 x 11 = n(n+1)/2 = (23 + 22)/2 = 253 fois la même question a posée : as-tu le même anniversaire que moi.

La démonstration sera plus simple si on compte la probabilité que les 23 personnes n’aient pas le même anniversaire.

S’il y a 2 personnes elles auront 1 chance sur 365 d’avoir le même anniversaire et donc 364/365 de ne pas avoir le même anniversaire.
S’il y a 3 personnes, une personne aura 364/365 chance de ne pas avoir le même anniversaire avec la deuxième et 363/365 avec la troisième, c’est à dire \frac{364}{365}\times \frac{363}{365}
Et ainsi de suite. Le tableur Excel suivant donne tous les résultats (Fichier à télécharger ou cliquez sur la flèche en haut à droite de la page Excel ci-dessous pour l’ouvrir dans Microsoft Office Online).

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On se rend bien compte que c’est à partir de 23 personnes que l’on a 50% de chance qu’il y ait 2 personnes ayant le même anniversaire.
Il est interressant de remarquer que Excel atteint ses limites à partir de 83 personnes car il affiche 100% de chance, ce qui est impossible !!!

Rubik’s cube : même jeu avec le Rubik’s cube

Il y a 43×10¹⁸ de combinaisons possibles au Rubik’s cube (exactement 43 252 003 274 489 856 000), en le tenant de la même façon, c’est-à-dire la face rouge vers le haut par exemple.
Combien faut-il de personnes qui mélange un Rubik’s cube, pour qui l’on ait la même combinaison ?
Sur 365 jours il faut 23 personnes pour qu’il y ait 50 % de chance que 2 personnes aient le même anniversaire.
Sur 43×10¹⁸ combinaisons possibles au Rubik’s cube il faut 7 743 000 000 personnes pour qu’il y ait 50 % de chance que 2 personnes aient la même combinaison. C’est-à-dire à peu près la taille de la population de la terre.

Petite remarque : le nombre de dieu du Rubik’s cube est 20. C’est le nombre de mouvement minimum qu’il faut faire pour résoudre n’importe quel Rubik’s cube.

29°/ Le plus court chemin est-il la ligne droite ?

Peut-on aller de l’Espagne jusqu’en Nouvelle Zélande en bateau et en ligne droite ?

Voilà ce que cela donne avec Google map.

En fait ce trajet est parfaitement rectiligne du fait de la courbure de la terre. La preuve toujours avec Google map mais en mode planète.

De la même manière on peut aller de l’Inde aux États Unis en allant tout droit :

Pour jouer, voici un petit exercice. Depuis Calais, dans le nord de la France, et en partant vers le nord sur la mer, quelle est la première terre que l’on rencontrera ?

Et bien ce sera l’Antarctique, c’est-à-dire le pôle sud !!! On passera par le pôle nord et on fera le tour de la terre.

Encore plus fou : Voici les distances entre les villes de Paris, New York, Le Cap en Afrique du Sud et Buenos Aires (Voici un site pour obtenir ces distances : https://fr.distance.to/).

	Paris	New York	Le Cap	Buenos Aires
Paris		5790 km	9345 km	11054 km
New York	5790 km		12568 km	8530 km
Le Cap	9345 km	12568 km		6870 km
Buenos Aires	11054 km	8530 km	6870 km

Plaçons-les à l’aide d’un compas sur une carte. Commençons par placer Paris, New York, Le Cap.

Et bien il est impossible de placer cette 4ième ville sur un plan, toujours à cause de la courbure de la terre. Notre construction avec des cercles utilise la géométrie Euclidienne qui est bien entendue inutilisable dans la géométrie sphérique que l’on doit utiliser pour se déplacer sur la terre.

30°/ \pi = 4 ou même 2 :

Partons d’un carré de 1 unité de côté. Replions ensuite un chaque coin vers l’intérieur. Ainsi de suite un nombre de fois infinie pour arriver à un cercle.
On peut conclure que la limite de l’aire de la dernière figure est égale au périmètre du cercle de diamètre 1 unité.

On remarque que chaque coin en pointillé a la même longueur que le coin intérieur, et que donc le périmètre ne change pas.

Si le raisonnement est correct : Perimetre_{cercle}=2\pi R = \pi D = \pi = Perimetre_{carre}=4 \times 1 = 4 \ unites

Donc : \pi = 4

Mais on peut aussi prouver que \pi = 2

Traçons un demi-cercle de rayon 1 unité.

Perimetre_{1/2 cercle \ bleu}=\pi R = \pi \times 1 = \pi unite

Perimetre_{1/2 cercle \ vert}=\pi \times 0,5 = \frac{\pi }{2} unites donc : 2 \ Perimetres_{1/2 cercle \ vert}=\pi \ unite

Perimetre_{1/2 cercle \ jaune}=\pi \times 0,25 = \frac{\pi }{4} unites donc : 4 \ Perimetres_{1/2 cercle \ jaune}=\pi \ unite

En répettant ainsi, la somme de tous les 1/2 cercles sera donc toujours égale à \pi . Or la limite de la somme des 1/2 cercles est égale au diamètre de 2 unités.
Nous venons de démontrer que \pi = 2.

Bien évidemment \pi n’est égal ni à 4 ni à 2. Cette grossière erreur vient du fait que on déduit de chacune des deux expériences précédentes, que la limite des découpages successifs, qui est est égale à \pi dans chaque cas, est égale à la longueur de la limite des figures de départ, c’est à dire 4 ou 2.

Or ces découpages sont caractérisés par une fonction discontinue où la notion de limite n’a aucun sens.

31°/ Les bœufs d’Helios :

Voici un problème proposé par Archimède de Syracuse (Italie) à ses confrères d’Égypte :

« Le soleil (c’était alors un dieu) possédait un troupeau de taureaux et de vaches, dont une partie était blanche, une partie noire, une partie rose, et la quatrième partie jaune. Parmi les taureaux, le nombre de ceux qui étaient blancs dépassait le nombre des jaunes de la moitié plus un tiers du nombre des taureaux noirs. Le nombre des taureaux noirs dépassait le nombre des taureaux jaunes d’un quart plus un cinquième du nombre des taureaux roses. Enfin le nombre des taureaux roses dépassait celui des jaunes d’un sixième plus un septième du nombre des taureaux blancs.
Parmi les vaches, le nombre des blanches était égal au tiers augmenté du quart du nombre total des bovins noirs. Le nombre des vaches noires, au quart augmenté du cinquième du nombre total des bovins roses. Le nombre des vaches roses, au cinquième augmenté du sixième du nombre total des bovins jaunes. Enfin le nombre des vaches brunes était égal à un sixième plus un septième du nombre total des bovins. »

Il s’agit de dénombrer ce troupeau.

C’est un problème d’analyse diophantienne qui fut découvert en 1773 par Gotthold Lessing dans un manuscrit grec et attribué à Archimède. Ce problème ne fut résolu qu’en 1880 par A. Amthor qui en donna une solution exacte sous forme de produit d’irrationnels. La solution fait intervenir de très grands nombres, que des ordinateurs peuvent aujourd’hui écrire et fait intervenir l’équation de Pell-Fermat .

Voici un résumé des 7 équations à 8 inconnues. Il manque une équation pour obtenir une solution unique, et si elle existe, alors il y en aura une infinité.   En effet, la solution la plus simple donne un troupeau de 7,76 x 10206544 animaux !!! Il est plus que probable qu’Archimède n’a pas résolu ce problème. On se demande même si, taquin, il ne voulait pas mettre en difficulté ses collègues.

32°/ Pythagore nous aurait menti ?

Calculons la hauteur des marches et contremarches d’un escalier de base 4 unités et de hauteur 3 unités.

La longueur des marches rouges est équivalente à la base de 4 unités, et la longueur des contremarches à la longueur bleue de 3 unités. On obtient 7 unités.	Avec 3 marches on obtient le même résultats.	Ainsi qu’avec 8 marches. La longueur des marches rouges et des contremarches bleues ne dépend pas du nombre de marches total.	Si l’escalier possède un ombre infini de marche alors la longueur de l’hypoténuse mesure 7 unités.

Cependant, le Théorème de Pythagore nous dit que : 4² + 3² = 16 + 9 = 25
Donc la longueur de l’hypoténuse est de 5 unités et non de 7 !!!!!

Quel est donc l’explication de ce prodige ? 2 unités de différence ce n’est pas rien !! Voici une excellente vidéo de la chaine youtube Maths en tete.

En réalité, la limite de la somme des marches et contremarches n’est pas une droite, et même si on imagine un escalier avec un nombre infini de marches, ces dernières existent toujours et ne peuvent être assimilées à une droite. La notion de limite est toujours à prendre avec des pincettes.

33°/ L’Algorithme de Kaprekar :

Le mathématicien indien D.R. Kaprekar (1905 – 1986) s’est intéressé depuis son enfance aux nombres.
Il a inventé l’algorithme suivant :

Prendre un nombre K (qui ne doit pas être composé des mêmes chiffres) puis réordonner ses chiffres du plus grand au plus petit, puis du plus petit au plus grand. Effectuer la différence du plus grand par le plus petit. Si le nombre de départ contient 3 chiffres on tombe obligatoirement sur 495 de façon cyclique. Si le nombre de départ contient 4 chiffres on tombe obligatoirement sur 6174.

Il existe 3 autres algorithmes : Vous pouvez observer les suites obtenues à l’aide le l’application ci-dessous.

Algorithme	Méthode	Point fixe	Exemple avec 2543
Algorithme de Kaprekar	Réordonner ses chiffres du plus grand au plus petit, puis du plus petit au plus grand. Effectuer la différence du plus grand par le plus petit.	– Si le nombre de départ contient 3 chiffres : 495   – Si le nombre de départ contient 4 chiffres : 6174	5432 – 2345 = 3087 8730 – 0378 = 8352 8532 – 2358 = 6174 7641 – 1467 = 6174
Algorithme dit « retourner »	Écrire les chiffres du nombre K dans l’ordre inverse. Effectuer la différence du plus grand par le plus petit.	zéro	3452 – 2543 = 909 909 – 909 = 0 0 – 0 = 0
Algorithme dit « alterné »	Pour le premier nombre, inverser le premier et le dernier chiffre. Pour le second, inverser les chiffres du milieu. Effectuer la différence du plus grand par le plus petit.	zéro	3542 – 2453 = 1089 9081 – 1809 = 7272 7722 – 2277 = 5445 5445 – 5445 = 0 0 – 0 = 0
Algorithme dit « Pair/Impair »	Comme l’algorithme de Kaprekar, à la différence près que les chiffres de rangs pairs sont permutés avec les suivants (s’il a un suivant).	zéro	5543 – 3455 = 2088 8882 – 2888 = 5994 9995 – 5999 = 3996 9996 – 6999 = 2997 9997 – 7999 = 1998 9998 – 8999 = 999 999 – 999 = 0 0 – 0 = 0

34°/ Le paradoxe du duc de Toscane, ou la naissance des probabilités :

Au début du XVIIième siècle, le grand duc de Toscane Cosme II de Médicis (1590-1621) joue avec 3 dés à six faces et s’aperçoit qu’il obtient plus souvent la somme de 10 que celle de 9 lorsqu’il ajoute les trois dés.
Or, après avoir listé toutes les façons d’obtenir 9 ou 10, il remarque qu’il y en a 6, que ce soit pour 9 ou pour 10. Il y a donc autan de chance de tomber sur les deux valeurs.

Intrigué par la contradiction apparente de ses observations, il va demandé conseil au grand savant de l’époque, Galilée (1564-1642). Un temps perplexe, Galilée fini par découvrir l’explication de ce paradoxe. En effet, si on considère qu’il y a une seule façon d’obtenir la combinaison 1-2-6 par exemple, pour obtenir la somme 9, on se trompe car on oublie que l’ordre a aussi sont importance, et il faut considérer les 6 combinaisons suivantes : 1-2-6; 1-6-2; 2-1-6; 2-6-1; 6-1-2 et 6-2-1.

Somme des 3 dés égale à 9	Somme des 3 dés égale à 10
il y a 6 x 6 x 6 = 216 combinaisons possibles avec 3 dés :   Donc, la probabilité d’obtenir 9 sera : P(9) = \frac{25}{216}\simeq 0,116	il y a 6 x 6 x 6 = 216 combinaisons possibles avec 3 dés :   Donc, la probabilité d’obtenir 10 sera : P(9) = \frac{27}{216}= 0,125

La probabilité d’obtenir 10 est donc bien légèrement plus grande que celle d’obtenir 9.

35°/ La conjecture de Poincaré :

La conjecture de Poincaré était une conjecture mathématique du domaine de la topologie algébrique portant sur la caractérisation d’une variété particulière, la sphère de dimension trois ; elle fut démontrée en 2003 par le Russe Grigori Perelman. On peut ainsi également l’appeler théorème de Perelman.

La question fut posée pour la première fois par Henri Poincaré dans son article de 1904, « Cinquième complément à l’analysis situs », et peut s’énoncer aujourd’hui ainsi : Toute 3-variétécompacte sans bord et simplement connexe est-elle homéomorphe à la 3-sphère ?

Elle faisait jusqu’alors partie des problèmes de Smale et des sept « problèmes du prix du millénaire » recensés et mis à prix en 2000 par l’Institut de mathématiques Clay. En 2006, cette démonstration a été validée par l’attribution d’une médaille Fields à Grigori Perelman (qui l’a refusée) ; de plus, en mars 2010, l’institut Clay a officiellement décerné le prix correspondant à Perelman, prix qu’il a également refusé, en raison d’un « désaccord avec les décisions de la communauté mathématique ».

36°/ La loi de Benford :

La loi de Benford, permet de comparer une série de nombre selon le mode additif ou multiplicatif.

Je vous propose le pari suivant : ouvrons le journal, choisissons une page au hasard et notons le premier nombre que nous rencontrons ; si le premier chiffre significatif de ce nombre est supérieur à 3, je vous donnerai 100 €, sinon c’est vous qui me donnerez 100 €.

La proposition vous est , semble-t-il, nettement favorable : il n’y a en effet que trois chiffres qui me font gagner (1, 2, 3), alors qu’il y en a six pour vous ( 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) ; le 0 ne compte pas, car il ne peut pas être un premier chiffre significatif. Vous pensez donc gagner environ deux fois sur trois. Serais-je idiot de vous proposer un tel pari ?

Eh bien non : si vous acceptez, je gagnerai dans plus de 60 pour cent des cas. La loi de Benford indique que, dans un contexte général comme celui d’un article de journal, les probabilités p de rencontrer les différents chiffres comme premier chiffre significatif sont, exprimées en pourcentage :
p(1) = 30,1; p(2) = 17,6 ; p(3) = 12,5 ; p(4) = 9,7; p(5) = 7,9 ; p(6) = 6,7; p(7) = 5,8 ; p(8) = 5,1 ; p(9) = 4,6. Puisque 30,1 + 17,6 + 2,5 = 60,2,
Je gagnerai mon pari dans 60,2% des cas.

Quelle est donc cette loi bizarre du premier chiffre significatif, si contraire à l’intuition ?

Cette loi de Benford n’est pas si compliquée à comprendre.
Si on joue avec un livre de 99 pages, il y a autan de chance de tomber sur chacun des 9 chiffres significatifs : en effet il y a chacun des chiffres de 1 à 9 et 10 chiffres de chaque de 10 à 99. Chaque probabilité est donc de 11/99.
Par contre si le livre possède 299 pages, ce qui est très courant, alors il y aura 11 exemplaires de chaque chiffre de la page 1 à 99 et toutes les autres commenceront par 1 ou 2 pour les pages 100 à 299. P(1) = P(2) = \frac{11+100}{299}=\frac{111}{299} qui est largement supérieur aux autres probabilités qui seront de \frac{11}{299}

Prenons tous les prix d’un grand supermarché et relevons le premier chiffre de chaque référence. Classons ces chiffres pour déterminer quel est celui qui est le plus présent. Étonnamment les petits chiffres sont plus fréquents que les grands. Il en va de même si on mesure la surface des îles de la Polynésie Française.

	Prenons tous les prix d’un grand supermarché et relevons le premier chiffre de chaque référence.
	Classons ces chiffres pour déterminer quel est celui qui est le plus présent. Étonnamment les petits chiffres sont plus fréquents que les grands.
	Il en va de même si on mesure la surface des îles de la Polynésie Française.
	La répartition des chiffres montre une courbe de forme exponentielle.
	En fait c’est l’échelle des abscisses qui n’est pas idéale. Si on utilise une échelle logarithmique, alors la répartition des chiffres devient tout à fait régulière. On utilise cette loi de Benford pour savoir si une suite de nombre a été créer aléatoirement par un ordinateur ou si elle est naturelle. Par exemple les données comptables d’une entreprise ont toutes les chances d’avoir été bidouillées si la répartition des premiers chiffres est trop régulière.

Je vous propose différents exercices, tous aussi contre-intuitifs les uns que les autres :

a°/ La distance terre-lune :

b°/ La fourmi, le chimpanzé et le Gorille :

c°/ La balle de ping-pong, la terre et le soleil :

d°/ Mille million milliard :

Notre erreur provient sans nul doute de la façon dont nous avons appris à compter. Jusqu’à cent, nous comptons de 10 en 10 : dix, vingt, trente …, mais ensuite c’est plutôt de 1000 en 1000 : mille, million, milliard ….

37°/ Des sommes de réel étonnantes :

En fait toutes les opérations qui vont suivre, sont fausses dans l’ensemble des nombres réels mais exactes dans l’ensemble des nombres p-adiques.

Les nombres p-adiques forment une extension particulière du corps \mathbb{Q} des nombres rationnels, découverte par Kurt Hensel en 1897. Ce sont des nombres composés d’une suite de chiffre infinie à gauche de la virgule, mais toujours finie à droite de la virgule.
Par exemple : ….9999 signifie que ce nombre est composé d’une infinité de 9.
Dans cet ensemble les opérations de bases donnent des résultats particuliers.

     1°/ L’incroyable addition : 1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12

La somme de tous les entiers ne donne pas l’infini mais -1/12 !!!!

Le grand mathématicien indien Srinivasa Ramanujan est à l’origine de cette étrange égalité.

En voici la démonstration :

Posons : C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …
 Donc : 4C = 4 + 8 + 12 + 16 ….
Effectuons la soustraction suivante : S = C – 4C = -3C
Posons cette soustraction en décalant 4C pour plus de commodité :

     C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …
– 4C =      4    +     8   +    12 + … 
 -3C = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …. = S

Calculons 4S :

  S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …
+ S =      1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …
+ S =      1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …
+ S =           1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …
4S = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + …. = 1

Donc : S = -3C = 1/4   Donc : C = -1/12

     2°/ Une autre addition étonnante : 0 = -1

Posons : C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …
          2C = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + …

Donc :

 2C = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + …
– C =        1 + 2 + 3 +  4 +  5 + …
   C = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … = C – 1

Donc : C = C – 1 et C – C = -1 donc : 0 = -1

     3°/ Une autre addition étonnante : Voici une somme infinie qui ne donne pas l’infinie mais -1 !!!

     4°/ Voici deux autres additions : celle de gauche est correcte mais pas celle de droite.

Certains d’entre vous seront peut-être intrigués par le résultat paradoxal des opérations de la fig. 2, en fait : infini ≠ -2.
D’ailleurs, on peut trouver dans n’importe quel manuel de mathématiques que la somme des puissances de 2 donne :

2 ⁿ + 2 ^{n -1} + 2 ^{n -2} + … + 2 ³ + 2 ² + 2 ¹ = 2 ^{n +1} – 2 = 2(2 ⁿ – 1)

Alors, où est l’erreur ?

Les mathématiques derrière le fait : l’indétermination de ∞ – ∞
Alors que la limite de la somme des fractions peut converger vers une limite, dans ce cas précis vers 1, la somme des puissances n’a pas de limite car elle ne peut exister puisque : \lim_{n\to\infty}S_{n}=\infty

Ainsi, vous ne pouvez pas soustraire S des deux côtés de l’équation ; car cela reviendrait à écrire : – 2 + ∞ – ∞ = 2∞ – ∞

et le problème est que même dans les réels étendus * , ∞-∞ est indéterminé. Cela n’équivaut à rien, et certainement pas à zéro. Bref, on ne peut pas simplement annuler les infinis.

* En mathématiques, le système de nombres réels affinement étendu est obtenu à partir du système de nombres réels R en ajoutant deux éléments : +∞ et -∞ (lus respectivement comme l’infini positif et l’infini négatif). Ces nouveaux éléments ne sont pas de vrais chiffres. Il est utile pour décrire divers comportements limites en calcul et en analyse mathématique, en particulier dans la théorie de la mesure et de l’intégration.

38°/ Les 7 problèmes du millénaire :

Le 24 mai 2000, le Clay Mathematics Institute (CMI) présente au Collège de France sept problèmes majeurs des mathématiques. Chacun est doté d’un prix d’un million de dollars pour celui qui en arriverait à bout.
Malheureusement ces problèmes ne sont pas à la portée du profane et sont plutôt un défi à la communauté scientifique dans le but de faire progresser les recherches en mathématiques, en informatique et en physique.

1°/ La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer : Quand les solutions d’une équation algébrique sont situées sur une variété abélienne, la taille du groupe des solutions rationnels est reliée au comportement de la fonction Zeta ?(s) associée au voisinage de s=1. Si ?(1)=0 alors il y a une infinité de solutions rationnelles et réciproquement, si ?(1)?0, il y a seulement un nombre fini de solutions rationnelles.

2°/ La conjecture de Hodge : Pour une certaine classe d’espace, les variétés algébriques projectives, appelées cycles de Hodge sont des combinaisons linéaires rationnelles d’objets ayant une réelle nature algébrique (les cycles algébriques).

3°/ Les équations de Navier-Stokes : Le défi consiste à faire progresser les théories mathématiques liées aux équations de Navier-Stockes dans le but d’expliquer des phénomènes tel le mouvement des vagues produites par un bateau en déplacement.

4°/ Le P problème et le NP problème : On appelle P problème tout problème qui consiste à trouver une liste d’éléments dans un ensemble donné et ce relativement à un critère fixé à l’avance. Le NP problème est opposé au P problème : il consiste à vérifier si une liste donnée est en adéquation avec les conditions données au préalable.

5°/ La conjecture de Poincaré : Soit une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3.
En 2006, le russe Gregori Perelman se voit décerner la médaille Fields pour avoir démontré la conjecture de Poincaré. Mais le mathématicien russe la refuse ainsi que la récompense de un million de dollars promise par la Clay Mathematics Instituts. La seule raison invoquée est qu’il se sentait isolé de la communauté mathématique internationale.

6°/ L’hypothèse de Riemann : Les solutions de l’équation ?(s)=0 se situent le long d’une ligne droite verticale, où ? est la fonction Zeta de Riemann.

7°/ La théorie de Yang-Mills : La théorie de Yang et Mills est construite sur un modèle géométrique expérimental qui décrit l’interaction forte des particules élémentaires. Elle n’est par contre pas comprise d’un point de vue théorique. Elle fait intervenir une propriété appartenant au monde de la mécanique quantique : certaines particules quantiques ont une masse positive alors que l’onde associée voyage à la vitesse de la lumière.

39°/ Le paradoxe de Bertrand :

Les probabilités sont étonnantes. Prenons un triangle équilatéral et son cercle circonscrit. Quelle est la probabilité pour qu’une corde, choisie au hasard,
soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit ?

Et bien suivant comment on fabrique ces cordes, la probabilité sera ne sera pas la même !!

Cas 1 : Corde définie par un sommet du triangle et un point du cercle. Probabilité = 1/3

Cas 2 : Un point dans le cercle inscrit au triangle. Probabilité = 1/4

Cas 3 : Point sur un rayon perpendiculaire à un côté du triangle. Probabilité = 1/2

Dans chacun des cas on a bien fabriquer toutes les cordes possibles, mais on ne peut calculer une probabilité correctement que si les consignes de départs sont claires, et ce n’est pas le cas ici !!

 

Une petite variante très paradoxale : prenons un cube de côté c. On vous demande de parier sur deux propositions:

 – Proposition n°1 : le côté c étant compris entre 1 et 10, vous pariez que c est compris entre 1 et 7 ou entre 7 et 10 ?

 – Proposition n°2 : le volume c³ étant compris entre 1 et 1 000, vous pariez que le volume est compris entre 1 et 343 ou entre 343 et 1 000 ?

Proposition n°1	Proposition n°2
entre 1 et 7 il y a 7 possibilités : probabilités supérieures, c’est mon choix. entre 7 et 10 il y a 4 possibilités.	entre 1 et 343 il y a 343 possibilités. entre 343 et 1 000 il y a 658 possibilités : probabilités supérieures, c’est mon choix.

Le choix a l’air simple et basique, sauf que ces 2 propositions sont en fait parfaitement identiques mais les réponses diamétralement opposées. 
En effet, pour un cube dont le côté varie de 1u à 7u, son volume varie de 1³ = 1 u³ à 7³ = 343 u³.
Pour un cube dont le côté varie de 7u à 10u, son volume varie de 7³ = 343 u³ à 10³ = 1 000 u³.

Donc notre intuition nous joue un drôle de tour ainsi que le facteur d’agrandissement des volumes.

40°/ La trompette de Gabriel :

Cette figure a été étudiée par le physicien italien Evangelista Torricelli au XVIIe siècle.

En partant de la fonction \frac{1}{x} et en la faisant tourner autour de l’axe des abscisses. Calculons le volume et la surface entre x = 1 et x = a où a > 1.	On obtient un volume infini appelé trompette de Gabriel.

Calcul du volume : V = \pi \int_{1}^{a} \frac{1}{x^{2}}dx = \pi (1-\frac{1}{a})

Le volume de la trompette est donc la limite de V quand a tend vers l’infini : \displaystyle \lim_{ a \to \infty }\pi (1-\frac{1}{a}) = \pi qui est un nombre rationnel mais qui n’est pas infini.

Calcul de la surface :  A = 2\pi \int_{1}^{a}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x^{2}}dx > 2\pi \int_{1}^{a}\frac{\sqrt{1}}{x}dx = 2\pi \ ln\ a

La surface de la trompette est donc la limite de A quand a tend vers l’infini : \displaystyle \lim_{ a\to \infty } 2\pi \ ln\ a = \infty

Donc la trompette de Gabriel possède une surface infinie mais un volume fini !!!

Si on voulait peindre cette trompette il nous faudrait donc un pot de peinture infini, mais il suffirait de remplir l’intérieur de la trompette, il là le pot de peinture serait fini.

 

41°/ Le paradoxe de Simpson : étude sur les placébos

Voici une étude sur l’efficacité d’un placébo, qui est un médicament sans principe actif.
On a donné soit un médicament soit un placébo à 80 hommes et 80 femmes. On a calculer le taux de personnes guéries.

Hommes Guéris Malade % de guérison Médicament 36 24 60% Placébo 14 6 70%	Femmes Guéris Malade % de guérison Médicament 4 16 20% Placébo 18 42 30%
Tous Guéris Malade % de guérison Médicament 40 40 50% Placébo 32 38 40%	Il faut donner le placébo aux hommes et aux femmes, mais le médicaments si on ne connait pas leur sexe !!!!! Il y a 2 critères à prendre en compte : la prise de médicament/placébo et le genre des personnes. Il s’agit d’évaluer des facteurs croisés qui perturbent la proportionnalité.

42°/ Tous les triangles sont équilatéraux :

1°/ Prenons un triangle quelconque ABC et traçons la médiatrice de [BC] et la bissectrice de l’angle \widehat{A}. Appelons E leur point d’intersection.
2°/ Traçons les perpendiculaires à (AB) et (AC) passant par E. Elles coupent (AB) en F et (AC) en G.
3°/ Les triangles AEF et AGE ont un angle droit, les angles \widehat{FAE} et \widehat{EAG} sont égaux et l’hypoténuse [AE] en commun. Ils sont donc égaux et AF = AG.
4°/ Les triangles BED et DEC ont un angle droit, un côté [ED] en commun et BD = DC car D est le milieu de [BC]. Ils sont donc égaux et EB = EC.
5°/ Les triangles BEF et CGE ont un angle droit, EB = EC et EF = EG. Ils sont donc égaux et FB = GC.
6°/ \left.\begin{matrix}AF=AG\\BF=GC\end{matrix}\right\}\Rightarrow AB=AC. Donc ABC est isocèle en A.
7°/ On peut refaire la même démonstration en B et en C.

Le triangle est donc équilatéral !!!!!

Solution : En fait, le schéma est un peu faux !!!

La bissectrice ne coupe pas parfaitement l’angle \widehat{A} en deux parties égales et le point E devrait être à l’extérieur du triangle.
Le raisonnement est en tout point exact, et les triangles AEF et AGE sont bien identiques, ainsi que BED et DEC et ainsi que BEF et CGE.
Cependant, si en effet si AF = AG et BF = GC, AB = AF + BF alors que AC = AG – CG

43°/ Les limites de bon sens :

Construisons les figures suivantes :

Partons d’un cercle de rayon une unité, puis construisons son triangle équilatéral circonscrit. Puis un nouveau cercle circonscrit et son carré circonscrit. Et ainsi se suite en alternant un cercle et un polygone dont le nombre de coté augmente de un à chaque étape.	Partons d’un cercle de rayon une unité, puis construisons son triangle équilatéral inscrit à l’intérieur. Puis un nouveau cercle inscrit et son carré inscrit. Et ainsi se suite en alternant un cercle et un polygone dont le nombre de coté augmente de un à chaque étape.
Il parait évident que la figure va augmenter indéfiniment.	Il parait évident que le rayon des cercles va tendre vers zéro.

Et bien ce n’est pas si simple. Voir les explications détaillées ici :

Le cercle limite de rayon en bleu sera de presque 8,7 unités.

Le cercle limite de rayon en bleu sera de presque 0,115 unités.

44°/ Je suis le Pape :

Un étudiant de philosophie demande au logicien Bertrand Russell  :

« Prétendez-vous que, de l’assertion 2 + 2 = 5, il s’ensuit que vous êtes le pape ?

— Oui, bien sûr, dit Russell.

— Pouvez-vous le prouver ? demanda l’étudiant sceptique.

— Certainement, répliqua Russell en poursuivant.
Supposons donc que 2 + 2 = 5.
Soustrayons 2 de chaque membre de l’égalité, nous obtenons 2 = 3 et par symétrie 3 = 2.
Soustrayons 1 de chaque côté, il vient 2 = 1.
Le pape et moi sommes 2 personnes, et puisque on part du principe que 2 + 2 = 5 et que donc  2 = 1, deux personnes équivalent à une seule.  Le pape et moi sommes donc une seule et même personne. Par suite, je suis le pape ! »

45°/ Le paradoxe de la roue d’Aristote :

Voici une roue sur laquelle on a tracé 2 cercles concentriques de rayon différents.  En faisant tourner cette roue, on se rend compte que les 2 points repérer sur les 2 cercles parcourent la même distance alors que les circonférences sont différentes.  Comment cela est-il possible ?

L’explication de ce paradoxe  vient du fait que les trajectoires des 2 points ne sont pas des cercles :

La trajectoire bleue extérieure est 2 demis cercles, ce qui fera bien un cercle entier de longueur 2πR. La trajectoire rouge intérieure est plus complexe et elle est égale à la trajectoire bleue.