Vous connaissez certainement la petite énigme suivante : vous avez deux sceaux de 5 et 3 litres. Comment obtenir exactement 4 litres ?
Solution :
Remplir le sceau de 5 litres.
Le verser dans celui de 3 litres. Il reste 2 litres dans le premier.
Vider le sceau de 3 litres.
Verser les 2 litres du premier dans le second.
Re-remplir le sceau de 5 litres.
Le verser dans celui de 3 litres qui contient 2 litres. Un seul litre sera versé et il restera 4 litres dans le premier. C’est gagné !!!
La procédure n’est pas très compliquée, mais là où cela devient amusant et original, c’est que l’on peut résoudre ce problème à l’aide d’un billard.
En effet, en considérant que lorsqu’une bille de billard touche une bande elle repart avec le même angle, on peut visualiser la solution du problème en suivant sa trajectoire. L’abscisse représente le sceau de 5 litres et l’ordonnée celui de 3. Le problème se traduit donc par les points : (5;0) puis (2;3) puis (2;0) puis (0;2) puis (5;2) et enfin (4;3) le sceau de 5 litres en contient à présent 4.
Vous devez placer les nombres de 1 à 5 dans chaque rangée et colonne sans qu’ils ne se répètent. Les nombres doivent également respecter les symboles supérieurs et inférieurs placés entre certaines cases.
Le triangle de Sierpiński, aussi appelé par Mandelbrot le joint de culasse de Sierpiński, est une figure fractale, du nom de Wacław Sierpiński qui l’a décrit en 1915
Etape n°1 : on part d’un triangle équilatéral.
Etape n°2 : on découpe ce triangle en 4 triangles équilatéraux, et on enlève celui du milieu.
Etape n°3 : on recommence cette opération dans chaque triangle restant.
II°/ Le Théorème de Hutchinson :
Si, à partir d’une figure finie et bornée, on effectue 3 homothéties de rapport inférieur à 1 et dont les centres sont les sommets d’un triangle équilatéral, et que l’on continue a effectuer ces 3 homothéties à partir des images obtenues, la figure limite obtenue sera TOUJOURS le triangle de Siperski !!!!
III°/ Triangle de Sierpinski par la construction de milieux :
Les 3 points de départs sont les 3 sommets d’un triangle équilatéral. Construire la figure points par points pour observer les milieux, puis par 1000 car le but est qu’il y ait le maximum de points construits.
IV°/ Particularités :
Le paradoxe avec le triangle de Sierpinski, c’est qu’il a un périmètre fini mais une aire nulle, car on enlève des triangles de façon infini.
Le triangle de Sierpiński a une dimension fractale ou une dimension de Hausdorff égale à log 3/log 2, soit environ 1,585. En effet, le triangle de Sierpiński est la réunion de trois copies de lui-même, chacune étant réduite d’un facteur 1/2.
V°/ Le triangle de Pascal :
On peut aussi retrouver le triangle de Sierpinski dans le triangle de Pascal. Si on enlève les nombres pairs du triangle Pascal on obtient celui de Sierpinski.
La démonstration géométrique est issue de 5 principes de base que l’on doit au mathématicien Grec Euclide (-300 av JC) qui a rassemblé dans un ouvrage titanesque, les Éléments d’Euclide, l’ensemble des connaissances mathématiques de l’époque (consultable ici et téléchargeable).
Chaque nouveau lemme ou théorème découle des précédents :
Liste de lemmes : En mathématiques, un lemme est un énoncé prouvé, mais jugé moins important qu’un théorème, qu’il sert généralement à établir une démonstration. Cette terminologie reste cependant subjective et relative à l’histoire d’une discipline.
Liste de théorèmes : En mathématiques et en logique, un théorème (du grec théorêma, objet digne d’étude) est une assertion qui est démontrée, c’est-à-dire établie comme vraie à partir d’autres assertions déjà démontrées (théorèmes ou autres formes d’assertions) ou des assertions acceptées comme vraies, appelées axiomes. Un théorème se démontre dans un système déductif et est une conséquence logique d’un système d’axiomes. En ce sens, il se distingue d’une loi scientifique, obtenue par l’expérimentation.
Le plus ancien extrait d’une copie des éléments d’Euclide
Voici les 5 postulats d’Euclide :
1- Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.
2- Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
3- Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l’une de ses extrémités comme centre.
4- Tous les angles droits sont congruents c’est-à-dire qu’ils sont superposables.
5- Si deux lignes droites sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d’un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté (autrement dit : par un point extérieur à une droite donnée, ne passe qu’une unique droite qui lui est parallèle). C’est le plus contesté : on peut créer une géométrie non-euclidienne qui respecte les 4 premiers postulat sauf ce 5ième (Voir ici).
Concrètement, on ne peut construire une figure qu’en utilisant une règle non graduée et un compas.
II°/ Ce qu’il est possible de construire :
Bien entendu la liste n’est pas exhaustive, et on peut construire beaucoup de figures à partir de ces éléments de base. Il existe un excellent jeux qui permet de s’amuser avec les construction euclidienne : Euclidea.
Voici par exemple, 5 méthodes pour couper un segments en 5 parties égales.
Comment tracer un segment de \sqrt{3} ?
Tracer 2 cercles de centre A et B, de même rayon et tels que chaque centre soit sur le cercle de l’autre.
Prenons AB = 1 unité
Dans le triangle AOC rectangle en O D’après le théorème de Pythagore
AC² = AO² + OC² donc : OC = \sqrt{AC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{1^{2}-0,5^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}
Donc : CD = \sqrt{3}
III°/ Ce qu’il est impossible de construire :
Pour résumer :
Pour savoir si une construction est possible, il suffit de savoir quelle est l’équation que l’on doit résoudre pour construire un point. A la règle et au compas, on ne peut fabriquer que les points d’intersections de 2 droites, d’une droite et d’un cercle et de 2 cercles.
Pour cela, on devra résoudre des systèmes d’équations qui nous donnerons au pire une fraction ou une racine carrée. La racine carrée étant la racine d’une équation du second degrés, une figure est constructible si le polynôme minimal que l’on doit résoudre est de degrés deux. C’est le Théorème de Wantzel.
La vidéo suivante de la page Youtube de El Jj qui explique parfaitement tous cela :
1°/ La quadrature du cercle : Peut-on construire un carré de même aire qu’un cercle donné.
Il y a 4000 ans, en Égypte, il existait une méthode pour assimiler l’aire d’un disque à celle d’un carré.
Cette « recette » magique fut trouver sur le Papyrus Rhind écrit par le scribe Ahmès. Il s’agit d’une « recette » car, si elle permet de trouver une approximation au 100ième de \pi , il n’y a pas de démonstration et on ne parle pas encore du nombre \pi .
Voici ce quelle raconte : l’aire d’un disque de 9 unités de diamètre est égale à l’aire d’un carré de 8 unités de côté.
Le Papyrus de Rhind est un papyrus de l’ancienne Égypte, datant de la XVème dynastie (vers 1680-1620 avant J.-C.), trouvé à Thèbes en 1858 dans les ruines d’un petit monument proche du Ramesseum par l’égyptologue écossais Alexander Henry Rhinds.
Dans un cercle de centre O et de rayon OE = 1 unité, on découpe le diamètre DF en 9 morceaux FA.
Le carré ABCD de côté AB = 8FA aura la même aire que le cercle.
3,16 au lieu de 3,14 cela fait une erreur de moins de 2 centièmes, ce qui est exceptionnel pour l’époque.
Il existe une méthode très élégante et exacte mais qui ne respecte pas la géométrie Euclidienne, car elle nécessite de faire rouler un cercle ce qui n’est pas permit par la construction à la règle et au compas.
– Prenons un cercle de rayon R égal à une unité et faisons-le rouler sur AB = 1/2 Périmètre du cercle. – Rajoutons le rayon du cercle à AB : BC = R – Traçons le cercle de diamètre AC. – Traçons la perpendiculaire à (AC) passant par B, elle coupe le cercle précédent en D. Le carré de côté BD a la même aire que le cercle de départ.
Démonstration :
AB = \frac{2\pi R }{2} = \frac{2\pi \times 1 }{2} = \pi
Le point D étant sur le cercle de diamètre AC, le triangle ADC est rectangle en D.
Aire du cercle = \pi R² = \pi
Aire du carré = DB² = \sqrt{\pi }^{2} =\pi
Pour le fun :
CIRCLE dessiné par Scott KIM (www.scottkim.com) : c’est la quadrature du cercle enfin prouvée.
Dans un carré, on trouve un cercle, enfin les lettres du mot !
2°/ La trisection d’un angle :
Est-il possible de couper un angle \alpha en trois angle égaux ? Pour cela, faisons appel à la trigonométrie, qui nous donne une formule liant un angle à son tiers. On remarque une équation de degrés trois qui nous donnera donc une racine qui sera un nombre non constructible.
Prenons par exemple un angle \alpha = 60°
Le polynôme minimal est de degrés 3, donc la trisection d’un angle est impossible.
Cependant Euclide n’a pas précisé si on pouvait plier le support !!
En supposant que l’angle est tracé sur le bord de la feuille (ici, on considère l’angle formé entre le bas de la feuille et la droite d).
– On commence par replier le bas de la feuille pour former les droites h0, h1 et h2. – On plie la feuille la feuille de manière à ce que le point A atteigne h1 et que B atteigne d – Il n’y a plus qu’à tracer AA’, qui trisecte l’angle, l’autre trisectrice n’est pas difficile à obtenir.
3°/ Duplication du cube :
En 430 av. JC, la légende dit que Les habitants de Délos, en Grèce, furent victimes d’une épidémie de peste et demandèrent à l’oracle de Delphes comment faire cesser cette épidémie. La réponse de l’oracle fut qu’il fallait doubler l’autel consacré à Apollon. Cet autel étant de forme carré, il suffisait de construire un autel carré qui ait le double du volume précédent. Les architectes allèrent trouver Platon pour savoir comment faire. Ce dernier leur répondit que le dieu n’avait certainement pas besoin d’un autel double, mais qu’il leur faisait reproche, par l’intermédiaire de l’oracle, de négliger la géométrie.
En effet, il est impossible de construire un carré qui ait un volume double d’un carré donné, avec seulement une règle et un compas.
Soit C1 un cube de côté c = 1 et donc de volume V1 = c3 = 1
Si on veut construire un cube C2 de volume V2 = 2V1 = 2, alors son côté sera égal à \sqrt[3]{2}. Le polynôme minimal qui est annulé par \sqrt[3]{2} est x3 – 2, donc \sqrt[3]{2} n’est pas constructible, car ce polynôme minimal est de degrés 3.
IV°/ La géométrie Shadok :
Voici pour s’amuser, un petit cours de géométrie Shadok.
V°/ Des définitions originales :
1°/ La droite : C’est un ensemble infini de points alignés, mais dans les années 1970, un ensemble de Mathématiciens Français a décidé de dépoussiérer les Mathématiques et ils ont tenter d’unifier Algèbre, Géométrie et tout le reste. Ils y sont parvenus, mais le résultat était tellement indigeste qu’il fut rapidement abandonné.
Voici par exemple, la définition de la droite, extraite des commentaires du programme de quatrième de décembre 1971 : version Maths moderne.
Une droite affine D est un ensemble \mathbb{R} muni d’une famille B de bijections de \mathbb{E} sur \mathbb{R} telles que, pour tout f élément de B et pour tout élément (a,b) de \mathbb{R}* ×\mathbb{R}, l’application définie par g(M) = a f(M) + b appartient aussi à B, et réciproquement. L’ensemble E est appelé « le support de la droite affine D », un élément M de E est appelé « un point de la droite affine D ».
2°/ Le centre d’une figure : Qu’est-ce que le centre d’une figure ? Cette question d’apparence anodine est en réalité bien plus riche qu’il n’y paraît. Évidemment, la réponse dépend de la figure.
– Le cercle : le centre d’un cercle est d’autant plus facilement identifiable qu’il intervient dans sa définition même : l’ensemble de tous les points situés à une même distance d’un point donné, et c’est ce point donné qu’on appelle centre. Le centre du cercle précède donc le cercle lui-même. – Le carré : là encore c’est assez simple. Il s’agit par exemple de l’intersection de ses deux diagonales ou encore le centre du cercle qui passe par ses quatre sommets.
– Le triangle : cela devient plus compliqué, car il existe beaucoup de centre pour le triangle. Le centre du cercle inscrit qui est l’intersection des bissectrices, le centre de gravité qui est l’intersection des médianes, le centre du cercle circonscrit qui est l’intersection des médiatrices ou l’orthocentre qui est l’intersection des hauteur.
Ça commence à faire beaucoup, et c’est la raison pour laquelle le mathématicien états-unien Clark Kimberling s’est lancé en 1999 dans la rédaction d’une Encyclopédie des centres du triangle (ETC). Le centre du cercle inscrit, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l’orthocentre portent respectivement les numéros 1, 2, 3 et 4 dans la numérotation de Kimberling. Au début de l’année 2021, l’ETC répertorie 41 154 centres différents pour un triangle quelconque. Et Clark Kimberling continue régulièrement de la mettre à jour.
Ils organise chaque année un concours sur les illusions d’optiques, dont voici les meilleures productions :
La figure à axe double : Cette figure en rotation semble défier la logique : est-elle en 2D ou en 3D ? Tourne-t-elle sur un axe horizontal ou vertical ? Et dans quel sens ? Cette illusion s’inspire de la courbe de Lissajous, qui produit des courbes correspondant aux trajectoires d’un point du plan dont les coordonnées décrivent un mouvement sinusoïdal. Elle est renforcée par la visualisation des axes et des points d’ancrage dans la vidéo.
La spirale ADN : Cette double hélice qui tourne sur un axe vertical induit deux types d’illusion. Cachez votre œil gauche et elle tournera vers la droite. Cachez l’œil droit et elle tourne dans l’autre sens ! Toujours en fixant les hélices, plissez les yeux et vous les verrez se déplacer de haut en bas dans un sens inverse l’une de l’autre.
Le graffiti en 3D : Inspiré du cube de Necker, une illusion d’optique datant de 1832 qui exploite la perspective cavalière, cette étonnante figure en métal semble s’incruster ou au contraire sortir du mur selon l’angle sous laquelle on la regarde. Le cerveau est ici confronté à plusieurs interprétations possibles en raison de l’ambiguïté de la figure.
Le bateau dans la tempête : Cette illusion donne vie au tableau Navires sur une mer agitée du peintre hollandais Ludolf Bakhuizen. Les auteurs ont créé un léger mouvement de va-et-vient aux différents éléments du tableau. Mais, contrairement à ce que l’on pourrait croire, ce n’est pas ce qui donne l’impression de mouvement. Celle-ci utilise l’alternance de contrastes clairs et sombres avec différents niveaux de luminosité.
Un objet, trois façons de le voir : La plupart des illusions d’optique donnant une impression de relief, comme l’escalier de Schroeder, se limitent à deux sens possibles. Ce dessin imprimé en 2D suggère lui trois interprétations selon l’angle de vue. Placé dans un plan horizontal et aligné avec des lignes parallèles à ses côtés, il prend trois configurations différentes selon la façon dont il est retourné. Le petit drapeau sert à ancrer la direction pour renforcer l’effet d’optique.
Les papiers qui dansent : Cette vidéo est inspirée de la célèbre illusion appelée « Phenomenal phenomenon », de Richard L. Gregory et Priscilla Heard, où l’on crée un effet stéréoscopique grâce à un arrière-plan de contraste. Ici, des images statiques scotchées sur un fond clignotant donnent l’impression d’un mouvement latéral, de compression/expansion ou de rotation. Un effet qui pourrait être utilisé pour des affichages publicitaires, suggère le créateur.
Les arbres qui penchent : Cette illusion d’optique s’inspire de celle du mur de café de Richard L. Gregory en 1979, où des carreaux de faïence noirs et blancs légèrement décalés donnent l’impression de former des lignes penchées. Sur cette image, l’illusion est donnée par le contraste entre les photos et le léger angle d’inclinaison de l’arbre et de la ligne d’horizon. Lorsque l’on trace un ligne rouge horizontale, on voit pourtant bien que les images sont correctement alignées.
Dans l’Egypte ancienne, vous allez devoir lancer des parchemins à des personnes.
Lorsqu’il n’y a aucun obstacle entre vous et votre cible, tout va bien. Cependant, dès qu’une colonne ou qu’un bloc de pierre est présent, vous devez commencer par le détruire avant de pouvoir atteindre votre objectif.
Il y a aussi des piques et d’autres pièges qui détruisent instantanément vos parchemins, si vous faites l’erreur de les lancer dessus. Prenez votre temps pour penser, viser et lancer.
Utilisez la souris pour viser et tirer et la touche Espace pour changer d’objet.
Bien entendu la liste n’est pas exhaustive, et on peut construire beaucoup de figures à partir de ces éléments de base.
