La probabilité est basée sur le hasard, ce qui veut dire qu’il est difficile de prévoir le résultat d’une expérience aléatoire.

Par exemple, si on joue à pile ou face et que l’on obtient pile 10 fois consécutivement, tout d’abord cela parait difficile à faire et ensuite la logique voudrait que la probabilité d’obtenir face augmente et soit supérieure à la probabilité d’obtenir pile.

Et bien la probabilité d’obtenir face, tout comme pile, reste toujours de 1/2, quelque soit les lancers précédents. La logique et la probabilité sont quelque fois incompatible.

Pour un mathématicien qui déteste ne pas maitriser les résultats et est allergique aux approximations, on effectueras un très grand nombre d’expérience pour pouvoir affirmer que : pour un très grand nombre de lancer la probabilité d’obtenir pile est de 1/2 ainsi que celle d’obtenir face.

Cependant le hasard peut se montrer bizarre voir artistique.

Index :

I°/ Le jeu de la vie de John Conway : de ScienceEtonnante
II°/ La puissance organisatrice du hasard : de Mickaël Launay
III°/ La fourmi de Langton : de ScienceEtonnante

I°/ Le jeu de la vie de John Conway :

John Conway est un mathématicien célèbre et prolifique qui inventa entre le jeu de la vie.

Le génie de ce jeu réside dans la simplicité des règles qui permet pourtant de fabriquer des effets d’une richesse incroyable.

Sur une feuille quadrillée de la taille que l’on veut, on dispose des cellules qui ne peuvent être que dans 2 états. Si la cellule existe, on dit qu’elle est vivante, sinon elle est morte.

Les règles :

– Une cellule est entourée de 8 cases car on compte aussi les diagonales.
– Une cellule vivante possédant deux ou trois voisines vivantes reste vivante, sinon elle meurt (donc si elle n’a aucune ou une voisine seulement, et si elle a plus de 3 voisines).
– Une cellule morte possédant exactement trois voisines vivantes devient vivante.

1ière étape : – les cases 3 et 6 possèdent 1 seule voisine donc elles meurent. – les cases 4 et 5 possèdent 2 voisines donc elles restent en vie. – les cases 1, 2 ,7 et 8 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.2ième étape : – les cases 4 et 5 possèdent 5 voisines donc elles meurent. – les cases 1, 2 ,7 et 8 possèdent 3 voisines donc elles restent en vie. – les cases 3 et 6 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.3ième étape : – chaque cases possèdent 2 voisines donc elles restent en vie.

1ière étape : – les cases 2 et 5 possèdent 3 voisines donc elles restent en vie. – les cases 4 et 6 possèdent 2 voisines donc elles restent en vie. – les cases 1, 3 et 7 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.2ième étape : – les cases 3, 5, 6 et 7 possèdent plus de 3 voisines donc elles meurent. – les cases 2, 4 et 9 possèdent 3 voisines donc elles restent en vie. – les cases 1, 8 et 10 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.3ième étape : – les cases 2, 4, 8 et 10 possèdent 1 seule voisine donc elles meurent. – les cases 1 et 9 possèdent 2 voisines donc elles restent en vie. – les cases 3, 5, 7 et 11 sont vides (mortes) et possèdent 3 voisines donc elles naissent.

Il est très simple de coder ses règles et donc de modéliser ce jeu avec un ordinateur. Voici une application pour s’amuser et tester tout plein de situations. Ou ici.

Avec de telles règle aussi simplistes il est peu probable d’obtenir des choses très spectaculaires, et pourtant c’est le cas. On peut en effet obtenir :

Les motifs fixes qui ne bougent plus. Aucune cellule ne meurt ou ne nait.
Block	Mare	Tube	Ruche	Bateau
Long boat	Bélier	Mickey mouse	Miche de pain	Inflected 30 great sym
Les oscillateurs qui reviennent à leur état d’origine après un certain nombre d’étape.
Clignotant	Crapaud	Renard	Étoile	Lunette
horloge	Pulsar	Quasar	Smiley	Fontaine
Les vaisseaux qui eux aussi reviennent à leur état d’origine après un certain nombre d’étapes, mais en se décalant.
Planeur	Tortue	Weekender	Dragon	274p6h1v0
233p3h1v0	Period 20 glider gun	Ecologist	Spacerake	Spider
Les cannons qui expulsent des motifs. Cliquer sur les images pour les voir en grandeurs réelles.
Newgun	Newgun2	Ak94	Bigun	Block laying switch engine
Gunstar	Gunstar2	P14_Pseudo_01	Side cargun	Vacuum gun

On peut trouver à cette adresse, le Wiki du jeu de la vie , qui rassemble tout les motifs extraordinaires obtenus avec ce jeu merveilleux.

Certains motifs sont assez spectaculaires :

Cliquez sur l’horloge pour la voir fonctionner.	Le jeu de la vie dans le jeu de la vie.

Une vidéo très complète de la chaine Youtube de ScienceEtonnante :

Du chaos émerge l’ordre :

Un autre jeu de ce type : le jeu du chaos. Le principe du jeu du chaos est relativement simple.

– Placez trois points non alignés, puis choisissez un point A au hasard à l’intérieur du triangle ainsi délimité. – Choisissez un sommet S du triangle au hasard, par exemple à l’aide d’un dé. – Tracer le milieu du segment qui joint le premier point A au sommet S choisi. – Recommencez le procédé : choisissez un sommet au hasard, notez le milieu, reprenez, et ainsi de suite.

Du chaos ambiant, du hasard grâce auquel est générée la figure semble pourtant émerger une certaine organisation. Les amateurs de fractale auront sans doute reconnu le triangle de Sirpienski dans notre cas.

Ce qui est fabuleux, c’est que cette forme émerge peu importe le point de départ que l’on choisit : le motif dessiné est « le même ».

II°/ La puissance organisatrice du hasard :

Que pourrait représenté un chemin où on a le choix entre monter de 1 carreau en diagonale ou descendre de 1 carreau en diagonale. Et ceci un nombre infini de fois.

Et dans la deuxième partie de la vidéo, un assemblage de dominos avec une règle très simple qui produit un résultats bluffant et magnifique.

III°/ La fourmi de Langton :

Comment un mouvement très simple mais répéter une infinité de fois peut produire une œuvre magnifique.

Qu’est-ce que c’est que le quatrième dimension, et existe-t’elle ?

Voici une vidéo de la chaine Youtube de Mickaël Launay, qui explique tout de façon claire et artistique.  

Pour résumer : Une dimension représente un axe qui à deux sens.

Dans une figure qui a 1 dimension, on peut aller à gauche ou à droite (on peut les appeler Longueur).

Dans une figure qui a 2 dimensions, on peut aller à gauche ou à droite (on peut les appeler Longueur) mais aussi en haut et en bas (on peut les appeler largeur).

Dans une figure qui a 3 dimensions, on peut aller à gauche ou à droite (on peut les appeler Longueur) mais aussi en haut et en bas (on peut les appeler largeur) et encore vers l’avant ou l’arrière (on peut les appeler hauteur).

Pour la 4ième dimension il suffit de trouver 2 noms pour désigner les 2 sens supplémentaires. Ce sera Ana et Kapa que l’on peut représenter par des couleurs par exemple.

Nombre de dimension	1ière direction	2ième direction	Représentation
0	point
1	Gauche	Droite
2	Haut	Bas
3	Avant	Arrière
4	Ana	Kapa

Le flexaèdre et les hexaflexagones :

Construction d’un flexaèdre dont la géométrie est inspirée de l’hypercube.

Les Mathématiques sont utiles en tout, notamment pour faire des économies.

Prenons le cas des casseroles. Pour un volume égal, quel doit être le rapport entre la hauteur et le rayon, en sachant que plus la surface sera petite et moins il faudra de métal pour la construire. Donc un fabriquant de casserole pourrait se demander si, pour un volume égal, la forme de la casserole influe sur son prix. A première vue, qu’elle soit plus large ou plus haute ne change pas la quantité de métal nécessaire et donc son prix. Et bien ….

Soit : R = Rayon et h = hauteur :

Conclusion, il faut que le rayon R de la casserole soit égal à sa hauteur.

Voici un fichier Excel pour voir : La casserole.(Fichier à télécharger ou cliquez sur la flèche en haut à droite de la page excel ci-dessous pour l’ouvrir dans Microsoft Office Online)

Download File

En faisant varier le volume de la casserole dans le fichier Excel, on se rend bien compte le rapport V/S (cad Volume sur Surface, la courbe bleue) est maximal lorsque la différence R-h (cad Rayon moins hauteur, la courbe rouge) est lui minimal, autrement dit que le hauteur de la casserole se rapproche du Rayon.

A°/ Le numéro INSEE :
B°/ Le numéro ISBN : Le code barre
C°/ Le numéro de compte bancaire :
D°/ Le numéro de carte bancaire :
E°/ Les billets en euros :
F°/  Le numéro d’avis de contravention :

A°/ Le numéro INSEE :

L’inventeur de l’actuel numéro de Sécurité sociale est le contrôleur général des armées René Carmille, (186-1945) spécialiste de la Mécanographie par cartes perforées, et directeur du Service national des statistiques, destiné à préparer secrètement la remobilisation de l’Armée, dissoute par l’Armistice de 1940.
Le numéro de sécurité sociale en France, officiellement appelé numéro d’inscription au répertoire des personnes physiques (abrégé en NIRPP ou plus simplement NIR), est un code alphanumérique servant à identifier de façon unique une personne dans le répertoire national d’identification des personnes physiques (RNIPP) géré par l’INSEE, dans les conditions définies par le décret n^o 82-103 du 22 janvier 1982 modifié.

Le numéro d’identification INSEE est un nombre de 13 chiffres qui est suivi d’une clé de 2 chiffres. Cette clé correspond à la différence entre 97 et le reste de la division du nombre INSEE par 97.

Le problème vient du fait que les calculatrices n’ont pas d’écran assez large pour donner un résultat précis, ce qui justifie cette technique de contrôle en la rendant fastidieuse, compliquée et irréprochable. Avec la première animation, trouver la clé, et avec la seconde vérifiez là.

Avec une calculatrice :  résultat approximé

Avec la méthode des grosses multiplications ici on obtient : la division de 1 631 278 477 042 par 97 donne 16817303887 et comme reste 3.

Et ainsi la clé est : 97 – 3 = 94

– Autre exemple : 2 62 08 75 032 039    77

Avec la méthode des grosses multiplications ici on obtient : la division de 2 620 875 032 039 par 97 donne 27019330227 et comme reste 20.

Et ainsi la clé est : 97 – 20 = 77

B°/ Le numéro ISBN : Le code barre

1°/ Code à 10 chiffres :

0 486 20498 7 2 8769 4033 7 0 8228 8315 8

L’ISBN (International Standard Book Number) est un numéro international normalisé qui permet d’identifier le titre d’un livre.
Ce numéro de 10 chiffres est composé de 4 parties.
La première correspond à la zone linguistique (2 pour le français) ; la deuxième indique l’éditeur; la troisième correspond au numéro d’ordre dans la production de l’éditeur et enfin la dernière partie (chiffre ou lettre) correspond à la clé de contrôle.

La clé est le reste dans la division par 11, d’un nombre intermédiaire N calculé à partir des neuf premiers chiffres de l’ISBN. Si ce reste est 10 la clé sera notée X.

On peut déterminer le chiffre-clé en faisant les opérations suivantes : N est obtenu en multipliant par 1 le premier chiffre de gauche, puis on lui ajoute le second multiplié par 2, puis le troisième multiplié par 3 et ainsi de suite … jusqu’à ajouter le neuvième que l’on a multiplié par 9.

Exemple : 2-212-09265-2   pays francophone, éditions Eyrolles, numéro d’ordre 09265, clé : 2.

le calcul intermédiaire donne N = (1 x 2) + (2 x 2) + (3 x 1) + (4 x 2) + (5 x 0) + ( 6 x 9) + (7 x 2) + (8 x 6) + (9 x 5) = 178 et 178 a pour reste 2 dans la division par 11, la clé est donc 2.

Une façon de vérifier que le numéro ISBN est correct sans faute de frappe ou malveillance est d’effectuer la procédure précédente jusqu’au dernier terme est de regarder si on obtient un multiple de 11 : (1 x 2) + (2 x 2) + (3 x 1) + (4 x 2) + (5 x 0) + ( 6 x 9) + (7 x 2) + (8 x 6) + (9 x 5) + (10 x 2) = 198 = 18 x 11

Avec la première animation, trouver la clé, et avec la seconde vérifiez là.

2°/ Code à 12 chiffres :

Le code UPC de type A est composé de douze chiffres. Le premier chiffre à gauche indique le type d’UPC. Les cinq chiffres du premier groupe représentent le code du fabricant tandis que les cinq qui suivent représentent le code produit assigné par le fabricant. Le chiffre final est le chiffre-clé.

On peut déterminer le chiffre-clé en faisant les opérations suivantes : en additionnant les chiffres en position impaire, sauf le chiffre-clé, et en multipliant le résultat par 3. Puis on additionne les chiffres en position paire. On obtient le chiffre-clé en soustrayant ce résultat du multiple de 10 supérieur à la somme obtenue.

0 64200 11589 6 : (0 + 4 + 0 + 1 + 5 + 9)x3 + (6 + 2 + 0 + 1 + 8) = 19×3 + 17 = 74 80 – 74 = 6  chiffre-clé

3°/ Code à 13 chiffres :

Les codes barres numéro ISBN modernes comportent 13 chiffres à présent. Le principe est le même, mais la procédure est un peu différente.

On peut déterminer le chiffre-clé en faisant les opérations suivantes : en additionnant les chiffres en position impaire, sauf le chiffre-clé, et en multipliant le résultat par 3. Puis on additionne les chiffres en position paire. On obtient le chiffre-clé en soustrayant ce résultat du multiple de 10 supérieur à la somme obtenue.

9 793456 789018 : (7 + 3 + 5 + 7 + 9 + 1) x 3 + (9 + 9 + 4 + 6 + 8 + 0) = 132 140 – 132 = 8 chiffre-clé

C°/ Le numéro de compte bancaire :

Un compte en banque est identifié par 23 caractères qui sont pour la plupart des chiffres. On les trouve sur le relevé d’identité bancaire (le rib). Le nombre formé par les deux derniers chiffres de droite constitue la clé permettant de vérifier la cohérence du numéro.

Les 21 premiers caractères sont formés par :
– le code de banque (5 chiffres)
– le code du guichet ou de l’agence (5 chiffres)
– le numéro de compte proprement dit.
Si l’un des caractères est une lettre, il faut le coder à l’aide de la correspondance donnée dans le tableau suivant.

Si on désigne par N le nombre de 21 chiffres construit comme indiqué ci-dessus, la clé de contrôle C est calculée par la formule : C = 97 – reste de la division de 100×N par 97.
Ce nombre C doit être écrit avec deux chiffres. S’il est plus petit que 10, il faut écrire un zéro à sa gauche (Exemple : 4 devient 04).

En écrivant la clé de contrôle C, avec deux chiffres, juste à droite du nombre N initial, on doit donc obtenir un multiple de 97 (la division par 97 tombe juste).

Exemple

Avec la première animation, trouver la clé, et avec la seconde vérifiez là.

D°/ Le numéro de carte bancaire :

Dans ce numéro, interviennent
-le type de carte,
-le numéro de la banque.
Un algorithme particulier permet aux banques de composer le numéro de la carte bancaire. Ce numéro varie selon l’organisme bancaire.

Le seizième chiffre correspond à la clé qui permet de valider la carte.
C’est l’algorithme de Luhn qui permet de déterminer cette clé. Il permet de vérifier un numéro mais ne valide pas l’existence de la carte.

Voici comment trouver la clé à partir du nombre constitué des quinze premiers chiffres
En partant de la gauche,
– multiplier par deux chaque chiffre de rang impair. Si le résultat de cette multiplication par deux est supérieur à 9, lui soustraire 9.
– garder les autres nombres tels qu’ils sont.
– additionner ensuite tous les chiffres obtenus : ceux qui ont été multipliés par deux et ceux qui n’ont pas été modifiés.
– prendre le reste R de cette somme dans la division par dix. Si ce reste R est nul, le garder comme clé sinon prendre son complément à dix, la clé est donc 10 – R.

Exemple
5426 8567 1234 458
ATTENTION, ce numéro est inventé et non valide comme numéro de carte bancaire.
Il s’agit juste d’un exemple pour le calcul d’une clé selon l’algorithme de Luhn.

5 x 2 = 10 → 1
2 x 2 = 4
8 x 2 = 16 → 7
6 x 2 = 12 → 3
1 x 2 = 2
3 x 2 = 6
4 x 2 = 8
8 x 2 =16 → 7

On ajoute ensuite :
1 + 4 + 4 + 6 + 7 + 5 + 3 + 7 + 2 + 2 + 6 + 4 + 8 + 5 + 7 = 71

71 a pour reste 1 dans la division par 10.
La clé est ici égale à 10 – 1 = 9.

Avec la première animation, trouver la clé, et avec la seconde vérifiez là.

E°/ Les billets en euros :

Les billets en euros sont numérotés de façon astucieuse. Le numéro se présente sous la forme d’une ou deux lettre suivie de dix ou onze chiffres.

Remplaçons d’abord la lettre par son rang dans l’alphabet comme indiqué dans le tableau suivant :

La première lettre correspond à un pays :

Nous obtenons un nombre de douze ou treize chiffres. Alors, le reste de ce nombre dans la division par 9 doit être 8, sinon il est faux.

Remarque :
– pour qu’un nombre soit divisible par 9, il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 9.
En pratique, on fait la somme des chiffres, on obtient un nouveau nombre sur lequel on recommence le procédé et ainsi de suite.
– pour trouver le reste d’une division par 9, il suffit de remplacer le nombre à diviser par la somme de ses chiffres et de diviser cette somme par 9.

1°/ Billets avant 2013 : le reste du nombre de 12 ou 13 chiffres dans la division par 9 doit être 8, sinon il est faux.

U → 21 donc on obtient le nombre : 21 54062681702 La division Euclidienne par 9 donne : 2 154 062 681 702= 239 340 297 966 x 9 + 8 Si on additionne tous ces chiffres : 2+1+5+4+0+6+2+6+8+1+7+0+2 = 44 alors 52 = 4 x 9 + 8

2°/ Billets après 2013 « Série Europe » : le reste du nombre de 12 ou 13 chiffres dans la division par 9 doit être 7, sinon il est faux.

U → 21 et A → 1 donc on obtient le nombre : 211 4056316896 La division Euclidienne par 9 donne : 2 114 056 316 896 = 234 895 146 321 x 9 + 7 Si on additionne tous ces chiffres : 2+1+1+4+0+5+6+3+1+6+8+9+6 = 52 alors 52 = 5 x 9 + 7

F°/  Le numéro d’avis de contravention :

La Clé de la contravention figure à droite du N° d’avis de contravention.
Elle est calculée à partir du nombre formé par les quatorze chiffres du N° de l’Avis.
Cette clé est égale au reste de la division du N° de l’Avis par 97.
C’est donc un nombre compris entre 0 et 96.
Si ce nombre est plus petit que 10, on écrit un zéro à sa gauche pour obtenir un nombre de deux chiffres.

Avec la première animation, trouver la clé, et avec la seconde vérifiez là.

I°/ 64 = 65 = 66 = 67 = 68 = 69 :
II°/ 45 = 49 :
III°/ 104 = 105 : Le rectangle d’Harry Langman
IV°/ Le puzzle magique : Le triangle de Gardner
V°/ Le paradoxe de Curry :
VI°/ Le puzzle de Circée ou le paradoxe des aires :
VII°/ Le trangram :

I°/ 64 = 65 = 66 = 67 = 68 = 69 :

C’est Sam Loyd qui, au début du siècle, démontre que 64 = 65 ( et donc par soustraction que 0 = 1 ? ).

Jean Brette a développé cette idée pour le compte des Editions Kangourou, sur des rectangles de 17 par 12.

Regardons ce qui se passe avec 2 triangles rectangles. Si les hypoténuses ne sont pas alignées, les aires sont différentes si l’on intervertit les triangles.

Cette différence est l’aire du parallélogramme rouge, qui est facile à calculer :

II°/ 45 = 49 :

Voici un puzzle de la croix avec 13 pièces.	Avec les mêmes 13 pièces, voici un carré.
Cependant la croix fait 45 unités d’aire.	Et le carré 45 unités d’aire. Il en manque 4 !!!

Là encore on a l’impression que les triangles sont semblables, mais …

tan(angle vert) = 8/3 ≈ 2,66°

tan(angle jaune) = 13/5 = 2,6°

Fichier à télécharger.

III°/ 104 = 105 : Le rectangle d’Harry Langman

Voilà la solution :

Regardons bien la figure :  les points P et N ne sont pas confondus contrairement à ce que l’on semble penser dans la figure reconstituée. La figure C est en fait le polygone limité par PR et non NR. De même la figure A est limitée par MP et non MN. La figure B elle est limitée par QR et D par MQ qui passe par N.
Nous avons donc un trou constitué du polygone MPRQN dont l’aire est exactement égale à une unité. Comme cette unité est dispersée en longueur elle est bien sûr quasiment invisible.
On peut aussi expliquer le résultat en observant que les points M, P et R ne sont pas alignés. C’était donc une erreur de reconstitution. C’est difficile à voir (déplacez la droite ci-dessus), car en fait les segments MP et QR sont parallèles mais pas avec PQ… d’où un résultat aberrant.

Nous retrouvons une fois de plus, les nombres 5, 8, 13, 21 qui font partie de la suite de Fibonacci. Si nous choisissons deux nombres consécutifs de la suite pour longueur et largeur d’un rectangle et ceux qui l’encadrent pour l’autre rectangle nous obtenons alternativement un gain ou une perte de 1 unité.
Ces gains et pertes se traduisent par la formation ou le chevauchement d’un léger espace vide d’autant plus petit que les nombres seront grands.

IV°/ Le puzzle magique : Le triangle de Gardner

L’inventeur du beau paradoxe qui suit est Paul Curry, magicien amateur de New York. En 1953 il eut l’idée de découper une figure et d’en réarranger les morceaux de telle manière que la nouvelle figure soit identique à l’originale, mais avec un trou à l’intérieur de son périmètre.

Un triangle rectangle avec un trou de 1 unité.
Un triangle isocèle avec un trou de 2 unités.

V°/ Le paradoxe de Curry :

Nous découpons le grand rectangle en 5 morceaux.
Et nous observons un trou d’une unité à droite…

Les variantes les plus élégantes du paradoxe de Curry sont des carrés qui restent des carrés après le réarrangement des morceaux produisant le trou. En voici quelques unes.

Avec un trou de 2 unités dans un carré de 11 sur 11.
Avec un trou de 1 unité dans un carré de 7 sur 7.

VI°/ Le puzzle de Circée ou le paradoxe des aires :

Pouvez-vous fabriquer des carrés à l’aide de ces 8 triangles rectangles que l’on appelle le puzzle de Circée ? Cela ne semble pas très compliqué, mais essayez de trouver toutes les configurations possibles.

Voici les 5 possibilités :

Pour ces deux solutions, il n’y a pas de problèmes.	La figure 2.a) semble être un carré, mais ce n’est pas du tout le cas ! Les figures 2.b) et 2.c) sont bien des carrés mais avec des éléments triangulaires saillants, qui augmente l’aire du carré !

L’explication

	Lorsque l’on place côte à côte deux triangles rectangles du puzzle de Circée, un petit et un grand, on obtient un autre triangle plus grand qui semble être un triangle rectangle. Mais en réalité, d’après les mesures de l’illustration 1.a), l’angle a ne peut être égal à 90°. En fait : a = arctan 7/6 + arctan 5/6 = env. 89,2°
	Ainsi, le rectangle inscrit des carrés de la figure 2.a) et 2.b) est en réalité un parallélogramme (voir fig. 1.b), et selon la façon dont celui-ci est orienté, il transforme le carré en un octogone irrégulier (fig. 1.b). .3)!
	La fig. 4) est une manière visuelle de démontrer que le polygone de la fig. 2.b) ne peut pas être un carré. On le comprend d’un coup d’œil !
	Rassembler des pièces de puzzle triangulaires conduit toujours à des conclusions paradoxales. Les carrés de la fig. 2.c) et 2.d) ont des éléments triangulaires supplémentaires. Leur aire est-elle alors plus grande que celle de la fig. 2.a) ? Comme précédemment, il faut considérer les angles de chaque triangle rectangle qui forme ces carrés. En faisant cela, nous remarquerons facilement que les pentes de l’hypoténuse du petit et du grand triangle rectangle sont légèrement différentes (une différence d’environ 0,8 degrés, visuellement imperceptible). Ainsi, les 8 triangles rectangles ne forment pas exactement un carré et la somme de toutes ces infimes erreurs d’ajustement (zones grises sur la fig. 5) est égale à l’aire des éléments triangulaires saillants. Bref, l’apparition spatiale n’est qu’une illusion !

Voici une application Géogébra pour vous essayer à ce puzzle.

VII°/ Le trangram :

Cliquez ici pour apprendre l’histoire du Tangram et y jouer.

Mais on peut aussi créer de jolis paradoxes.

	Les deux « carrés » ci-dessous sont constitués des mêmes 7 pièces de tangram. Pourquoi manque-t-il 2 petits triangles dans le second ?
	Ici aussi, ce sont les mêmes 7 pièces qui sont utilisées, et pourtant il y a toujours un petit triangle noir dans la figure rose !

Le truc réside dans le fait que les dimensions des 2 figures respectives sont légèrement différentes. Celles à qui il ‘manque’ une pièce, sont plus saillantes (voir fig. A et B).

En Chine, au Ier millénaire avant notre ère, dans le Yi Jing, Le Livre des mutations, on trouve bien des histoires sur les nombres. Cet ouvrage, le premier des cinq classiques chinois, aura une influence considérable sur la pensée de l’empire du Milieu, dans les siècles qui suivront et jusqu’à nos jours. On trouve dans ce livre, la légende de Lo Shu qui rapporte que, pour calmer la colère de la rivière Lo, les riverains lui offrirent un bœuf en sacrifice ; ils virent alors sortir des flots une tortue dont la carapace était marquée d’une série de signes étranges. Si l’on compte le nombre de points de chaque symbole et qu’on les réécrit, en gardant la même disposition, dans les cases d’un carré 3 × 3, on obtient ceci :

Cette disposition des nombres de 1 à 9 est particulièrement frappante. Vous pouvez vérifier que les sommes des nombres situés sur chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale sont toutes les mêmes, c’est-à-dire 15. À rotations et symétries près, cette disposition est la seule vérifiant cette propriété. Un tel tableau porte aujourd’hui le nom de carré magique. Le Lo Shu est le tout premier carré magique de l’histoire, mais il aura de nombreux successeurs.

Un carré magique est un tableau carré sur lequel on dispose des nombres qui se suivent mais dans le désordre. Ces nombres sont disposés de sorte que leurs sommes sur chaque rangée, sur chaque colonne et sur chaque diagonale principale soient égales. On nomme alors constante magique (et parfois densité) la valeur de ces sommes.
Le jeu consiste à enlever quelques nombres et de demander de les retrouver.

Il existe plusieurs méthodes pour construire des carrés magiques impairs, c’est à dire que le nombre de case par côtés est impair (il est plus difficile de faire des carrés magiques pairs) :

I°/ Méthode de Edouard Lucas : XIXième siècle
II°/ Méthode de Bachet de Méziriac : XVIième siècle
III°/ Méthode du cavalier :
IV°/ Le tour de magie :
V°/ Le Carré magique de Ramanujan : Carré magique 4×4 avec sa date de naissance
VI°/ Des carrés magiques géométriques :
VII°/ Des carrés magiques circulaires :
VIII°/ Les formules :
IX°/ Carrés magiques et symétrie :

Une très belle vidéo en anglais :

I°/ Méthode de Edouard Lucas : XIXième siècle

En 1891 Edouard Lucas a proposé une méthode simple pour créer des carrés magiques de dimension 3.

II°/ Méthode de Bachet de Méziriac :

Voici une méthode plutôt simple mise au point par Bachet de Méziriac.

On étend le carré de base par des cases supplémentaires comme ci-dessus, en diminuant de 1 le nombre de cases pour chaque lignes supplémentaires..	On remplit le carré en commençant par la case qui est tout en haut et en remplissant une diagonale sur deux en mettant les nombres dans l’ordre. Il n’est pas nécessaire de commencer par le nombre 1.	On complète le carré en faisant descendre les nombres rouges en bas, les bleus en haut, les verts à gauche et les oranges à droite. Le carré est terminé.

Voici une démonstration de cette méthode sur un carré de 5×5 :

Voici un carré magique 5×5.	Utilisons la technique de construction de Méziriac.	Remarquons que l’on passe d’une diagonale à celle en-dessous en ajoutant 5.
En reconstituant le carré magique, on remarque que chaque ligne et chaque colonne comporte les nombres 1, 2, 3, 4 et 5 d’une part et 0, 5, 10, 15 et 20 d’autre part. La somme de tous ces nombres donnant 65.	Pour les diagonales les nombres seront (1, 2, 3, 4 et 5) et 5 fois le nombre 10, ou alors 5 fois le nombre 3 et (0, 5, 10, 15 et 20). La somme faisant toujours 65.

Il facile de trouver la constante magique. En effet elle est égale à la somme des nombres du carré divisé par l’ordre du carré, c’est à dire le nombre de case des côtés.

Pour un carré magique d’ordre n : Constante \ magique = \frac{nombre \ de \ termes \times (premier \ terme+dernier \ terme)}{2n}

Une fois que l’on a construit un carré magique , il suffit d’effectuer une rotation d’un quart de tour pour en fabriquer trois autres et même d’effectuer une symétrie axiale des quatre carré pour en fabriquer quatre autres. Nous voici avec huit carrés magiques.

Remarquons que le nombre central, ici 5, ne change pas. Il s’agit du nombre central de la suite (1,2,3,4,5,6,7,8,9) et la moyenne des nombres de la suite ((1,2,3,4,5,6,7,8,9)/9 = 5).

Pour aller plus loin, on peut se servir des carrés magiques additifs pour construire des carrés magiques multiplicatifs, on on multiplie au lieu d’additionner.

Ici : 16 x 2048 x 64 = 2 097 152

Et les carrés magiques d’ordre pair me direz-vous. En voici un gravé sur un temple Indien.

Le temple Parshvanath Jain à Khajuraho, en Inde, possède un remarquable carré magique le plus parfait. Il contient les nombres 1 à 4² et possède deux propriétés extraordinaires : – la somme magique est 34 = 2(4² + 1). – tous les sous-carrés 2×2font aussi 34.

Un autre carré d’ordre 4 :

La constante magique est de 1 + 16 + 10 + 7 = 34.

Si on veut fabriquer un autre carré magique de constante magique 70, il suffit d’ajouter 70 – 34 = 36 aux nombres 1, 2, 3 et 4. Ce qui donne.

Une vidéo pour tout expliquer :

III°/ Méthode du cavalier :

– Placer le 1^er nombre au milieu de la 1^ere ligne.
– Continuer en ajoutant 1 au 1^er nombre. Placer ce nombre dans la case du coin supérieur droit.
– Si cette case est vide :  Si on est à la 1^ere ligne, il faut repartir à la dernière case de la colonne suivante.
.                                Si on est à la dernière colonne, il faut repartir à la 1^ere case de la ligne supérieure.
.                                Si on tombe sur une case occupée, il faut repartir de la case située en dessous.
– La somme magique est : n(n²+1)/2.

Lorsque nous avons un carré de n cases sur n cases de côté, nous utilisons les n² premiers nombres entiers dont la somme est n² (n²+1)/2

Les n lignes ont chacune la même somme qui est donc égale au résultat précédent divisé par n soit à n(n²+1)/2.

Par exemple si n = 4, la somme magique est 4(16+1)/2 = 4(17)/2 = 34.

Les nombres représentent la position de chaque case.

IV°/ Le tour de magie :

Il serait amusant de fabriquer un carré magique façon mentaliste. Et bien c’est possible en apprenant un petit tableau.

Demander un votre assistance de choisir un nombre y compris entre 22 et 99, et vous voilà prêt à construire un tableau magique correspondant à ce nombre.

L’explication :

V°/ Le Carré magique de Ramanujan : Carré magique 4×4 avec sa date de naissance

Ramanujan était un célèbre Mathématicien indien considéré comme un génie des Mathématiques. Il a entre autre inventé un carré magique qui donne 139 non seulement en additionnant les lignes, les colonnes et les diagonales, mais aussi de bien d’autres façons. Petite cerise sur le gâteau qui rend ce carré bien plus que magique, Ramanujan est né le 22 décembre 1887, c’est à dire les 4 nombres de la première ligne du carré : 22 12 18 87 …..

Les formules pour le fabriquer :

VI°/ Des carrés magiques géométriques :

On peut aussi utiliser des figures géométriques à la place des nombres.

Utilisons ses formules basiques.	Remplaçons les 3 nombres de base par 3 figures géométriques. Chacune des cases du carré sera alors la composante des figures de base.	On peut aussi utiliser des modèles en 3D.
Pour des formes un peu plus originales, utilisons de nouveau un carré magique de base. Pour chaque nombre, associons le même nombre de carreau en les assemblant de toutes les façons possibles, façon tangram.	Si pour les nombres 1 et 2 il n’y a pas qu’une seule possibilité, le choix est plus vaste pour les autres.  Voici une possibilité.	En voici une autre avec les mêmes pièces.

Un site incroyable sur les carrés magiques géométriques :

Il existe d’autres carré magique géométrique, basés sur la surface. Un carré magique de surface est une sorte de carré magique où les nombres représentent les surfaces des sections colorées dans lesquelles ils apparaissent. Ce dessin de William Walkington s’inspire des techniques de construction de Walter Trump .

VII°/ Des carrés magiques circulaires :

Conclure par un dessin : le « Lotus inscrit » peut se transformer en un captivant mandala fractal.

VIII°/ Les formules :

1°/ Carré magique 3×3 : il faut choisir 3 nombres.

2°/ Carré magique 4×4 : il faut choisir 6 nombres.

3°/ Carré magique 5×5 : il faut choisir 9 nombres.

IX°/ Carrés magiques et symétrie :

Lors de l’utilisation de caractères standard, les chiffres 0, 1 et 8 sont symétriques autour de l’axe horizontal, tandis que 6 et 9 sont interchangeables lorsqu’ils sont tournés de 180 degrés.
Avec ces chiffres, nous pouvons créer des carrés magiques qui maintiennent leur somme constante même lorsqu’ils sont retourné.

Il est intéressant de noter que lorsque ces nombres sont représentés sous forme d’écran LCD, nous pouvons également inclure le chiffre 2, qui ressemble à un 5 lorsqu’il est inversé. Cela permet de créer des carrés magiques avec des propriétés supplémentaires liées à la symétrie 2D et 3D, qu’ils soient inversés ou en miroir.