La probabilité est basée sur le hasard, ce qui veut dire qu’il est difficile de prévoir le résultat d’une expérience aléatoire.
Par exemple, si on joue à pile ou face et que l’on obtient pile 10 fois consécutivement, tout d’abord cela parait difficile à faire et ensuite la logique voudrait que la probabilité d’obtenir face augmente et soit supérieure à la probabilité d’obtenir pile.
Et bien la probabilité d’obtenir face, tout comme pile, reste toujours de 1/2, quelque soit les lancers précédents. La logique et la probabilité sont quelque fois incompatible.
Pour un mathématicien qui déteste ne pas maitriser les résultats et est allergique aux approximations, on effectueras un très grand nombre d’expérience pour pouvoir affirmer que : pour un très grand nombre de lancer la probabilité d’obtenir pile est de 1/2 ainsi que celle d’obtenir face.
Cependant le hasard peut se montrer bizarre voir artistique.
John Conway est un mathématicien célèbre et prolifique qui inventa entre le jeu de la vie.
Le génie de ce jeu réside dans la simplicité des règles qui permet pourtant de fabriquer des effets d’une richesse incroyable.
Sur une feuille quadrillée de la taille que l’on veut, on dispose des cellules qui ne peuvent être que dans 2 états. Si la cellule existe, on dit qu’elle est vivante, sinon elle est morte.
Les règles :
– Une cellule est entourée de 8 cases car on compte aussi les diagonales.
– Une cellule vivante possédant deux ou trois voisines vivantes reste vivante, sinon elle meurt (donc si elle n’a aucune ou une voisine seulement, et si elle a plus de 3 voisines).
– Une cellule morte possédant exactement trois voisines vivantes devient vivante.
1ière étape :
– les cases 3 et 6 possèdent 1 seule voisine donc elles meurent.
– les cases 4 et 5 possèdent 2 voisines donc elles restent en vie.
– les cases 1, 2 ,7 et 8 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.2ième étape :
– les cases 4 et 5 possèdent 5 voisines donc elles meurent.
– les cases 1, 2 ,7 et 8 possèdent 3 voisines donc elles restent en vie.
– les cases 3 et 6 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.3ième étape :
– chaque cases possèdent 2 voisines donc elles restent en vie.
1ière étape :
– les cases 2 et 5 possèdent 3 voisines donc elles restent en vie.
– les cases 4 et 6 possèdent 2 voisines donc elles restent en vie.
– les cases 1, 3 et 7 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.2ième étape :
– les cases 3, 5, 6 et 7 possèdent plus de 3 voisines donc elles meurent.
– les cases 2, 4 et 9 possèdent 3 voisines donc elles restent en vie.
– les cases 1, 8 et 10 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.3ième étape :
– les cases 2, 4, 8 et 10 possèdent 1 seule voisine donc elles meurent.
– les cases 1 et 9 possèdent 2 voisines donc elles restent en vie.
– les cases 3, 5, 7 et 11 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.
Il est très simple de coder ses règles et donc de modéliser ce jeu avec un ordinateur. Voici une application pour s’amuser et tester tout plein de situations. Ou ici.
Avec de telles règle aussi simplistes il est peu probable d’obtenir des choses très spectaculaires, et pourtant c’est le cas. On peut en effet obtenir :
Les motifs fixes qui ne bougent plus. Aucune cellule ne meurt ou ne nait.
Block
Mare
Tube
Ruche
Bateau
Long boat
Bélier
Mickey mouse
Miche de pain
Inflected 30 great sym
Les oscillateurs qui reviennent à leur état d’origine après un certain nombre d’étape.
Clignotant
Crapaud
Renard
Étoile
Lunette
horloge
Pulsar
Quasar
Smiley
Fontaine
Les vaisseaux qui eux aussi reviennent à leur état d’origine après un certain nombre d’étapes, mais en se décalant.
Planeur
Tortue
Weekender
Dragon
274p6h1v0
233p3h1v0
Period 20 glider gun
Ecologist
Spacerake
Spider
Les cannons qui expulsent des motifs. Cliquer sur les images pour les voir en grandeurs réelles.
Newgun
Newgun2
Ak94
Bigun
Block laying switch engine
Gunstar
Gunstar2
P14_Pseudo_01
Side cargun
Vacuum gun
On peut trouver à cette adresse, le Wiki du jeu de la vie , qui rassemble tout les motifs extraordinaires obtenus avec ce jeu merveilleux.
Un autre jeu de ce type : le jeu du chaos. Le principe du jeu du chaos est relativement simple.
– Placez trois points non alignés, puis choisissez un point A au hasard à l’intérieur du triangle ainsi délimité.
– Choisissez un sommet S du triangle au hasard, par exemple à l’aide d’un dé.
– Tracer le milieu du segment qui joint le premier point A au sommet S choisi.
– Recommencez le procédé : choisissez un sommet au hasard, notez le milieu, reprenez, et ainsi de suite.
Du chaos ambiant, du hasard grâce auquel est générée la figure semble pourtant émerger une certaine organisation. Les amateurs de fractale auront sans doute reconnu le triangle de Sirpienski dans notre cas.
Ce qui est fabuleux, c’est que cette forme émerge peu importe le point de départ que l’on choisit : le motif dessiné est « le même ».
II°/ La puissance organisatrice du hasard :
Que pourrait représenté un chemin où on a le choix entre monter de 1 carreau en diagonale ou descendre de 1 carreau en diagonale. Et ceci un nombre infini de fois.
Et dans la deuxième partie de la vidéo, un assemblage de dominos avec une règle très simple qui produit un résultats bluffant et magnifique.
III°/ La fourmi de Langton :
Comment un mouvement très simple mais répéter une infinité de fois peut produire une œuvre magnifique.
Pour résumer : Une dimension représente un axe qui à deux sens.
Dans une figure qui a 1 dimension, on peut aller à gauche ou à droite (on peut les appeler Longueur).
Dans une figure qui a 2 dimensions, on peut aller à gauche ou à droite (on peut les appeler Longueur) mais aussi en haut et en bas (on peut les appeler largeur).
Dans une figure qui a 3 dimensions, on peut aller à gauche ou à droite (on peut les appeler Longueur) mais aussi en haut et en bas (on peut les appeler largeur) et encore vers l’avant ou l’arrière (on peut les appeler hauteur).
Pour la 4ième dimension il suffit de trouver 2 noms pour désigner les 2 sens supplémentaires. Ce sera Ana et Kapa que l’on peut représenter par des couleurs par exemple.
Nombre de dimension
1ière direction
2ième direction
Représentation
0
point
1
Gauche
Droite
2
Haut
Bas
3
Avant
Arrière
4
Ana
Kapa
Le flexaèdre et les hexaflexagones :
Construction d’un flexaèdre dont la géométrie est inspirée de l’hypercube.
Le flexaèdre :
Télécharger le patron et construire 12 tétraèdres non réguliers :
Le tri-hexaflexagones : hexaflexagones à 3 faces.
Télécharger le patron et suivre la vidéo pour la construction.
Les Mathématiques sont utiles en tout, notamment pour faire des économies.
Prenons le cas des casseroles. Pour un volume égal, quel doit être le rapport entre la hauteur et le rayon, en sachant que plus la surface sera petite et moins il faudra de métal pour la construire. Donc un fabriquant de casserole pourrait se demander si, pour un volume égal, la forme de la casserole influe sur son prix. A première vue, qu’elle soit plus large ou plus haute ne change pas la quantité de métal nécessaire et donc son prix. Et bien ….
Soit : R = Rayon et h = hauteur :
Conclusion, il faut que le rayon R de la casserole soit égal à sa hauteur.
En faisant varier le volume de la casserole dans le fichier Excel, on se rend bien compte le rapport V/S (cad Volume sur Surface, la courbe bleue) est maximal lorsque la différence R-h (cad Rayon moins hauteur, la courbe rouge) est lui minimal, autrement dit que le hauteur de la casserole se rapproche du Rayon.
Comment les mathématiques déjouent le mensonge. Il est des questions qui sont assez indiscrètes et embarrassantes et certaines personnes déforment leurs réponses. Ainsi si l’on demande à quelqu’un s’il lui arrive de commettre de petits délits il est difficile d’obtenir une réponse positive sachant que c’est puni par la loi.
Aussi les sondeurs peuvent-ils utiliser un procédé astucieux et mathématique qui demande seulement d’augmenter la taille de l’échantillonnage.
Dans l’exemple, la taille de l’échantillon est multipliée par 3. Si on veut 500 réponses il nous faudra 1500 personnes.
L’enquêteur dispose d’un sac contenant trois cartes qui seront tirées au sort par le sondé. Sur chacune des cartes une question est écrite où la réponse ne sera que oui ou non. 1- Sur la première carte Alpha est écrite la question qui intéresse le sondeur. 2- Sur une deuxième carte Béta est dessiné un disque noir et la question est : y-a-t-il un disque noir sur la carte ? 3- Sur la troisième carte Gamma rien n’est dessiné, il y a juste la question : y-a-t-il un disque noir sur la carte ?
L’enquêteur ignore bien entendu quelle carte est tirée. La personne interrogée sait cela et elle peut donc répondre honnêtement et sans aucun risque donner sa réponse car elle est la seule à connaître la question à laquelle elle répond.
Comment interpréter les réponses ? Imaginons que l’enquêteur questionne 1500 personnes ( 3 fois se dont il a besoin). Supposons en outre que nous ayons à la fin du sondage 792 réponses affirmatives.
En moyenne le tirage au sort fait que 500 personnes ont tiré la première carte, 500 la deuxième et 500 la troisième (plus le panel est grand et moins l’erreur le serat). Sur les 792 réponses affirmatives 500 proviennent de la deuxième carte et il reste donc 292 réponses positives venant de la première carte Alpha.
Finalement on peut raisonnablement estimer que 292 personnes sur 500 ont répondu positivement à la question désirée.
Bien entendu la taille et le choix des échantillonnages sont fondamentaux pour obtenir de bonnes statistiques.
L’inventeur de l’actuel numéro de Sécurité sociale est le contrôleur général des armées René Carmille, (186-1945) spécialiste de la Mécanographie par cartes perforées, et directeur du Service national des statistiques, destiné à préparer secrètement la remobilisation de l’Armée, dissoute par l’Armistice de 1940.
Le numéro de sécurité sociale en France, officiellement appelé numéro d’inscription au répertoire des personnes physiques (abrégé en NIRPP ou plus simplement NIR), est un code alphanumérique servant à identifier de façon unique une personne dans le répertoire national d’identification des personnes physiques (RNIPP) géré par l’INSEE, dans les conditions définies par le décret no 82-103 du modifié.
Le numéro d’identification INSEE est un nombre de 13 chiffres qui est suivi d’une clé de 2 chiffres. Cette clé correspond à la différence entre 97 et le reste de la division du nombre INSEE par 97.
Le problème vient du fait que les calculatrices n’ont pas d’écran assez large pour donner un résultat précis, ce qui justifie cette technique de contrôle en la rendant fastidieuse, compliquée et irréprochable. Avec la première animation, trouver la clé, et avec la seconde vérifiez là.
Avec une calculatrice : résultat approximé
Avec la méthode des grosses multiplications ici on obtient : la division de 1 631 278 477 042 par 97 donne 16817303887 et comme reste 3.
Et ainsi la clé est : 97 – 3 = 94
– Autre exemple : 2 62 08 75 032 039 77
Avec la méthode des grosses multiplications ici on obtient : la division de 2 620 875 032 039 par 97 donne 27019330227 et comme reste 20.
Et ainsi la clé est : 97 – 20 = 77
B°/ Le numéro ISBN : Le code barre
1°/ Code à 10 chiffres :
0 486 20498 7
2 8769 4033 7
0 8228 8315 8
L’ISBN (International Standard Book Number) est un numéro international normalisé qui permet d’identifier le titre d’un livre.
Ce numéro de 10 chiffres est composé de 4 parties.
La première correspond à la zone linguistique (2 pour le français) ; la deuxième indique l’éditeur; la troisième correspond au numéro d’ordre dans la production de l’éditeur et enfin la dernière partie (chiffre ou lettre) correspond à la clé de contrôle.
La clé est le reste dans la division par 11, d’un nombre intermédiaire N calculé à partir des neuf premiers chiffres de l’ISBN. Si ce reste est 10 la clé sera notée X.
On peut déterminer le chiffre-clé en faisant les opérations suivantes : N est obtenu en multipliant par 1 le premier chiffre de gauche, puis on lui ajoute le second multiplié par 2, puis le troisième multiplié par 3 et ainsi de suite … jusqu’à ajouter le neuvième que l’on a multiplié par 9.
Exemple : 2-212-09265-2 pays francophone, éditions Eyrolles, numéro d’ordre 09265, clé : 2.
le calcul intermédiaire donne N = (1 x 2) + (2 x 2) + (3 x 1) + (4 x 2) + (5 x 0) + ( 6 x 9) + (7 x 2) + (8 x 6) + (9 x 5) = 178 et 178 a pour reste 2 dans la division par 11, la clé est donc 2.
Une façon de vérifier que le numéro ISBN est correct sans faute de frappe ou malveillance est d’effectuer la procédure précédente jusqu’au dernier terme est de regarder si on obtient un multiple de 11 : (1 x 2) + (2 x 2) + (3 x 1) + (4 x 2) + (5 x 0) + ( 6 x 9) + (7 x 2) + (8 x 6) + (9 x 5) + (10 x 2) = 198 = 18 x 11
Avec la première animation, trouver la clé, et avec la seconde vérifiez là.
2°/ Code à 12 chiffres :
Le code UPC de type A est composé de douze chiffres. Le premier chiffre à gauche indique le type d’UPC. Les cinq chiffres du premier groupe représentent le code du fabricant tandis que les cinq qui suivent représentent le code produit assigné par le fabricant. Le chiffre final est le chiffre-clé.
On peut déterminer le chiffre-clé en faisant les opérations suivantes : en additionnant les chiffres en position impaire, sauf le chiffre-clé, et en multipliant le résultat par 3. Puis on additionne les chiffres en position paire. On obtient le chiffre-clé en soustrayant ce résultat du multiple de 10 supérieur à la somme obtenue.
Les codes barres numéro ISBN modernes comportent 13 chiffres à présent. Le principe est le même, mais la procédure est un peu différente.
On peut déterminer le chiffre-clé en faisant les opérations suivantes : en additionnant les chiffres en position impaire, sauf le chiffre-clé, et en multipliant le résultat par 3. Puis on additionne les chiffres en position paire. On obtient le chiffre-clé en soustrayant ce résultat du multiple de 10 supérieur à la somme obtenue.
Un compte en banque est identifié par 23 caractères qui sont pour la plupart des chiffres. On les trouve sur le relevé d’identité bancaire (le rib). Le nombre formé par les deux derniers chiffres de droite constitue la clé permettant de vérifier la cohérence du numéro.
Les 21 premiers caractères sont formés par :
– le code de banque (5 chiffres)
– le code du guichet ou de l’agence (5 chiffres)
– le numéro de compte proprement dit.
Si l’un des caractères est une lettre, il faut le coder à l’aide de la correspondance donnée dans le tableau suivant.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Si on désigne par N le nombre de 21 chiffres construit comme indiqué ci-dessus, la clé de contrôle C est calculée par la formule : C = 97 – reste de la division de 100×N par 97.
Ce nombre C doit être écrit avec deux chiffres. S’il est plus petit que 10, il faut écrire un zéro à sa gauche (Exemple : 4 devient 04).
En écrivant la clé de contrôle C, avec deux chiffres, juste à droite du nombre N initial, on doit donc obtenir un multiple de 97 (la division par 97 tombe juste).
Exemple
Banque
Guichet
Compte
Clé
18208
00003
01170928519
13
Avec la première animation, trouver la clé, et avec la seconde vérifiez là.
D°/ Le numéro de carte bancaire :
Dans ce numéro, interviennent
-le type de carte,
-le numéro de la banque.
Un algorithme particulier permet aux banques de composer le numéro de la carte bancaire. Ce numéro varie selon l’organisme bancaire.
Le seizième chiffre correspond à la clé qui permet de valider la carte.
C’est l’algorithme de Luhn qui permet de déterminer cette clé. Il permet de vérifier un numéro mais ne valide pas l’existence de la carte.
Voici comment trouver la clé à partir du nombre constitué des quinze premiers chiffres
En partant de la gauche,
– multiplier par deux chaque chiffre de rang impair. Si le résultat de cette multiplication par deux est supérieur à 9, lui soustraire 9.
– garder les autres nombres tels qu’ils sont.
– additionner ensuite tous les chiffres obtenus : ceux qui ont été multipliés par deux et ceux qui n’ont pas été modifiés.
– prendre le reste R de cette somme dans la division par dix. Si ce reste R est nul, le garder comme clé sinon prendre son complément à dix, la clé est donc 10 – R.
Exemple 5426 8567 1234 458
ATTENTION, ce numéro est inventé et non valide comme numéro de carte bancaire.
Il s’agit juste d’un exemple pour le calcul d’une clé selon l’algorithme de Luhn.
5 x 2 = 10 → 1
2 x 2 = 4
8 x 2 = 16 → 7
6 x 2 = 12 → 3
1 x 2 = 2
3 x 2 = 6
4 x 2 = 8
8 x 2 =16 → 7
71 a pour reste 1 dans la division par 10.
La clé est ici égale à 10 – 1 = 9.
Avec la première animation, trouver la clé, et avec la seconde vérifiez là.
E°/ Les billets en euros :
Les billets en euros sont numérotés de façon astucieuse. Le numéro se présente sous la forme d’une ou deux lettre suivie de dix ou onze chiffres.
Remplaçons d’abord la lettre par son rang dans l’alphabet comme indiqué dans le tableau suivant :
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
La première lettre correspond à un pays :
L
N
R
S
T
Y
M
P
U
V
X
Z
Finlande
Autriche
Luxembourg
Italie
Irlande
Grèce
Portugal
Pays-Bas
France
Espagne
Allemagne
Belgique
Nous obtenons un nombre de douze ou treize chiffres. Alors, le reste de ce nombre dans la division par 9 doit être 8, sinon il est faux.
Remarque :
– pour qu’un nombre soit divisible par 9, il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 9.
En pratique, on fait la somme des chiffres, on obtient un nouveau nombre sur lequel on recommence le procédé et ainsi de suite.
– pour trouver le reste d’une division par 9, il suffit de remplacer le nombre à diviser par la somme de ses chiffres et de diviser cette somme par 9.
1°/ Billets avant 2013 : le reste du nombre de 12 ou 13 chiffres dans la division par 9 doit être 8, sinon il est faux.
U → 21 donc on obtient le nombre : 21 54062681702
La division Euclidienne par 9 donne : 2 154 062 681 702= 239 340 297 966 x 9 + 8
Si on additionne tous ces chiffres : 2+1+5+4+0+6+2+6+8+1+7+0+2 = 44 alors 52 = 4 x 9 + 8
2°/ Billets après 2013 « Série Europe » : le reste du nombre de 12 ou 13 chiffres dans la division par 9 doit être 7, sinon il est faux.
U → 21 et A → 1 donc on obtient le nombre : 211 4056316896
La division Euclidienne par 9 donne : 2 114 056 316 896 = 234 895 146 321 x 9 + 7
Si on additionne tous ces chiffres : 2+1+1+4+0+5+6+3+1+6+8+9+6 = 52 alors 52 = 5 x 9 + 7
F°/ Le numéro d’avis de contravention :
La Clé de la contravention figure à droite du N° d’avis de contravention.
Elle est calculée à partir du nombre formé par les quatorze chiffres du N° de l’Avis.
Cette clé est égale au reste de la division du N° de l’Avis par 97.
C’est donc un nombre compris entre 0 et 96.
Si ce nombre est plus petit que 10, on écrit un zéro à sa gauche pour obtenir un nombre de deux chiffres.
Avec la première animation, trouver la clé, et avec la seconde vérifiez là.
C’est Sam Loyd qui, au début du siècle, démontre que 64 = 65 ( et donc par soustraction que 0 = 1 ? ).
Jean Brette a développé cette idée pour le compte des Editions Kangourou, sur des rectangles de 17 par 12.
Regardons ce qui se passe avec 2 triangles rectangles. Si les hypoténuses ne sont pas alignées, les aires sont différentes si l’on intervertit les triangles.
Cette différence est l’aire du parallélogramme rouge, qui est facile à calculer :
II°/ 45 = 49 :
Voici un puzzle de la croix avec 13 pièces.
Avec les mêmes 13 pièces, voici un carré.
Cependant la croix fait 45 unités d’aire.
Et le carré 45 unités d’aire. Il en manque 4 !!!
Là encore on a l’impression que les triangles sont semblables, mais …
Regardons bien la figure : les points P et N ne sont pas confondus contrairement à ce que l’on semble penser dans la figure reconstituée. La figure C est en fait le polygone limité par PR et non NR. De même la figure A est limitée par MP et non MN. La figure B elle est limitée par QR et Dpar MQ qui passe par N.
Nous avons donc un trou constitué du polygone MPRQN dont l’aire est exactement égale à une unité. Comme cette unité est dispersée en longueur elle est bien sûr quasiment invisible.
On peut aussi expliquer le résultat en observant que les points M, P et R ne sont pas alignés. C’était donc une erreur de reconstitution. C’est difficile à voir (déplacez la droite ci-dessus), car en fait les segments MP et QR sont parallèles mais pas avec PQ… d’où un résultat aberrant.
Nous retrouvons une fois de plus, les nombres 5, 8, 13, 21 qui font partie de la suite de Fibonacci. Si nous choisissons deux nombres consécutifs de la suite pour longueur et largeur d’un rectangle et ceux qui l’encadrent pour l’autre rectangle nous obtenons alternativement un gain ou une perte de 1 unité. Ces gains et pertes se traduisent par la formation ou le chevauchement d’un léger espace vide d’autant plus petit que les nombres seront grands.
IV°/ Le puzzle magique : Le triangle de Gardner
L’inventeur du beau paradoxe qui suit est Paul Curry, magicien amateur de New York. En 1953 il eut l’idée de découper une figure et d’en réarranger les morceaux de telle manière que la nouvelle figure soit identique à l’originale, mais avec un trou à l’intérieur de son périmètre.
Un triangle rectangle avec un trou de 1 unité.
Un triangle isocèle avec un trou de 2 unités.
V°/ Le paradoxe de Curry :
Nous découpons le grand rectangle en 5 morceaux.
Et nous observons un trou d’une unité à droite…
Les variantes les plus élégantes du paradoxe de Curry sont des carrés qui restent des carrés après le réarrangement des morceaux produisant le trou. En voici quelques unes.
Avec un trou de 2 unités dans un carré de 11 sur 11.
Avec un trou de 1 unité dans un carré de 7 sur 7.
VI°/ Le puzzle de Circée ou le paradoxe des aires :
Pouvez-vous fabriquer des carrés à l’aide de ces 8 triangles rectangles que l’on appelle le puzzle de Circée ?
Cela ne semble pas très compliqué, mais essayez de trouver toutes les configurations possibles.
Voici les 5 possibilités :
Pour ces deux solutions, il n’y a pas de problèmes.
La figure 2.a) semble être un carré, mais ce n’est pas du tout le cas !
Les figures 2.b) et 2.c) sont bien des carrés mais avec des éléments triangulaires saillants, qui augmente l’aire du carré !
L’explication
Lorsque l’on place côte à côte deux triangles rectangles du puzzle de Circée, un petit et un grand, on obtient un autre triangle plus grand qui semble être un triangle rectangle.
Mais en réalité, d’après les mesures de l’illustration 1.a), l’angle a ne peut être égal à 90°.
En fait : a = arctan 7/6 + arctan 5/6 = env. 89,2°
Ainsi, le rectangle inscrit des carrés de la figure 2.a) et 2.b) est en réalité un parallélogramme (voir fig. 1.b), et selon la façon dont celui-ci est orienté, il transforme le carré en un octogone irrégulier (fig. 1.b). .3)!
La fig. 4) est une manière visuelle de démontrer que le polygone de la fig. 2.b) ne peut pas être un carré. On le comprend d’un coup d’œil !
Rassembler des pièces de puzzle triangulaires conduit toujours à des conclusions paradoxales. Les carrés de la fig. 2.c) et 2.d) ont des éléments triangulaires supplémentaires. Leur aire est-elle alors plus grande que celle de la fig. 2.a) ? Comme précédemment, il faut considérer les angles de chaque triangle rectangle qui forme ces carrés. En faisant cela, nous remarquerons facilement que les pentes de l’hypoténuse du petit et du grand triangle rectangle sont légèrement différentes (une différence d’environ 0,8 degrés, visuellement imperceptible). Ainsi, les 8 triangles rectangles ne forment pas exactement un carré et la somme de toutes ces infimes erreurs d’ajustement (zones grises sur la fig. 5) est égale à l’aire des éléments triangulaires saillants. Bref, l’apparition spatiale n’est qu’une illusion !
Voici une application Géogébra pour vous essayer à ce puzzle.
VII°/ Le trangram :
Cliquez ici pour apprendre l’histoire du Tangram et y jouer.
Mais on peut aussi créer de jolis paradoxes.
Les deux « carrés » ci-dessous sont constitués des mêmes 7 pièces de tangram. Pourquoi manque-t-il 2 petits triangles dans le second ?
Ici aussi, ce sont les mêmes 7 pièces qui sont utilisées, et pourtant il y a toujours un petit triangle noir dans la figure rose !
Le truc réside dans le fait que les dimensions des 2 figures respectives sont légèrement différentes. Celles à qui il ‘manque’ une pièce, sont plus saillantes (voir fig. A et B).
En Chine, au Ier millénaire avant notre ère, dans le Yi Jing, Le Livre des mutations, on trouve bien des histoires sur les nombres. Cet ouvrage, le premier des cinq classiques chinois, aura une influence considérable sur la pensée de l’empire du Milieu, dans les siècles qui suivront et jusqu’à nos jours. On trouve dans ce livre, la légende de Lo Shu qui rapporte que, pour calmer la colère de la rivière Lo, les riverains lui offrirent un bœuf en sacrifice ; ils virent alors sortir des flots une tortue dont la carapace était marquée d’une série de signes étranges. Si l’on compte le nombre de points de chaque symbole et qu’on les réécrit, en gardant la même disposition, dans les cases d’un carré 3 × 3, on obtient ceci :
Cette disposition des nombres de 1 à 9 est particulièrement frappante. Vous pouvez vérifier que les sommes des nombres situés sur chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale sont toutes les mêmes, c’est-à-dire 15. À rotations et symétries près, cette disposition est la seule vérifiant cette propriété. Un tel tableau porte aujourd’hui le nom de carré magique.
Le Lo Shu est le tout premier carré magique de l’histoire, mais il aura de nombreux successeurs.
Un carré magique est un tableau carré sur lequel on dispose des nombres qui se suivent mais dans le désordre. Ces nombres sont disposés de sorte que leurs sommes sur chaque rangée, sur chaque colonne et sur chaque diagonale principale soient égales. On nomme alors constante magique (et parfois densité) la valeur de ces sommes. Le jeu consiste à enlever quelques nombres et de demander de les retrouver.
Il existe plusieurs méthodes pour construire des carrés magiques impairs, c’est à dire que le nombre de case par côtés est impair (il est plus difficile de faire des carrés magiques pairs) :
On étend le carré de base par des cases supplémentaires comme ci-dessus, en diminuant de 1 le nombre de cases pour chaque lignes supplémentaires..
On remplit le carré en commençant par la case qui est tout en haut et en remplissant une diagonale sur deux en mettant les nombres dans l’ordre. Il n’est pas nécessaire de commencer par le nombre 1.
On complète le carré en faisant descendre les nombres rouges en bas, les bleus en haut, les verts à gauche et les oranges à droite. Le carré est terminé.
Voici une démonstration de cette méthode sur un carré de 5×5 :
Voici un carré magique 5×5.
Utilisons la technique de construction de Méziriac.
Remarquons que l’on passe d’une diagonale à celle en-dessous en ajoutant 5.
En reconstituant le carré magique, on remarque que chaque ligne et chaque colonne comporte les nombres 1, 2, 3, 4 et 5 d’une part et 0, 5, 10, 15 et 20 d’autre part. La somme de tous ces nombres donnant 65.
Pour les diagonales les nombres seront (1, 2, 3, 4 et 5) et 5 fois le nombre 10, ou alors 5 fois le nombre 3 et (0, 5, 10, 15 et 20). La somme faisant toujours 65.
Il facile de trouver la constante magique. En effet elle est égale à la somme des nombres du carré divisé par l’ordre du carré, c’est à dire le nombre de case des côtés.
Pour un carré magique d’ordre n : Constante \ magique = \frac{nombre \ de \ termes \times (premier \ terme+dernier \ terme)}{2n}
Une fois que l’on a construit un carré magique , il suffit d’effectuer une rotation d’un quart de tour pour en fabriquer trois autres et même d’effectuer une symétrie axiale des quatre carré pour en fabriquer quatre autres. Nous voici avec huit carrés magiques.
Remarquons que le nombre central, ici 5, ne change pas. Il s’agit du nombre central de la suite (1,2,3,4,5,6,7,8,9) et la moyenne des nombres de la suite ((1,2,3,4,5,6,7,8,9)/9 = 5).
Pour aller plus loin, on peut se servir des carrés magiques additifs pour construire des carrés magiques multiplicatifs, on on multiplie au lieu d’additionner.
Ici : 16 x 2048 x 64 = 2 097 152
Et les carrés magiques d’ordre pair me direz-vous. En voici un gravé sur un temple Indien.
Le temple Parshvanath Jain à Khajuraho, en Inde, possède un remarquable carré magique le plus parfait.
Il contient les nombres 1 à 4² et possède deux propriétés extraordinaires :
– la somme magique est 34 = 2(4² + 1).
– tous les sous-carrés 2×2font aussi 34.
Un autre carré d’ordre 4 :
1
16
10
7
6
11
13
4
15
2
8
9
12
5
3
14
La constante magique est de 1 + 16 + 10 + 7 = 34.
Si on veut fabriquer un autre carré magique de constante magique 70, il suffit d’ajouter 70 – 34 = 36 aux nombres 1, 2, 3 et 4. Ce qui donne.
37
16
10
7
6
11
13
40
15
38
8
9
12
5
39
14
Une vidéo pour tout expliquer :
III°/ Méthode du cavalier :
Un carré magique est un tableau carré de côté N qui est rempli par la suite des entiers de 1 à N2 afin que la somme des termes de toutes les lignes et de toutes les colonnes soient égales à Mn. Quand la somme des diagonales est également égale à Mn le carré est dit diabolique. Pour les carrés de côté impair, il existe un algorithme simple qui permet la construction des carrés magiques et diaboliques : c’est la méthode du cavalier (du jeu d’échec) découverte par Euler. Description : On choisit une case de départ arbitraire à ligne I et à la colonne J et on y place le nombre 1. On choisit les pas du cavalier (déplacement vers le bas de H lignes et vers la droite de K colonnes) et on inscrit dans chaque case atteinte l’entier suivant. Quand le déplacement amène en dehors du damier, on y continue sur la même ligne mais de l’autre coté. Si après N opérations, on retombe dans une case déjà occupée. Au lieu du déplacement normal, on se déplace alors de L lignes vers le bas et de M colonnes vers la droite. On reprend ensuite la marche normale. Conditions sur les valeurs H, K, L et M : Il faut que les couples (H, K) et (L, M) soient différents. Il faut que H, K, L et M soient tous premiers avec N. Il faut que le nombre (M x H − K x L) soit premier avec N. Si de plus les nombres (H + K), (H − K), (L + M) et (L − M) sont premiers avec N alors le carré est diabolique. Utilisation : Le programme permet la détermination et l’affichage de carrés magiques d’ordre impair. La valeur de Mn est également affichée. Les valeurs de N, I et J sont contrôlées par le programme. Il vous appartient de rentrer des valeurs de H, K, L et M valides. L’entrée de valeur incorrectes conduit à un carré qui contient des 0. H = 1, K = 2, L = 0 et M = −1 conduisent toujours sauf pour N multiple de 3 à un carré diabolique.Montrer que Mn = ½.n.(n2 + 1)
Référence :Le livre de René Descombes « Les carrés magiques » (éditions Vuibert 09-2000) constitue une bible pour les amateurs de carrés magiques.
– Placer le 1er nombre au milieu de la 1ere ligne. – Continuer en ajoutant 1 au 1er nombre. Placer ce nombre dans la case du coin supérieur droit. – Si cette case est vide : Si on est à la 1ere ligne, il faut repartir à la dernière case de la colonne suivante. . Si on est à la dernière colonne, il faut repartir à la 1ere case de la ligne supérieure. . Si on tombe sur une case occupée, il faut repartir de la case située en dessous. – La somme magique est : n(n²+1)/2.
Lorsque nous avons un carré de n cases sur n cases de côté, nous utilisons les n² premiers nombres entiers dont la somme est n² (n²+1)/2
Les n lignes ont chacune la même somme qui est donc égale au résultat précédent divisé par n soit à n(n²+1)/2.
Par exemple si n = 4, la somme magique est 4(16+1)/2 = 4(17)/2 = 34.
Les nombres représentent la position de chaque case.
47
58
69
80
1
12
23
34
45
57
68
79
9
11
22
33
44
46
67
78
8
10
21
32
43
54
56
77
7
18
20
31
42
53
55
66
6
17
19
30
41
52
63
65
76
16
27
29
40
51
62
64
75
5
26
28
39
50
61
72
74
4
15
36
38
49
60
71
73
3
14
25
37
48
59
70
81
2
13
24
35
17
24
1
8
15
23
5
7
14
16
4
6
13
20
22
10
12
19
21
3
11
18
25
2
9
8
1
6
3
5
7
4
9
2
IV°/ Le tour de magie :
Il serait amusant de fabriquer un carré magique façon mentaliste. Et bien c’est possible en apprenant un petit tableau.
Demander un votre assistance de choisir un nombre y compris entre 22 et 99, et vous voilà prêt à construire un tableau magique correspondant à ce nombre.
y – 20
1
12
7
11
8
y-20 – 1
2
5
10
3
y-20 + 1 + 1 = y-20 + 2
4
y-20 + 1
6
9
Il est nécessaire d’apprendre ce tableau par cœur et d’effectuer les calculs qui sont assez simples. On peut aussi l’avoir sous la main.
Un peu de cinéma pour perdre un peu les spectateurs et le tour est joué.
L’explication :
Verticalement
Horizontalement
Diagonales
y – 20 + 11 + 5 + 4 = y 1 + 8 + 10 + y – 20 + 1 = y 12 + y – 20 – 1 + 3 + 6 = y 7 + 2 + y – 20 + 2 + 9 = y
y – 20 + 1 + 12 + 7 = y 11 + 8 + y – 20 – 1 + 2 = y 5 + 10 + 3 + y – 20 + 2 = y 4 + y – 20 + 1 + 6 + 9 = y
y – 20 + 8 + 3 + 9 = y 7 + y – 20 – 1 + 10 + 4 = y
V°/ Le Carré magique de Ramanujan :Carré magique 4×4 avec sa date de naissance
Ramanujan était un célèbre Mathématicien indien considéré comme un génie des Mathématiques. Il a entre autre inventé un carré magique qui donne 139 non seulement en additionnant les lignes, les colonnes et les diagonales, mais aussi de bien d’autres façons. Petite cerise sur le gâteau qui rend ce carré bien plus que magique, Ramanujan est né le 22 décembre 1887, c’est à dire les 4 nombres de la première ligne du carré : 22 12 18 87 …..
Les formules pour le fabriquer :
a
b
c
d
d+m+n
c-m-n
b-m+n
a+m-n
b-m
a+m
d+m
c-m
c-n
d+n
a-n
b+n
VI°/ Des carrés magiques géométriques :
On peut aussi utiliser des figures géométriques à la place des nombres.
Utilisons ses formules basiques.
Remplaçons les 3 nombres de base par 3 figures géométriques. Chacune des cases du carré sera alors la composante des figures de base.
On peut aussi utiliser des modèles en 3D.
Pour des formes un peu plus originales, utilisons de nouveau un carré magique de base. Pour chaque nombre, associons le même nombre de carreau en les assemblant de toutes les façons possibles, façon tangram.
Si pour les nombres 1 et 2 il n’y a pas qu’une seule possibilité, le choix est plus vaste pour les autres.
Voici une possibilité.
En voici une autre avec les mêmes pièces.
Un site incroyable sur les carrés magiques géométriques :
Il existe d’autres carré magique géométrique, basés sur la surface. Un carré magique de surface est une sorte de carré magique où les nombres représentent les surfaces des sections colorées dans lesquelles ils apparaissent. Ce dessin de William Walkington s’inspire des techniques de construction de Walter Trump .
VII°/ Des carrés magiques circulaires :
Le mathématicien indien Nārāyaṇa (1356) est à l’origine du « Lotus inscrit » (Padma Vrtta).
un diagramme magique construit avec les nombres du rectangle magique 12×4), dans lequel chaque groupe de 12 nombres a la même somme 294.
Chaque groupe de 12 nombres a la même somme 294.
Le « Lotus inscrit » peut se transformer en un captivant mandala fractal.
Conclure par un dessin : le « Lotus inscrit » peut se transformer en un captivant mandala fractal.
VIII°/ Les formules :
1°/ Carré magique 3×3 : il faut choisir 3 nombres.
a-b
a+b+c
a-c
a+b-c
a
a-b+c
a+c
a-b-c
a+b
2°/ Carré magique 4×4 : il faut choisir 6 nombres.
a
b
c
d
d+m+n
c-m-n
b-m+n
a+m-n
b-m
a+m
d+m
c-m
c-n
d+n
a-n
b+n
3°/ Carré magique 5×5 : il faut choisir 9 nombres.
h+d−i
a
e+f−i
b
g+c−i
e
b+g−i
c+d−i
a+h−i
f
a+c−i
f+h−i
i
e+g−i
b+d−i
g
e+d−i
a+b−i
f+c−i
h
b+f−i
c
g+h−i
d
a+e−i
IX°/ Carrés magiques et symétrie :
Lors de l’utilisation de caractères standard, les chiffres 0, 1 et 8 sont symétriques autour de l’axe horizontal, tandis que 6 et 9 sont interchangeables lorsqu’ils sont tournés de 180 degrés. Avec ces chiffres, nous pouvons créer des carrés magiques qui maintiennent leur somme constante même lorsqu’ils sont retourné.
Il est intéressant de noter que lorsque ces nombres sont représentés sous forme d’écran LCD, nous pouvons également inclure le chiffre 2, qui ressemble à un 5 lorsqu’il est inversé. Cela permet de créer des carrés magiques avec des propriétés supplémentaires liées à la symétrie 2D et 3D, qu’ils soient inversés ou en miroir.
Ceux qui ont fait un peu de solfège connaissent la suite de notes, dans laquelle chaque note est à la quinte de la suivante : SI, MI, LA, RE, SOL, DO, FA (les Anglo-Saxons utilisent plutôt les lettres A, B, C, D, E, F et G).
C’est au XI siècle que le moine Guido d’Arezzo (991-1050) a l’idée de donner un nom aux notes. Il utilise la première syllabe des hémistiches (la moitié d’un vers) des 6 vers de l’hymne de Saint Jean-Batiste, attribué à Paul Diacre (730-799).
La dernière modification concernera la note Ut, qui étant difficile à prononcer, sera transformé en Do.
On obtient alors nos 7 notes : Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si.
Mais d’où vient cette suite ? Et que vient faire le nombre 5 (quinte) dans cette affaire ? Et pourquoi y a-t-il 7 notes principales si curieusement liées entre elles ?
On perçoit une petite lueur de compréhension en plaçant les notes sur les bords d’une horloge ou chaque heures représentent un demi-ton. Ainsi on se rend compte que chaque note est séparée de sa voisine pas un ton, sauf MI et FA d’une part ainsi que SI et DO d’autre part, qui sont séparées par un 1/2 ton. De plus on verra se tracer 7 cordes joignant les notes de cinq en cinq.
On voit que les notes ne sont pas uniformément réparties dans cette gamme dite Pythagoricienne. Mathématiquement parfaite.
Simon Stevin (Pays Bas 1548-1620) harmonise les notes. Gamme dite de tempérament égal. Auditivement parfaite.
En fait les rapports entre les nombres et la musique étaient bien connus des chinois, vers 20 siècles avant J-C et du monde grec, 6 siècles avant J-C. En effet, on attribue à Pythagore la découverte de l’explication physique de ces rapports.
Tout vient des impressions que produisent à nos oreilles les cordes que l’on fait vibrer. Ainsi si l’on pince trois cordes de métal (comme une corde de guitare) de longueur L, 2L et 3L, et qu’on les fait vibrer, les vibrations transmises par l’air à notre oreille donnent à un musicien l’impression d’entendre un FA (par exemple) pour la première corde, un son plus grave mais qui représentent le même FA de l’octave en dessous pour la deuxième, est un DO pour la troisième. Ce qui est magique, c’est que ces trois notes semblent être en accord, et le musicien perçoit des notes qui vont bien ensemble.
Évidemment on peut dire la même chose si, au lieu de multiplier les longueurs des cordes par 2 ou 3, on les divisait par 2 ou 3 :
– Les cordes de longueurs respectives 1, 1/2, 1/4, 1/8, …, 2, 4, 8, 16, … émettent des sons qui semblent être la même note (à des octaves différents).
– Les cordes de longueurs 1, 3, 9, … mais aussi 1/3, 3/2, 2/3, 3/4, 4/3, … émettent des sons qui vont bien ensemble.
Tout se passe donc entre les puissances de 2 et de 3, ainsi que leurs rapports. L’idéal serait de n’émettre que des sons qui vont bien ensemble 2 par 2, c’est à dire de manipuler les cordes de longueurs : 1, 3/2, 32 / 22, 33 / 23 ou des sons doubles, quadruples, 23, 24, …sont les mêmes ( à un octave prés) : 1, 3, 32, 33, 34, …
L’ennui, c’est que l’on engendre ainsi une infinité de notes émises par les cordes dont les longueurs sont des puissances de 3, à des divisions par 2 prés.
Évidemment s’il arrivait qu’une certaine puissance de 3 soit aussi une puissance de 2, ont pourrait arrêter la suite et on aurait une suite de notes allant bien ensemble. Malheureusement l’arithmétique est impitoyable : aucune puissance de 3 ne vaut exactement une puissance de 2 ! Mais, heureusement, notre oreille a ses limites de perceptions et il y a des puissances de 3 qui ne sont pas loin de certaines puissances de 2.
Si vous avez une guitare, vous pouvez vérifier que les longueurs des cordes pincées entre les barres du manche et leur attache commune sont bien exactement les longueurs calculées à partir des puissances de 2 et de 3, l’unité mesurant entre 30 et 35 cm selon les guitares.
Cependant, faire de la musique s’est un peu plus compliqué que de faire des mathématiques, et seule la sensibilité du musicien peu rendre la musique si belle.
Google Chrome propose de petits jeux pour pour joueur avec la musique :
Un calculateur qui vous donne le jour de la semaine où vous êtes né :ICI
1°/ L’algorithme de Conway :
John Conway est un Mathématicien célèbre et génial en plus d’être prolifique.
Il inventa, entre autre, un algorithme qui permettait de déterminer le jour de la semaine de n’importe quelle date.
Il avait remarqué que chaque année avait sa date pivot qui tombait toujours le même jour de la semaine.
Les dates pivot du calendrier : dernier jour de février, 04/04, 06/06, 08/08, 10/10 et le 12/12 pour les jours pairs et 3-4/01 (4 pour les années bissextiles et le 3 pour les autres), 09/05, 05/09, 11/07 et le 07/11 pour les impairs (remarquez l’ingéniosité dans le choix de ces dates qui se retiennent facilement).
Par exemple, en 2020 la date pivot est un samedi. Donc le 20 octobre sera un mardi car c’est 10 jours (1 semaine et 3 jours) après le 10/10, qui est la date pivot la plus proche du 20 octobre.
Comment calculer ce fameux jour pivot ?
Pour mettre au point son algorithme, Conway a tout d’abord utiliser les conventions suivantes. Il a transformé les jours de la semaine en nombre pour pouvoir effectuer des calculs, et il a inventé des jours balise.
Voici l’algorithme :
Par exemple, quel est le Doomsday de 1987 ?
On obtient le nombre 6 qui correspond au 6-di c’est à dire le samedi.
Donc si le Doomsday de 1987 était un samedi, le 3 décembre, par exemple, qui est 9 jours avant la date pivot du 12/12 (1 semaine et 2 jours) sera un jeudi.
2°/ Un autre algorithme :
Si tu es né après 1583 (En effet pour la France, à cause du passage du calendrier Julien au calendrier Grégorien que nous utilisons aujourd’hui, le mois de décembre 1582 présente un « trou » de 10 jours entre le 9 et le 20 décembre.), il existe une formule mathématique simple et rapide pour prouver le jour où tu es né : il suffit additionner 6 nombres et de faire une division par 7 !
A = les deux derniers chiffres de ton année de naissance.
B = la partie entière du quotient de A par 4.
M = un nombre associé au mois :
Mois
janvier
février
mars
avril
mai
juin
juillet
août
septembre
octobre
novembre
décembre
M
0
3
3
6
1
4
6
2
5
0
3
5
J = le nombre du jour du mois.
K = Si l’année est bissextile et que c’est le mois de janvier ou de février, on ôte 1 (années bissextiles : 1904, 1908, 1912, 1916, 1920, 1924, 1928, 1932, 1936, 1940, 1944, 1948, 1952, 1956, 1960, 1964, 1968, 1972, 1976, 1980, 1984, 1988, 1992, 1996, 2000, 2004, 2008, 2012, 2016, 2020, 2024, 2028, 2032, 2036, 2040, 2044, 2048, 2052, 2056, 2060, 2064, 2068)
S = un nombre associé au siècle :
Siècle
Années 1600
Années 1700
Années 1800
Années 1900
Années 2000
Années 2100
S
6
4
2
0
6
4
Le calcul du ( A + B + M + J + K + S ) / 7 → reste
Reste
0
1
2
3
4
5
6
Jour
dimanche
lundi
mardi
mercredi
jeudi
vendredi
samedi
Exemple : Voir le chapitre suivant 2°/ Convertisseur de calendriers : Calendrier Grégorien.
1°/ Si tu es né le 24 décembre 1963 : A = 63, B = 63/4 = 15,75 = 15, M = 5, J = 24, K = 0 et S = 0.
A + B + M + J + K + S = 63 + 15 + 5 + 24 + 0 + 0 = 107
107/7, il reste 2. Tu es né un mardi.
2°/ Si tu es né le 24 janvier 2000 : A = 00, B = 00/4 = 0, M = 5, J = 28, K = -1 et S = 6.
Une année représente le temps que met la terre pour faire le tour du soleil. On parle de révolution terrestre. On compte généralement 365 jours mais ce n’est pas vraiment précis !!
Si on veut être plus juste il faudrait compter 365 jours et 6 heures c’est à dire 365 jours et un quart de jour. Autrement dit 365,25 jours.
En effet, chaque année bissextile, il faut rajouter un jour le 29 mars pour rattraper les 6 heures perdues et non comptabilisée dans notre calendrier.
Les années bissextiles ayant lieu tous les 4 ans : 4 x 6 = 24 heures = 1 jour.
Si on ne le faisait pas, en 400 ans on aurait perdus 100 jours c’est à dire plus de 3 mois. Noël se retrouverais en Mars !!
Cependant, pour être encore plus juste il faudrait compter 365,242190 jours ou 365 jours 5 heures 48 minutes 45,2 secondes.
Ainsi le calendrier julien se trouve-t-il, lui aussi, légèrement décalé par rapport à la course de la Terre autour du Soleil : en effet, 365,25 − 365,2422 = 0,0078, soit un peu moins d’un centième de jour de trop chaque année. Ce n’est pas beaucoup, bien sûr, mais suffisamment pour créer, tous les millénaires, un décalage de plus d’une semaine : 7,8 jours exactement !
C’est pourquoi, vers la fin du XVIe siècle, celui du grand astronome Copernic, le pape Grégoire XIII promulgua, le 24 février 1582, la bulle Inter gravissimas pour corriger cette anomalie : le lendemain du 4 octobre 1582 serait le 15 octobre (plus 11 jours) !
Ce décalage mit encore du temps à être pleinement adopté. Ainsi la naissance d’Isaac Newton fut-elle enregistrée en Angleterre le jour de Noël 1642, en calendrier julien, tandis qu’une bonne partie de l’Europe vivait ce jour-là, en calendrier grégorien, son 4 janvier 1643 (plus 11 jours).
À partir de ce moment, 3 années bissextiles en 400 ans furent supprimées : les années multiples de 400 sont donc bissextiles (comme 1600 et 2000), mais les autres centaines ne le sont pas (comme 1700, 1800, 1900, 2100…).
En 400 ans, cela ramène le décalage à 400 × 0,0078 − 3, soit 0,12 jour. Cela ne tombe pas encore juste ; dans 10 fois cette période, c’est-à-dire dans 4000 ans, il faudra supprimer un 29 février. Il restera alors encore un décalage de 0,02 jour en 4000 ans, soit un jour tous les 200 000 ans. Nous avons le temps d’y penser !
Mais là encore la précision laisse à désirer. En effet, la trajectoire de la terre n’est pas un cercle mais une ellipse. Qui plus est, l’axe de cette ellipse se déplace au cours du temps et la rotation de la Terre ralentit d’à peu près deux millisecondes par siècle, de sorte que, dans deux millions de siècles, une année ne comptera plus qu’environ 350 jours de 25 heures chacun. Il sera alors temps pour nos descendants de ressortir des musées les vieux calendriers. Mais bon, comme disait mon grand père, même une horloge arrêtée donne l’heure exacte deux fois par jour !!
Trajectoire circulaire.
Trajectoire elliptique.
Trajectoire elliptique avec un axe qui bouge.
Si on pose comme définition qu’une année représente le temps que met la terre pour faire le tour du soleil pour revenir au même endroit, et bien l’année n’existe pas car la terre ne repassera jamais exactement au même endroit. C’est gênant.
Il y a 3 façons de compter une année.
Année sidérale : la terre revient dans la même zone que l’année dernière par rapport à l’axe soleil – terre l’année dernière.
1 année = 365 j 6 h 9 min
Année anomalistique : la terre revient sur la même position sur l’ellipse que l’année dernière.
1 année = 365 j 6 h 13 min
Année tropique : on tient compte de la modification de l’axe de rotation de la terre sur elle-même.
1 année = 365 j 5 h 48 min
Il n’y a que 25 min de différence entre l’année tropique et l’année anomalistique, mais ce n’est pas rien. En 400 ans il y aurait une différence de 4 x 400 = 10 000 min = 166,66.. jours c’est à dire presque 6 mois.
Amusez-vous a calculer la date de votre prochain anniversaire pour voir si ce jour change en fonction de la façon de compter l’année. Cliquer sur le bouton « Calcul détaillé » :
De fait il existe une règle pour définir si une année est bissextile ou pas : l’année est divisible par 4 mais pas par 100 ou alors elle est divisible par 400.
Par exemple l’année 2000 est divisible par 4 et par 100 et donc ne respecte pas la première condition, mais elle est divisible par 400. Elle est donc bissextile.
L’histoire de l’année bissextile :
Le premier calendrier romain, introduit vers le VIIe siècle av.J.-C., séparait en dix mois une année de 304 jours qui commençait par mars. Les mois de janvier et de février furent ajoutés plus tard, mais on dut encore intercaler un autre mois à peu près un an sur deux, car les mois ne faisaient que 29 ou 30 jours. Les jours étaient désignés par une méthode qui consistait à compter à rebours à partir de trois dates pivot : les calendes au début du mois, les ides au milieu et les nones, qui tombaient le neuvième jour avant les ides. Ce calendrier devint désespérément confus lorsque les dirigeants romains, à qui revenait la charge de fixer les jours et les mois à ajouter, abusèrent de leur autorité pour prolonger leur mandat ou changer la date des élections.
En 46 av.J.-C., Jules César décida, sur les conseils de l’astronome grec Sosigène, d’établir un nouveau calendrier. Ce calendrier, connu sous le nom de calendrier julien, fixa la durée d’une année normale à 365 jours et celle d’une année bissextile, tous les 4 ans, à 366 jours – la journée redoublée étant celle du 24 février. César ramena également le début de l’année au1er janvier (au lieu du 1er mars).
Le nom de jour bissextile vient du latin « ante diem bis sextum Kalendas Martias » (sixième jour avant les calendes de mars en français), c’est-à-dire le 24 février. Comme la phrase était un peu longue, elle s’est résumée à « bis sextus » : bissextile dans notre langue.
Des années plus tard, le pape Grégoire XIII décida, par le biais d’une bulle papale, de « perfectionner » le calendrier. L’une des modifications consistait à fixer le jour supplémentaire des années bissextiles au 29 février et non plus au 24 fixé par le calendrier julien. Conseillé par l’astronome jésuite Christophe Clavius, le souverain pontife a également établi qu’après le jeudi 4 octobre 1582, ce serait le 15 octobre, une suppression de 10 jours qui a permis d’éliminer le décalage avec l’année solaire.
IV°/ Une horloge fractionnaire :
Pourquoi donc une heure est-elle divisée en 60 minutes ?
C’est une conséquence d’un choix fait par les Babyloniens, qui comptaient par paquets de 60 (en base 60) comme nous comptons par paquets de 10 et de 100.
Ce nombre n’a pas été choisi au hasard, mais parce qu’il a un nombre particulièrement élevé de diviseurs.
En effet, 10 possède seulement 4 diviseurs (1; 2; 5; 10) alors que 60 en possède 12 (1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60), ce qui permet d’effectuer de nombreuses divisions.
Les savants babyloniens, versés en Astronomie, mesurant des angles, avaient trouvé plus pratique cette base qui permet de tomber sur des nombres entiers en divisant par 2, 3, 4, 5 et 6. Pourtant, dans le langage courant, on n’utilise que sur les 1/2 heure et les 1/4 d’heure, pas les 1/3, 1/5, 1/6, 1/10… Qui tombent pourtant également sur un nombre entier de minutes !
Voici ce que donnerait une horloge fractionnaire.
V°/ Notre calendrier est faux !!!
Et bien oui, le calendrier grégorien qui est utilisé dans le monde est incorrect. Il est basé sur la naissance Jésus Christ et c’est de là que vient l’erreur.
C’est de la faute à Denys le Petit (Dionysus Exiguus) qui travaillait aux archives pontificales (pape Jean 1er) au VIe siècle. Il calcule la date de la naissance du Christ (anno domini) qu’il fait correspondre à l’année 753 après la fondation de Rome, le 25 décembre bien entendu, et fait démarrer son calendrier l’année suivante le 1ier janvier 754. Or il commet deux erreurs.
Tout d’abord il commence notre calendrier à l’an un et non zéro, ce qui est normal car il utilise les chiffres romains qui ne connaissent pas le zéro. Ce qui implique que l’on passe de l’an -1 av. J.-C. à l’an +1 après, sans passer par l’an 0. Par conséquence, les décennies, les siècles et les millénaires commencent les années finissant par 1 et non par zéro.
La deuxième erreur est plus importante. Denys le Petit établit notre calendrier au VIe siècle, et les source historiques relatant la naissance de Jésus Christ sont assez rares et peu précises. On sait que le roi Hérode est mort en 750 après la fondation de Rome (-3 av. J.-C. ), or Marie et Joseph fuient les menaces d’Hérode à la naissance de Jésus. Donc Jésus ne peut être né qu’entre 748 et 750, soit entre 4 ou 6 ans avant 753, début du calendrier chrétien de Denys le Petit. La date la plus vraisemblable de la naissance du Christ serait plutôt 749, ce qui décale notre calendrier de plus 4 ans par rapport à la véritable naissance de Jésus Christ.
Fondation de Rome
748
749
750
751
752
753
754
755
Calendrier de Denys le Petit
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
En réalité
0
0
1
2
3
4
5
6
Bon, le plus important c’est que l’humanité utilise le même calendrier, même si il ne démarre pas l’année exacte de la naissance Jésus Christ qui ne représente pas grand chose pour le monde non-chrétien.
L’histoire de notre calendrier est vraiment complexe et tortueuse, la preuve dans cette vidéo :
VI°/ Une horloge décimale :
Une question que je pose tous les ans à mes élèves de collège, et même à mes collègues. Rares sont ceux qui sont capables de répondre correctement.
L’erreur la plus courante est due au fait que nous comptons à l’aide du système décimal alors que le système horaire est basé sur le système sexagésimal à base 60.
Il est vrai qu’il n’est pas très simple de compter en base 60 et c’est ce que ce sont dit les révolutionnaires de 1789.
Si l’Egypte et la Chine anciennes utilisaient déjà des mesures décimales du temps, il n’en a pas été de même des peuples sous l’influence babylonienne : le système sexagésimal pour les angles et les heures, avait l’avantage d’avoir beaucoup de diviseur (60 est divisible par : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60), et on peut donc découper le cadran d’une horloge de nombreuse fois, alors qu’avec le système décimal (10 est divisible par : 1; 2; 5; 10) ce n’est pas le cas.
Jusqu’au XVIIIe siècle, en France, c’est le bazar dans les systèmes de mesure. Il existe alors plus de 700 unités de mesures différentes et elles n’ont aucun lien entre elles, ce qui provoque erreurs et fraudes. La Révolution apporte une première harmonisation de ces unités avec l’apparition du mètre et des mesures décimales.
Cette harmonisation des mesures s’accompagne de la remise en question du calendrier grégorien de 365 jours par année et de 366 jours en année bissextile. Le calendrier républicain est adopté le 5 octobre 1793. Il est composé de 12 mois de 30 jours (basé sur le cycle de la lune), divisés en 3 décades de 10 jours et de 5 ou 6 jours de fêtes pour compléter l’année de 365 jours.
C’est dans ce contexte qu’apparaît l’heure révolutionnaire. Chaque jour possède désormais 10 heures, chaque heure 100 minutes et chaque minute 100 secondes.
Horaire classique
Horaire révolutionnaire
1 jour = 24 h = 24 x 60 = 1 440 min classique
1 jour = 10 h = 10 x 100 = 1 000 min révolutionnaires
(100 x 1 440)/ 1 000 = 144 min classique
1 h révolutionnaire = 100 min révolutionnaire
Une heure décimale correspond à 144 minutes classiques, c’est-à-dire que quand il est 4 h 58 en heure décimale, il est 11 h. Les horlogers s’empressent alors de fabriquer de nouvelles horloges indiquant à la fois l’heure décimale et l’heure sexagésimale. Très peu arrivent à en réaliser qui indiquent uniquement l’heure décimale et celles ci sont destinées uniquement aux mesures scientifiques.
Montre à double graduation et quantième (Cers 1795/1795)
Montre à double graduation et quantième (Izaac Droz 1795/1795)
Montre décimale avec petit cadran des secondes divisé en 100 (vers 1900)
Chronomètre décimal (trompète) avec cadran divisé en 10 min (vers 1901)
VII°/ Les fuseaux horaires :
Avant, il n’y avait pas de fuseau horaire. Il n’y avait même pas d’horloge. Mais ensuite, avec le développement des déplacements sur de longues distances, le besoin de « temps clair » s’est accru. L’heure moyenne de Greenwich (GMT) a été introduite le 2 août 1880 à 11 heures du matin et désormais tous les endroits des îles britanniques avaient la même heure.
Eh bien, ce n’est pas tout à fait vrai. L’Irlande avait toujours son propre fuseau horaire, qui était en retard de 25 minutes et 21 secondes sur GMT. En 1916, cela fut aboli. L’heure de Greenwich est devenue la norme. À propos : Greenwich se prononce « Grenitsch ».
Aujourd’hui, l’étalon horaire est UTC, Temps Universel Coordonné. Sur cette base, les fuseaux horaires du monde entier sont calculés. GMT est basé sur UTC (UTC ± 0). Les autres fuseaux horaires sont indiqués par GMT/UTC + ou – (par exemple : GMT+1 pour la Suisse et GMT+2 pour l’heure d’été suisse).
1°/ Un immense empire, un fuseau horaire :
La Chine s’étend théoriquement sur cinq fuseaux horaires. Afin de promouvoir la simplicité et la convivialité, « l’heure de Pékin » s’applique dans tout le pays, soit UTC+8. L’une des conséquences est qu’au Tibet ou dans la région du Xinjiang, le soleil ne se lève que vers 10 heures du matin en hiver. Une période non officielle y fut donc créée, mais celle-ci fut rejetée par les Chinois Han vivant dans la région.
Mais l’énorme fuseau horaire conduit également à des moments étranges à l’échelle internationale. Quiconque traverse la frontière entre la Chine et l’Afghanistan doit avancer sa montre de 3,5 heures. Au triangle frontalier Afghanistan/Pakistan/Chine, vous pouvez changer l’heure trois fois (UTC+4.5, UTC+5, UTC+8). Pour être honnête, il faut cependant dire que cette région est pratiquement inhabitée et que le triangle des pays est situé sur un sommet élevé.
2°/ Ni une demi-heure, ni une heure, mais 45 minutes :
Nous resterons quelques temps dans la région. Le Népal était le seul pays à ne pas se contenter d’une demi-heure, mais a fixé son heure à UTC+5:45. La raison en est que le méridien de l’heure normale du Népal était situé à Gaurishankhar, une montagne à l’est de Katmandou. Ceci est en vigueur depuis 1986.
Toute personne traversant la frontière chinoise depuis le Népal doit avancer son horloge de 2h15 ; ceux qui voyagent vers l’Inde doivent les reculer de 15 minutes.
Outre le Népal, seules les îles Chatham, qui font partie de la Nouvelle-Zélande, ont un fuseau horaire d’un quart d’heure. (UTC+12:45).
3°/ J’ai sauté par-dessus la ligne de date :
Kiribati se trouvait bien à l’est de la ligne de date et avait donc environ un jour de retard sur l’Australie. Depuis que l’Australie est devenue le principal partenaire commercial, cela signifiait que les demandes de Kiribati y étaient envoyées le vendredi matin, alors qu’en Australie, c’était déjà le samedi matin et donc le week-end.
Le 1er janvier 1995, Kiribati a dépassé la date limite. Le 31 décembre 1994 n’existait donc pas à Kiribati. Étant donné que l’État insulaire s’étend sur de nombreuses îles, la ligne de date présente ici un renflement particulier. À propos, Hawaï se trouve sur le même méridien de longitude et a la même heure que Kiribati – juste un jour plus tard.
À propos : les Samoa ont également rejoint la « partie australienne » en 2011 pour une raison similaire à celle des Kiribati. Toutefois, les Samoa américaines, situées à 70 kilomètres à l’est, sont restées du « côté américain ».
4°/ Des lignes de pays et de dates séparent ce groupe d’îles :
Nous restons un instant sur la ligne de date, mais voyageons plus au nord jusqu’aux îles Diomède. Le petit groupe d’îles du détroit de Béring se situe entre la Russie et les États-Unis. L’île occidentale (la grande île Diomède) appartient à la Russie, tandis que la petite île Diomède, située environ quatre kilomètres plus à l’est, appartient aux États-Unis. En plus des nations, comme mentionné, la ligne de date sépare également les deux îles, qui sont à distance visuelle l’une de l’autre. Mais ils sont séparés de 21 heures. Ainsi, alors qu’il est lundi à midi sur l’île russe (UTC+12), les insulaires voisines du côté américain profitent encore du dimanche après-midi (15 heures, UTC-9).
5°/ 26 heures de décalage horaire :
Bien entendu, 21 heures de décalage horaire ne sont pas le plus grand possible. Il ne s’agit pas – comme on pourrait s’y attendre – de 24 heures, mais plutôt de 26 heures.
Cette différence existe entre les îles linéaires qui appartiennent à Kiribati (UTC+14, avec de si beaux noms de lieux sur les îles Christmas comme Kiritimati, Londres, Paris, Pologne ou Banana) et les îles Baker (UTC-12).
Les deux îles sont distantes d’un peu plus de 2000 kilomètres (à peu près l’équivalent de Berne – Saint-Pétersbourg). Mais alors que sur les îles Baker inhabitées, l’horloge indique 23 heures samedi soir, sur les îles Line, il est déjà 1 heure du matin lundi.
6°/ Un fuseau horaire pour personne :
En parlant de Baker Island et UTC -12. Avez-vous déjà regardé la superficie couverte par le fuseau horaire UTC -12 ? En fait, à part l’île Baker (2,1 km2), il n’y a que l’île Howland (superficie 2,6 km2). Les deux sont répertoriés comme inhabités. Personne ne vit en permanence dans le fuseau horaire UTC -12.
À propos : l’île Howland est la zone terrestre qui, à 386 km, est la distance la plus courte du contrepoint terrestre, l’intersection de l’équateur avec le méridien 180°.
7°/ Trois jours calendaires dans le monde :
Conséquence du décalage horaire maximum de plus de 24 heures : trois jours calendaires différents peuvent exister simultanément dans le monde.
Ainsi, s’il est samedi 11h30 (UTC+1) en Suisse, les horloges de Kiritimati, dans les îles Christmas de Kiribati, indiquent déjà dimanche 00h30 (UTC+14) et aux Samoa américaines, il est toujours vendredi 23h30 (UTC). -11).
8°/ Changer l’horloge six fois dans un seul état :
Comme nous l’avons déjà appris, certains pays sont trop grands pour se trouver dans un seul fuseau horaire. Mais bien sûr, cela peut être encore plus compliqué. Une frontière de fuseau horaire traverse neuf États américains. Par exemple, dans l’Indiana, 12 des 92 comtés sont à l’heure centrale (UTC-6), les autres sont à l’heure de l’Est (UTC-5).
Sur les douze comtés, six sont situés au nord-ouest et sont basés sur la ville de Chicago, dans l’État voisin de l’Illinois ; les six autres se trouvent au sud-ouest, autour de la ville d’Evansville.
Mais les choses deviennent vraiment étranges en Arizona. Comme vous pouvez le voir sur la carte ci-dessus, il semble également y avoir deux fuseaux horaires. Cependant, la différence ne se produit que pendant la phase d’heure d’été (DST). Ceci, comme l’heure d’été, rallonge les journées le soir. Cependant, l’Arizona est l’un des rares États à ne pas appliquer généralement l’heure d’été.
Cela ne s’applique pas à la réserve des nations Navajo, une zone environ deux fois plus grande que la Suisse, qui change d’horloge à chaque fois. Mais cela ne suffit pas. La réserve Hopi existe dans la réserve des nations Navajo, qui à son tour n’applique pas l’heure d’été. Et cette réserve Hopi a, d’une part, une enclave dans la réserve des nations Navajo, et d’autre part, elle renferme une enclave de la réserve des nations Navajo. Cela ressemble à ceci et devient assez compliqué en termes de temps :
Quiconque fait un aller-retour de 4,5 heures depuis Flagstaff via Tuba City, Shongopovi et Winslow pour revenir à Flagstaff devrait changer d’horloge six fois au cours de ce voyage.
9°/ Trois fuseaux horaires en hiver et cinq en été :
L’heure d’été rend également la vie plus compliquée en Australie. Fondamentalement, l’Australie s’est donnée trois fuseaux horaires : UTC+8, UTC+9:30 et UTC+10. Il existe également des fuseaux horaires provenant de zones externes, comme l’île Lord Howe (UTC+10:30), mais nous nous concentrerons ici sur la partie continentale.
En été, cependant, deux fuseaux horaires sont ajoutés. Parce que trois États fixent l’heure d’été. En Australie-Méridionale, cela signifie UTC+10h30, les États du sud-est – y compris les grandes villes de Melbourne et Sydney – règlent leur horloge sur UTC+11. Ainsi, si vous devez être à Currumbin Beach (Queensland) à 14 heures et partir de Tweed Heads (Nouvelle-Galles du Sud), vous devez partir à 14 h 45, vous devriez alors pouvoir effectuer le trajet de 15 minutes à 2 heures. p.m….
Le Mexique a connu un problème similaire jusqu’en octobre 2022, certaines provinces observant l’heure d’été et d’autres non. Depuis octobre 2022, l’heure d’hiver est en vigueur partout – ou, comme l’appelle le président Andres Manuel Lopez Obrador : « l’heure de Dieu ».
10°/ Un fuseau horaire pour cinq colonies :
Et puis l’Australie a également l’heure standard du centre-ouest de l’Australie (ACWST, UTC +8:45). Toutefois, cela ne s’applique qu’à quelques colonies (Border Village, Cocklebiddy, Eucla, Madura et Moundrabilla) situées dans une zone presque inhabitée du sud. Après tout, il est affiché sur l’Eyre Highway.
11°/ Terre-Neuve et Labrador diffère de 30 minutes :
Les choses deviennent également beaucoup plus intéressantes plus au nord. La province canadienne de Terre-Neuve-et-Labrador fonctionne actuellement sur UTC-4. Cependant, l’île de Terre-Neuve règle ses horloges selon UTC-3:30.
Mais pas seulement l’île, mais aussi la pointe la plus orientale du continent du Labrador. L’Anse au Clair et Norman Bay avancent également leur horloge d’une demi-heure. Et oui, l’île de St-Pierre et Miquelon, juste à côté de Terre-Neuve, suit UTC-4h30.
12°/ Les demi-heures :
Cela nous amène aux pays qui se varient d’environ une demi-heure et affichent un écart de xx:30 par rapport à UTC. Il s’agit notamment de l’Iran, de l’Afghanistan, de l’Inde, du Sri Lanka et du Myanmar. Le Venezuela ne fait plus partie de ce club. Le pays a reculé son horloge d’une demi-heure en 2007, mais en 2016, il est revenu à UTC-4. Tous les pays sont libres de choisir leur fuseau horaire. La décision est généralement liée à plus de soleil le soir. L’Inde, par exemple, devrait économiser de grandes quantités d’électricité grâce à la demi-heure.
13°/ Célébrez le réveillon du Nouvel An deux fois :
Enfin, une petite anecdote : ces grands décalages horaires n’existent pas toujours quelque part entre deux îles des mers du Sud ou sur certains sommets de l’Himalaya et sont donc de toute façon presque imperceptibles.
Quiconque fait la fête à Arica, la ville la plus septentrionale du Chili, dans la légendaire discothèque Sunset (UTC-3), peut traverser la frontière péruvienne peu après le début de l’année et atteindre Tacna en une heure. Les horloges y sont reculées de deux heures (UTC-5). Vous pouvez célébrer le réveillon du Nouvel An deux fois plus. Par exemple avec le Pisco Sour.
Comment sont nés les chiffres ? Le 1, et les autres chiffres, puis l’arithmétique, le système métrique, l’algèbre ?
Un voyage autour du monde et dans l’Histoire, en quête des origines du chiffre 1, puis de l’arithmétique, en compagnie de Terry Jones, ex-Monty Python.
Du Congo où a été trouvé le « bâton d’Ishango », premier témoignage d’une numération, datant de 4000 avant J.-C., au Moyen-Orient, des Egyptiens aux Romains, en passant par les Indiens et les grands scientifiques musulmans, chacune des grandes civilisations a apporté sa pierre aux mathématiques.
Le chiffre 1 symbolise Dieu, l’unique. Il exprime l’exclusivité, la primauté, l’excellence. Ainsi Jésus dit : « Le Père et moi, nous sommes UN » (Jn 10, 30). De même, saint Paul déclare : « Il n’y a qu’un seul Seigneur, une seule foi, un seul baptême, un seul Dieu » (Eph 4, 5). Le chiffre 1 symbolise l’environnement divin.
b/ Le chiffre 2 , l’homme :
2 représente l’homme, en qui il existe une dualité, une division intérieure, conséquence du péché originel.
c/ Le chiffre 3 :
Exprime une totalité, en rapport avec les trois dimensions du temps : passé, présent, futur. Dans la Bible, dire trois équivaut à dire « la totalité » ou « toujours ». Ainsi, les trois fils de Noé représentent la totalité de ses descendants. Les trois reniements de Pierre symbolisent toutes les fois où Pierre a été infidèle à son Maître. Les trois tentations que Jésus subit de la part du diable, représentent l’ensemble des tentations auxquelles il dut faire face au cours de son existence terrestre. Et quand l’Ancien Testament appelle Dieu le trois fois saint, c’est pour signifier qu’il possède la plénitude de la sainteté.
d/ Le chiffre 4 :
Symbolise le cosmos, le monde, en lien avec les quatre points cardinaux. Aussi, quand Ezéchiel demande à l’Esprit de venir des quatre vents pour souffler sur les ossements desséchés, cela ne signifie pas qu’il n’existe que quatre vents, mais qu’il est fait appel à tous les vents du monde entier. De même, lorsque l’auteur de l’Apocalypse parle du trône de Dieu, entouré de quatre vivants, il veut dire que la Terre toute entière est son trône.
e/ Le chiffre 5 :
Signifie « quelques-uns », une quantité indéterminée. Ainsi, Jésus, lors de la multiplication des pains, prend cinq pains ; sur le marché, cinq moineaux se vendent deux sous ; Élizabeth, la mère de Jean-Baptiste, après avoir conçu, se tient cachée dans sa maison durant cinq mois. Plusieurs fois, dans ses paraboles, Jésus emploie le chiffre 5 en lui donnant ce sens indéterminé : les cinq vierges sages et les cinq vierges imprévoyantes, les cinq talents, les cinq paires de bœufs achetés par des invités au banquet…
f/ 7 le nombre magique :
Et voilà le fameux nombre 7, auquel les hommes ont si souvent attribué un caractère magique.
Déjà, à l’origine, lorsqu’ils ont regardé le ciel, ils y ont trouvé 7 astres particuliers se déplaçant d’une façon différente des autres et décrivant une trajectoire circulaire : le Soleil et la Lune, ainsi que les planètes Mars, Mercure, Jupiter, Vénus et Saturne. Ils les ont associés à la suite des jours ( lundi, mardi, …, dimanche) pour former une semaine.
Cela tombait bien puisque, toutes les 4 semaines, la Lune réapparaissait exactement sous le même aspect ( en outre, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28).
Alors, ils ont parlé des Sept Merveilles du monde, des sept jours de la création, des sept péchés capitaux, des sept collines de Rome, des sept arts libéraux, et même des sept couleurs de l’arc-en-ciel qui ne sont que six !
Et lorsque Jean Sébastien Bach inventa le clavecin, il utilisa les 7 notes de la gamme, avec des intervalles d’un ton ou d’un demi-ton.
Ce chiffre sert fréquemment à représenter ce qui est complet. Dieu a ordonné aux Israélites de marcher autour de Jéricho sept jours de suite et, le septième jour, de faire sept fois le tour de la ville (Josué 6:15). L
g/ Le nombre 12 et l’astrologie :
Il n’y a qu’un seul nombre non premier dont le nombre de diviseur atteint la moitié de sa valeur : c’est le nombre 12 !
Il est en effet divisible par 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Et cela est bien pratique pour parler en particulier de la mesure du temps : douze heures du jour et de douze heures de nuit, chaque heure étant divisée en 12 fois 5 minutes ou en quart heures, ou en demi-heure.
Cependant ces divisions en 12 viennent plutôt de l’extrême facilité de la division du cercle en 12 arcs égaux. Ce sont les astronomes babyloniens qui ont décidé de cette division en 12 arcs égaux.
En effet, faire de l’astronomie, c’est travaillé sur la sphère céleste (vue de la terre) et sur certains de ces grand cercle ; comme celui parcouru par le soleil et les planètes, le cercle zodiacal.
Car lorsque la terre tourne autour du soleil, celui-ci lui cache chaque mois une constellation différente ; il semble que ce soit l’astronome grec Callipos, au 4ème siècle av. J-C, en ai fixé les noms, à partir de traditions babyloniennes très anciennes : Bélier, Taureau, Gémeaux, Cancer, Lion, Vierge, Balance, Scorpion, Sagittaire, Capricorne, Verseau, Poissons.
De plus, la gamme musicale est découpée en 12 intervalles égaux, parmi lesquels on reconnaît les sept notes de la gamme majeure engendrée par des quintes successives. La musique d’ailleurs est bien celle des nombres puisque se sont les relations particulières entre les nombres 2, 3, 5, 7 et 12 qui contiennent tous les secrets de l’harmonie. Il se résume dans l’égalité : (3/2)12 » 27…
Ce nombre semble s’appliquer à une disposition divine pour indiquer qu’elle est complète. Quand l’apôtre Jean a reçu une vision des cieux, il a vu une ville qui a « 12 pierres de fondation, et sur elles il y avait 12 noms, ceux des 12 apôtres » (Révélation 21:14 ; Genèse 49:28). Les multiples de 12 peuvent avoir une signification similaire (Révélation 4:4 ; 7:4-8).
h/ 22 ! V’la les flics :
Dans les ateliers du XIXéme siècle, les ouvriers typographes avertissaient leurs collègues de l’arrivée du chef en criant « 22 ».
Il s’agissait d’un code numérique assez naturel pour ceux qui devaient prendre les lettres une à une dans des cases pour en faire des mots et des phrases : chaque lettre était codée par son rang dans l’alphabet.
C H E F ↓ ↓ ↓ ↓
3 8 5 6 → 3 + 8 + 5 + 6 = 22
i/ Le nombre 40 :
Représente le remplacement d’une période par une autre, ou bien la durée d’une génération. Ainsi le Déluge se prolonge pendant 40 jours et 40 nuits, le temps du passage à une humanité nouvelle. Les Israélites séjournent 40 ans dans le désert, le temps nécessaire pour que la génération infidèle soit remplacée par une autre. Moïse reste 40 jours sur le mont Sinaï, Elie marche 40 jours. Jésus jeûne 40 jours pour marquer son passage de la vie privée à la vie publique.
Le jeu de la vie dans le jeu de la vie.
Le patron de l’hexatétraflexagone.
Avec les mêmes 13 pièces, voici un carré.
